2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程.1.椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质4导学案无答案新人教B版(1)
2.1.2椭圆的几何性质（4）一、 学习目标及学法指导1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系及弦长公式．二、预习案复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？复习3、怎样求直线与圆的交点坐标？问题：直线与椭圆的位置关系如何判断？1、对于直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=的位置关系的判断常通过联立方程组，讨论解的个数 方程组222201Ax By C x y ab ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩2、弦长公式：设对于直线y kx m =+与椭圆22221x y a b+=交于AB 两点，则AB =_______三、课中案※ 典型例题例1：当m 取何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？例2：已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点交椭圆于,A B 两点，求弦长AB例3：椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若AB =OC例4：（11江苏，18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB※ 学习小结 1 ．椭圆在生活中的运用；2 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用∆判定）．3 ．直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x -= 其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．四、课后案1.点(),1A a 在椭圆22142x y +=的内部,则a 的取值范围是2. 若直线1()y kx k R =-∈与椭圆2214x y m +=恒有公共点，求实数m 的取值范围是3.过椭圆2224x y +=的左焦点作倾斜角为30的直线,则弦长AB=4.椭圆22116x y m+=的两个焦点为12,F F 且126F F =,弦AB 过点1F ,且△2ABF 的周长为20,则m =5.AB 是过椭圆()222210x y a b a b+=>>中心的弦,(),0F c 是椭圆的右焦点,则△AFB 的面积的最大值是6.中心在原点,一个焦点为(F 的椭圆被直线32y x =-所截得的弦的中点的横坐标是12,求椭圆的方程7.已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积8.已知椭圆221164x y +=和直线20x y +=,椭圆上是否存在一点P,使得P 点到直线的距离最大?最大距离是多少?9.求椭圆内接矩形的最大面积.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的定义及其标准与方程教案新人教B1新人教B数学教案
3.椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系是。
二、简单应用
例1、已知B，C是两个定点，BC长度等于4，且 的周长等于16，求这个三角形的顶点A的轨迹方程。
椭圆的定义及其标准与方程
教学过程设计
教材处理
师生活动
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
（１）两个焦点的坐标分别是（1，0），（-1，0），椭圆上一点 与两焦点的距离的和等于6.
8.求过点 且与 有相同焦点的椭圆的方程。
板书设计：
教学日记：
教学过程设计
教材处理
师生活动
练习：
1.方程 上一点P到两个焦点的距离的和为（ ）
A 26 B24C 2 D
2. 椭圆 的焦点坐标是（ ）
A B C D 3. 已知椭圆的方程为 ，焦点在 轴上，则 的范围是（ ）
A B C D
4. 的椭圆的标准方程是（ ）
教学
目标
1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。
2．通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，掌握坐标法。
重点
难点
学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程
学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。
教法
尝试、变式、互动
教具
教学过程设计
教材处理
师生活动
一、新知探究
1.叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距
（２）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点 。
（3） 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ， 是椭圆上一点，并且 的等差中项，求椭圆的标准方程。
例3.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（１） （２）
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高
2．2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a＜|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？ [提示] a ，b 的值及焦点所在的位置．1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．] 2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B ．2x 2－3y 2＝2C ．－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 C [A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.]求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142. [解] (1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}． 2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路探究] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF 1|和|PF 2|的方程，解方程组求得|PF 1|，再用面积公式求解．[解] 由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是353.(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P 的坐标． [解] 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353，将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±85，±353.与椭圆有关的轨迹问题【例3】 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．[解] 由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a ，c ，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2， ∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量.1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)．( ) (3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆．2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．7D [由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7.]3．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．50B [由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B.]4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．x 24＋y 23＝1 [由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质教案3湘教版选修1-1(2021学年)
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第三课时 椭圆的简单几何性质教学目标1、能利用椭圆中的基本量a 、ｂ、c 、e 熟练地求椭圆的标准方程 ２、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题 3、培养理解能力,知识应用能力 教学过程 1、复习回顾⑴说出椭圆ｘ2／４＋ｙ２=1的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。
⑵求中心在原点,过点)2/3,1(P ,一条准线方程是043=-x 的椭圆方程。
1211673,142222=+=+y x y x ⑶我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F 2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点Ｂ（离地面最远的点）距地面2３84km ，并且A 、Ｂ、F 2在同一直线上,地球半径约为63７1ｋｍ,求卫星的运行轨道方程(精确到1ｋm)．分析：几个概念的理解,坐标系的建立,由ａ＋c ，a-c 求a 、b 、ｃ.x 2/77832+y 2/77222＝1 2、探索研究椭圆参数方程的推导以原点为圆心,分别以ａ、b （a ＞b>０)为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为Ｎ，过B 作BM ⊥A Ｎ，垂足为Ｍ,求当半径OA 绕点O 旋转时点Ｍ的轨迹方程。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质教案5湘教版选修1-1(2021学年)
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第五课时 椭圆的简单几何性质教学目标1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的),将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞０时，直线与椭圆相交；当Δ<0时,直线与椭圆相离。
3、反思应用例1 当ｍ为何值时，直线l ：ｙ=x+ｍ与椭圆9x 2＋16y 2＝1４4相切、相交、相离？ 分析:将直线方程y ＝ｘ＋m 代入椭圆９x 2＋1６y 2＝144中，得９ｘ2+16(ｘ＋m)2＝１44,整理，得25x ２+３2m ｘ＋16ｍ2－14４＝０，∵Δ=(32m)2―4·25（16m ２―1４4）=－57６m 2＋14400 当Δ＝0即m=±5时，直线与椭圆相切;当Δ>０即-5＜m ＜5时,直线与椭圆相交；当Δ<0即m ＜－5或m>5时,直线与椭圆相离．例2 已知斜率为１的直线l 经过椭圆x 2+4ｙ2＝4的右焦点交椭圆于Ａ、B 两点，求弦长|AB|。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教B版选修1_1
2．1.1 椭圆及其标准方程1．了解椭圆的实际背景与现实意义．2．掌握椭圆的定义、标准方程．(重点、易错点)3．通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤．(难点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的定义阅读教材P33第一行～思考讨论，完成下列问题．把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆．( )(2)到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆．( )(3)到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( )【解析】(1)因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错．(2)由椭圆定义知，(2)对．(3)其动点轨迹是线段F1F2的中垂线，故(3)错．【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 椭圆的标准方程阅读教材P35～P36例1以上部分，完成下列问题．椭圆的标准方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．( ) (3)椭圆的特殊形式是圆．( )(4)椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点在y 轴上．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)椭圆25＋9＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1，F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )【导学号：25650040】A ．20B ．12C ．10D ．6【自主解答】 (1)设P 到另一焦点的距离为r ，则r ＋5＝2a ＝10， ∴r ＝5.(2)∵AB 过F 1，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|.由椭圆定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20. 【答案】 (1)A (2)A在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决．[再练一题]1．(1)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10(2)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________． 【解析】 (1)∵a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(2)由于动点到F 1，F 2的距离之和恰巧等于F 1F 2的长度，故此动点的轨迹是线段F 1F 2. 【答案】 (1)D (2)线段F 1F 2(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点；(3)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.【精彩点拨】 本题考查椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a 和b 即可．【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∴2a ＝ 5＋4 2＋ 5－4 2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(3)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8. ∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．[再练一题]2．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)求经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142的椭圆的标准方程. 【导学号：25650041】 【解】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝10,2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已经条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二 设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. [探究共研型]探究【提示】 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念．求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置，类型． 求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足为P ′，且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．【精彩点拨】【自主解答】 设P 点的坐标为(x ，y )，M (x 0，y 0)，P ′(x 0,0)． ∵点M 在椭圆上，∴x 2036＋y 209＝1.又∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y2，代入上式，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.故P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.1．本题中由点P ，M 的关系，得到等式x 0＝x ，y 0＝y2是关键．利用点M 在椭圆上，将含x 0，y 0的式子代入椭圆方程便得到了动点P 的轨迹方程，此法称为“代入法”，此类问题一般使用此法．2．求轨迹方程的主要方法 (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)．②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1 x ，y ，y ′＝φ2 x ，y .③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程．[再练一题]3．如图211，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程. 【导学号：25650042】图211【解】 设点M 的坐标是(x ，y )，P 的坐标是(x P ，y P )，因为点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |，所以x P ＝x ，且y P ＝54y .因为P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.[构建·体系]1．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 【解析】 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝2＋4＝6， 因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.【答案】 D2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8＜m ＜25，故选B.【答案】 B3．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此随圆的标准方程为________．【解析】 由题意知2a ＝8，∴a ＝4， 2c ＝215，∴c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故此椭圆的标准方程为x 2＋y 216＝1.【答案】 x 2＋y 216＝14．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|2＋|PF 2|2＝100，解得|PF 1||PF 2|＝48. 【答案】 485．已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.求动点P 的轨迹C 的方程. 【导学号：25650043】【解】 设P (x ，y )，则MN →＝(－3,0)，MP →＝(x －4，y )，NP →＝(x －1，y )， 由题可得－3(x －4)＝6 x －1 2＋y 2， 化简得3x 2＋4y 2＝12， 即x 24＋y 23＝1， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(2)导学案新人教B版选修1_1
2.1.2椭圆的几何性质（2）一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定 的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并 画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标 准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案 （一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。
练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点PP 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。
②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式 已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290FPF ∠=,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。
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2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单几何性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？梳理标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质焦点焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围对称性关于________________对称顶点轴长轴长________，短轴长________思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的____________．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆．类型一椭圆的几何性质例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质例2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a2求解．跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________．命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．(2)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.类型三利用几何性质求椭圆的标准方程例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程．(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.122．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－6，0)，(6，0) D．(0，－6)，(0，6)3．设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0，得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x 轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形．思考3 C 1：－5≤x ≤5，－4≤y ≤4；C 2：－4≤x ≤4，－5≤y ≤5.梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0)，(0，±b ) (0，±a )，(±b,0) 2a 2b 知识点二思考 如图所示，在Rt△BOF 2中，cos∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)． 引申探究解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53. 跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23， 焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)． (2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例23－1解析 方法一 如图， ∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ， ∵|NF 2|＝c ， ∴|NF 1|＝ |F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ，则由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.方法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中 ，∠NF 1F 2＝30°， ∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°， 则由离心率的三角形式，可得 e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||NF1|＋|NF 2| ＝sin ∠F 1NF 2sin ∠NF 1F 2＋sin ∠NF 2F 1＝sin 90°sin 30°＋sin 60°＝112＋32＝3－1. 跟踪训练233解析 如图所示，∵∠BAF 2＝60°， |AB |＝|AF 2|，∴△ABF 2是等边三角形， ∴△ABF 2的周长＝3|AF 2| ＝4a ，∴|AF 2|＝4a 3，∴|AF 1|＝2a3.在△AF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2＝(2a 3)2＋(4a 3)2－2×2a 3×4a 3×cos 60°，化为a 2＝3c 2，解得e ＝ca ＝33.例3 (1)33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．∴kBF 1＝－b 2a －0c －－c ＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×－323＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2，所以c 2≥a 2－c 2， 所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)． 跟踪训练35－12例4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点． ①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3.∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1. 综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性，知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c . |FA |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎨⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.跟踪训练4 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，实用文档 解得⎩⎨⎧ a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1. 同理可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 252＝1. 故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1. 当堂训练1．B 2.D 3.[－5,5] 4.x 225＋y 216＝1 5.(0，±69)。