3.2.2空间向量运算的坐标表示
北师大版高中数学选择性必修第一册 第三章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.
反思感悟 空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去起点坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是
应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·
=-=-(1 + 1 )=-
1
1 + ( + )
2
1
1
=-1 − 2 − 2 =-2i-j-4k,
故的坐标为(-2,-1,-4).
1 = − 1 = -( + 1 )
= − − 1 =-4i+2j-4k,
故1 的坐标为(-4,2,-4).
·
(2)cos<a,b>=||||
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
(a≠0,b≠0).
微练习
已知 a=(- 2,2, 3),b=(3 2,6,0),则|a|=
于
.
答案 3
,a 与 b 夹角的余弦值等
6
9
解析 |a|= · =
= − =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
也就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向
线段的终点的坐标减去起点的坐标.
3.空间向量运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到:
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
空间向量的3种坐标运算洋葱数学
空间向量的3种坐标运算洋葱数学【实用版】目录1.空间向量的概念及表示方法2.空间向量的坐标运算2.1 向量加法2.2 向量减法2.3 向量数量积3.空间向量的应用3.1 几何问题3.2 物理问题正文空间向量是具有大小和方向的量，可以用来表示空间中的点或者箭头。
在数学和物理学中，空间向量是一种重要的概念和工具，它可以用来解决许多实际问题。
空间向量的概念及表示方法空间向量通常用有序的三元组 (x, y, z) 来表示，其中 x, y, z 分别表示向量在 x, y, z 三个方向上的分量。
这个有序的三元组也可以用一个有序的列表或者一个箭头来表示。
例如，向量 (2, 3, 4) 表示一个向量，其分量分别为 2, 3, 4。
空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算包括向量加法、向量减法和向量数量积。
2.1 向量加法向量加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量加法的运算规则是：对于两个向量 A 和 B，它们的和是一个向量 C，其中 C 的分量为 A 和 B 对应分量之和。
例如，设向量 A = (2, 3, 4)，向量 B = (1, 2, 3)，则向量 A 和 B 的和为：C = (2 + 1, 3 + 2, 4 + 3) = (3, 5, 7)2.2 向量减法向量减法是指将两个向量相减，得到一个新的向量。
向量减法的运算规则是：对于两个向量 A 和 B，它们的差是一个向量 C，其中 C 的分量为 A 和 B 对应分量之差。
例如，设向量 A = (2, 3, 4)，向量 B = (1, 2, 3)，则向量 A 和 B 的差为：C = (2 - 1, 3 - 2, 4 - 3) = (1, 1, 1)2.3 向量数量积向量数量积是指两个向量的长度之积与它们之间的夹角的余弦值的乘积。
向量数量积的运算规则是：对于两个向量 A 和 B，它们的数量积是一个标量，可以用以下公式计算：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的长度，θ表示向量 A 和 B 之间的夹角。
3.2空间向量运算的坐标表示及应用(模与夹角)课件高二上学期数学北师大版选择性
例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （2）求△BMN的面积.
解答：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
例 2 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF；
向量夹角的坐标表示
一一对应
向量的运算
a＋b =（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2） a－b =（x1－x2，y1－y2，z1－z2） λa =（λx1，λy1，λz1）
a·b =x1x2＋y1y2＋z1z2
向量的平行与垂直
环节一
空间向量长度和 夹角的坐标表示
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
回顾：在平面向量中我们如何求向量的长度？
求模先平方 求模小勾股
求模先平方 求模小勾股
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求向量的模首先要用坐标表示出该向量！
推广：
1、空间向量长度和夹角的坐标表示
求哪两个向量的夹角的余弦值，用哪两个向量的数量积除以 它们的模积
例 1 若向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），则｜a＋b｜＝
（ D）
A.
B.2
C.3
D.例2A.3源自°B.60°C.120°
C D.150°
例 3 已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，2，2）.求： （1）｜a＋b－2c｜； （2）cos＜a－b，b－c＞.
环节二
空间向量 的综合应用
例 1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. （1）求BM，BN的长；
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
3.2.3空间向量坐标表示教案
3.2(3)空间向量的坐标表示(教案)西南模范中学 楼芸【教学目标】1．知识与技能: 掌握空间向量的坐标表示方法和空间向量的坐标表示的基本运算规律，掌握空间向量的数量积运算。
2．过程与方法:通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养。
3．情感态度与价值观:激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，猜想到论证，从而获得数学学习的成就感。
学生遇到问题学会质疑，猜想和论证。
培养严谨的研究态度，教授他们“类比”的研究方法。
提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力。
【重点难点】教学重点:空间向量的坐标表示与运算，空间向量数量积运算。
教学难点：空间向量数量积运算。
【教学环节设计】一课前复习1、前面几节课我们把向量的概念推广到了空间，在三维空间中认识了向量。
在空间建立了直角坐标系，实现了空间的点和有序数组之间的一一对应，实现了空间向量的坐标表示，和向量的加减运算以及找到了空间向量平行的充要条件。
今天我们将继续研究空间向量的数量积表示及运算。
2、回顾空间向量的坐标表示。
),,(,,,,,,,z y x a a z y x k z j y i x a a kj i z y x =++=记作坐标。
在空间直角坐标系中的）叫做向量那么有序实数组（，有对于空间任意向量轴方向相同的单位向量分别取与 推广：若),,(),,,(222111z y x Q z y x P ，则),,(121212z z y y x x ---= 而如果向量OP 的起点恰为坐标原点，则二、提出问题 我们知道，平面向量),,(),,(2211y x b y x a == 则2211y x y x b a +=∙ ，我们是如何得到这个计算公式的？基本单位向量j y i x b j y i x a j i2211,.,+=+= 则)(11y x +=∙∙)(22y x +=))(()()(1221221221j i y x y x j y y i x x∙+++=2121y y x x +那么空间向量的数量积的计算，有没有类似的公式？三、探求新知1、空间向量数量积的坐标表示1、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =∵ 111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z = ∴)(111z y x ++=∙∙)(222z y x ++=))(())(())(()()()(122112211221221221221k j z y z y k i z x z x j i y x y x k z z j y y i x x∙++∙++∙++++=212121z z y y x x ++2、当a b =时，21212122z y x a a b a ++===∙ 所以212121z y x a ++=若),,(),,,(222111z y x Q z y x P ，则),,(121212z z y y x x ---=()()212212212)(z z y y x x -+-+-=3、我们知道，平面向量数量积有[]πθθ,0,cos ∈=∙b a b a （1）所以b a b a∙=θcos ，这个公式在空间中还成立吗？为什么？任意两个向量必然共面，所以仍然成立。
3.2.2立体几何中的向量方法-三种空间角
空间向量的引入为代数方法处理立体几
何问题提供了一种重要的工具和方法，解题
时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A 思考： n
B
O
n, BA 与的关系？
结论： sin
•引入 •复习
|
•线线角
cos n, AB
•线面角
|
•小结
•二面角
题型二：线面角 例二： 在长方体 ABCD A B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB 1
关键：观察二面角的范围
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 •小结
题型三：二面角
例三 如所示，ABCD是一直角梯形，∠ABC = 900 , 1 SA ⊥ 平面ABCD,SA = AB = BC = 1 ,AD = ,求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值.
S
B
A D
C
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B - 1, , A ( 0, , C ( 1, 0) D (0, , 0), S (0, 0,1) 0, 0) C 2 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2 A D y 1 1 CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2 设平面SCD的法向量n2 ( x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得： y y x 2 0 x 2 任取n2 (1,2,1) y z0 z y 2 2 n n2 6 6 1 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r r 设a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )则 设a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )则
平面向量: 平面向量: r r
空间向量: 空间向量:
r r r r r r r r a // b ⇔ a = λ b (λ ∈ R) a // b ⇔ a = λb (λ ∈ R) ⇔a1 = λb1, a2 = λb2 (λ ∈R); ⇔a1 = λb1, a2 = λb2 , a3 = λb3 (λ ∈ R)
zD
A1
1
F1 E1 B1
C1
D
O
B
C
y
A
x
r r uuu uuur uuuu 解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 zD 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz ，则
A1
1
F1 E1 B1
C1
3 1 B(1,1, 0), E1 1, ,1 , D(0, 0, 0), F1 0, ， 1 4 4 uuuu 3 r 1 D BE1 = 1 , , 1 − (1 , 1 , 0) = 0 , − , 1 , O 4 4 uuuu 1 r 1 A B DF1 = 0 , ，1− (0 , 0 , 0)= 0 , ，1 . x 4 4 r r uuuu uuuu r r 17 uuuu 17 15 uuuu 1 1 , | DF1 |= . BE1 ⋅ DF1 = 0× 0 + − × + 1×1 = , | BE1 |= 16 15 4 4 4 4 uuuu uuuu r r uuuu uuuu r r BE1 ⋅ DF1 15 16 r r ∴cos < BE1 , DF1 >= uuuu uuuu = = . 17 17 17 | BE1 | ⋅ | DF1 | × 4 4 15 因此，BE1与DF1所成角的余弦值是 . 17
r r r r a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0
r r r r a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
r r 设a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )则
平面向量: 平面向量:
r r 设a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )则
课堂小结
1.基本知识： 1.基本知识： 基本知识 （1）空间向量运算的坐标表示； ）空间向量运算的坐标表示； 垂直,距离 夹角坐标表示. （2）空间向量的共线 垂直 距离 夹角坐标表示 ）空间向量的共线,垂直 距离,夹角坐标表示 （3）空间中两点间的距离公式 ）空间中两点间的距离公式. 2.思想方法： 2.思想方法： 思想方法 用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐 用向量计算或证明几何问题时， 标系，然后把向量、点坐标化， 标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的坐标运 算进行计算或证明. 算进行计算或证明
选修2 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1.5空间向量运算的坐标表示 3.1.5空间向量运算的坐标表示
复习回顾: 复习回顾:平面向量运算是如何用坐标表示的？ r r 设a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )则 r r a + b = (a 1 +b1 , a2 + b2 ) ; r r a − b = (a 1 −b1 , a2 − b2 ) ; r λ a = (λ a1 , λ a2 ) ; r r a ⋅b = ; a1b1 + a2 b2
问题1: 问题1:空间向量运算如何用坐标表示？会证明?
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
r r 设a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )则
r r a +b = r r a −b = r λa = r r a ⋅b =
r r a + b =(a 1 +b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; (a 1 +b1 , a2 r r (a −b , a − b , a − b ) (a 1 −b1 , a2 − b2 ); a − b = 1 1 2 2 3 3 ; 推 r (λa1 , λa2 ) ; 广 λa = (λa1 , λa2 , λa3 ) ; r r a1b1 + a2b2 ; a ⋅ b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 ;
类 + b2 ); 比
r r 设a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )则
复习回顾: 复习回顾:平面向量共线,垂直,距离,夹角的坐标表示
r r 设a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )则 r r r r a // b ⇔ a = λ b (λ ∈ R) ⇔a1 = λ b1 , a2 = λ b2 (λ ∈ R);
r a = =
r r a ⋅a 2 2 a1 + a2
;
r a = =
r r a ⋅a
2 1
2
2
思考: 思考:如何求空间中已知两点的距离?
设 A ( x1 , y1 , z1 ) ，B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 则
uuur AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) uuur uuur uuur ⇒| AB |= AB ⋅ AB =
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
uuu r 2 2 2 dAB =| AB |= ( x2 − x1 ) + ( y2 −间中两点间的距离公式
例题解析
例1:正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是 1B1、 1:正方体 分别是A 正方体 C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值. 的一个四等分点， 所成角的余弦值
空间向量: 空间向量:
a + a 2 + a3 ; r r r r a ⋅b a ⋅b r r r r r r r r cos a, b = a b cos a, b = a b a1b1 + a2 b2 + a3b3 a1b1 + a2 b2 = a 2 + a 2 b 2 + b 2 = a12 + a2 2 + a32 b12 + b2 2 + b3;2 ; 1 2 1 2
r r a ⊥b ⇔
r r a ⋅b = 0
⇔ a1b1 + a2 b2 = 0
r a =
r r a ⋅a
r r a ⋅b r r a b
=
a12 + a2 2
;
b + b2
2 1
r r cos a , b =
=
a1b1 + a2 b2 a + a2
2 1 2 2
;
问题2: 问题2:空间向量的共线,垂直,距离,夹角如何用坐标表示？
C
y
例题解析
如图， 例 2:如图， 正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1 B1 中点，求证： 中点，求证： EF ⊥ DA1
证明：如图， 证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， uuu r uuur uuuu r 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 uuur 1 1 1 所以 EF = ( − , − , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， uuuu r DA uuuu 所以 uuur1 = (1 , 0 , 1) r 1 1 1 所以 EF ⋅ DA1 = ( − , − , ) ⋅ (1 , 0 , 1) = 0 ， 2 2 2 uuur uuuu r 因此 EF ⊥ DA1 ，即 EF ⊥ DA1