高中数学学案：椭圆的几何性质

高中数学学案：椭圆的几何性质1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题.2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容).2. 解悟：①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2＝b2＋c2,在图形中分别对应着什么？有怎样的几何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与ba之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？③a－c,a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务).基础诊断1. 若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12,则m＝32.解析：因为焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12,所以2－m2＝14,得m＝32.2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为x236＋y29＝1.解析：由题意知e＝32,2a＝12,所以a＝6,c＝33,所以b＝3,所以椭圆方程为x236＋y29＝1.3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3.解析：由题意知2b＝2,2a＝4b,所以b＝1,a＝2,所以c＝a2－b2＝3,则椭圆的中心到其准线的距离是a2c＝43＝433.4. 过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若∠F1PF2＝60°,则椭圆的离心率为3Ｗ.解析：由题意知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a 或⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ,因为∠F 1PF 2＝60°,所以2c b 2a ＝3,即2ac3b 2＝3(a 2－c 2),所以3e 2＋2e －3＝0,所以e ＝33或e ＝－3(舍).范例导航考向❶ 通过几何性质探求椭圆基本量例1 设A,B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,求实数m 的取值范围.解析：若椭圆的焦点在x 轴上,则有a 2＝3,b 2＝m(0＜m ＜3),当点M 为椭圆短轴的端点时,此时∠AMB 最大,根据椭圆的对称性,只需满足tan ∠AMO ＝ab ≥tan 60°＝3(其中O 为坐标原点),即3m ≥3,得0＜m ≤1；若椭圆的焦点在y 轴上,则有a 2＝m(m ＞3),b 2＝3,同理可得m ≥9.故m 的取值范围是(0,1]∪[9,＋∞).如图,设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,F 1F 2DF 1＝2,△DF 1F 2的面积为22,则该椭圆的标准方程为 x 22＋y 2＝1 Ｗ.解析：设F 1(－c,0),F 2(c,0),其中c 2＝a 2－b 2.由F 1F 2DF 1＝22,得DF 1＝F 1F 222＝22c,所以S △DF 1F 2＝12DF 1·F 1F 2＝22c 2＝22,故c ＝1,所以DF 1＝22.由DF 1⊥F 1F 2,得DF 22＝DF 21＋F 1F 22＝92,因此DF 2＝322,所以2a ＝DF 1＋DF 2＝22,故a ＝2,b 2＝a 2－c 2＝1,因此所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.考向❷ 求椭圆离心率例2 如图,x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1) 若PF 1＝2＋2,PF 2＝2－2,求椭圆的标准方程； (2) 若PF 1＝PQ,求椭圆的离心率e.解析：(1) 由题意得2a ＝PF 1＋PF 2＝(2＋2)＋(2－2)＝4,所以a ＝2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PQ ⊥PF 1,所以2c ＝PF 21＋PF 22＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23,所以c ＝3,所以b ＝a 2－c 2＝1,故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2) 方法一：连结F 1Q, 设椭圆上点P(x 0,y 0),PF 1⊥PF 2,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，解方程组,得x 0＝±a c a 2－2b 2,y 0＝±b2c ,由PF 1＝PQ>PF 2, 得x 0>0,从而 PF 21＝⎝⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆定义,得PF 1＋PF 2＝2a,QF 1＋QF 2＝2a, 由PF 1＝PQ ＝PF 2＋QF 2, 得QF 1＝4a －2PF 1.又PF 1⊥PQ,PF 1＝PQ,所以QF 1＝2PF 1, 所以(2＋2)PF 1＝4a,所以(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a,所以(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4, 解得e ＝6－ 3.方法二： 由椭圆定义,得PF 1＋PF 2＝2a,QF 1＋QF 2＝2a, 由PF 1＝PQ ＝PF 2＋QF 2,得QF 1＝4a －2PF 1. 又PF 1⊥PQ,PF 1＝PQ,所以QF 1＝2PF 1, 所以2PF 1＝4a －2PF 1,所以PF 1＝2(2－2)a, 从而PF 2＝2a －PF 1＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a.由PF 1⊥PF 2,知PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c)2,所以e ＝c a ＝PF 21＋PF 222a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.已知直线l 经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点. 若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 14 Ｗ.解析：根据题意,设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),设直线经过椭圆的上顶点与右焦点,则直线的方程为xc ＋y b ＝1.若椭圆中心即(0,0)到直线l 的距离为其短轴长的14,则有|－1|1c 2＋1b 2＝b4,得b 2＝15c 2,则a 2＝b 2＋c 2＝16c 2,即a ＝4c,所以椭圆的离心率为14. 考向❸ 椭圆离心率的取值范围问题例3 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2＝60°.(1) 求椭圆离心率的取值范围；(2) 求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.解析：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0), PF 1＝m,PF 2＝n. 在△PF 1F 2中,由余弦定理得4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°. 因为m ＋n ＝2a,所以m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn,所以4c 2＝4a 2－3mn,即3mn ＝4a 2－4c 2. 又mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号), 所以4a 2－4c 2≤3a 2,所以c 2a 2≥14,即e ≥12,所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(2) 由(1)知3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2,则mn ＝43b 2, 所以S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2, 所以△PF 1F 2的面积只与短轴长有关.如图,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),圆O ：x 2＋y 2＝b 2,过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P,Q,设AP→＝λPQ →.(1) 若点P(－3,0),Q(－4,－1),求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3,求椭圆C 的离心率e 的取值范围.解析：(1) 由点P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3, 点Q 在椭圆C 上得（－4）2a 2＋（－1）232＝1,解得a 2＝18,所以椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1. (2) 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，解得x ＝0或x P ＝－2kb1＋k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.因为AP→＝λPQ →,λ＝3,所以AP →＝34AQ →,所以2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2,即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k 2, 所以k 2＝3a 2－4b2a 2＝4e 2－1.因为k 2>0,所以4e 2>1,即e>12.又0<e<1,所以12<e<1.自测反馈1. 设P,Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点,则P,Q 两点间的最大距离是解析：设椭圆上的点Q 坐标为(x,y),圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为M,则点M 坐标为(0,6),半径r ＝ 2.要求PQ 的最大值,即求MQ ＋r 的最大值,即求MQ 的最大值.因为MQ ＝x 2＋（y －6）2＝10（1－y 2）＋（y －6）2＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52,所以PQ ≤52＋2＝62,即P,Q 两点间的最大距为6 2.2. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D,且BF→＝2FD →,则椭圆C 的离心率是 3Ｗ. 解析：如图,BF ＝b 2＋c 2＝a,过点D 作DD 1⊥y 轴于点D 1,则由BF→＝2FD →得OF DD 1＝23,所以DD 1＝32OF ＝32c,即D 的横坐标为3c 2.由椭圆的第二定义得FD ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a .又因为BF→＝2FD →得a ＝2a －3c 2a ,化简得a 2＝3c 2,所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.3. 已知F 1(－1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过点F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且AB ＝3,则椭圆C 的方程为 x 24＋y 23＝1 .解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),因为c ＝a 2－b 2＝1,所以a 2－b 2＝1①.因为直线AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴,所以A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32,代入椭圆方程得1a 2＋94b 2＝1②.联立①②解得a 2＝4,b 2＝3,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.4. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P 是椭圆上一点,l 为左准线,PQ ⊥l,垂足为Q,若四边形PQFA 为平行四边形,则椭圆的离心率e 的取值范围.解析：设点P(x,y).因为PQ ⊥l,四边形PQFA 为平行四边形,所以PQ ＝a 2c ＋x ＝a ＋c,可得x＝a ＋c －a 2c .因为椭圆上点P 的横坐标满足x ∈[－a,a],且P,Q,F,A 不在一条直线上,所以－a<x<a,即－a<a ＋c －a 2c <a,即2a ＋c －a 2c >0且c －a 2c <0,化简得2＋e －1e >0,即e 2＋2e －1>0,解得e<－1－2或e>2－1.因为椭圆的离心率e ∈(0,1),所以椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1).1. 求椭圆的离心率及离心率的取值范围,其实质是去寻找含a,b,c 的齐次等式或齐次不等式.2. 在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义,有时还会结合正(余)弦定理解决问题.3. 你还有哪些体悟,写下来：。