黎曼几何与黎曼时空
黎曼几何简介-USTC
3 度规相容联络
7
3. 李希张量 Ricci Tensor：
标曲率定义为：
Ricµν = Rλ µλν
R = gµν Ricµν
3.2 Levi-Civita Connection
{}
无挠率的联络显然是 Γλ µν =
λ , 满足 Γλ µν = Γλ νµ，只有对称 µν
的贡献。物理上经常计算这个联络，即假设流行上无挠率。本质上是因为这
Hodge Star 可以保证构造出满足上面条件的 m-form，即能写成 f ΩM 的形式。
5.1 Hodge Star
若 m 维流形 M 上有度规 g，可以定义 Ωr, Ωm−r 之间的同构映射，就 是 Hodge Star 操作 (∗ : Ωr → Ωm−r)
√
∗(dxµ1
∧ dxµ2
∧ · · · ∧ dxµr ) =
−
1 gµν R) 2
=
∇µGµν
=
0
其中 G 是爱因斯坦张量，若这个张量和能动量张量成正比，就给出了
爱因斯坦场方程。
由以上的这些关系，m 维流形上的黎曼曲率张量的自由度有 F (m) =
1 12
m2(m2
−
1)
个，例如
2
维流形上只有一个自由度
R1212，且分量统一表示
成：
R Rkλµν = 2 (gkµgλν − gkν gλµ)
∇V [g(X, Y )] = V k[(∇kg)(X, Y ) + g(∇kX, Y ) + g(X, ∇kY )] = 0
3 度规相容联络
5
于是有条件 (∇kg)µν = 0，可化简为：
∂λgµν − Γk λµgkν − Γk λν gkµ = 0 满足这个条件的联络称为度规相容联络（metric connection）。对上式 轮换指标并加和得到：
数学物理中的黎曼几何
数学物理中的黎曼几何黎曼几何是现代数学物理领域的一项重要分支，涵盖了许多领域，例如广义相对论、量子场论和拓扑学等。
黎曼几何的研究对象是曲面和多维空间的性质和结构，其基本概念是曲率和度量。
它在实际应用中有广泛的应用，从天体物理学到数据分析和机器学习。
1. 曲率曲率是黎曼几何的一个核心概念，它描述了曲面的曲率程度。
曲率可以通过曲面的弯曲程度来计算，弯曲程度越大，曲率也就越大。
黎曼曲率是一种张量，可以对曲面进行全局描述。
在黎曼几何中，曲率常被用来描述空间的形态，对于特殊的空间结构，例如在二维平面上的曲率为零，而在三维球面上的曲率是正的，而在双曲面上的曲率则是负的。
在现代物理学中，曲率起着关键作用，例如在广义相对论中，曲率可以描述重力场的强度和分布。
它也常用于描述物理系统的能量、热力学和互作用强度等现象，从而使我们了解和预测物理现象的本质。
2. 度量度量是描述曲面和空间的基本特性的数学方式，它可以测量曲面的大小和形状。
在黎曼几何中，度量是用来定义曲面或空间的距离概念的，它受到曲率和拓扑的限制。
度量可以用来确定基于欧氏距离的切空间的内积结构，从而使我们能够测量和比较不同点之间的距离。
在数学物理学和计算机科学中，度量在数据分类、模式识别和目标跟踪等应用中也起着重要的作用。
度量可以帮助我们测量和评估各种重要的属性，比如时间序列数据，文本和语音信号等。
3. 黎曼几何的应用黎曼几何和实际应用之间有着许多联系，例如在量子场论和弦理论中，黎曼曲率张量被用来描述了动态空间背景中的弦。
黎曼几何还被用来定义度量空间，这是一种用于跨越的、无界的、不连续的数据的数学结构。
它在数据分析和机器学习中广泛应用，在数据聚类、降维、分类和回归中都有着重要的作用。
总之，黎曼几何是一个涵盖广泛、应用广泛的学科，它的应用领域包括流体动力学、物理学、计算机科学、曲线拟合、统计学和信号处理等。
它们为现代数学和物理学提供了新的研究方法，对解决真实世界中的复杂问题提供了更全面、更深入的理解和创新方法。
黎曼几何的基本概念
第一章 黎曼几何的基本概念本章作为后续各章的准备知识，只对一些必要知识加以介绍，详细的内容可以参考文献[1]、[2]、[3]。
§1.1 微分流形定义1.1 设M 是Hausdorff 拓扑空间，如果M 是局部欧氏空间，即：对于任意p M ∈，存在p 点的邻域V 和映射φ：()n V V R φ→⊂是同胚映射，则称M 是n 维拓扑流形。
这里φ叫做坐标映射，V 叫做坐标域，(,)V φ叫做坐标卡。
定义1.2 n 维拓扑流形M 上的k C 类微分构造是M 上的坐标卡之集{}(,)V ααφαΦ=∈A （A 是指标集），满足：（1）M =V αα；（2）,αβ∀∈A ，坐标卡(,)V ααφ和(,)V ββφ是k C 类相容的，即：当V V αβ非空时，1βαφφ-和1αβφφ-分别是()V V ααβφ和()V V βαβφ之间的k C 类微分同胚；（3）集合关于（2）是极大的，即：若(,)V φ与中每个坐标卡是k C 类相容的，则(,)V φ属于。
定义1.3 n 维拓扑流形M 带上一个k C 类微分构造，称为k C 类微分流形。
若k=+∞，则称M 是一个光滑流形。
例1 n 维实射影流形()n P R 。
设X={}0n R -，在X 中定义1111(,,),(,,),0n n x x x y y y X xy t ++∀=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈⇔∃≠，使得y=tx 。
设:/X X π→[记为()n P R ]是商映射，()n P R 的拓扑取为商拓扑{}1()()n W P R W X τ-=⊂π⊂，则是连续映射。
下面证明()n P R 是n 维光滑流形。
首先证明()n P R 是Hausdorff 拓扑空间。
为此作映射t φ：X →X ，t φ(x )=tx ，t ≠0，于是t φ(x )等价于x ，且11/t t φφ-=。
显然t φ是同胚映射。
对V X ∀⊂是开集，因t φ(V )是开集，所以[][]{}0()(),()t t t x Vt V x x X x x x V V φφφ∈≠==∈∈=是开集，由此知:/X X π→是开映射。
什么是维度 矢泽洁 欧几里得几何学 时空奥秘 黎曼几何学 牛顿
什么是维度矢泽洁欧几里得几何学时空奥
秘黎曼几何学牛顿
维度是空间的量度方式，用于描述一个空间内的自由度或者独立
变量的数量。
在几何学中，维度指的是描述一个几何空间中点的所需
最小坐标数量。
维度的概念最早由欧几里得几何学提出，该学说认为
一个点的位置只需要三个坐标（长度、宽度和高度）来确定。
然而，
随着物理学和数学的发展，人们对维度的理解也逐渐扩展。
时空奥秘中的维度是指爱因斯坦的相对论中引入的四维时空观念。
根据相对论的理论，时空被视为一个整体，具有三个空间维度（长度、宽度和高度）以及一个时间维度。
这种四维时空观念改变了牛顿力学
中绝对时间和绝对空间的观念，强调了时间和空间的相对性和相互关
联性。
黎曼几何学是独立于牛顿力学和欧几里得几何学之外的一种几何
学体系。
在黎曼几何学中，维度的概念更加广义，不再局限于正整数。
它允许空间可以具有非整数维、分数维甚至是无穷维。
例如，黎曼流
形可以用作描述弯曲空间的数学工具，其中空间的维度可以是分数维。
牛顿是著名的物理学家和数学家，他的贡献主要集中在经典力学
和万有引力定律的发现上。
牛顿力学是经典物理学的基础，描述了物
体受力而运动的规律。
在牛顿力学中，空间被认为是三维的，并且时
间是一个绝对的和独立的变量。
总之，维度是用来描述空间或物理现象的量度方式。
从欧几里得
几何学到黎曼几何学，再到时空奥秘中的四维时空观念，每个理论都
对维度的概念有了不同的理解和应用。
牛顿力学则是经典物理学中的一个重要理论基础。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
什么是黎曼几何？
什么是黎曼几何？黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。
是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。
黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。
与欧氏几何注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。
数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。
欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。
物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。
而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。
以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。
欧氏几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。
因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。
两点之间的距离也是直的。
但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。
在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。
若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。
黎曼几何学的基本概念和原理
黎曼几何学的基本概念和原理黎曼几何学是19世纪德国数学家黎曼提出并发展起来的一门几何学分支。
它在欧几里得几何学的基础上引入了度量概念，研究了曲面和高维空间的性质。
本文将介绍黎曼几何学的基本概念和原理。
1. 度量空间度量空间是黎曼几何学的基础，它定义了空间中点之间的距离。
在度量空间中，我们可以使用度量函数来衡量点之间的距离，并且满足以下四个条件：非负性、同一性、对称性和三角不等式。
2. 曲面曲面是黎曼几何学的一个重要对象。
在数学上，曲面可以用参数方程或者隐函数方程表示。
在黎曼几何学中，我们研究曲面的度量性质、曲率和切空间等概念。
3. 切空间切空间描述了曲面上点的切平面，它是与曲面相切且与曲面的法线垂直的平面。
切空间是理解曲面上的切向量、法向量以及切平面上的切线的重要工具。
4. 连通性和曲率黎曼几何学研究了曲面的连通性和曲率。
连通性描述了曲面上任意两点之间是否存在一条曲线将它们连接起来。
而曲率则描述了曲面弯曲的程度，可以通过曲率向量和曲率标量进行度量。
5. 流形流形是黎曼几何学的一个核心概念。
它是一个局部上同胚于欧几里得空间的空间。
流形的引入使得黎曼几何学得以推广到更高维度的空间，并且在现代物理学中有着广泛的应用。
6. 黎曼度量黎曼度量是黎曼几何学中的一个重要概念，它赋予流形上的每个切空间一个内积结构。
黎曼度量不仅给出了切向量之间的夹角，还定义了切向量的长度，从而使得我们可以计算路径的长度和角度等量。
7. 流形上的曲线黎曼几何学研究了流形上的曲线。
通过引入度量结构，我们可以定义曲线的长度、曲率和挠率等概念。
黎曼几何学中的测地线是沿着最短路径连接两点的曲线，它有着重要的几何和物理学意义。
8. 黎曼几何学的应用黎曼几何学不仅在纯数学领域有着重要的地位，也广泛应用于物理学和工程学等应用领域。
在相对论中，我们需要使用黎曼几何学来描述时空的弯曲性质；在计算机图形学中，黎曼几何学可以用于建模和渲染曲面。
总结：黎曼几何学的基本概念和原理涵盖了度量空间、曲面、切空间、连通性和曲率等内容。
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）二阶逆变张量的协变微分........................................................................................................... - 9 （4）二阶混合张量的协变微分......................................................................................................... - 10 （5）一、三阶张量的协变微分......................................................................................................... - 10 -
6.列维-西维塔平移......................................................................................................................................... - 2 7.协变矢量的平移研究...................................................................................................................................- 3 8.逆变矢量的平移研究...................................................................................................................................- 6 9.协变微商.......................................................................................................................................................- 8 -
12.测地线方程...............................................................................................................................................- 10 13.曲率和挠率...............................................................................................................................................- 13 -
目录
22.黎曼空间的曲率张量...............................................................................................................................- 22 （1）曲率张量的对称性......................................................................................................................- 22 （3）三个派生的重要张量..................................................................................................................- 23 （3）曲率张量的独立分量..................................................................................................................- 23 （4）空间的平坦性..............................................................................................................................- 23 （5）毕安基恒等式..............................................................................................................................- 24 -
目录
黎曼几何与黎曼时空..................................................................................................................... - 1 -
1.流形中的坐标变换.......................................................................................................................................- 1 2.标量............................................................................................................................................................... - 1 -
（1）距离与度规..................................................................................................................................- 17 （2）度规的正则形式与幺正基......................................................................................................... - 18 （3）时空与号差..................................................................................................................................- 18 （4）张量指标的升降..........................................................................................................................- 18 19.克里斯多菲符号.......................................................................................................................................- 19 -
4.证明
v u
为二阶张量.....................................................................................................................................
-..................................................................................................................................................- 2 -
14.挠率的几何意义.......................................................................................................................................- 14 15.曲率的几何意义.......................................................................................................................................- 14 16.空间的平直性...........................................................................................................................................- 17 17.曲率张量的两点性质...............................................................................................................................- 17 18.度规张量...................................................................................................................................................- 17 -