数值计算方法吕同富课后习题答案
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法第四章习题部分参考答案
3) 快速弦截法 相应的弦截迭代公式为：
f x k x x x x k 1 k k k 1 f x f x k k 1
x k e 4 c o s x k x x x k k k 1 x x k k 1 e 4 c o s x e 4 c o s x k k 1
2) 弦截法：取 x0
4
, x1
2
相应的弦截迭代公式为：
f xk xk1 xk xk x0 f xk f x0 xk e 4co sxk xk xk x0 exk 4co sxk (e4 4 2 ) 2
因此有 x 1 . 3 , 1 . 6
2 x3
x 又：
,易知 x 为单调递减函数，所以有
2 x 0 . 9 1 0 3 1 3 ( 1 . 3 )
由压缩影像定理知该迭代式收敛。
2） 对于该迭代式，相应的迭代函数为：
x 3 1x2
利用公式作迭代得：
x 1 e 4 c o s x 1 x x x x 0 . 8 7 7 0 0 3 2 1 1 0 x 1 4 e 4 c o s x ( e 4 2) 1 2
x2 e 4cosx2 x3 x2 x2 x0 0.906360 ex2 4cosx2 (e4 4 2 ) 2 x3 e 4cosx3 x4 x3 x3 x0 0.904701 ex3 4cosx3 (e4 4 2 ) 2
2 2 3 x 1 . 6 1 1 . 6 0 . 5 6 4 1 1 3
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
数值计算课后答案2
习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。
由有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。
指出：（1）注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。
（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。
因为02150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间23(,)-上无根；因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
解：令()1sin f x x x =--，因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<， 则(0)(1)0f f <，由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。
数值计算方法习题答案
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1,2,......ka k kx x x k +=+=恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk kx k x x k x k +-=-=≥=证明： （1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +⎫⎛-+=+-==⎪ ⎝⎭（2） 取初值0>x ，显然有0>kx，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若kx 有n 位有效数字，则n kx-⨯≤-110218，而()k k k kk x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥Θ1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为mna a a x 10 (02)1*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a xx x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x，有 003063.071.20083.022≈<-x e x对于718.23=x，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法答案
1数值计算方法(李有法)习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯2易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法第三版课后习题答案
习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
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数值计算方法吕同富课后习题答案
【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】
txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数
一、本课程的地位和作用
数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。
主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值
微分、常微分方程数值解法。
通过本课程的学习，学生将初步具备
用计算机去有效地解决实际问题的能力。
二、本课程的教学目标
通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。
本课程坚持理论与实践教学
并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值
微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。
与此同时，通过
上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效
地解决实际问题打下基础。
三、课程内容和基本要求
(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既
是重点又是难点的内容)
第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求
（1）理解：几类常用的正交多项式。
（2）掌握：最佳一致逼近和
最佳平方逼近。
（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。
2．教学内容（1）*正交多项式。
（2）▽*最佳一致逼近。
（3）▽最佳平方逼近。
（4）正交多项式的逼近性质。
（5）▽曲线拟合的最小二乘法。
第七章数值积分 1．教学基本要求
（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。
（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。
（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。
2．教学内容
（2）▽newton-cotes求积公式。
（3）▽复合求积公式。
（4）
变步长求积公式。
（5）▽romberg求积公式。
（6）▽*gauss求
积公式第八章数值微分 1．教学基本要求
（1）了解：数值微分的中点法。
（2）掌握：数值微分的插值型方法、利用数值积分求微分。
2．教
学内容（1）中点方法。
（2）▽利用插值方法求微分。
（3）▽*利用数值积分求微分。
第
九章常微分方程数值解法 1．教学基本要求
（1）理解：常微分方程数值解法的基本思想。
（2）理解：线性多
步方法。
（3）掌握：euler方法、预估-校正法、runge-kutta方法。
（4）
掌握：单步法的收敛性、相容性与稳定性。
2．教学内容
（1）*数值解法的构造途径。
（2）▽euler方法及其改进。
（3）▽runge-kutta方法。
（4）▽单步法的收敛性、相容性与稳定性。
（5）*线性多步方法。
四、学时分配
五、实践环节
（一）实验五
1.名称：函数最佳逼近。
2.主要内容与要求：编写最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲线拟合
的最小二乘法的程序；应用编制的程序求给定的函数逼近问题的解。
3.学时分配：3学时。
（二）实验六 1.名称：数值积分。
2.主要内容与要求：编写newton-cotes求积公式、复合求积公式、romberg求积公式和gauss求积公式的程序；应用编制的程序求给
定的数值积分问题的解。
3.学时分配：3学时。
（三）实验七 1.名称：数值微分。
2.主要内容与要求：编写中点方法、利用插值求微分、利用数值积
分求微分的程序；应用编制的程序求给定的数值微分问题的解。
3.学时分配：3学时。
（四）实验八
1.名称：常微分方程的数值解法。
2.主要内容与要求：编写euler方法及其改进、runge-kutta方法、adams方法、simpsom方法的程序；应用编制的程序求解给定的
常微分方程。
3.学时分配：3学时。
六、教学方法的建议
采用多媒体进行教学，使学生能够很快掌握课程的主要知识和解决
问题的方法。
以大量详实的应用实例对课程中的重要计算方法进行
验证，巩固和加深课堂内学到的知识。
以介绍最新的研究成果为手段，培养学生对科学计算的兴趣。
七、主要教材及参考书
教材：《数值计算方法》，吕同富、康兆敏、方秀男编著，清华大学出版社，2008。
参考书：[1]《数值分析》，李庆杨、王能超、易大义编著，清华大学出版社，2001。
[2]《数值分析》，张平文、陈铁军编著，北京大学出版社，2007。
[3]《a first course in numerical methods》， u. m. ascher and
c. greif, siam, 2011。
【篇二：(080202)机械电子工程学科硕士研究生培养方
案】
一、学科简介
2010年获得机械工程一级学科硕士点，机械电子工程学科是机械工程学科下的二级学科。
机械电子学是集机械科学与电子信息科学、控制科学、传感器科学等多学科交叉融合发展的新兴学科，它代表着机械科学与工程发展的一个前沿方向。
智能化、综合创新、数字信息、网络集成是机械电子工程的发展潮流和研究热点。
学科研究范围：机器视觉和图像处理在农业生产中的应用；工程测试与控制技术；机电系统控制及智能化技术等。
主要相关学科：机械制造及其自动化、机械设计及理论工程、车辆工程、农业机械化工程、农业电气化及自动化等。
研究特色：内蒙古农业大学机械电子工程学科以内蒙古自治区工农业技术及地区经济发展为依托，从事相关机器视觉、图像处理及应用的理论分析与试验研究，研制智能检测装臵，实现工农业过程的在线无损检测；借助先进的测试与分析仪器，对工农业的装备、设施进行动态监测，实现其运行中的全程监控；对机电控制系统及装备设施进行综合建模与优化分析，获得最优的控制方式，为本地区的机械装备智能化及自动化提供技术支持。
二、研究方向
1. 智能检测技术与装臵
采用现代控制理论、传感技术、机器视觉技术、图像处理技术和计算机测控技术，研制工农业在线检测系统；研究智能化系统所需理论及工程方法；根据不同工农业过程的要求，设计先进的过程检测自动装臵。
2. 工程测试与控制技术
利用现代测试、信号处理及计算机控制技术等对农牧业装备、设施的性能进行测试、分析，以达到最优控制及设计的目的。
3. 机电控制系统及智能技术
将计算机网络技术、智能控制技术、传感器技术、电液伺服驱动技术集成一体，实现对农牧业设施装备、大型风力机组智能化控制，从而达到自诊断、自保护及自控制功能，提高装备的自动化及智能化程度。
三、课程设置
机械电子工程学科硕士研究生课程设臵
*注：第一外语非英语研究生，必选第二外语
内蒙古农业大学研究生课程简介及教学大纲
内蒙古农业大学研究生课程简介及教学大纲。