黎曼几何学
高考数学应试技巧之黎曼几何
高考数学应试技巧之黎曼几何作为高中数学必修的一部分，几何学在高考数学考试中占有相当的分量。
其中，黎曼几何是不可忽视的一个部分，它对于考生掌握数学基础知识以及解题能力有着重要作用。
在这篇文章中，我们将讨论一些高考数学应试技巧，以帮助考生更好地应对黎曼几何这道难点题目。
一、黎曼几何基础黎曼几何是现代数学中的一部分，它研究的是非欧几何、曲线曲面的性质。
在高考中，黎曼几何主要考察题目有：空间坐标系变化、曲率半径、测地线等。
在应对黎曼几何问题时，首先需要掌握的是三维空间直角坐标系的变换。
空间坐标系的变换可以分为平移变换、旋转变换、伸缩变换、镜面反射变换等，其中平移变换和旋转变换是最常见的。
平移变换的形式为(x,y,z)→(x+a,y+b,z+c)，表示将点(x,y,z)移动到(x+a,y+b,z+c)的位置；旋转变换的形式为(x,y,z)→(x′,y′,z′)，表示将点(x,y,z)绕着某个轴旋转一定角度得到的变换。
此外，还需要掌握曲率半径和测地线的相关知识。
曲率半径表示了空间曲线在某一点处的曲率大小，它的数值越小，则曲线的弯曲程度越大；测地线则是在黎曼几何中的一种特殊的曲线，它在空间中具有“直线”的特性，但与欧式几何中的直线不同，它是沿着曲率最小的方向前进的。
掌握这些基本概念之后，可以更好地解决黎曼几何中的各种问题。
二、解题技巧（一）审题重要，掌握考点针对黎曼几何题目，考生首先需要仔细审题，明确题目中的要求和考点。
例如，一道典型的黎曼几何题目：已知三角形ABC，其中∠B=90°，AC=8，BC=6，点D在边AC上，使得CD=2，BD的垂线交边AC于点E，连BE，求BE 的长度。
这道题涉及了三角形和直角三角形的知识，在解题过程中需要运用到曲线曲面的相关知识点。
通过仔细分析题目中的条件和要求，可以发现它主要考察的是曲率半径的概念和平移旋转变换的知识。
明确了考点之后，就可以更有针对性、更加准确地解答题目。
广义相对论 黎曼几何
广义相对论与黎曼几何1. 引言广义相对论是由爱因斯坦于1915年提出的一种关于引力的理论。
该理论的核心概念是时空的弯曲，引力是由物体弯曲时空所产生的效应。
为了描述时空的曲率，黎曼几何成为广义相对论的基础数学工具。
黎曼几何是一种研究曲面性质的数学分支，它提供了描述时空曲率的数学框架。
2. 广义相对论的基本原理广义相对论的基本原理可以总结为以下几点：2.1 等效性原理等效性原理是广义相对论的基石，它指出在自由下落状态下的物体无法感知到重力场的存在。
这意味着引力可以被等效为加速度。
例如，一个在电梯中的人会感到自己被地球的引力所吸引，但实际上这是因为电梯向上加速所产生的效果。
2.2 时空的弯曲广义相对论认为物质和能量会使时空发生弯曲，形成引力场。
这种弯曲可以用黎曼几何中的曲率来描述。
曲率是指曲面的弯曲程度，可以通过黎曼张量来计算。
2.3 时空的度规时空的度规描述了时空的几何结构，它决定了时空中的距离和时间的测量方式。
在广义相对论中，时空的度规由黎曼张量和度规场决定。
3. 黎曼几何的基本概念黎曼几何是一种研究曲面性质的数学分支，它提供了描述时空曲率的数学框架。
下面介绍黎曼几何的一些基本概念：3.1 曲面曲面是一个二维的几何对象，可以用二维坐标系来描述。
在黎曼几何中，曲面的性质可以通过度量张量来描述。
3.2 曲率曲率是指曲面的弯曲程度。
在黎曼几何中，曲率可以通过曲率张量来描述。
曲率张量的分量表示了曲面上不同方向的曲率。
3.3 流形流形是一种广义的几何对象，它可以用局部坐标系来描述。
在黎曼几何中，时空被视为一个四维流形。
3.4 黎曼张量黎曼张量是描述流形曲率的数学工具。
它的分量表示了流形上不同方向的曲率。
黎曼张量的计算可以通过克氏符号和度规张量来完成。
4. 广义相对论中的黎曼几何应用广义相对论将黎曼几何应用于描述时空的曲率。
以下是广义相对论中的一些重要应用：4.1 引力场方程广义相对论的核心方程是引力场方程，它描述了引力场的弯曲效应。
广义相对论 黎曼几何
广义相对论黎曼几何摘要：1.广义相对论的概述2.黎曼几何与广义相对论的关系3.黎曼几何在广义相对论中的应用4.广义相对论的现代发展和影响正文：广义相对论是爱因斯坦于1915 年提出的一种描述引力现象的理论。
这一理论的提出，使得人们对于宇宙和引力的认识有了全新的理解，也为物理学和天文学的发展奠定了基础。
广义相对论的一个重要特点是，它将引力不再看作是一种质量之间的相互作用力，而是质量引起的时空弯曲所导致的现象。
黎曼几何是一种非欧几里得几何，它的特点是度量具有张量性质，即度量的分量可以随着坐标的变换而变换。
黎曼几何在数学领域的发展历史悠久，但在广义相对论中发挥了重要作用。
事实上，爱因斯坦在提出广义相对论时，受到了黎曼几何的启发。
他发现，黎曼几何的度量可以解释为时空的度量，从而将黎曼几何引入到广义相对论中，作为描述时空结构的基础。
在广义相对论中，黎曼几何的应用主要体现在以下几个方面：首先，黎曼几何的度量可以用来描述时空的弯曲，这是广义相对论中引力现象的核心概念。
其次，黎曼几何的张量运算和弯曲性质可以用来推导广义相对论中的物理定律，例如著名的测地线方程。
最后，黎曼几何的高维扩展也为广义相对论的发展提供了重要的理论支持，例如高维时空和黑洞物理中的应用。
广义相对论自提出以来，经历了百年的发展，产生了深远的影响。
它不仅改变了人们对于宇宙和引力的认识，也为科学的发展提供了新的思路。
现代物理学和天文学中的许多重要理论和发现，都与广义相对论有着密切的联系。
例如，黑洞和引力波的发现，以及对于宇宙大爆炸理论的探讨，都离不开广义相对论的指导。
总的来说，广义相对论和黎曼几何之间的关系是相互促进的。
广义相对论的发展离不开黎曼几何的理论支持，而黎曼几何也在广义相对论中找到了重要的应用。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
黎曼几何三角形
黎曼几何三角形
摘要：
1.黎曼几何简介
2.黎曼几何三角形的概念
3.黎曼几何三角形的性质
4.黎曼几何三角形的应用
5.总结
正文：
1.黎曼几何简介
黎曼几何是一种非欧几里得几何，由德国数学家伯恩哈德·黎曼于19 世纪中叶提出。
与欧几里得几何中基于直线和角的概念不同，黎曼几何是基于曲线和度量的几何。
黎曼几何的一个重要应用是广义相对论，它描述了引力对时空的弯曲效应。
2.黎曼几何三角形的概念
在黎曼几何中，三角形是由三个测地线（即在给定度量下长度最短的曲线）组成的图形。
这三个测地线在黎曼几何中不一定是直线，而是曲线。
黎曼几何三角形的三个内角之和也不一定等于180 度，而是可以大于或小于180 度。
3.黎曼几何三角形的性质
黎曼几何三角形有一些独特的性质。
例如，它的三个内角之和可能不等于180 度，它的三条边长可以变化，但总体长度保持不变。
另外，黎曼几何三角形的任意两个角都可以通过测地线相连，形成一个新的三角形。
4.黎曼几何三角形的应用
黎曼几何三角形在数学和物理学中有许多应用。
在数学中，它可以用于研究黎曼猜想，这是数学界最著名的未解问题之一。
在物理学中，黎曼几何三角形可以用于描述引力波，这是爱因斯坦广义相对论的预言之一。
5.总结
黎曼几何三角形是一种在黎曼几何中定义的图形，它具有独特的性质和丰富的应用。
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
微分几何中的流形与黎曼几何
微分几何中的流形与黎曼几何微分几何是数学中的一个分支，研究的是曲线、曲面等几何对象的性质和变换。
其中，流形和黎曼几何是微分几何中的两个重要概念。
本文将对流形和黎曼几何进行详细介绍。
一、流形的基本概念与性质流形用于描述具有平滑结构的几何对象。
在微分几何中，流形是指具有局部欧几里得空间性质的空间。
具体来说，流形是指任意一个点上都有一个邻域，使得该邻域与欧几里得空间中的子集同胚。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个连续双射，且该映射的逆映射也是连续的。
流形可以分为不同的维度，比如一维曲线、二维曲面等。
对于每个点上的切空间，可以定义切向量，从而形成切丛。
切丛是流形上的向量构成的空间，它使得流形的局部性质可以被刻画。
流形还可以在其上定义度量，用于测量空间中点与点之间的距离。
度量是一个二次型，它在切丛上定义了内积。
通过度量，我们可以定义黎曼度量张量，用于描述流形的本地纤维的内积。
二、黎曼几何的基本概念与性质黎曼几何是微分几何的一个重要分支，研究的是黎曼度量空间。
在黎曼几何中，黎曼度量空间指具有度量结构的流形。
在黎曼度量空间中，可以定义度量的导数，用于度量空间中曲线的变化率。
这个导数也叫作黎曼联络，它可以用于衡量流形的曲率。
曲率描述了流形上的曲线在运动过程中的弯曲程度。
通过黎曼度量空间的曲率，我们可以定义黎曼曲率张量，用于描述流形上的弯曲情况。
黎曼曲率张量是一个多重指标的张量，它反映了流形的内在几何特性。
黎曼几何还可以用于描述空间的拓扑性质。
拓扑是研究空间连通性、紧致性等性质的数学分支。
通过黎曼度量，我们可以定义黎曼体积，用于度量流形的大小。
三、流形与黎曼几何的应用流形和黎曼几何在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，流形和黎曼几何是研究微分方程、拓扑学和复变函数等领域的基础。
在物理学中，流形和黎曼几何被广泛应用于相对论和几何光学等领域。
相对论是描述时空结构和引力场的理论，黎曼几何被用于描述引力场的弯曲。
几何光学是研究光线在介质和曲面上传播的理论，流形被用于描述光线的路径。
黎曼几何长度
黎曼几何长度
（实用版）
目录
1.黎曼几何简介
2.黎曼几何中的长度概念
3.黎曼几何长度的计算方法
4.黎曼几何长度的应用
5.总结
正文
1.黎曼几何简介
黎曼几何是一种非欧几里得几何，由德国数学家伯纳德·黎曼于 19 世纪中叶提出。
与欧几里得几何中基于直线和角的概念不同，黎曼几何是基于曲线和度量概念的几何。
黎曼几何的一个重要应用是广义相对论，它描述了引力作用下的时空结构。
2.黎曼几何中的长度概念
在黎曼几何中，长度是一个更加抽象的概念。
对于一条曲线，其长度并非曲线上点的总和，而是基于曲线上某一点处的切线段长度。
在欧几里得几何中，两点之间的最短距离是直线，而在黎曼几何中，两点之间的最短距离是测地线，即曲线。
3.黎曼几何长度的计算方法
黎曼几何中的长度计算方法依赖于度量。
度量是一个定义在黎曼几何中的函数，用于计算曲线上的长度。
常见的度量有欧几里得度量、闵可夫斯基度量等。
通过度量，我们可以计算曲线的长度，以及曲线上的测地线。
4.黎曼几何长度的应用
黎曼几何长度在物理学、数学和工程领域有广泛的应用。
在广义相对论中，黎曼几何描述了引力场中的时空结构，测地线是物体在引力作用下的自由运动轨迹。
在数学中，黎曼几何长度的研究有助于理解多元函数的性质和行为。
在工程领域，黎曼几何长度的概念被应用于计算机图形学、机器学习和机器人路径规划等领域。
5.总结
黎曼几何是一种重要的非欧几里得几何，其中的长度概念是基于曲线和度量的。
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德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。
1854年,他在格丁根大学发表的就职演说,题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。
从数学上讲,他发展了空间的概念,首先认识到几何学中所研究的对象是一种"多重广延量"，其中的点可以用n个实数作为坐标来描述,即现代的微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象打下了基础。
更进一步,他认为,通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学,如果超出了这个范围,或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的则是一个需要验证的问题，需要靠物理学发展的结果来决定。
他认为这种空间(也就是流形)上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。
在无限小的意义下,这种距离仍然满足勾股定理。
这样,他就提出了黎曼度量的概念。
这个思想发源于C.F.高斯。
但是黎曼提出了更一般化的观点。
在欧几里得几何中, 邻近点的距离平方是(在笛卡儿坐标下)，这确定了欧几里得几何。
但是在一般曲线坐标下,则应为,这里是相当特殊的一组函数。
如果是一般的函数，又(g ij)仍构成正定对称阵,那么从出发,也可以定义一种几何学,这便是黎曼几何学。
由于在每一点的周围，都可以选取坐标使得在这点成立,所以在非常小的区域里面勾股定理近似成立。
但在大一点的范围里一般就和欧几里得几何学有很大的区别了。
黎曼认识到距离只是加到流形上的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼度量，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚。
这是一个杰出的贡献。
其后，E.B.克里斯托费尔、G.里奇等人又进一步发展了黎曼几何，特别是里奇发展了张量分析的方法，这在广义相对论中起了基本的作用。
1915年A.爱因斯坦创立了广义相对论，使黎曼几何在物理中发挥了重大的作用，对黎曼几何的发展产生了巨大的影响。
广义相对论真正地用到了黎曼几何学,但其度量形式不是正定的,现称为洛伦茨流形的几何学（见广义相对论）。
广义相对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是É.嘉当在20世纪20～30年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。
半个多世纪以来，黎曼几何的研究也已从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支和现代物理学中有重要作用的结果。
随着60年代大范围分析的发展，黎曼几何和偏微分方程（特别是微分算子的理论）、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透、互相影响。
在现代物理中的规范场理论（又称杨－米尔斯理论）中，黎曼几何也成了一个有力的工具。
黎曼流形黎曼几何是黎曼流形上的几何学。
黎曼流形指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g,也就是说,在微分流形M的每一个坐标邻域(U,x)内，用一个正定对称的二次微分形式来度量二个无限邻近的点(x1,x2,…,x n)和(x1+d x1，x2+d x2，…，x n+d x n)之间的距离。
这里(g ij)构成一个正定对称的n×n 阵,并假设g ij(x)关于(x i)有一定的可微性,而M上连接两点P、Q的曲线C:x i=x i(t),α≤t≤b的长度l(C)就用积分来计算。
为了保证距离的度量与坐标邻域的选取无关，还要求g ij满足二阶协变张量的变换规律，用整体黎曼几何的语言来说,就是在微分流形M上给定了一个由分量g ij决定的正定对称二阶协变张量场g。
M连同g,即(M,g)称为一个n维黎曼流形，g 称为度量张量或基本张量。
由于历史的原因，黎曼流形又常称黎曼空间，但后者偏重于局部意义，即常指黎曼流形的一个开子集或一个坐标邻域。
度量张量g在流形M每点P(x1,x2,…,x n)的切空间T p(M)中就规定了一个内积g p(或记为:〈,〉)用来计算切向量的长度、交角。
即若向量X，Y∈T p(M),而,,则X的长度；X、Y的交角θ由,0≤θ≤π决定。
如果cosθ＝0，即,就称X、Y为互相正交。
│尣│=1的向量称为单位向量，T p(M)中由两两互相正交的单位向量组成的基称为正规正交基，对任一点P∈M，在P点的某一邻域U内总存在n个单位向量场e1,e2,…,e n,使得在U的每点它们构成切空间的一个正规正交基，这n 个局部向量场称为一个局部正规正交基或局部正规正交标架。
运用局部正规正交标架来研究黎曼几何的方法称为活动标架法。
黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下有特别简单明了的表达式，例如取ω1，ω2,…，ωn为局部正规正交标架e1，e2，…，e n的对偶形式,也称对偶基，即满足的n个一次微分形式，于是在基{e i}下，由于，度量形式可写为。
任一仿紧微分流形总具有黎曼度量，这种黎曼度量的数目是非常繁多的，但也不是完全任意的。
微分流形的度量结构是受它的拓扑结构所制约的，而这种制约关系正是黎曼几何研究的一个重要内容，还存在许多没有解决的问题。
有了计算曲线长度的方法，黎曼流形(M,g)上任意两点P、Q之间的距离d(P,Q)就可以用M中连接P、Q的所有分段可微分曲线的长度的下确界来定义，即d(P, Q)=inf(l(C))，（连接P，Q的分段可微分曲线C）。
于是，M在上述距离下成为一个度量空间，还可以证明，它所导出的度量拓扑与流形M原有的拓扑是等价的。
联络、平行移动欧氏空间中两不同点的切向量可以用平行移动的方法移动到同一点处加以比较，而且这种平行移动与移动的道路无关。
黎曼流形上不同点的切向量也可以用平行移动的方法加以比较，但一般说来，这时由于流形的弯曲，平行移动与移动的道路有关。
设P(x i)为流形上任一点，{e i}，i=1, 2,…,n为P点附近的一个局部标架，P+d P为P的一个无限邻近点，坐标为x i+d x i。
定义P+d P点的切空间和P点的切空间的一个线性对应,使得P +d P点的对应于P点的向量，这里是n2个一次微分形式, 称为联络形式, 这样引入的对应称为无穷小平行移动。
设是P点附近的一个局部向量场，那么在点P+d P的向量·经过无穷小平行移动至P点后就会得到向量, 它与P点的向量在一阶无穷小范围内的差称为向量场的协变微分又称绝对微分,记为D X,，特别有标架基ei的协变微分为。
为了可以在流形上整体地定义平行移动，自然要求这样定义的无穷小平行移动与标架的选取无关，即应该保证在标架改变时这样所确定的平行移动和协变微分不受影响。
令表示标架的变换,则(i,j=1,2,…,n) (1)就是在标架变换下联络形式的变换规律,这里（）是(A)的逆阵。
如果在黎曼流形(M，g) 的各点关于每个标架给定了n2个一次微分形式 {ω}，它们之间满足变换规律(1)，就称在M上给定了一个仿射联络或称线性联络（见联络论），{ω}为相应的联络形式。
设{ωi}为标架{e i}的对偶基，则，这里。
容易看出在标架变换下，应有。
由此，在标架变换下还成立下述两个关系：因此，如记, (2), (3)那么都分别是一个张量的分量。
这就是说,在标架的变换下，应成立相应的张量分别称为仿射联络的挠率张量和曲率张量。
挠率张量等于零的仿射联络则称为无挠率的联络。
黎曼联络、列维-齐维塔平行移动黎曼联络是黎曼流形上最重要和最常用的一种联络。
构造如下：设{e i}为关于坐标系(x i)的自然标架,即，此时。
令式中称为第二类克里斯托费尔符号,(g ij)为(g ij)的逆阵，则不难验证{ω}决定了一个仿射联络而且满足下列二个性质：①是无挠率的；②相应的无穷小平行移动保持向量的内积。
满足①和②的仿射联络称为黎曼联络，也称列维－齐维塔联络，这种联络是惟一的，在自然标架下它就是如上决定起来的。
黎曼流形上如果无特殊说明都是用黎曼联络。
在自然标架下,向量场的协变微分D X可以表达为，即分量为的张量。
如果为另一个向量场，称向量为X关于Y的协变导数，记为墷X。
容易看出成立下面的性质：应用这个符号，黎曼联络的两个性质可表达为：，这里【X,Y】=XY-YX 是向量X,Y的换位运算。
特别在正规正交标架下，由可以推得联络形式ω关于指标i,j反称，即。
设T表示黎曼流形(M,g)上一条曲线с的切向量,X是с上的向量场,如果墷T X=0,即X关于с的切向量的协变导数为零，就称X沿着曲线с平行或称X是曲线с上的平行向量场。
在局部坐标系(x)下,若，那么, X沿с平行的条件为λi(x) 满足常微分方程组∶，反之,在任意点P(x)给定初始向量,解上述常微分方程组就可得到с上的一个平行向量场，称为向量X0沿с平行移动生成的向量场,这种关于黎曼联络的平行移动也称为列维-齐维塔平行移动。
和乐群从上面所述不难看出一个向量沿着不同的曲线平行移动到同一点所得到的向量一般是不同的，这种差异刻画了黎曼流形的弯曲程度。
设P是(M，g)的任一点，l(P)表示以P为始点和终点的闭曲线的集合,如果с1、с2是l(P)中的元素,则复合曲线с1·с2也是l(P)中的元素。
对X∈T p(M)沿着l(P)中元素C平行移动回到P点就得到X┡∈T p(M)，这样l(P)中的一个元素就对应于T p(M)→T p(M)的一个同构。
这种同构全体构成的群就称为在P点处的和乐群,当M是连通流形时，不同点的和乐群是同构的，和乐群在黎曼几何的研究中有重要的作用。
张量的协变微分由向量的协变微分还可引出张量场的协变微分。
在任意的标架{e i}下，设对偶基为{ωi}，联络形式为{ω}，α阶反变b阶协变的张量场T在(x)点的分量记为，则T的协变微分就是是一个α阶反变b+1阶协变的张量的分量，称为的协变导数。
特别，若是T在自然标架下的分量，那么，结构方程、比安基恒等式关于黎曼联络方程 (2)和(3)成为：(4)方程(4)称为黎曼流形的结构方程。
在自然标架下，从结构方程可以算得曲率张量的分量用基本张量g ij将指标h拉下得到分量为的一个四阶协变张量，也称为曲率张量，它反映出一个向量沿无限小环路平行移动回到原处所受到的变差，体现出空间的弯曲。
不难验证下述关系式：进一步外微分结构方程中的第二式并利用第一式可得下面的第二比安基恒等式：。
曲率张量是黎曼几何中最重要的张量之一。
在n=2的场合,可以看出惟一的独立分量是R1212。
而当M是三维欧氏空间E3中曲面时, 关于诱导度量在正规正交基下的R1212恰好是曲面的高斯曲率K。
高斯-博内公式揭示了曲率张量与流形的欧拉示性数的内在联系，用纤维丛的思想证明了它的高维推广是陈省身的杰出成果之一。
截面曲率、里奇曲率、数量曲率在任一点P处的二个独立切向量决定了P点的一个二维切平面πX,Y)，称p(为πp(X,Y)的截面曲率也称黎曼曲率。