离散数学ch8[2]函数的复合与反函数

离散数学
第二部分 集合论 函数的复合与反函数
2021/4/5
1
8-2 复合函数和逆函数
一.复合函数 二.逆函数
三.单侧逆函数
2021/4/5
2
复合函数:定义
复合函数(合成函数)
设f：XY, g: YZ是两个函数， 则 gºf={<x,z>y(yY∧y=f(x)∧z=g(y))
称为g和f的复合函数，或合成函数
b)当f-1的自变元是Y的子集Y’时，f-1（Y’）表示Y’ 在f-1下的逆像。
2021/4/5
18
逆函数:逆像f-1（Y’）
例 考虑f是否有逆函数:
a
0
b
1
2 c
则f没有逆函数， 但f-1{{0}} ={b,c}, f-1{{1}} ={a}
3
f-1{{3,4}}=
d
4
2021/4/5
19
单侧逆函数
Ⅱ）xX,gºf(x)=g(f(x))=g(y)=x, ∴gºf=Ix。
2021/4/5
22
单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
2021/4/5
集合Y 集合Y
单射f(x)
g(y)
23
单侧逆函数:存在的充要条件
b) f有右逆元当且仅当f是满射。
充分性：设g是f的右逆元， 则fºg=Iy,
∵ Iy是满射，∴由复合函数定理知，f是满射的。 必要性：用构造性证明）定义g如下：
单侧逆函数
设f: X→Y,g:Y→X, 如果gºf=Ix,则称 g是f的左逆元（左逆函数），
f是g的右逆元（右逆函数）。
2021/4/5
20
单侧逆函数:存在的充要条件
左逆函数，右逆函数存在的充要条件
a) f有左逆元当且仅当f是单射。
b) f有右逆元当且仅当f是满射。
2021/4/5
21
单侧逆函数:存在的充要条件
2021/4/5
16
逆函数:性质
性质
a) 若f为双射，则（f-1）-1=f。 证明：∵（f-1）ºf=Ix, fº(f-1)=Iy
∴（f-1）-1=f
b) (gºf) –1= f-1ºg-1
证明： 设f: X→Y,g:Y→Z, 则gºf:X→Z,
∵(gºf)ºf-1ºg-1=gºIyºg-1=gºg-1=Iz
∴~f是单射。
2021/4/5
15
逆函数:定义
逆函数
设f：X→Y, 若有函数g：Y→X, 则称g为f的逆函数， 记为f-1。
且gºf=Ix, fºg=Iy,
注： 因为gºf=Ix,而Ix为双射，由复合函数性质， 知g为满射，f为单射。 因为fºg=Iy，而Iy为双射，由复合函数性质，
知f为满射，g为单射。 ∴若函数f有逆函数，当且仅当f为双射，且f-1也为双射。
3
3
p3={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
2021/4/5
31
置换:定义
置换
例: 设集合X={1,2,3}，Px是所有从X到X的置换函数集合。 写出所有Px中的置换函数。
解: 得到置换函数
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
p4={<1,3>,<2,2>,<3,1>} p5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
f-1ºg-1º(gºf)= f-1ºIyºf= f-1ºf=Ix,
∴(gºf) –1= f-1ºg-1
2021/4/5
17
逆函数:逆像f-1（Y’）
逆像
设函数f: X→Y,且Y’Y, f-1（Y’）={xf(x)Y’} 叫作Y’在f下的逆像。 注： f-1有两种用途： a)当f-1的自变元是Y的元素时，f-1用来表示双射 函数f的逆函数。
3
3
p6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
2021/4/5
32
置换:置换的数目
置换的数目
在 n 个元素的集合中,不同的 n 阶置换的数目为？ 思路: 设集合X={x1,x2,...,xn}
n个元素的每一种全排列，都对应一种n阶置换。 所以，计算n 阶置换的数目计算n个元素全排列数目
n个元素全排列数目: n!
g:Y→X，g(y)=x, x是满足f(x)=y中的任意确定的一个。 ∵f是满射， ∴g 的定义存在，
Ⅰ）yY,存在唯一x,使g(y)=x, ∴g是一个函数。
Ⅱ）yY,fºg(y)=f(x)=y, ∴fºg=Iy。
2021/4/5
24
单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
2021/4/5
集合Y 集合Y
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
2021/4/5
30
置换:定义
置换
例: 设集合X={1,2,3}，Px是所有从X到X的置换函数集合。 写出所有Px中的置换函数。
解: 得到置换函数
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
p1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} p2={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
2021/4/5
13
逆函数:引 理
引理：设f:X→Y是双射，则f的逆关系~f是一双射函数。
证明：设f={<x,y>xX∧yY∧y=f(x)} ~ f={<y,x><x,y>f}
Ⅱ）证明~f是满射。
xX,y有<x,y>f,
即<y,x>
~ f
∴~f是满射。
2021/4/5
14
逆函数:引 理
引理：设f:X→Y是双射，则f的逆关系~f是一双射函数。
复合函数:复合函数性质
定理：
证明a)： f:X→Y,g:Y→Z, ∵gºf是满射，∴ zZ, x,有g(f(x))=z, 又∵f是一个函数， 对此x,y,有y=f(x),
即 zZ,yY,有g(y)=z, ∴g是满射。
b),c)省略。
2021/4/5
11
复合函数:常数函数和恒等函数
定义
若f:X→Y,若f(X)={c}, 则称f是常数函数。
2
2
3
3
p1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
2021/4/5
35
置换:反置换
反置换 就是一个置换函数的反函数
给定集合X={x1,x2,...,xn} 。
X 中任何n阶置换
p
=
x1 p( x1
)
的反置换是
x2 p(x2 )
xn p(xn )
P-1 =
p(x1) p(x2 ) p(xn )
例: 设集合X={1,2,3}，Px是所有从X到X的置换函数集合。 写出所有Px中的置换函数。
解: 先得到置换函数的关系图
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
2021/4/5
29
置换:定义
置换
例: 设集合X={1,2,3}，Px是所有从X到X的置换函数集合。 写出所有Px中的置换函数。
解: 先得到置换函数的关系图
置换:反置换
反置换
例: 找到下列置换的反置换
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
p5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
1
1
3
3
p6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
1
1
2
2
2
2
3
3
2021p/4/55 -1={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
3
3
p6-1={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
38
x1
x2
xn
2021/4/5
36
置换:反置换
反置换
例: 找到下列置换的反置换
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
p2={<1,1>,<2,3>,<3,2>} p3={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
1
1
1
1
3
3
p4={<1,3>,<2,2>,<3,1>}
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
p2-1={<20121,/41/5>,<2,3>,<3,2>} p3-1={<1,2>,<2,1>,<3,3>} p4-1={<1,3>,<2,2>,3<7 3,1>}