1.3复合函数与反函数资料
1.3 反函数与复合函数
这里R是自变量, Q是因变量. 以上两式是同一关系的两种写法, 但从函数的观点来看, 由 于对应法则不同, 它们是不同的函数, 称它们互为反函数.
3
定义1.3.1 设函数 y=f(x)的定义域为 Df, 值域为 Rf, 对于值 域 Rf中的任意数值y , 经 f 返回定义域 Df中有唯一的数值 x与 之相对应. 则该对应关系所确定的新函数称为 y=f(x)的反函 数, 记为 x f 1 ( y ). 习惯用 x 表示自变量, y表示因变量, 因此常把反函数
y f ( x)
P ( a , b)
o
x
5
例如: 指数函数 对数函数
y e x , x ( , )
互为反函数
它们都单调递增, 其图形关于直线 y = x 对称 . 例1
解 求 由 的反函数. 解得
即反函数为
6
二.复合函数
定义1.3.2 设函数 y f (u) 的定义域 Df , 函数 u ( x ) 的定
R D f
否则不能构成复合函数. 例如 y f (u) arcsin u 的定义域为 Df [1,1],
u ( x) x 2 2 的值域 R [2, )数 不能够复合.
8
例4
1, 设 f ( x ) 0, 1,
x 1, x 1, 和 g( x ) e x x 1,
求 f ( g( x )) 和 g( f ( x )) 解
x 将 f ( x ) 直接代入 g( x ) e , 有
g( f ( x )) e f ( x )
e, 1, e 1 ,
x 1, x 1, x 1,
§1.3
初中数学知识归纳函数的复合与反函数
初中数学知识归纳函数的复合与反函数初中数学知识归纳：函数的复合与反函数函数是数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各个数学分支和实际生活中的问题解决过程。
本文将着重介绍初中数学知识范围内的函数的复合与反函数的概念与应用。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，以此产生一个新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，它们的复合函数表示为(g⚬f)(x)，读作"g复合f"。
具体而言，复合函数(g⚬f)(x)定义为首先对x 应用函数f，然后再将结果应用于函数g。
其数学表示形式为：(g⚬f)(x) = g(f(x))。
函数的复合可以用于将多个函数的操作进行组合，简化问题的求解过程。
通过复合函数，我们可以通过先后应用多个函数，将复杂的问题分解为多个简单问题的组合，从而更容易解决。
例如，设有函数f(x) = 2x+1和g(x) = x^2，我们可以求出复合函数(g⚬f)(x)。
首先，对x应用函数f：f(x) = 2x+1。
然后，将结果应用于函数g：g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2。
这样，我们得到了复合函数(g⚬f)(x) = (2x+1)^2。
二、反函数反函数是指对于一个给定函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得对于所有x属于f(x)的定义域，有f(g(x)) = x，并且对于所有x属于g(x)的定义域，有g(f(x)) = x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
反函数实际上是函数的一种特殊性质，它可以将函数的输入和输出进行互换。
函数的反函数通常以f^(-1)(x)的形式表示。
要找到函数f(x)的反函数g(x)，需要满足以下条件：1. 函数f(x)必须是一对一的（即不会出现y值相同的两个x值）；2. 函数f(x)必须是可逆的，即存在函数g(x)与之对应。
反函数的求解过程可以通过交换x和y的位置，并解方程得到。
以求解函数y = 2x+1的反函数为例，将x和y互换位置，得到方程x = 2y+1。
三角函数的复合与反函数知识点总结
三角函数的复合与反函数知识点总结三角函数是数学中重要的概念，而复合与反函数是三角函数中的关键内容。
本文将对三角函数的复合与反函数进行总结和介绍。
一、复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在三角函数中，我们常常进行函数的复合操作。
1.1 正弦函数的复合正弦函数的常用表示是sin(x)，其中x为角度。
当我们需要对正弦函数进行复合时，可以使用以下公式：sin(f(x)) = sin(x)这里f(x)是一个函数，可以是x的多项式、指数函数、对数函数等。
通过将f(x)代入sin(x)中，可以得到复合函数sin(f(x))。
例如，令f(x) = x^2，那么sin(f(x)) = sin(x^2)。
1.2 余弦函数的复合余弦函数的常用表示是cos(x)，其中x为角度。
与正弦函数类似，余弦函数的复合也可以使用类似的公式：cos(f(x)) = cos(x)同样，f(x)可以是任意函数。
例如，令f(x) = 2x，那么cos(f(x)) = cos(2x)。
正切函数的常用表示是tan(x)，其中x为角度。
正切函数的复合操作也可以通过类似的公式进行计算：tan(f(x)) = tan(x)f(x)可以是任意函数。
例如，令f(x) = x + 1，那么tan(f(x)) = tan(x + 1)。
二、反函数反函数是指将一个函数的输入与输出进行交换得到的函数。
在三角函数中，我们需要了解三角函数的反函数及其性质。
2.1 正弦函数的反函数正弦函数的反函数是反正弦函数，通常表示为sin^(-1)(x)，也可以写作arcsin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
反正弦函数与正弦函数的关系可以用以下公式表示：sin(sin^(-1)(x)) = x2.2 余弦函数的反函数余弦函数的反函数是反余弦函数，通常表示为cos^(-1)(x)，也可以写作arccos(x)。
反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
1.3反函数、复合函数、初等函数
2e
当0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( −∞, 0] , 则 x = ey , y ∈( − ∞, 0] 当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex−1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
2
1 −1 o 1 2x
定义域为 ( −∞ , 1]∪( 2, 2e]
解
(1) 当 ϕ ( x ) < 1时, 或 x < 0, ϕ ( x ) = x + 2 < 1
或 x ≥ 0, ϕ ( x ) = x 2 − 1 < 1
x < −1,
0 ≤ x ≤ 2;
解 (1) 当 ϕ ( x ) < 1时, 或 x < 0, ϕ ( x ) = x + 2 < 1 或 x ≥ 0, ϕ ( x ) = x 2 − 1 < 1
由 消去 f (1), 得 x
a f ( 1 ) +b f (x) = cx x
为奇函数 .
x2 , −1≤ x < 0 2. 求 y = ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x−1 2e , 1< x ≤ 2 y
解: 当 −1≤ x < 0 时, y = x ∈(0, 1] , 则 x = − y , y ∈(0, 1]
u = y + y +1, (∵u > 0)
2
即 ex = y + y2 +1, 故得
x = ln( y + y2 +1),
所以，双曲正弦的反函数为
y = ln( x + x2 +1).
反函数与复合函数学习反函数和复合函数的定义和计算方法
反函数与复合函数学习反函数和复合函数的定义和计算方法在数学中，函数是一种很基础且重要的概念。
在函数的学习中，我们常常会接触到两个特殊的概念：反函数和复合函数。
本文将重点介绍反函数和复合函数的定义以及计算方法。
一、反函数1. 反函数的定义给定一个函数y=f(x)，如果对于任意的y值，都能找到唯一的x值使得f(x)=y成立，则称该函数存在反函数。
反函数常用符号表示为f^(-1)(y)，读作"f的反"2. 反函数的计算方法为了计算一个函数的反函数，我们可以遵循以下步骤：步骤一：设y=f(x)，将该方程中的x和y互换位置得到x=f^(-1)(y)。
步骤二：解上述方程，得到f^(-1)(y)。
需要注意的是，有些函数的反函数可以通过解方程直接得到，而有些则需要通过其他方法求得。
3. 反函数的性质反函数具有以下两个重要性质：性质一：原函数和反函数互为镜像关系。
即对于函数y=f(x)和反函数y=f^(-1)(x)，它们的图像关于直线y=x对称。
性质二：对于原函数和反函数，它们的定义域和值域互换。
即原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。
二、复合函数1. 复合函数的定义给定两个函数f(x)和g(x)，将g(x)的输出作为f(x)的输入，得到一个新的函数h(x)=f(g(x))，则称h(x)为f(x)和g(x)的复合函数。
2. 复合函数的计算方法计算复合函数的方法如下：步骤一：将g(x)的定义代入f(x)中，得到h(x)=f(g(x))。
步骤二：根据需要，进行进一步的计算和化简。
3. 复合函数的性质复合函数具有以下两个重要性质：性质一：复合函数是非交换的。
即对于两个函数f(x)和g(x)，一般情况下有f(g(x))≠g(f(x))。
性质二：复合函数的定义域和值域由内层函数和外层函数的定义域和值域共同决定。
三、计算示例以下是一个计算反函数和复合函数的示例：示例一：计算函数y=2x+3的反函数和复合函数。
13复合函数与反函数
其反函数 x f 1 ( y ) log a y, y (0, ). y x 2 , x ( , ) , y [0, ) , 不存在反函数。
若x [0,),反函数 x y , y [0,). 若x (,0],反函数 x y , y [0,).
注3 : 复合函数的概念可推广 到有限个函数的情形 .
例 : y u , u ln v, v 2 x 3 y ln(2 x 3) , x [1,).
高州师范学院
§3. 复合函数和反函数
x 1 例1 : 设f ( x) , 求f ( f ( x)), f ( ), x 1 f ( x) ( x 0, x 1).
(2) y f ( x) 与 x f 1 ( y)互为反函数。
(3) f 1 ( f ( x)) x , x A; f ( f 1 ( y)) y , y f ( A).
高州师范学院
§3. 复合函数和反函数
例： y a (0 a 1) , x R , y (0,).
注1. 函数严格单调仅是存在反函数的充分条件，而不是必 要条件。例： y 2 1 x, 1 x 0, y f ( x) x, 0 x 1. 1
在[1,1]上非单调函数，而在 f ([1,1]) [0,2]上存在反函数
y , 0 y 1, x f ( y) 1 y, 1 y 2.
u x 2 5, x (,), u [5,)
复合函数
y 1 ( x 2 5) x 2 4 , x ( ,2] [2, )
此时,限制u x 2 5, X (,2] [2,),U * [1,).
复合函数与反函数
复合函数与反函数复合函数和反函数是数学中常用的概念，它们在函数的组合和逆运算中起着重要的作用。
本文将介绍复合函数和反函数的定义、性质以及它们的应用。
一、复合函数的定义与性质复合函数是指把一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数记作(f o g)(x)，读作“f合g(x)”或“f在g(x)的基础上”。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，则(f o g)(x) = f(g(x))。
在计算复合函数时，首先对g(x)进行计算，然后将其结果作为f(x)的输入。
例如，若f(x) = 2x，g(x) = x + 1，则(f o g)(x) = f(g(x)) = 2(x + 1) = 2x + 2。
复合函数的性质如下：1. 结合律：对于函数f(x)，g(x)和h(x)，有(f o g) o h = f o (g o h)。
2. 唯一性：对于函数f(x)和g(x)，若(f o g)(x) = x，则g(x)为f(x)的反函数，而f(x)为g(x)的反函数。
二、反函数的定义与性质反函数是指一个函数与其自身的复合函数互为逆函数的关系。
设有函数f(x)，若存在函数g(x)，使得(g o f)(x) = x和(f o g)(x) = x，则g(x)为f(x)的反函数。
具体而言，设有函数f(x)，则其反函数记作f^(-1)(x)。
反函数的定义满足以下条件：1. f^(-1)(f(x)) = x，对于所有在f(x)的定义域上的x成立。
2. f(f^(-1)(x)) = x，对于所有在f^(-1)(x)的定义域上的x成立。
反函数的性质如下：1. 反函数的导数：若f(x)在某一区间上连续且可导，则f^(-1)(x)在相应的区间上也连续且可导，并且(f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))。
2. 反函数的图像：若f(x)的图像关于y = x对称，则f(x)的反函数的图像与f(x)的图像关于y = x对称。
反函数与复合函数的概念与计算
反函数与复合函数的概念与计算函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个集合之间的对应关系。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将详细介绍反函数和复合函数的概念，并讨论它们的计算方法和性质。
一、反函数的概念与计算1.1 反函数的定义在数学中，如果函数f中的每一个元素x都与集合A中唯一确定的一个元素y 相对应，并且函数f的定义域和值域分别为集合A和集合B，那么我们称函数f为从集合A到集合B的一个映射。
如果对于每一个y∈B，存在唯一的x∈A使得f(x)=y，那么我们称函数f具有反函数。
反函数常用符号f^(-1)表示。
1.2 反函数的计算方法对于给定的函数f(x)，我们可以通过以下步骤计算其反函数f^(-1)(x)：步骤一：将f(x)中的x和y互换位置，得到等式y = f(x)。
步骤二：解上述等式，将y表示为x的函数形式，即y = f^(-1)(x)。
需要注意的是，不是所有的函数都具有反函数。
函数具有反函数的必要条件是函数是一一对应的，即每一个x对应唯一的y，且每一个y对应唯一的x。
二、复合函数的概念与计算2.1 复合函数的定义在数学中，复合函数是由两个或多个函数通过一定的运算关系组合而成的新函数。
假设有函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数表示为f(g(x))。
2.2 复合函数的计算方法对于给定的函数f(x)和g(x)，我们可以通过以下步骤计算它们的复合函数f(g(x))：步骤一：将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x))。
步骤二：化简f(g(x))，得到最终的复合函数表达式。
需要注意的是，复合函数的计算顺序是从右往左进行的，即先计算括号内的函数，再计算外层的函数。
三、反函数与复合函数的关系反函数和复合函数有着密切的关系。
对于函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)，有以下性质：性质一：f(f^(-1)(x)) = x，即函数f和它的反函数f^(-1)互为反函数。
性质二：f^(-1)(f(x)) = x，即函数f和它的反函数f^(-1)互为反函数。
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显然 f ( x ) g( x ) h( x ) . 1 g ( x ) [ f ( x ) f ( x )] g ( x ) 是偶函数 ， 2 1 h( x ) [ f ( x ) f ( x )] h( x ) 是奇函数 . 2
四、初等函数
基本初等函数 幂函数 y x ( 是常数) x y a (a是常数, a>0, a 1) 指数函数 对数函数 y loga x(a是常数, a>0, a 1) 三角函数 y= sin x, y= cos x, y= tan x, y= cot x y = arcsin x, y = arccos x, 反三角函数
第三节 复合函数与反函数
一、复合函数 二、反函数 三、函数的运算
四、初等函数
五、小结 思考题
一、复合函数(compound function)
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x2
Rg ，则称
定义:设有函数 f 和 g ，D f
定义在 {x | x Dg , g ( x) D f } 上的函数 f g 为 f 和 g 的
是反函数的值域，原函数值域是反函数定义域， 因此，y arcsin x定义域为 -1,1 , 值域为 , . 2 2 类比求出 y arccos x, y arctan x, y arccot x, 定义域和值域.
例6 由于 yn x n 在 R + 上严格增,因此 yn 的反函
( x)
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
定理1
设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必
有反函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格
增函数 .
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f , 且 f 在其
1
y1 y2 ,
1
x1 f ( y1 y2 及 f 的严格增性, 必有 x1 x2 , 即
f 1 ( y1 ) f 1 ( y2 ), 因此 f 1也是严格增函数.
重要例题 y sin x在 , 严格增，则y sin x 2 2 在 , 具有反函数y arcsin x .根据原函数定义 2 2
二、反函数(inverse function)
设函数 f : D f ( D) 是单射，则它存在逆映 射
f
1
: f ( D ) D , 称此映射f 为函数f的 反函数.
y
1
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y 反函数y f
1
注 函数的严格单调性是它存在反函数的充分条 件，而不是必要条件。例如，函数
x 1, -1 x 0 y ｘ， ０ｘ１
三、函数的运算
设函数 f ( x ) , g( x ) 的定义域分别是D1 、D2 , D D1 D2 ，则我们可以定义这两 个函数
复合函数 其中
( f g )(x) f ( g ( x))
x 自变量, u 中间变量, y 因变量
例1 u g ( x ) 2 x
2
, y f ( u) ln u ,
则 Rg [2, ) D f ,
因此能够形成复合函数
( f g )( x) ln( 2 x )
f ( x ) g( x ) h( x ) f ( x ) g( x ) h( x ) g( x ) h( x )
证明:
1 g ( x ) [ f ( x ) f ( x )] 2 设 h( x ) 1 [ f ( x ) f ( x )] 2
数 zn x 在 R + 上严格增, 故对任意有理数 n r r , y x 在 R + 上亦为严格增. m
1/ n
例2
求函数 y e x 1 的反函数 .
x 2 解: e y 1
x ln( y 2 1) y e x 1 1 ，即原函数的值域为(1 , ) 反函数为 y ln( x 2 1) D f 1 (1 , )
2
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x x 例如 y cot , y u , u cot v , v . 2 2
3. f g g f .
的下列运算： 函数的和（差） f g
例3
设函数 f ( x ) 的定义域为( l , l )，证明必 定存在 ( l , l ) 上的偶函数 g( x ) 及奇函数 h( x ) , 使得 f ( x ) g( x ) h( x ) .
分析 如果这样的 g ( x ) 和 h( x ) 存在 ，于是有
定义域上也是严格减函数.
1
1
证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f ( D) 只有一个
x D, 使 f ( x ) y .
事实上,若 x1 x2 , 使 f ( x1 ) y f ( x2 ), 则与 f
的严格增性质相矛盾 . 再证 f 1必是严格增的 :
y1 , y2 f ( D),