09反函数与复合函数的导数,隐函数的导数
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导数八大题型汇总
导数八大题型汇总
以下是导数的八大题型汇总：
1. 基本函数的导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数。
2. 和、差、积的导数：给定两个或多个函数，求其和、差、积的导数。
3. 商的导数：给定两个函数，求其商的导数。
4. 复合函数的导数：给定一个函数和另一个函数的复合，求复合函数的导数。
5. 反函数的导数：给定一个函数和其反函数，求反函数的导数。
6. 参数方程的导数：给定一个参数方程，求其对应的函数的导数。
7. 隐函数的导数：给定一个隐函数关系式，求导数。
8. 极限的导数：给定一个函数的极限，求其导数。
这些题型涵盖了导数的常见应用场景，掌握这些题型可以更好地理解和运用导数的概念和计算方法。
复合函数导数,隐函数求导
解 两边取对数，有
ln y 1 ln x ln(3x 1) ln(5x 3) ln(2 x) 3
两边同时对 x求导，可得
1 y
y
1 3
1 x
3 3x 1
5 5x
3
2
1
x
即 y13 x(3x1) 1 3 5 1 3 (5x3)(2x) x 3x1 5x3 2x
Beijing Jiaotong Vocational Technical College
二、取对数求导法 有时还会遇到这样一பைடு நூலகம்情形，虽然给定的函数
是显函数，但直接求它的导数很困难或很麻烦，例 如幂指函数 yuv 及一种因子之幂的连乘积的函数， 如 y3 x(3x1) .
(5x3)(2x)
作业 习题2.4A—1（2、4、5）
4（1、3、5）
B取e对iji数ng求J导ia法oto举ng例Vocational Technical College
例 5 求 yxsin x 的导数 (x0).
解 两边取对数，有
ln ysinxln x
两边同时对 x求导，可得
1 y (sin x)ln x sin x(ln x)
y
1 co s x ln x sin x
Beijing Jiaotong Vocational Technical College
§2.4 隐函数的导数
知识点
隐函数的导数
重点
隐函数的求导法
Beijing Jiaotong Vocational Technical College
一、隐函数求导
ln y 1 ln x ln(3x 1) ln(5x 3) ln(2 x) 3
两边同时对 x求导，可得
1 y
y
1 3
1 x
3 3x 1
5 5x
3
2
1
x
即 y13 x(3x1) 1 3 5 1 3 (5x3)(2x) x 3x1 5x3 2x
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二、取对数求导法 有时还会遇到这样一பைடு நூலகம்情形，虽然给定的函数
是显函数，但直接求它的导数很困难或很麻烦，例 如幂指函数 yuv 及一种因子之幂的连乘积的函数， 如 y3 x(3x1) .
(5x3)(2x)
作业 习题2.4A—1（2、4、5）
4（1、3、5）
B取e对iji数ng求J导ia法oto举ng例Vocational Technical College
例 5 求 yxsin x 的导数 (x0).
解 两边取对数，有
ln ysinxln x
两边同时对 x求导，可得
1 y (sin x)ln x sin x(ln x)
y
1 co s x ln x sin x
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§2.4 隐函数的导数
知识点
隐函数的导数
重点
隐函数的求导法
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一、隐函数求导
反函数、复合函数的求导法则
类似地有：(arccos x) = 1 。
1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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10
结束
复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy dx
=
dy du
du dx
，或 y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x 2 ) 3 ]
反函数和复合函数的求导法则
反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。
1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。
如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。
设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。
反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。
若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。
这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。
这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。
那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。
这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。
第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。
通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。
需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。
复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。
09 反函数与复合函数的导数,隐函数的导数
代入上式得:
dy 1.
dx x0
注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x, y,
这是与显函数求导不同的地方.
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例8 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数
y f x的导数 y.
解 方程两边对 x 求导, 并注意到 y是 x 的函数, 利用
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小结
反函数的求导法则
f (x) 1
( y)
复合函数的求导法则
dy dy du dx du dx
隐函数的导数
方程两边分别关于自变量求导
幂指函数 y (x) (x) 的导数
对数求导法
29
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课后练习
P72-73 习题2-3 1-6
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x
dx du dx u
1 sin x tan x.
cos x
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
y x3 3x y x2 5x3 27,
方程两端求导, 得到:
3y2 dy 3y2 6xy dy 15x2 0,
dx
dx
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整理后得:
dy 1.
dx x0
注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x, y,
这是与显函数求导不同的地方.
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例8 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数
y f x的导数 y.
解 方程两边对 x 求导, 并注意到 y是 x 的函数, 利用
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小结
反函数的求导法则
f (x) 1
( y)
复合函数的求导法则
dy dy du dx du dx
隐函数的导数
方程两边分别关于自变量求导
幂指函数 y (x) (x) 的导数
对数求导法
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课后练习
P72-73 习题2-3 1-6
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x
dx du dx u
1 sin x tan x.
cos x
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
y x3 3x y x2 5x3 27,
方程两端求导, 得到:
3y2 dy 3y2 6xy dy 15x2 0,
dx
dx
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整理后得:
第三节 反函数复合函数及隐函数的求导法则
2
y 1 [ 1 1 1 ( 1 )]
2 1 x arccosx
1 ( 1 1
1
1 x2
)
2 x 1
1 x2 arccosx
则 y(0) 1 .
例10 设 y f (arctanx2 ) ,求 y.
解 设u arctanv,v x2 ,
则 y f (u).
所以 dy dy du dv
dx du dv dx
例1
设y (1 2x)30 , 求dy .
dx
解 设 y u30 ,u 1 2x ,则
y (u30 )u (1 2x)x 30u29 2
60u29 60(1 2x)29
例2 求 y cos nx 的导数. 解 设 y cos u,u nx, 则
y (cosu)u (nx)x
所以
y
u
v
(v ln
u
vu ). u
y
u(x)
或 y uv evlnu , 则
y (evlnu ) evlnu (v ln u)
u v (vln u vu). u
例1 设 y (ln x)x ,求 y.
解 (1)两边取对数,有ln y x ln ln x.
两边对 x 求导,有 1 y ln ln x 1 .
1 sec2
又sec2 y 1 tan2 y 1 x2 , 所以(arctan x)
同理可得:
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
. y
1
1 x2
.
❖ 二. 复合函数的求导
复合函数求导法则:
设y f (u),u (x),即 y 是 x 的一个复合函
反函数和复合函数的求导法例
ln
1 1
x x
)
1
1 x
1 x2
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).
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lim y lim 1 1 .
x0 x y0 x ( y)
y
3
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由此说明了函数 y f (x) 在 x 处可导, 且有
f (x) 1 .
( y)
简单地说, 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
4
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例1 求反正弦函数 y arcsin x 的导数.
arc
cot
x
1
1 x2
.
7
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例3 求对数函数 y loga xa 0,a 1 的导数.
解 y loga x0 x 是x ay y 的反
函数, 且直接函数在定义域内单调、可导, 且
ay ay ln a 0,
注意到, a y x, 从而有
log a
的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
14
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例4 求函数 y ln cos x 的导数.
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x tan x.
解 y arcsin x1 x 1 是 x sin y 的反函数.
而
x
sin
y 在区间
Iy
2
,
2
内单调、可导,
并且
sin y cos y 0,
所以. y arcsin x在区间 1,1内点点可导, 且有
y arcsin x 1 ,
cos y
注意到在区间
Iy
2
, 2
lim y x0 x
lim
x0
y u
u x
f
(u0 ) x0 .
复合函数的求导公式常常表示为
dy dy du . dx du dx
（3）
公式（3）称为复合函数的求导法则
13
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此公式可以作进一步的推广: 若
y f (u),u (v),v (x),
均为可导函数, 则相应的复合函数 y f x
x
.
2 x2 x2 1
16
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cos2 1
例6 求函数 y 2 x 的导数.
解
y
cos2
2
1 x
cos2
1 x
ln
2
sin
2
1 x
1 x2
cos2
2
1 x
ln
2.
17
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三、隐函数的导数
隐函数的概念
所谓函数 y f (x) 表示的是两个变量 x 和 y 之间的
内，cos
y
1 x2 , 从而有
arcsin x 1 .
1 x2
5
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例2 求反正切函数 y arctan x的导数.
解 函数 y arctan x x 是 x tan y在
Iy
2
,
2
区间内的反函数，在区间内单调、可导,
且
有
tan y sec2 y 0,
所以 y arctan x在 (, )内每一点可导, 且有:
y
arctan
x
1
tan y
1 sec2
y
.
6
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注意到：sec2 y 1 tan2 y 1 x2, 从而有
arctan
x
1 1 x2
.
同理可得其它几个反三角函数的导数公式:
arccos x 1 ,
1 x2
x
1 x ln
a
,
特别地, 当 a e时, 有 ln x 1 .
x
8
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二、复合函数的导数
在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数. 例
如函数 y sin 2x, 这是一个极为简单的函数, 但我们
要求它的导数就没那么简单. 事实上, 由导数的乘积公 式, 得
sin 2x 2sin x cos x 2cos x cos x sin xsin x 2cos 2x.
关系. 这种对应关系在某种情况下, 可以用一个较为明
确的关系式来表示. 例如 y xn , y sin x都反映了
这种对应关系. 这类关系的特点是: 对自变量 x的每一 个取值, 都可以通过表达式确定一个惟一的因变量 y 的
的取值. 用这种方式表达的函数称为显函数.
9
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பைடு நூலகம்
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对一个如此简单的函数, 求其导数都那么困难, 这就 提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的 法则来简化某些复杂函数的导数计算.
10
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复合函数求导法则 如果函数 u (x) 在点x0可导, 而函数y f (u) 在 u0 (x0 )处可导, 则复合函数
当u 0时, 有
y y u , x u x
（2）
由函数 u (x)的可导性, 得函数在 x0 是连续的, 因
此当 x 0 时, 有 u 0,由此得
y lim x0 u
y lim u0 u
f (u0 ),
又
lim
x 0
u x
(x0 ),
12
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由此得到:
dy dx
x x0
dx du dx u
15
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
解 因 y arcsin x2 1 可视为
y arcsin u,u v,v x2 1
复合而成, 由复合函数求导公式（2.6）得:
dy dy du dv 1 1 2x dx du dv dx 1 u2 2 v
内单调,
连续:
若设
x
(
y)
在区间
I
内可导,
y
且
( y) 0, 今来讨论 y f x的可导性.
给x以增量xx 0, x x I ,由y f (x) 的
单调性, 知
2
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y f (x x) f (x) 0,
变形得到
y x
1 x
,
y
又由函数的连续性, 当 x 0 时必有 y 0,从而有
第二章
第二节
一元函数微分学
反函数与复合函数的导数 隐函数的导数
主要内容： 一、反函数的求导法则 二、复合函数的求导法则
三、隐函数的导数
1
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一、反函数的导数
设函数x ( y)在区间 I y 内单调、连续, 则其反函
数 y f (x)在对应的区间I x x y y I y
y f (x) 在 x0 处可导, 并且有关系
dy dx
x x0
f (u0 ) x0 .
（1）
证 设自变量 x在x0 处有增量 x, 则函数 u (x)
有增量 u (x0 x) x0 , 相应地, 函数
y f (x)有增量
11
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y f u0 u f u0 ,