复合函数的求导法
1.4.1 复合函数的求导法则
u v x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导 逐层求导. 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
湘潭大学数学与计算科学学院
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4
例1 设 解
求
1 x x = − e x tan(e x ). ⋅( − sin(e )) ⋅ e = x cos(e )
思考: 思考: 若
3
由多元复合函数的求导法则,得 多元复合函数的求导法则,
dz ∂z dx ∂z dy = ⋅ + ⋅ dt ∂x dt ∂y dt
=e
x−2 y
⋅ cos t + e
x−2 y
⋅ ( −2) ⋅ 3t
2
=e =e
sin t − 2 t 3 sin t − 2 t 3
⋅ cos t + e
sin t − 2 t 3 2
d z ∂z d u ∂z d v . = + d t ∂u d t ∂v d t
证 设 t 获得增量 ∆t，则
∆u = φ ( t + ∆t ) − φ ( t ), ∆v = ψ ( t + ∆t ) − ψ ( t );
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由于函数 z = f ( u , v ) 在点( u , v ) 有连续偏导数
∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + o( ρ ), ∂u ∂v
ρ = ( ∆u)2 + ( ∆v )2，
当 ∆u → 0 ， ∆v → 0 时， ρ → 0.
∆ z ∂ z ∆ u ∂ z ∆ v o( ρ ) . = ⋅ + ⋅ + ∆t ∂u ∆ t ∂v ∆t ∆t
复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。
§8.4复合函数求导法
et,
则
dz z du z dv z dt u dt v dt t ve t u sin t cos t e t cos t e t sin t cos t
u
z v t
e t (cos t sin t ) cos t . 例3: 设z=f(u, v), u=u(x, y), v=v(x, y), x=x(s, t), z z y=y(s, t)均满足复合函数求偏导数的条件, 计算 , . s t (两重复合问题) 解: 复合函数的变量关系图
例4: 设 w=f( x+y+z, xyz )具有二阶连续偏导数, 求 w 2 w , . x xz 解: 令 u= x+y+z, v= xyz, 记 2 f ( u , v ) f ( u, v ) f1 , f12 , 同理有 f 2, f11 , f 22 . u uv w f u f v 则 f1 y z f 2; u x v x x 2w f1 f 2 ( f1 y z f 2) y f 2 y z ; x z z z z f1 f1 u f1 v 而 f11 x y f12 ; z u z v z f 2 f 2 u f 2 v f 21 x y f 22 ; z u z u, x, y), u=(x, y), 即z=f[(x, y), x, y],
u
y
u y
令 v = x, w = y. 则 v w v w 0, 1. z 1, 0, x x y y
x
y
z z u z z z u z . , y u y w x u x v f z f z , . 则 由于 v=x, w=y. 记 x v y w 两 z f u f z f u f 者 , . 的 x u x x y u y y 区 别
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
求复合函数导数的方法
求复合函数导数的方法
1. 哇塞，要想求复合函数导数，首先得弄清楚它到底是个啥呀！就像搭积木，得知道每个小块是什么样的。
比如对于函数 y=(x^2+1)^2，这就是
个复合函数嘛，好比一个大盒子里装着小盒子。
2. 嘿，那怎么求呢？可以从外往里呀！一步一步慢慢来，别着急。
就像剥洋葱，一层一层地来。
比如求刚才那个函数的导数，先对外面的平方求导，再对里面的式子求导。
3. 哎呀呀，还有很重要的一点哦！要记住那些导数公式，这可不能忘啊！就像战士上战场不能忘带武器一样。
比如求导公式 sin x 的导数是 cos x 啊。
4. 哇哦，然后要仔细呀，可不能粗心大意的！要不然就全错啦！这就好比走钢丝，得小心翼翼的。
像计算 y=e^(x^2) 这样的复合函数导数，就得
格外仔细呢。
5. 嘿呀，还有哦，多练习才能掌握得更好呀！这就跟学骑自行车一样，多骑骑就熟练了。
多找几个复合函数来求导试试呗。
6. 咦，还有就是要理解透彻呀！不能一知半解的哟！这就像了解一个人，得深入了解才行。
对于复杂一点的复合函数，一定要好好理解再去求导。
7. 哈哈，总之呀，求复合函数导数就是要细心、耐心、多练习、多理解！你记住了吗？可别不当回事呀！。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
复合函数求一点导数的方法
复合函数求一点导数的方法
复合函数的导数计算方法：
复合函数求导数的方法步骤是
一、把复合函数分解成两个或者两个以上的初等函数；
二、然后分别求初等函数的导数；
三、把初等函数的导数乘起来；
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)。
记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
求导法则
导数的加(减)法则是[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；
乘法法则是[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；
除法法则是[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
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f (u)( x).
证毕
6
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x， 由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y
,
3
回忆 y sin2x y cos2x
(sin2x) 2cos2x
原因：y sin2x 是由 y sinu, u 2x 复合而成.
dy (sinu) cos u, du (2x) 2,
推广 yx yu uv vw wx
2.求导法则
(u v) u v (Cu) Cu
(uv) uv uv
yx yu ux
3.求导公式汇总
( u) v
uv uv v2
(v 0)
yx
1 xy
21
(C ) 0
(arccos x) 1
( x ) x（1 R）
1 x2
(sin x) cos x (cos x) sin x
u (x)可导，则复合函数 y f ( x)在点 x可导，
且其导数为 dy f (u)( x)
dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量
求导,乘以中间变量对自变量求导. (链式法则)
即 dy dy du dx du dx
或 yx yu ux
5
证 给x一个改变量x,则相应的有u, y
( x ) x1（ R） (e x ) e x
(sin x) cos x
(cos x) sin x (tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
x
(log a
x)
1 x ln a
( x) 1
(
1 x
)
1 x2
（ x） 1 2x
x2 a2
18
例18 求 y f (sin3 x) 的导数( 其中 f ( x) 可导)
解 它可分解为 y f (u), u v3 ,v sinx.
y dy du dv f (u)(v3 ) (sin x) du dv dx
f (u) 3v2 cos x f (sin3 x) 3sin2 x cos x
n1(sin xn ) (sin xn ) cos xn xn
n3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
f [ n (sin xn )] n1(sin xn ) (sin xn ).
20
小结
1.链式法则
dy dx
f (u)( x)， yx
yu
ux
解
y lntan x,
可看作由
dx
y
ln
u，u
tan
x
复合而成，
因而 dy dy du 1 sec2 x cot x sec2 x 1
dx du dx u
sin x cos x
例3 已知 y ln tan x , 求 dy .
解
y
ln tan
x
由
y
2 dx ln u，u
tan v, v
y ( x2 ) 2 x2 x 1
x2
x2 x2 x
故 （ln x） 1 x
15
例13 已知 y 1 , 求 y x x2 1
解 变形：有理化 y x x2 1
y 1 2x 1 x
2 x2 1
x2 1
例14 已知 y x x x , 求 y
解
变形 y
x
x
x
7
x 8， 故
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(sec x) secx tan x
(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arc
(e x
cot
)
x)
ex
1
1 x
2
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
2
现在看：
函数 y f (x) 对x可导，y dy dx
lim y , x0 x
yx
函数 y f (u) 对u可导，y dy lim y , du u0 u
yu
函数 y f (t) 对t可导，y dy dt
lim
t 0
y t
,
y t
于是
函数 u
f
(t)
对t可导，ut
du dt
ex2 (2x)cos2 x ex2 2cos x(sin x) 2ex2 cos x(x cos x sin x).
该题先用乘积，再用锁链法则.
例11已知 f ( x) (e x log 5 x)arcsin 2x, 求 y
解f ( x) (e x log 5 x)arcsin 2x (e x log 5 x)(arcsin 2x)
du
dx
dy dx
(sin2x)
2 cos 2 x
(2 x)
cos
u
(2x)(sinu) (sinu)(2x)
dy du . du dx
即:是否有
dy dy du dx du dx
成立？
4
三、 复合函数的求导法则
定理：如果 u ( x)在点 x 可导，而 y f (u) 在点
复合而成，
dy dy du eu (cos x ln x sin x )
dx du dx
x
xsin x (cos x ln x sin x ). x
注意：对幂指函数需要变形后才能进行求导，
否则无法求出.
9
例5 证明：( x ) x 1 ( R).
证 y x e ln x由 y eu，u ln x 复合而成，
由 y f (u) 在点 u 可导， lim y f (u)
u0 u
故 y f (u) ( lim 0)u Nhomakorabeau0
则 y f (u)u u
dy f (u)( x)
dx
lim y lim[ f (u) u u]
x0 x x0
x x
f (u) lim u lim lim u
x0 x x0 x0 x
1 ) x
sin 1
e x
cos
1 ( 1 )
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
例17 求y ln（x x2 a2）的导数
解 y
1
( x x2 a2 )
x x2 a2
1
[(x) ( x2 a2 )]
x x2 a2
1
x x2 a2
1
x x2 a2 x2 a2
nf n1[ n (sin xn )] f [ n (sin xn )]
n n1(sin xn ) (sin xn )
n2 f n1[ n (sin x n )] f [ n (sin xn )]
n1(sin xn ) (sin xn ) sin xn
n2 f n1[ n (sin xn )] f [ n (sin xn )]
解 dy (lnsin x) 1dx(sin x) cos x cot x.
dx
sin x
sin x
例8 已知
y arcsin
1 x2 , 求
dy . dx
解 dy arcsin
1 x2
1
( 1 x2 )
dx
1 (1 x2 )
x
1 , 1 x2
0 x 1,
x 1 x2
５.求导法则：（注意使用条件）
f
(
x)
1 ( y)
(u v) u v;(uv) uv uv;(Cu) Cu;
( u ) v
uv uv ， v2
( 1 ) v
v v2
(v 0)
1
5.求导公式：
(sec x) secx tan x
(C ) 0
(csc x) csc x cot x
x
(loga x)
1 x ln a