复合函数求导

(5)(e )x
(7)(sinx ) = cosx
(8)(cosx) = −sinx
1 (6)(lnx) = x '
'
根据导数的概念， 根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给 函 y = f（ ） 定 数 x
∆y f（x + ∆x） f（x） − 计算 = ∆x ∆x
x u x
复合函数求导的基本步骤是： 复合函数求导的基本步骤是：
(1)分解 分解 (2)求导 求导 (3)相乘 相乘 (4)回代 回代
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的
(1 ) y = ( 2 x − 3 ) ; ( 2 ) y = ln( 5 x + 1 )
3
1 (3) y = ; ( 4 ) y = cos( 1 − 2 x ) 3x −1
从而有
y ' x = y 'u ⋅u ' x
问题探究： 问题探究： 考察函数
y = sin2x
的导数 。
一方面 : y = sin 2 x = 2 sin x ⋅ cos x
y ′ = (sin 2 x)′ x
；
= ( 2 sin x ⋅ cos x )′ = 2 (sin x )′ ⋅ cos x + 2 sin x ⋅ (cos x )′ = 2 cos x − 2 sin x = 2 cos 2 x
∆x →0
∆y → A(x) ∆x
f ′(x) = A(x)
法则1 两个函数的和 或差） 法则1: 两个函数的和（或差）的 导数， 导数，等于这两个函数的导数的和 或差）， ），即 （或差），即：
[ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x).
法则2: 法则2:
[Cf ( x )]′ = C f ′( x ).( C 为常数 )
两边同时对x求导得 两边同时对 求导得: f ′( x + T )( x + T )′ = f ′( x), 即 f′(x+T) =f′(x). 求导得 ∴f′(x) 也是以 为周期的周期函数 也是以T为周期的周期函数.
可导,求下列函数的导数 例5:设f(x)可导 求下列函数的导数 设 可导 求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 + x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
法则3 两个函数的积的导数 积的导数， 法则 3: 两个函数的 积的导数 ， 等于 第一个函数的导数 乘 以第二个函数
加上第一个函数乘以第二个函数
的导数
[ f ( x) g ( x)]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x).
法则4 两个函数的商的导数 商的导数， 法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积， 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方, 与分子的积，再除以分母的平方,即：
y = f [ϕ ( x)]
称为中间变量． ，其中u称为中间变量． 其中 称为中间变量
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ 仅限于形如 （ax+b）的复合函数 ）
问题探究： 问题探究： 求函数 y = (3 x − 2) 的导数 。
2
方法一： 方法一：
y′ =[(3x−2) ]′ =(9x −12x+4)′ =18x−12 x
2 2
y = sin2x 看作是函数 y = sinu 和函数 u = 2x
另一方面： 另一方面： 将函数
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下： 复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
′ yu = (sinu)′ = cosu u′ = (2 x)′ = 2 x ′ x 两个导数相乘， 两个导数相乘，得 yu ⋅ u′ = (cosu) × 2
f ( x) f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) [ ]′ = 2 g ( x) g ( x)
其 g(x) ≠ 0 中
求下列函数的导数: 求下列函数的导数
1 2 (1) y = − 2 ; x x x (2) y = ; 2 1− x (3) y = tan x ; (4) y = (2 x 2 − 3) 1 + x 2 ;
数学运用
求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
(1 ) y = ( 2 x − 3 ) ; ( 2 ) y = ln( 5 x + 1 )
3
1 (3) y = ; ( 4 ) y = cos( 1 − 2 x ) 3x −1
例写出由下列函数复合而成的函数,并 写出由下列函数复合而成的函数, 求它们的导数。 求它们的导数。 2 y = cos u ⑴ u = 1+ x
(1) y′ = f ′( x 2 ) ⋅ ( x 2 )′ = 2 xf ′( x 2 ); 解:
(2) y′ = f ′( 1+ x2 ) ⋅ 2x 2 1+ x2 = x 1+ x2 f ′( 1+ x2 );
(3) y′ = [ f (sin2 x) + f (cos2 x)]′ = f ′(sin2 x)(sin2 x)′ + f ′(cos2 x)(cos2 x)′ = f ′(sin2 x) ⋅ 2 sin x cos x + f ′(cos2 x) ⋅ 2 cos x(− sin x) = sin2 x[ f ′(sin2 x) − f ′(cos2 x)].
说明:对于抽象函数的求导 一方面要从其形式是把握其 说明 对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 对于抽象函数的求导 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则 另一方面要充分运用复合关系的求导法则. 结构特征 另一方面要充分运用复合关系的求导法则
求证双曲线C 与椭圆C 求证双曲线 1:x2-y2=5与椭圆 2:4x2+9y2=72在交 与椭圆 在交 点处的切线互相垂直. 点处的切线互相垂直 由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称 故只需证明其中一 由于曲线的图形关于坐标轴对称 个交点处的切线互相垂直即可. 个交点处的切线互相垂直即可 联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 不妨 联立两曲线方程解得第一象限的交点为 证明过P点的两条切线互相垂直 点的两条切线互相垂直. 证明过 点的两条切线互相垂直 x 2-y2=5得 y = x2 −5, y′ = , 由于点P在第一象限 故由x 在第一象限,故由 由于点 在第一象限 故由 得 2 x −5 3 ∴k1 = y′ |x=3 = ; 4 2 − 4x 2 ′= ; 同理由4x 同理由 2+9y2=72得 y = 8 − 9 x , y 得 4
；
⑵
．
y = ln u
，
u = ln x
，
解：⑴ ⑵
y = ln(ln x) −1 y′ = ( x ln x)
y = cos(1 + x ) 2 y′ = −2 x sin(1 + x )
2
• 1、求下列函数的导数： 、求下列函数的导数：
(1) y = (2 x + 3) ; (2) y = (1 − 3x) ; 1 2x (3) y = e ; (4) y = ln x
知识回顾：基本求导公式: 知识回顾：基本求导公式:
(1)(kx+ b)′ = k, 特殊的：C′ = 0(C为常数)
(2)(x ) = αx
α '
x ' x
'
α −1
(α为常数）
(3)(a ) = a lna(a > 0,且a ≠1)
1 (a > 0,且a ≠ 1) (4)(log a x) = xlna
1 4 答案: 答案 (1) y′ = − 2 + 3 ; x x
1 + x2 (2) y′ = ; 2 2 (1 − x )
(4) y′ = 6x3 + x 1+ x
2
1 ′= ( 3) y ; 2 cos x
;
简单复合函数 的导数
复合函数: 复合函数 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数． 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数． 由函数 y = f (u ) 与 u = ϕ(x) 复合而成 的函数一般形式是
x (2) y = 1− x
5
1 x x ) ⋅( )′ 解: y ′ = ( 5 1− x 1− x 4 4 6 − − − 1 x 5 1 1 5 = ( ) ⋅ = x (1 − x ) 5 5 1− x (1 − x ) 2 5
−
4 5
“可导的偶函数的导函数为奇函数 可导的奇函数 可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数 可导的偶函数的导函数为奇函数 的导函数为偶函数” 现在利用复合函数的 现在利用复合函数的导数加以证 的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数加以证 明: :当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对 两边同时对x 证当 为可导的偶函数时 则 两边同时对
2 3
2、求曲线y=sin2x在点 、求曲线 在点P(π，0）处的 在点 ， ） 切线方程。 切线方程。
小结 ： • 复合函数的求导， ⑴复合函数的求导，要注意分析复 合函数的结构，引入中间变量， 合函数的结构，引入中间变量，将复 合函数分解成为较简单的函数， 合函数分解成为较简单的函数，然后 再用复合函数的求导法则求导； 再用复合函数的求导法则求导； • 复合函数求导的基本步骤是： ⑵复合函数求导的基本步骤是： • 分解 分解——求导 求导——相乘 相乘——回代 求导 相乘 回代
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.