浙江省宁波市九校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
宁波市2019学年第二学期九校联考高二数学试题选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1A x x =>，{}23B x x =-<，则A B =（ ）A. {}15-<<x x B. {}15x x <<C. {}1x x >-D. {}1x x >【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，可求出集合B ，进而与集合A 取交集即可.【详解】由题意，2332315x x x -<⇔-<-<⇔-<<， 则{}{}2315B x x x x =-<=-<<， 所以{}{}{}11515x x x x x x AB >-<=<<<=.故选：B.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题. 2.函数()24xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B 【解析】 【分析】由题易得(1)(2)0f f ⋅<,结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】由题意知,0(0)20430f =+-=-<,1(1)21410f =+-=-<,2(2)22420f =+-=>,3(3)23470f =+-=>,4(4)244160f =+-=>,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以(1,2)是函数()f x 的零点所在的一个区间. 故选:B【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题. 3.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A. y x = B. ()ln y x =-C. x y xe =D. 4y x x=+【答案】D 【解析】 【分析】分别判断选项的奇偶性和极值即可得到答案.【详解】对选项A ，y x =为增函数，不存在极值，故A 错误.对选项B ，()ln y x =-，定义域为0x <，为非奇非偶函数，故B 错误. 对选项C ，()xf x xe =，()()xf x xef x --=-≠-，所以xy xe =不是奇函数，故C 错误. 对选项D ，4()f x x x=+，定义域为0x ≠， ()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数， ()()()2222441x x f x x x x x+-'=+=-=，0x ≠. 所以当()f x 在(),2-∞-，()2,+∞为增函数，在()2,0-，()0,2为减函数， 故当2x =±为函数4y x x=+取得极值. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的极值，同时考查函数的奇偶性，属于简单题. 4.从一副不含大小王的52张扑克牌（即,2,3,,10,,,A J Q K 不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A 的概率是（ ）A. 248255C CB. 248255A AC. 32485245C C C D. 32485245A A A 【答案】C 【解析】 【分析】设X 为抽出的5张牌中含A 的张数，可知X 服从超几何分布，其中52,5,4N n M ===，进而求出()3p X =即可.【详解】设X 为抽出的5张牌中含A 的张数，可知X 服从超几何分布，其中52,5,4N n M ===，则()324854523C C p X C ==. 故选：C.【点睛】本题考查求超几何分布的概率，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5.函数()21cos 2=+f x x x 的导函数f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求导得()sin f x x x '=-，进而对f x 求导，判断其单调性，即可选出答案.【详解】函数()21cos 2=+f x x x ，则()sin f x x x '=-， 令()()sin g x f x x x '==-，则()1cos g x x '=-， 当()0,x ∈+∞时，()1cos 0g x x '=-≥，即f x 在0,上单调递增，只有选项C 符合题意. 故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查函数单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.6.若函数()y f x =，()y g x =的定义域均为R ，且都不恒为零，则（ ） A. 若()()y f g x =为偶函数，则()y g x =为偶函数 B. 若()()y f g x =为周期函数，则()y g x =为周期函数C. 若()y f x =，()y g x =均为单调递减函数，则()()y f x g x =⋅为单调递减函数D. 若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()y f g x =为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】对选项A ，B ，设()cos f x x =，()2g x x =，代入选项即可判断是错误的，对选项C ，设()f x x =-，()2g x x =-，代入选项即可判断C 是错误的，对选项D ，利用奇函数的定义判断即可得到D 选项正确.【详解】对选项A ，设()cos f x x =，()2g x x =，则()()()2cos2y f g x f x x ===为偶函数，而()2g x x =不是偶函数，故A 错误. 对选项B ，设()cos f x x =，()2g x x =，则()()()2cos2y f g x f x x ===为周期函数，而()2g x x =不是周期函数，故B 错误. 对选项C ，设()f x x =-，()2g x x =-，则()()22y f x g x x =⋅=-，在(),0-∞为增函数，()0,∞+为减函数，故C 错误.对选项D ，因为()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()()()()()f g x f g x f g x -=-=-，即()()y f g x =为奇函数，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性，属于中档题.7.()*2n n <+∈N ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当1n =12<+，不等式成立；②假设当n k =()*N n ∈2k <+，则当1n k =+时，=()12k <==++.故当1n k =+时，不等式成立 则上述证法（ ） A. 过程全部正确B. 1n =的验证不正确C. n k =的归纳假设不正确D. 从n k =到1n k =+的推理不正确【答案】D 【解析】 【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论. 【详解】在1n k =+时，没有应用n k =时的假设，即从n k =到1n k =+的推理不正确.故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题. 8.已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则()23D ξ-=（ ） A.25B.45C.85D.165【答案】C 【解析】 【分析】设()1P p ξ==，可得()1215P p ξ==--，结合()1E ξ=，可求出p ，进而可求出方差()D ξ，再结合()()234D D ξξ-=，可求出答案.【详解】由题意，设()1P p ξ==，则()142155P p p ξ==--=-， 又()142155E p p ξ⎛⎫=0⨯+1⨯+-= ⎪⎝⎭，解得35p =，所以()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213121011125555D ξ=-+-+-=， 所以()()82345D D ξξ-==. 故选：C.【点睛】本题考查随机变量的期望与方差，注意方差的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 9.已知字母x ，y ，z 各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如xxyzyz ），则不同的排法共有（ ）种 A. 36 B. 30C. 24D. 16【答案】A 【解析】分析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况：,,xx yy zz ，利用位置分析法，可得出当相邻的字母为xx 时，共有12种排法，进而可知不同的排法共有有123⨯种.【详解】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况：,,xx yy zz . 当相邻的这组字母为xx 时，将6个位置编成1-6号，若xx 在1号和2号，则3号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法； 若xx 在2号和3号，则1号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法；若xx 在3号和4号，则1号和2号字母不相同，5号和6号字母不相同，有224⨯=种排法； 若xx 在4号和5号，则2号和6号字母相同，1号和3号字母相同，有2种排法； 若xx 在5号和6号，则1号和3号字母相同，2号和4号字母相同，有2种排法， 即相邻的字母为xx 时，共有2242212++++=种排法.同理，相邻的字母为,yy zz 时，也都有12种排法，故共有12336⨯=种排法. 故选：A.【点睛】本题考查排列组合，注意利用位置分析法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.10.设3a =，b =3log 29c =，则下列正确的是（ ） A. b c a <<B. c b a <<C. b a c <<D. a b c <<【答案】B 【解析】 【分析】易知,,a b c 都大于0，可证明()66661a b ⎝⎭=>，从而可知a b >；证明()3,x ∈+∞时，33x x >，再结合3>，可得3>3log 29>，即b c >.【详解】易知,,a b c 都大于0， 先来比较,a b ，()666662642929132727a b ⨯⎛⎫⎝⎭==⨯=> ⎪⨯⎝⎭， 即66a b >，所以a b >. 再来比较,b c ，因为33329270b -=->，333293log 293log log 2710c -=-=>=， 所以3,3b c >>.构造函数()33x f x x =-，()3,x ∈+∞，求导得()33ln 313x f x '=-，显然导函数fx 在()3,+∞上单调递增，则()()3ln310f x f ''>=->，所以()f x 在()3,+∞上单调递增，则()()3330f x f >=-=， 即当()3,x ∈+∞时，33xx >恒成立， 故当()3,x ∈+∞时，33x x >恒成立.3>，代入得3>，取对数得333l og log >3log 29>，即b c >.所以c b a <<.故选：B.【点睛】本题考查几个数的大小比较，利用构造函数的方法是解决本题的关键，考查学生的推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知93a =，lg b a =，则a =_________，b =__________.【答案】 (1). 12(2). 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化求解即可.【详解】解：将93a =化成对数形式得：293311log 3log 3log 322a ====； 故1lg2b a ==化成指数形式得：1210b ==故答案为：12【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，是基础题.12.二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数之和为_________；该展开式中的常数项为______________.（用数字作答）【答案】 (1). 1 (2). 60 【解析】 【分析】令1x =，可求得各项系数之和；求出二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项()62162k k k k k T C x x --+=-，令602kk --=，可求出k ，进而可求出该展开式中的常数项. 【详解】令1x =，可得各项系数之和为62111⎛⎫-= ⎪⎝⎭，二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项为()66216622kkkk kk k k T C C x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令602k k --=，解得2k =，即二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()226260C -=. 故答案为：1；60.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中合理利用赋值法，以及熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.已知函数()1,0cos ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则()()2019f f π=______________；若关于x 的方程()0f x t +=在(),0-∞内有唯一实根，则实数t 的取值范围是_____________.【答案】 (1). 2 (2). 3(,]22ππ【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出()2019f π，再代入对应解析式求出()()2019ff π，作出函数()f x 的图象，求出()f x 与x 轴的从左向右的前两个交点，根据()f x t +与()f x 的平移关系数形结合可求得t 的取值范围. 【详解】()2019cos(2019)cos 1f πππ===-，()()()20191112f f f π∴=-=+=.作出函数()f x 的图象如图所示：已知函数()f x 的图象与x 轴的交点从左向右第一个交点为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，第二个交点为3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x t +与()f x 为平移关系，因为关于x 的方程()0f x t +=在(),0-∞内有唯一实根，所以数形结合知3(,]22t ππ∈.故答案为：2；3(,]22ππ.【点睛】本题考查分段函数的图象与性质、方程的根与函数的零点、函数图象的平移规则，属于中档题. 14.已知函数()()2lg 618f x ax x =++.若()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______________；若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】 (1). 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2). 1[0,]2【解析】 【分析】若()f x 的定义域为R 则26180ax x ++>恒成立，分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式组求解；若()f x 的值域为R ，则2618y ax x =++可取遍所有正数，分类讨论利用一次函数、二次函数的图象与性质列出不等式组求解.【详解】因为()f x 的定义域为R ，所以26180ax x ++>恒成立， ①若0a =，则6180x +>，解得3x >-，不满足题意； ②若0a ≠，则01367202a a a >⎧⇒>⎨∆=-<⎩.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.若()f x 的值域为R ，则2618y ax x =++可取遍所有正数，①若0a =，618y x =+可取遍所有正数，满足题意；②若0a ≠，则010367202a a a >⎧⇒<≤⎨∆=-≥⎩.综上所述，a 的取值范围是1[0,]2.故答案为：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；1[0,]2【点睛】本题考查对数函数的定义域与值域、二次不等式恒成立问题、二次函数的图象与性质，属于中档题.15.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()10D X =，则p =______________. 【答案】23【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式得出关于n 和p 的方程组，即可解出p 的值.【详解】由二项分布的期望和方差公式得()()()30110E X np D X np p ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得2453n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：23. 【点睛】本题考查根据二项分布的期望和方差求参数，考查公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 16.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案.(用数字作答) 【答案】21 【解析】 【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．【详解】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C 项目，乙只能参见A 项目，B 项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C 项目，A ，B 项目，有236A =种方法， 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A 项目，B ，C 项目，有236A =种方法， 若甲不参加，乙不参加，有336A =种方法，根据分类计数原理，共有366621+++=种． 故答案为21.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题． 17.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32xxf x f x xe '-=，()339f e =，则关于x 的方程()>f x e 的解集为_____________.【答案】()1,+∞【解析】 【分析】由所给等式变形可得()2[]x f x e x '=，则()2x f x e c x =+，令3x =可求得c 从而求出()f x 的解析式，利用导数研究函数()f x 的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】因为()()32x xf x f x x e '-=，所以()()242xx f x xf x e x'-=，即()2[]x f x e x '=， 所以()2x f x e c x =+，因为()339f e =，所以33e e c =+，解得0c，则()2x f x e x=，()()20xf x x e x =>，当0x >时，()()22220x x x f x x e x e e x x '=⋅+⋅=+>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()1f e =，所以()()1f x e f >=的解集为()1,+∞. 故答案为: ()1,+∞【点睛】本题考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于中档题.三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.是否存在正实数a ，b ，使得等式()2333122an b n n +⋅⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦对任意*N n ∈恒成立？若存在，求正实数a ，b 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，1,1a b ==，证明见解析 【解析】 【分析】分别令1,2n n ==，可得出关于,a b 的方程组，进而可求出,a b ，然后用数学归纳法证明即可.【详解】假设存在满足题意的正实数a ，b ，则()()232331422122a b a b ⎧+⎪⎪⎨+==⎡⎤⎪+⎢⎥⎪⎣⎦⎩，即223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==.即()223331124n n n ++++=对任意*N n ∈恒成立，证明如下： 当1n =时，左边1=，右边21214⨯==，即左边=右边，所以结论成立；假设当n k =()*1,k k ≥∈N 时，结论成立，即()223331124k k k ++++=， 当1n k =+时，()()()3332233111124k k k k k +++++=+++()22114k k k ⎛⎫++ ⎪⎝=⎭+()224414k k k ⎛⎫+++⎪⎝⎭=()()22241k k +=+，所以当1n k =+时，结论也成立. 故对任意*N n ∈，()223331124n n n ++++=恒成立. 所以，存在正实数1,1a b ==，使得等式()2333122an b n n +⋅⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦对任意*N n ∈恒成立.【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.19.一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X .（1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望. 【答案】（1）分布列见解析；（2）195【解析】 【分析】（1）随机变量X 的可能取值为2,3,4,5,6，分别求出每种情况所对应的概率，进而可得出X 的分布列； （2）结合X 的分布列，及数学期望的公式，求解即可. 【详解】（1）由题意，随机变量X 的可能取值为2,3,4,5,6.()33921010100P X ==⨯=， ()3530332101010010P X ==⨯⨯==， ()3255374210101010100P X ==⨯⨯+⨯=， ()522015*********P X ==⨯⨯==， ()22416101010025P X ==⨯==. 则随机变量X 的分布列为：（2）由（1）可知，随机变量X 的数学期望()9337111923456100101005255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 20.已知函数()2f x x x a =+-()R a ∈（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求函数()f x 的最小值()g a .【答案】（1）当0a =时，函数()f x 是偶函数；当0a ≠时，()f x 是非奇非偶函数；（2）()211,4211,2211,42a a g x a a a a ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，分别讨论()f x 的奇偶性，即可得出答案； （2）分情况讨论()f x 的表达式，并分段求出函数的最小值，进而可求出()g a . 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ， ①当0a =时，()2f x x x =+，因为()()2f x x x f x -=+=，所以0a =时，()f x 为偶函数；②当0a ≠时，()2f x x x a =+-，若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-恒成立，即22x x a x x a +-=++，化简得0ax =恒成立，即0a =，与0a ≠矛盾，故()f x 不是偶函数； 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，且()00=f ， 则()00f a =-=，解得0a =，与0a ≠矛盾，故()f x 不是奇函数. 综上，当0a =时，函数()f x 是偶函数，当0a ≠时，()f x 是非奇非偶函数.（2）由题意，()22,,x x a x a f x x x a x a⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，且()2f a a =，()f x 是连续的函数，若12a <-，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，即()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 此时()f x 的最小值()11112424g a f a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭； 若1122a -≤≤，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在[),a +∞上单调递增，此时()f x 的最小值()()2g a f a a ==；若12a >，则()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和[),a +∞上单调递增，即()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时()f x 的最小值()11112424g a f a a ⎛⎫==-+=-+⎪⎝⎭.综上，()211,4211,2211,42a a g x a a a a ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性及最值，注意利用分类讨论的数学思想，属于中档题. 21.已知函数()()2e e xf x m x mx =+--.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当0m <时，证明：()f x 在0,1内存在唯一零点. 【答案】（1）()e 110x y -+-=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当0m =时，()e e xf x x =-，可求出()0f ，进而利用导数可求出()0f '，即可得到切线的切点及斜率，进而可求出切线方程；（2）()e 2e xf x mx m '=-+-，令()()e 2e xg x f x mx m '==-+-,求出()'g x ，判断()g x 的单调性，根据零点存在定理可得：存在0(0,1)x ∈，使得()()000g x f x '==，进而判断()f x 在(0,1)的单调性，即可证明结论.【详解】（1）当0m =时，()e e xf x x =-，()00e 01f =-=，求导得，()e e xf x '=-，则()00e e 1e f '=-=-，所以切线的斜率为1e -，切点为0,1，故切线方程为()()e 011x y -=--，即()e 110x y -+-=. （2）证明：()e 2e xf x mx m '=-+-，令()()e 2e x g x f x mx m '==-+-，则()e 2xg x m '=-. 当0m <时，则()0g x '>，()()g x f x '∴=在(0,1)上单调递增.又(0)(0)1e 0g f m '==+-<，(1)(1)0g f m '==->，∴存在0(0,1)x ∈使得()()000g x f x '==．即当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数； 当()0,1x x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数． 又0(0)e 1f ==，(1)e e 0f m m =+--=，∴()0(1)0f x f <=，∴在()00,x 上()f x 存在一个零点，在()0,1x 上()f x 没有零点．()f x ∴在区间(0,1)上存在唯一零点．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点，考查学生的计算求解能力，属于难题. 22.已知函数()4ln 8x f x =，()43210g x x mx nx mx =++++，,R m n ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意()10,x ∈+∞，总存在2R x ∈，使得()()12f x g x =，求22m n +的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为()8,+∞，递减区间为()0,8；（2）45【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导，分别令0fx ，0f x，解不等式，即可求出()f x 的单调区间；（2）由（1）知，()f x 的值域为[)9,+∞，对任意()10,x ∈+∞，总存在2R x ∈，使得()()12f x g x =，可知()g x 的值域包含[)9,+∞，可推出方程()9g x =有实数解，令1t x x=+，可将方程转化为220t mt n ++-=，将方程看作点(),P m n 所在的直线220mt n t ++-=，则原点O 到点(),P m n 的距离O P =≥，进而可求出最小值即可.【详解】（1）由题意，()f x 的定义域为0,，()134f x x '=-=， 令()130f x'=>30>，解得8x >；令()130f x'=<30<，解得08x <<，所以()f x 的单调递增区间为()8,+∞，递减区间为()0,8. （2）由（1）知，()f x 的最小值为()8334ln19f =⨯-=， 当0x →时，3→，4ln+8x-→∞，所以()f x 的值域为[)9,+∞. 若对任意()10,x ∈+∞，总存在2R x ∈，使得()()12f x g x =，所以()g x 的值域包含[)9,+∞， 当x →+∞时，()g x →+∞，所以()min 9g x ≤，则方程()9g x =有实数解. 令432109x mx nx mx ++++=，显然0不是该方程的解， 则方程可化为2210m x mx n x x ++++=， 令1t x x=+，则(][),22,t ∈-∞-+∞，且22212t x x=++， 则方程可化为220t mt n ++-=， 将方程看作点(),Pm n 所在的直线220mt n t ++-=， 则原点O 到点(),Pm n的距离O P =≥，因为(][),22,t ∈-∞-+∞，所以24t ≥，s =，则s ≥233s s s s -≥==-，因为函数1y x x=-在0,上是增函数，所以3s s -≥=，故2222345s s m n ⎛⎫≥-≥= ⎪⎝⎭+.所以22m n +的最小值为45. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查方程存在解问题，考查转化思想在解题中的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】在频率等高条形图中，a a b +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论． 【详解】在频率等高条形图中，a ab +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系， 四个选项中，即等高的条形图中x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强， 故选D ． 【点睛】本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 2．球的体积是323π，则此球的表面积是（ ） A ．12π B ．16π C ．163πD ．643π【答案】B 【解析】 【分析】先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】设球的半径为R ，则由已知得343233R ππ=，解得2R =，故球的表面积2416S R ππ==表. 故选：B 【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v 在CD uuu v方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为3252AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 4．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β； ②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理． 命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件． 命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．1235π B ．1243π C ．1534π D ．1615π 【答案】D由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为99161cos 2339B +-==⨯⨯，则2145sin 1()99B =-=，底面三角形的外接圆的半径45252r ==⨯，则三棱锥的外接球的半径228116142020R d r =+=+=，其表面积1611614205S ππ=⨯=，应选答案D 。
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10 , 1)，(11.3 , 2)，(11.8 , 3)，(12.5 , 4)，(13 , 5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10 , 5)，(11.3 , 4)，(11.8 , 3)，(12.5 , 2)，(13 , 1)．1r 表示变量Y X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．120r r << B ．210r r <<C ．210r r <<D ．21r r =【答案】C 【解析】 【分析】求出1r ，2r ，进行比较即可得到结果 【详解】Q 变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10111.3211.8312.54135，，，，，，，，，()1011.311.812.513511.72X∴=++++÷=& ()1234553Y=++++÷=& 即17.20.375519.172r ==变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10511.3411.8312.52131，，，，，，，，，1234535U++++==& ∴这一组数据的相关系数20.3755r =-则第一组数据的相关系数大于0，第二组数据的相关系数小于0 则210r r << 故选C 【点睛】本题主要考查的是变量的相关性，属于基础题． 2．函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案． 【详解】22cos sin cos 2sin2442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴函数的最小正周期为：22ππ= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题． 3．函数2ln y x =的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵20x ≠， ∴0x ≠，∴函数2ln y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ， 又()()f x f x -=，∴函数2ln y x =为偶函数，且图象关于y 轴对称，可排除C 、D ．又∵当1x >时，2ln 0y x =>，可排除A ． 综上，故选B ．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．4．已知复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，m R ∈，则21(1)z =+（）A ．2i -B ．2i C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数定义，可求得m 的值；代入后可得复数z ，再根据复数的除法运算即可求得21(1)z +的值.【详解】复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，则2010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =，所以z i =-， 则221111(1)(1)22i z i i ===+--，故选：B. 【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题. 5．设0a >，当0x >时，不等式2213(1)ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是 A ．(0,1)(1,)⋃+∞ B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A 【解析】∵当0x >时，不等式()22131ln 222x a x a x a a +-->-恒成立∴当0x >时，不等式()22131ln 2022x a x a x a a +---+>恒成立令2213()(1)ln 2(0)22f x x a x a x a a x =+---+>，则2(1)()(1)()(1)a x a x a x a x f x x a x x x+---+=+--==' ∵0a >∴当0x a <<时，()0f x '<，即()f x 在(0,)a 上为减函数 当x a >时，()0f x '>，即()f x 在(,)a +∞上为增函数∴222min 13()()(1)ln 2ln 022f x f a a a a a a a a a a a a ==+---+=-->，即1ln 0a a --> 令()1ln (0)g a a a a =-->，则11()1a g a a a-'=-=∴当01a <<时，()0g a '<，即()g a 在(0,1)上为减函数 当1a >时，()0g a '>，即()g a 在(1,)+∞上为增函数 ∴()(1)0g a g ≥= ∵()0g a > ∴01a <<或1a > 故选A点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min 0f x g x ⎡⎤->⎣⎦.6．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．9B ．5C ．11D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线z x y =+，观察直线z x y =+在x 轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。
宁波市2019-2020学年高二第二学期期末数学综合测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2B ．1+s ，2C ．1，2+sD ．1+s ，2+s2．函数()3224f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）A ．()311-，B ．()311， C ．[]2，7D ．[]311， 3．若曲线3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．1-4．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.255．复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．若12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为A ．132B ．164C ．1-64D ．11288．已知||1a =，||2b =，||3a b +=，则下列说法正确是（ ）A ．2a b ⋅=-B ．()()a b a b +⊥-C ．a →与b →的夹角为3π D ．||7a b -=9．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232nf n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项10．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ） A ．349B ．198C ．197D ．35011． 设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20ix 4D ．20ix 412．用反证法证明命题“已知函数()f x 在[,]a b 上单调，则()f x 在[,]a b 上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ）A ．()f x 在[,]a b 上没有零点B ．()f x 在[,]a b 上至少有一个零点C ．()f x 在[,]a b 上恰好有两个零点D ．()f x 在[,]a b 上至少有两个零点二、填空题：本题共4小题13．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.14．已知集合(){}2|(1)20,A x x x a a a =++--∈R 若0A ∈，则a 的取值范围是________.15．由曲线cos y x =，,x y 坐标轴及直线2x π=围成的图形的面积等于______。
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
【答案】D
【解析】
五人选四人有 种选择方法，分类讨论：
若所选四人为甲乙丙丁，有 种；
若所选四人为甲乙丙戊，有 种；
若所选四人为甲乙丁戊，有 种；
若所选四人为甲丙丁戊，有 种；
若所选四人为乙丙丁戊，有 种；
由加法原理：不同组队方式有 种.
5．已知顶点在 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为 ，该双曲线的焦点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
f′(x)＝ ，则f′(1)＝1，
故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
故选C
7．某个命题与正整数 有关，如果当 时命题成立，那么可推得当 时命题也成立. 现已知当 时该命题不成立，那么可推得（）
A．当 时该命题不成立B．当 时该命题成立
A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法
【答案】D
【解析】
试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.
考点：抽样方法.
4．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、Байду номын сангаас、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ）
2019-2020学年宁波市数学高二第二学期期末综合测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则a b -的最小值为（ ）A BCD 2．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ） A ．《数学史选讲》B ．《球面上的几何》C ．《对称与群》D ．《矩阵与变换》3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（ ） A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行4．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2B ．－2C ．2D ．45．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 6．已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在1x =处的切线的倾斜角为（） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 7．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x 等于（） A ．21B ．22C ．23D ．248．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -=B ．10x y --=C ．20x y e --=D ．(1)0e x ey e +--=9．二项式61(2)x x-展开式中的常数项为（ ） A ．960- B ．160- C ．160D ．96010．下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.2 0.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 11．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限12．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．6(13)x +展开式中含有2x 的系数为________15．在数列{}n a 中，1,52,(5nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩（是奇数）是偶数），2122n n S a a a =+++，则2lim →∞=n n S ________. 16．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 18．已知函数关系式：()sin()f x A t ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求A ，ω，ϕ的值； （2）设函数()()4g x f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间． 19．（6分）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点.（1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =11E A D C --的正弦值. 20．（6分）实数m 取什么数值时，复数221(2)z m m m i =-+--分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？21．（6分）已知函数()()ln 1xf x e a x =-+，其中e 为自然对数的底数.（1）若1a =，求()f x 的最小值； （2）若0a e ≤≤，证明：()0f x >.22．（8分）已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-. （1）m 为何值时，z 是纯虚数？ （2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C 【解析】试题分析：由题意得，(1,1,)a b t t t -=----，所以(1a b -=--=，当0t =时，a b -，故选C. 考点：向量的运算及模的概念. 2．D 【解析】 【分析】列举出所有选择可能，然后根据三个信息，确定正确的选项. 【详解】4个同学，选4门课，各选一门且不重复的方法共24种，如下：满足三个信息都正确的，是第2种.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查分析与推理，考查列举法，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】由平面中的线类比空间中的面即可得解。
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浙江省宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ）A ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,55⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】 依题意可得，0＜k ＜1，结合函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x (]2561k =∈-，，即可得35＜k 23≤. 【详解】解：依题意可得，0＜k ＜1，函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象如下，由0＜k ＜1，可得x A ＞1，∴关于x 的不等式k|x|﹣|x ﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5， 由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x B (]2561k =∈-，，故35＜k 23≤；故选：C【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．2．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．2a >B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >【分析】对a 的范围分类讨论，当2a <时，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，即可判断：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增，即可判断：一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，问题得解.【详解】当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减， 则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.当2a ≥时，12a ≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增， 又21111a a -+⨯=⨯-，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立.故选：B【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。
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宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）2．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．103．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．224．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．20,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,2⎡⎤⎢⎥⎣ 5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A ．5种B ．4种C ．9种D ．20种7．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2 B ．－2C ．2D ．48．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．19．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ） A ．0. 36B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 7510．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(ln f x x =，则不等式()()10f x f x -+>的解集是（ ）A ．{2}x x >B ．{1}x x <C ．1{}2x x >D ．{0}x x >【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数()f x 为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为()()1f x f x ->-，再利用单调性求解即可．【详解】由题意得，函数()f x 的定义域为R ．∵()(x x x x f x ln x -+---=-==(()ln x f x ==-+=-，∴函数()f x 为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数()f x 在定义域上单调递增． 由()()10f x f x -+>得()()()1f x f x f x ->-=-，∴1x x ->-，解得12x >， ∴不等式的解集为1{}2x x >．故选C ． 【点睛】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性． 2．设有两条直线a ，b 和两个平面α、β，则下列命题中错误的是( ) A ．若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b α B ．若//a b ，且a α⊥，b β⊥，则//αβC ．若//αβ，且a α⊥，b β⊥，则//a bD ．若a b ⊥，且//a α，则b α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】对A ，直接进行直观想象可得命题正确；对B ，由线面垂直的性质可判断；对C ，由线面垂直的性质定理可判断；对D ，b α⊥也有可能b α⊆. 【详解】对A ，若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b α，可借助长方体直接进行观察命题成立，故A 正确； 对B ，若//a b ，且a α⊥，可得b α⊥，又b β⊥，则由线面垂直的性质可知//αβ，故B 正确； 对C ，若//αβ，且a α⊥，可得a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质定理可知//a b ，故C 正确； 对D ，若a b ⊥，且//a α，则b α⊥也有可能b α⊆，故D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键． 3．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】在点极径不变，在极角的基础上加上，可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标。
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二下期末质量检测试题含解析
2019-2020学年浙江省宁波市数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，甲：2124p x x =；乙：212y y p =-；丙：234OA OB p ⋅=-u u u v u u u v ；丁：112FA FB p+=. 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若12i -是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个虚数根，则（ ） A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =3．若非零向量a v ，b v满足||a b v v|=|，向量2a b +vv 与b v 垂直，则a v 与b v的夹角为（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°4．为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量2K 的观测值 6.080k =，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过( ) 附表：A ．0.001B ．0.005C ．0.010D ．0.0255．已知1a ，2a ，{}32,4,6a ∈，记()123,,N a a a 为1a ，2a ，3a 中不同数字的个数，如：()2,2,21N =，()2,4,22N =，()2,4,63N =，则所有的()123,,a a a 的排列所得的()123,,N a a a 的平均值为（ ）A ．199B ．3C ．299D ．46．已知()()2sin 1f x x f x π+'=，则()1f =( )A ．12B ．πC ．2π D ．以上都不正确7．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ）A ．64种B ．46种C ．46A 种D ．46C 种8．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．9．已知i 为虚数单位，则复数1z ii=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．随机变量X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且12c ab =， X2 46Pabc则()2P X ==（ ）A ．47B ．45C ．14D ．22111．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝12．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种. 14．函数31log x y -=的定义域为____________.15．若实数，则的最小值是 .16．已知0sin a xdx π=⎰，则5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中1x -项的系数为______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.18．学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人. （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？ （2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X .①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（6分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，1AA AB =，90ABC ∠=o ．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）若2AB =，160A AB ∠=o，且1A C 与平面11BB C C 所成的角为30o ，求二面角11B A C C --的平面角的余弦值．20．（6分）在2018年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100].如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（1）请写出第一、二、三、五组的人数，并在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q 大学本次面试中有B ，C ，D 三位考官，规定获得至少两位考官的认可即为面试成功，且各考官面试结果相互独立.已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12，13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望.21．（6分）2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),[65,75)L ，得到如下直方图：（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；（2）若在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率. 22．（8分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，，成等比数列.（I ）求及；（Ⅱ）设， 求数列的前项和.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2220y pmy pt --=，由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-.对于甲条件，()()22222122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±， 甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2pt =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ， 乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ⋅=+=-=-uu r uu u r ，即223204t pt p -+=，解得2p t =或32pt =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222p p p pFA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222222pm t ppm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⋅++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得224p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有1个，故选B. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题. 2．D 【解析】 【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出． 【详解】解：∵1是关于x 的实系数方程x 2+bx+c ＝0的一个复数根， ∴1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c ＝0的一个复数根，∴()()1111bc ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝1．故选：D ． 【点睛】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题． 3．B 【解析】∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ，∴2||2b a b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒．故选B ． 4．D 【解析】 【分析】把相关指数2K 的观测值k 与临界值比较，可得判断30岁以上的人患胃病与生活无规律有关的可靠性程度及犯错误的概率． 【详解】∵相关指数2K 的观测值 6.080 5.024k =>， ∴在犯错误的概率不超过0.025的情况下，判断30岁以上的人患胃病与生活无规律有关． 故选：D ． 【点睛】本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握在独立性检验中，观测值与临界值大小比较的含义是解题的关键． 5．A 【解析】 【分析】由题意得()123,,a a a 所有的的排列数为3327=，再分别讨论()123,,123N a a a ，，=时的可能情况则均值可求 【详解】由题意可知，()123,,a a a 所有的的排列数为3327=，当()123,,1N a a a =时，有3种情形，即()2,2,2，()4,4,4，()6,6,6；当()123,,2N a a a =时，有21132318C C C ⋅⋅=种；当()123,,3N a a a =时，有336A =种，那么所有27个()123,,a a a 的排列所得的()123,,N a a a 的平均值为132183619279⨯+⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查排列组合知识的应用，考查分类讨论思想，考查推理论证能力和应用意识，是中档题 6．B 【解析】 由题意可得：()()()()()'cos 2'1,'1cos 2'1,'1,f x x f x f f f πππππ=+∴=+=据此有：()()2sin ,1sin f x x x f πππππ=+=+=. 本题选择B 选项.7．B 【解析】 【分析】每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案． 【详解】因为每名同学都有6种选择，相互不影响， 所以有466666⨯⨯⨯=种选法． 故选：B. 【点睛】本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D. 【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B. 【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 9．A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果. 详解：：由于复数，1iz i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-，在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭， ∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．A 【解析】 【分析】根据a,b,c 成等差数列，a+b+c=1，12c ab =可解得a,b,c ，进而求出()2P X =. 【详解】由2121b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，得4713221a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.则()427P X ==，故选A. 【点睛】本题考查根据随机变量X 的分布列求概率，分析题目条件易求出． 11．D 【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 12．C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．48 【解析】 【分析】先选人后分配，选人分有甲丙和没有甲丙2种情况，然后选出的3人全排列，两步的结果相乘可得解. 【详解】根据题意，可以分两步完成选派：①先从6名教师中选出3名老师，需分2种情况进行讨论.1.甲和丙同去，有14C 4=种不同选法；2.甲和丙同不去，有344C =种不同选法，所以不同的选法有448+=种.②将选出的3名老师全排列，对应3项不同的工作，有336A =种情况.根据分步计数原理得不同的选派方案共有4868=⨯种.【点睛】本题主要考查排列组合的综合题，先选人后分配是解决本题的关键. 14．(0,1)(1,3]⋃ 【解析】分析：令3101log 0x x -≠-≥，即可求出定义域 详解：令101x x -≠≠，，31log 0x -≥，3log 1x ≤，解得03x <≤综上所述，函数31log x y -=的定义域为()(]0113⋃，， 点睛：在求定义域时找出题目中的限制条件，有分母的令分母不等于零，有根号的令根号里面大于或者等于零，对数有自身的限制条件，然后列出不等式求出定义域。
宁波市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
宁波市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=有两个不同交点的充要条件是（ ）A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m < 【答案】A【解析】【分析】由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【详解】圆()2212x y -+=，圆心10（，）到直线0x y m -+=，<31m ∴-<<，故选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．2．设i 是虚数单位，则复数21i z i =-的虚部等于（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】D【解析】分析：对所给的复数分子、分母同乘以1i +，利用21i =-进行化简，整理出实部和虚部即可． 详解：∵22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====---+ ∴复数21i z i=-的虚部为1 故选D. 点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．3．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ）A ．118B ．19C ．16D ．13【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()P B A = ()()P AB P A 可计算出结果。
【详解】事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612P AB ==⨯， 由古典概型的概率公式可得()3162P A ==， 由条件概率公式得()()()112126P AB P B A P A ==⨯=，故选：C. 【点睛】 本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。