宁波九校联考高一数学试题
2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06， C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可. 【详解】解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题. 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．33⎛ ⎝⎭-1， C ．(3-， D ．13⎡-⎣，【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可. 【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增， 且tan3,tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则所求的函数的值域是(3-，. 故选：C. 【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且3a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,3122a ⎫=⎪⎪⎝⎭r Q ，， 1a ∴=r,3||||cos 3cos 2a b a b θθ∴⋅=⨯=⇒=r r r r, [0,]θπ∈Q , 6πθ∴=.故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()h x 图象关于()30π，对称 D ．函数()h x 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误； 对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈，∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 72<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立； ②cos y x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=x x y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立；④4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】解：方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数， 画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-，∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点， 所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 311x f x x x+=+-,则()0f =____________函数定义域是____________.【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域. 【详解】解：由()()1lg 311x f x x x +=++-，得(0)lg121f ==；由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u ur u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=； ∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5. 【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可.【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈， 得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题. 14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a ba b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log x f x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1 [)13，【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果. 【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f =当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，. 故答案分别为：1；[)13，.【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题.15．已知函数()()29af x m x =-为幂函数,且其图象过点(33，,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(33，，求出a 的值；由此得出函数()g x 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间. 【详解】解：函数函数()()29af x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(33，， 所以33a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b+r r 即可求解. 【详解】解：设a b +r r 与c r 的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥r r . 故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题.17．函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________. 【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n . 【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， ()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++， 即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+， 由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+，即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. (1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 6611⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围. 【详解】(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=,所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =； (2)因为a c +r r 与a c -r r垂直, ()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，, 即6611m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合()(){}()31121A x y x x B a a ==+-=-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()R A B =∅I ð,求a 的取值范围; (2)若A C C =I ,求m 的取值范围. 【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()R A B =∅I ð得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围. 【详解】 (1)因为()(){}[]3131A x y x x ==+-=-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()R A B =∅I ð得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤；(2)因为A C C =I ,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，,C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-. ②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+. (1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围. 【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围. 【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<,所以()()lg 2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,11224x x x x+-≤-⋅=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<. 【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)312⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解. 【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫- ⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值3,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以3212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即312m ⎛∈- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132xxf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k =时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<.【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域； （2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值； （3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】(1)0k =时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>.所以()()33log 32log 2xf x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212g t k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k =或17k =-, 由k 0<,所以17k =-. (3)因为01k <<时,设()31xt t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++. 此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数. 所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，, 即方程()3log 291321xxk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根, 即()1291323xxx k k k -⋅--++=,设()31xt t =>.所以()22123k t k t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k <<,所以()()()228202142220k k k k kk k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k <<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<. 【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
浙江省宁波市九校2024届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
故选：A.
3、B 【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使
f
x
ln 1 x
1 x
有意义，则
1 1
x x
0 0
x x
1
，所以函数
1
f
x 的定义域是
x, 1 1,1 .
故选：B 4、D
【解析】将 v0
11m
/
s，
g
10m
/
s2 代入 h
v0t
1 2
gt 2
，得出时间
t，再求间隔时间即可.
2
点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数
由 f x +f x 0 恒成立求解，（2）偶函数由 f x f x 0 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由
f 0 0 求解，偶函数一般由 f 1 f 1 0 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
用时间为1s ．且最高点与最低点间的距离为10cm
（1）求小球相对平衡位置 高度 h （单位： cm ）和时间 t （单位： s ）之间的函数关系；
（2）小球在 t0s 内经过最高点的次数恰为 50 次，求 t0 的取值范围
19．已知函数 f x ax 2x 1（ a 0 ，且 a 1）. （1）求 f 0 的值，并证明 f x 不是奇函数；
f
x 在 R 上是增函数，若 a f
log2
1 5
，
b
f
log2 4.1， c
f
20.8
，则 a ， b ， c 的大小
关系为___________.
14．在区间[1, 2] 上随机取一个实数 x ，则事件"1 2x 2"发生的概率为_________.
2019-2020学年浙江省宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝165．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．29．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．参考答案一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．解：∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2），N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，∴M∩N＝[1，2）故选：A．2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．解：直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为＝，故选：C．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可选出答案．解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则D不成立．故选：D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．解：sin2θ＝﹣，则tanθ+＝+＝＝＝＝﹣．故选：D．6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a6与b5的值，进一步求得，则答案可求．解：在等差数列{a n}中，由a2+a6+a10＝2π，得3a6＝2π，即；在等比数列{b n}中，由b2b5b8＝8，得，即b5＝2．∴．∴＝sin．故选：C．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【分析】由题意利用两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式，结合sin A≠0，sin C≠0，可得cos B＝0，结合范围B∈（0，π），可求B为直角，即可判断三角形的形状．解：∵sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，∴sin A sin（B﹣C）＝sin2A，∵A为三角形内角，sin A≠0，∴sin（B﹣C）＝sin A，∴sin B cos C﹣cos B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，∴2cos B sin C＝0，∵C为三角形内角，sin C≠0，∴可得cos B＝0，∵B∈（0，π），∴B＝，△ABC是直角三角形．故选：C．8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．2【分析】根据题意，求出两圆的公共弦的方程，分析可得2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，结合基本不等式的性质可得（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，变形即可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0，则两圆的公共弦的方程为2x+y＝1，又由两圆的公共弦过点（a，b），则有2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，又由4a2+b2≥2＝4ab，则有（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，即有4a2+b2≥，当且仅当2a＝b时等号成立，即4a2+b2的最小值为；故选：B．9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】作出函数y＝f（x）的图象，则函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，考查直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时以及直线y＝kx+1过点（4，0）时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围．解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．【分析】作出函数f（x）的图象，由|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1可得出a≤f（x）≤a+1，即函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数a的取值范围．解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为1．【分析】由题意利用两条直线平行的条件，求得a的值．解：直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，显然a≠4，＝≠，解得a＝1，故答案为：1．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．解：cosα＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，则α∈（0，），则sinα＝，tanα＝，∵cosβ＝﹣，∴sinβ＝，则tanβ＝﹣，则tan（α+β）＝＝＝＝，故答案为：，13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝2n，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2①，当n＝1时，解得a1＝2．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，①﹣②得a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得a n＝2a n﹣1，所以（常数），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．（2）由于，所以b n＝log2a n＝，故，故＝1﹣．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是y＝±x+2．【分析】由题意画出图形，可知所求直线的斜率存在，设出直线方程，再由圆心到直线的距离等于列式求得k，则答案可求．解：如图，圆C：x2+y2＝32的半径为，所求直线过点（0，2），当直线l的斜率不存在时，圆上一点Q到直线l的距离的最大值为4，不合题意；则直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．要使圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则O到l的距离为．∴，解得k＝±1．∴直线l的方程是y＝±x+2．故答案为：y＝±x+2．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x+y＝1，所以x+1+y+2＝4，则＝（）[（x+1）+（y+2）]＝[5++]＝+[+]≥+×2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，故答案为：．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是[2，]．【分析】由AB及AB边上的高CD，联想到三角形的面积公式，然后结合余弦定理构造出＝sin C+cos C的函数，转化为函数的值域问题．解：由已知A，B，C所对的边分别是a，b，c，设CD＝h．因为AB边上的高为CD，且2CD＝AB，所以2h＝c．所以．所以，即c2＝2ab sin C＝a2+b2﹣2ab cos C，两边同除以ab得：，当且仅当时取等号，又，当且仅当a＝b时取等号．所以．故答案为：[2，]．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）设等差数列{a n}的公差d≠0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．所以，整理得，解得，所以a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+1，（2）由（1）得数列{c n}满足＝2n+1+22n+1，所以＝2n+3+n2+2n﹣8．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数的周期和单调区间即可；（2）结合条件，利用余弦定理求出cos B的取值范围，进而得到B的取值范围，即可求解f（B）的取值范围．解：＝sin x﹣（cos x+1）+＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），（1）根据f（x）的解析式可得T＝＝2π，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得x∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即f（x）的单调递增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）因为，即c2+a2﹣b2≥c，则由余弦定理cos B＝，因为B∈（0，π），所以≤cos B＜1，则0＜B≤，所以﹣＜B﹣≤﹣，则sin（B﹣）∈（﹣，﹣]，即f（B）的值域为：（﹣，﹣]．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）在[1，2]递减，在[2，6]递增，求得f（x）的值域，可得|f（x）|的最大值，由题意知只需|f（x0）|max≥a成立，然后求出a的范围；（2）由题意可得m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，只需求得1+﹣在x∈（﹣∞，0]上的最小值，结合指数函数的单调性，可得所求最小值，进而得到所求范围．解：（1）函数在[1，2]递减，可得f（x）∈[﹣2，﹣1]，在[2，6]递增，可得f（x）∈[﹣2，]，则|f（x）|在[1，6]的最大值为2，由题意可得|f（x0）|max≥a成立，即a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]；（2）不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，可得e x+﹣6≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，化为m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，由y＝e x，（0＜y≤1），可得≥1，1+﹣＝4（﹣）2﹣的最小值为4（1﹣）2﹣＝﹣1，则m≤，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．【分析】（1）设弦AB的中点为M，可得OM⊥MP，由数量积＝0，可得M的轨迹方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M的坐标，代入|MN|＝|OM|，构造关于k的方程，解出k的值，进一步求得|AB|与Q到直线的距离，则△QAB的面积可求．解：（1）设点M（x，y），∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP，又∵＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），∴x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立，解得或，又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣2x﹣4y＝0（﹣＜x＜2）；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立，得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．设中点M（x0，y0），则，①代入直线l的方程得，②又由|MN|＝|OM|，得，化简得，将①②代入得k＝3．∵圆心到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝，Q到直线l的距离h＝．∴，即△QAB的面积为．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．【分析】（1）推导出，从而a n+1﹣2＝，从而a n+1﹣2与a n﹣2同号，进而a n﹣2与a1﹣2同号，由此能求出a n＜2．（2）由，得1≤a n＜2，从而2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，由此能证明S n＞2n﹣5．解：（1）解：∵正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．∴，∴﹣2＝＝，∵正项数列{a n}中，a n＞0，∴2a n+3＞0，∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，∴a n﹣2与a1﹣2同号，∵a1﹣2＝﹣1＜0，∴a n﹣2＜0，∴a n＜2．（2）证明：由（1）知，∴﹣＝，∴与同号，也与同号，∴1≤a n＜2，∴＝＝≤，∴2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，∴2n﹣S n＝≤5[1﹣（）n]＜5，∴S n＞2n﹣5．。
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷附答案解析
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷2024.01注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合2{|210}A x x x =--≤，{}ln B x y x ==∣，则()R A B ⋂=ð（）A．[]0,1B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．(],1-∞D．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知复数252ii i z +=+，则z 的虚部为（）A．12-B．1-C．32-D．323．与双曲线2219y x -=有共同的渐近线，且经过点)的双曲线方程为（）A．223126x y -=B．223162y x -=C．221218x y -=D．221182y x -=4．若数列{}n a 为等比数列，则“31a ≥”是“152a a +≥”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）A．60B．70C．80D．906．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b 上的投影向量为（）A．12b - B．13b - C．23b D．23b -7．已知tan 12A =，则cos44cos23cos44cos23A A A A -+=++（）A．116B．18C．14D．128．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B．若随机变量()()2~2,10.68X N P x σ>=，，则()230.18P x ≤<=C．设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P B A P B =∣，则事件A 与事件B 相互独立D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712=χ，依据0.05α=的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．已知()()()()()726701267211111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A．01a =B．7123731a a a a ++++=- C．5672a =-D．61237237143a a a a ++++=⨯ 11．抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设B 关于y 轴的对称点为B '，则下列说法一定正确的是（）A．sin FA p FA θ+=B．22sin pAB θ=C．22cos AOBp S θ= D．2tan AFB S p θ'= 12．已知0a b >>，0c d >>， 1.1ln 1ln 1a ba b ==++，()()1ln 1ln 0.9c cd d -=-=，则（）A．2a b +>B．2c d +>C．11a bd c ->-D．1ad >第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为13，小王每一局获胜的概率为23，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为.14．若点P 直线30x y ++=上的动点，过P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α的最大值为.15．将函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GHGM +的最小值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*532323N n n S S a a n ==+∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n n b +=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在三棱锥-P ABC 中，1PA BC ==，AB =PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ，M 是PC 的中点.(1)求证：AB BC ⊥;(2)求平面PAB 与平面MAB 的夹角.19．某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：月份x123456净利润y （万元）510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dxy c =与y a bx =+（a b c d ，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程；(3)已知该企业的产品合格率为90%，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？参考数据：xyω()6211i x x =-∑()621ii ωω=-∑()()61iii x x ωω=--∑()()61iii x x y y =--∑3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中lny ω=.参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.20．在ABC 中，已知sin 1,tan 2cos AAC B A ==-.(1)求AB 的长；(2)若BAC ∠的平分线AD 交BC 点D ，求AD BC ⋅的最大值.21．已知点(F 和直线l :y =，动点P 与定点F 的距离和P 到定直线l 的距离的比是常数22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知()1,1M ，过点M 作直线l '交C 于A ，B 两点，若2AM MB =，求l '的斜率k 的值.22．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>≠，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数xy x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ''''⎡⎤====+⎢⎥⎣⎦.(1)已知()1x xf x x x -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ≠，0x >.研究()112xxm g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2ts s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2st t a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭大小关系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题设1{|(21)(1)0}{|1}2A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|0}B x x =>，所以R {|0}B x x =≤ð，故()R 1{|0}2A B x x ⋂=-≤≤ð，即为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D2．C【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.【详解】252i 2i (2i)(1i)13i i i 1i (1i)(1i)22z +++--====--+-+-+--，故虚部为32-.故选：C 3．D【分析】设所求双曲线方程为229y x k-=，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为229y x k-=，又双曲线过点，∴2629k-=，即2k =-，∴双曲线方程为2229y x -=-，即221182y x -=，故选：D．4．C【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.【详解】若数列{}n a 的公比为q ，由2311a a q =≥，故10a >，则4510a a q =>，所以15322a a a +≥=≥，当且仅当15a a =，即21q =时取等号，故充分性成立；由152a a +≥，故23322a a q q +≥，若212q =，则345a ≥，故必要性不成立；故选：C5．B【分析】只需确定从8人中任抽4人放在第一排的方法数即可得答案.【详解】从8人中任抽4人放在第一排有48C 70=种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种.故选：B 6．D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=- ，由a 在b上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D7．A【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．【详解】1tan 2A =，则2244224cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4sin 1tan cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4cos 16A A A A A A A A A A A A A-+--+-=====++-+++．故选：A．8．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.9．BCD【分析】根据百分位数的定义可判定A，利用正态分布的对称性可判定B，利用条件概率及相互独立事件的定义可判定C，利用独立性检验的意义可判定D.【详解】对于A，因为1070%7⨯=，又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，所以第70百分位数为7.5，故A 错误；对于B，根据正态分布的性质可知为()20.5P x ≥=，()()()()2312120.18P x P x P x P x ∴≤<=<≤=>-≥=，故B 正确；对于C，根据条件概率可知()()()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A ==⇒=∣，由相互独立事件的判定可知C 正确；对于D，根据独立性检验的意义可知20.054.712x χ=>，故可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D 正确.故选：BCD.10．ABD【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.【详解】A：在已知等式中，令1x =，则有()7002111a a ⨯-=⇒=，所以本选项正确；B：在已知等式中，令2x =，则有()77012712722131a a a a a a a ⨯-=++++⇒+++=- ，所以本选项正确；C：因为()()7721211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，所以()51x -项的系数55257C 21672a =⨯⨯=，D：对已知等式，两边同时求导，得()()()6612772122171x a a x a x -⨯=+-++- ，在该式中，令2x =，则有612714327a a a ⨯=+++ ，所以本选项正确，故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得.【详解】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，准线方程为2p y =-，设11221(,),(,),0A x y B x y x >，过A 作AD x ⊥轴于D ，过F 作FM AD ⊥于M ，显然AFM θ∠=，由抛物线定义得1||2p FA y =+，1||||||||2pAM AD OF y FA p =-=-=-，而||||sin AM FA θ=，则||sin ||FA FA p θ=-，因此||sin ||FA p FA θ+=，A 正确；显然||1sin p FA θ=-，同理||1sin p FB θ=+，则22||||||1sin 1sin cos p p p AB FB FA θθθ=+=+=+-，B 错误；又π2OFB θ∠=-，则点O 到直线AB 的距离π||sin()cos 22pd OF θθ=-=，因此22112||cos 22cos 22cos AOBp p p S AB d θθθ=⋅=⋅⋅= ，C 正确；显然π2OFB OFB θ'∠=∠=-，则2AFB θ'∠=，又||||1sin pFB FB θ'==+，因此211||||sin 2sin 2tan 221sin 1sin AFB p p S FA FB p θθθθθ''==⋅⋅⋅=-+ ，D 正确.故选：ACD12．ABC【分析】构造函数()ln 1x f x x =+，则有()() 1.1f a f b ==、111 1.10.9ff c d ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得C、D，构造函数()213ln 122x F x x x x =-+-+，结合函数性质可得2a b +>，构造函数()()1ln g x x x =-及()()()2G x g x g x =--，可得2c d +>.【详解】令()ln 1x f x x =+，则()()2ln ln 1x f x x '=+，当110,,1e e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()111ln11f ==+，有()() 1.1f a f b ==，故11e b a <<<，又()11111ln ln 1c f c c c c ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，()11111ln ln 1d f d d d d ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，故11110 1.10.99f f c d ⎛⎫⎛⎫===> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有1111e b a cd <<<<<，故11a b d c ->-，即C 正确，11a d <<，即1ad <，故D 错误，令()213ln 122x F x x x x =-+-+，则()()2ln 1ln 1x F x x x =-++'，令()()2ln 1ln 1xx x x μ=-++，则()()()()()24311ln 12ln ln 11ln 11ln 1ln 1x x x x x x x x x x μ+-+-=-=-++'，当11e x <<时，()()31ln 11ln 1ln 0ln 1xx x x x x μ-=->--=-'>+，当1x >时，()()31ln 10ln 1x x x x μ-=-<+'，故()x μ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()()2ln11110ln11μ=-+=+，故()0x μ≤恒成立，即()0F x '≤恒成立，故()F x 在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()113110ln1122F =-+-=+，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，当()1,x ∞∈+，()0F x <，即当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，213ln 122x x x x >-++，当()1,x ∞∈+时，213ln 122x x x x <-++，令2131.122x x -+=，即220.80x x -+=，此时4 3.20.80∆=-=>，故该方程有两个不相等的实根，设两根为1x 、2x ，且121x x <<，则有122x x +=，由 1.111a b lna lnb ==++，且11e b a <<<，故有11x b x a <<<，由122x x +=，故122a b x x +>+=，即2a b +>，故A 正确；令()()1ln g x x x =-，有()()0.9g c g d ==，则()1ln 1ln g x x x -'=-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∞∈+，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()11g =，又0c d >>，故1d c <<，令()()()()()()21ln 21ln 2G x g x g x x x x x ⎡⎤=--=-----⎣⎦，则()()()()()22ln ln 2ln 2G x g x g x x x x x =+-=---=-'-''，由01x <<，故()222111x x x -=--+<，即()0G x '>，故()G x 在()0,1上单调递增，又()10G =，故()0G x <恒成立，即()()2g x g x <-，由1d c <<，即有()()2g d g d <-，又()()g d g c =，即有()()2g c g d <-，有21d ->，1c >，又()g x在()1,∞+上单调递减，故2c d>-，即2c d+>，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数()ln1xf xx=+，结合函数性质，从而得到a、b、1c、1d的大小关系，即可得C、D，构造函数()213ln122xF x x xx=-+-+与函数()()()2G x g x g x=--，从而得到a b+、+c d与2的关系.13．20 27【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求小王在比赛中获胜的概率.【详解】由题设，小王在比赛中获胜情况：小王在前2局都胜，小王在前2局胜一局且第3局胜，所以小王在比赛中获胜的概率为222122023333327⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：20 2714．5【分析】根据题设可得直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，有π(0,)22APCα∠=∈，结合点线距离求得52||2PC≥，再由22||||sin||AC APPCα==，即可求其最大值.【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，如下图，1π(0,)222APC APBα∠=∠=∈，且||PC≥=，所以22||||sin2sin cos22||AC APPCααα===，令212(0,||25tPC=∈，则sinα=所以max(sin)5α=.故答案为：15．10,3⎛⎤⎝⎦【分析】根据图象平移得()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，将问题化为siny t=在πππ(,π)266ωω++上递增，结合正弦函数性质求参数ω的取值范围.【详解】由题设()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，又π2π,63x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ(,π36266t xωωωω=++∈++，即siny t=在πππ(,π266ωω++上递增，又0ω>，所以ππ026πππ62ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩或ππ3π2π262π5ππ2π62kkωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩且Nk∈，故13ω<≤或843723kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且Nk∈，则1(0,]3ω∈.故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦16．24612【分析】根据给定条件，确定点H的位置，再把111,AA C ABC展开放置于同一平面内，借助三点共线，结合余弦定理求解即得.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C EF H'=，连接11B D，由1AA ⊥平面1111D C B A ，EF ⊂平面1111D C B A ，得1AA EF⊥，由,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，得11//EF B D ，而1111AC B D ⊥，则11A C EF⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C ，于是EF ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C，连接GH '，显然GH '⊂平面11AA C ，因此GH EF '⊥，则有GH GH '≥，当且仅当点H 与H '重合，即H 为线段EF 的中点时取等号，又MG ⊂平面1ABC ，把111,AA C ABC 展开放置于同一平面内，连接1MH AC G= ，于是GH GM +的最小值，即为线段MH 长，连接AH ，依题意，1A H =，在1Rt AA H 中，344AH =，11sin A AH A AH ∠=∠=1111sin A AC A AC ∠=∠=111sin sin 22A AB A AC ∠=∠=，21111cos cos 2123A AB A AC ∠=∠=-⨯=-，则111cos cos()33MAH A AB A AH ∠=∠-∠=-+在MAH 中，由余弦定理得MH =，GH GM +的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.17．(1)43n a n =-；(2)552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.【分析】（1）根据等差数列前n 项和、通项公式列方程求基本量，即可得通项公式；（2）写出n n nc a b =的通项公式，应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设有112115103(33)23a d a d a a d a +=+⎧⎨=+=+⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，即43n a n =-；（2）由（1）及已知得()1433n n n n c a b n -==-⋅，则()0111353433n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ①，()()12131353473433n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①，得()()121214333433n nn T n -=--++++-⨯ ()()13131443313n nn --=--⨯+-⨯-()5453nn =+-⨯，所以552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析；(2)π4.【分析】（1）作AH PB ⊥，垂足为H ，根据面面垂直性质得AH ⊥平面PBC ，再由线面垂直性质得AH BC ⊥、PA BC ⊥，最后由线面垂直的判定及性质证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小；法二：取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME ，由面面角的定义找到其平面角，再根据已知条件求平面角的大小.【详解】（1）作AH PB ⊥，垂足为H，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AH ⊂平面PAB ，所以AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AH A ⋂=，,PA AH ⊂面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，由AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.（2）（向量法）如图，以B 为原点，,BC BA 及垂直面ABC 向上为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系.所以()()()11,1,0,0,,,222A C P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()BA =，1122BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，易知平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则011022BA n BM n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1x =，所以(1,0,1)n =-，则||2|cos ,|2||||m n m n m n ⋅===，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.（几何法）取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又//DE PA ，所以DE AB ⊥，由（1）知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，在直角PBC 和直角PAC △中PC ===，12AM PC BM ===，所以MAB △是等腰三角形，所以ME AB ⊥，综上，DEM ∠即为二面角P AB M --的平面角，12DE =，12DM =，2EM ==，则222DE DM EM +=，所以DEM △为等腰直角三角形，故π4DEM ∠=，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.19．(1)e dx y c =(2)0.740.90ˆe x y +=(3)8件或9件【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值.【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择e dxy c =（2）两边取对数，得ln ln y dx c =+，设ln y ω=，ln c e =，建立ω关于x 的回归方程ˆˆˆwdx e =+，则()()()6126112.950.7417.50ˆi i i i i x x dx x ωω==∑--===∑-，3.490.74 3.500.90ˆˆe dx ω=-=-⨯=，所以ω关于x 的回归方程为0.74.0ˆ09x ω=+，所以0.740.90ˆe x y +=.（3）设抽到的产品中有X 件合格品，则()~9,0.9X B ，所以()()99C 0.90.101210k k k P X k k -==⋅⋅= ，，，，，()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即91189********C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，()()()()()()91891109!9!0.90.10.90.1!9!1!8!9!9!0.90.10.90.1!9!1!10!k k k kk k k kk k k k k k k k -+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪---⎩，解得89k ≤≤，所以最有可能是8件或9件.20．(1)2(2)2【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到2sin sin B C =，再利用正弦定理即可求出结果；（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，利用ABC ABD ACD S S S =+ 及条件得出4cos 3AD θ=，再利用余弦定理得BC =AD BC ⋅=【详解】（1）由题意得，sin sin cos 2cos B AB A =-，得到2sin sin cos sin cos B B A A B -=，所以()2sin sin cos sin cos sin sin B A B B A A B C=+=+=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得到2AB AC =，又1AC =，所以2AB =.（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin2sin sin 222bc AD c AD b θθθ=⋅+⋅，又2,1c b ==，所以4cos 3AD θ=，由余弦定理，BC ===所以AD BC ⋅=当3cos 4θ=时，AD BC ⋅取到最大值.21．(1)22142y x +=(2)k 【分析】（1）设(),P x y ，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线方程为(1)1y k x =-+代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x+，再由向量运算的坐标表示得出12,x x 的关系，结合越来可求得k 值．【详解】（1）设(),P x y=，化简得C :22142y x +=.（2）设l '：()()()()1122111,,y k x kx k A x y B x y =-+=+-，，，与C 联立得，()()2222222230kx k kx k k ++-+--=，因为221131424+=<，则定点()1,1在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以21222122222232k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩①②因为2AM MB = ，所以()2OM OA OB OM-=-，即1233OM OA OB =+ ，所以1223x x +=③，由①③得212222462262k k x k k k x k ⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩④⑤，将④⑤代入②，得222222462623222k k k k k k k k k --++--⋅=+++，化简得2732300k k ++=，，解得k .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出212222462262k kxkk kxk⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，最后得到关于k的方程，解出即可.22．(1)1y=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数()()()()ln1ln11ln2 t t t t t tϕ=-++++，即可求解，（3）根据()g x的单调性，即可令bma=求解.【详解】（1）()11lne x xx xxf x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，则()1ln2211e1ln1x xxf x xx x⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，所以()10f'=，又因为()11f=，所以切线方程为1y=.（2）()()1ln1ln21e2xmx xxmg x+-⎛⎫+==⎪⎝⎭，0x>，()()()()()()ln 1ln 22ln 1ln 11ln2e1x m x x x x x xxm m m m m g x x m +--++++=⋅+'，0x >令0x m t =>，令()()()()ln 1ln 11ln2t t t t t t ϕ=-++++，()()2ln ln 1ln2ln 1tt t t t ϕ=-++=+'，令()2ln01tt t ϕ'=>+，解得1t >，所以()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.（3）由（2）知，令b m a =，得()111122xxx x x b a b ag x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由（2）知()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()12xxxa b h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，当s t ≥时，1122ssttsta b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22tss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当s t <时，22t ss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．。
浙江省宁波市九校 学年高一上学期期末考试数学试题
(ii) g 3 sin 2 3 即 sin 2 1
8
2
2
为锐角，0 或 5 …………………………………… 15 分
12 12
2
20.(本题满分 15 分)
解：(Ⅰ) ，T 2 2 , 3. ………………………………………………4 分
3
3
（II） f (x) 2sin(3x ) . f (x) 的减区间是[5 2k ,11 2k ], k z ,
18.（本题满分 14 分） 已知 a (cos x,sin x),b (1,0), c (4, 4) . (Ⅰ)若 a / /(c b) ,求 tan x ； (Ⅱ)求 a b 的最大值,并求出对应的 x 的值.
19.（本题满分 15 分）
已知函数 f (x) Asin(x ) ,若 f (0) 6 .
22.(本题满分 15 分)
解：(Ⅰ)
1f
2
(x1)
f
(x2 )
f
x1
x2 2
a（x1 4
x2 )2
0 ……………………………4
分
（II） 1 ax2 x 1对 x 0,2恒成立；
1 x2
x
a
1 x x2
…………………………………………………………………8
分
1
2
1
a
1
2
1
对
x
0,2
4
2
(Ⅰ)求 A 的值; (Ⅱ)将函数 f (x) 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 1 倍，纵坐标不变,得到函数 g(x)
2
的图像.
(i)写出 g(x) 的解析式和它的对称中心;
(ii)若 为锐角，求使得不等式 g( ) 3 成立的 的取值范围. 82
浙江省宁波市九校2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题含解析
13.命题“ ， ”的否定是__________．
【答案】 ，
【解析】
【详解】全称命题的否可得，命题的否定为“ ， ”．
答案： ， ．
14.计算 ______.
【答案】
【解析】
【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.
【详解】原式 ，
故答案为： .
15.已知 ，则 的值为______.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，则 且
，代入 中得：
当 即 时取“=”,
所以最小值为1.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列不等式错误的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
宁波市2022学年第一学期期末九校联考
高一数学试题（答案在最后）
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，然后根据交集的定义运算即可．
【详解】 ， ；
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.
【详解】设世界人口达到90亿至少需要 年，由题意，得
，
因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，
故选：B
7.函数 的图象最有可能的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019 学年宁波市第一学期九校联考高一数学试题选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合 A x x0，集合 B x 1x6，则A B()A. ( 1,0)B. (0,6]C.(0,6)D.( 1,6]2.函数 y tan x(x) 的值域是 ()43A.( 1,1)B. (1,3C.( 1 ,3)D. [1,3] 3)3．已知x, yR ，且x y 0 ，则 ()110 B.cos x cos y0 C.1x1yD.ln x ln y 0A.y220xa 31， b 2 ，且，则与的夹角为 ()4.,a b3ab 已知向量22A. B. C.4D.6235.已知半径为 2 的扇形AOB 中，AB的长为3，扇形的面积为，圆心角 AOB 的大小为弧度，函数 h(x)sin x，则下列结论正确的是()A. 函数 h(x) 是奇函数B. 函数 h(x) 在区间 [2,0] 上是增函数C. 函数 h(x) 图象关于 (3,0) 对称D. 函数 h(x) 图象关于直线 x3对称6.已知 a log 7 2， b log 0.7 0.2 ，c0.70.2，则a,b, c的大小关系为 ()A. b c aB. a b cC. c a bD. a c b27.已知 4个函数：① y x sin x ；② y x cos x ；③y x x；④ y4cos x e x的图象如图所e示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为()A. ①④②③B.③②④①C.①④③②D.③①④② 8.在 ABC 中， BA ACAC BC BC BA 1 ABC 为()ABBC0 ，BA，则BC2A. 直角三角形B. 三边均不相等的三角形C. 等边三角形D. 等腰非等边三角形9.若 log 2 2019 xylog 2 2019 yx)log 2020 2log 2020 2 ，则 (A. x y 0B. x y 0C. x y 0D. x y 012), x (, 2]10.设函数 f ( x)f (xx1) 0 根的个数为 ()2，则方程 16 f (x) ( x2x 1 1,x( 2, )A.2B.3C.4D.5非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分.11.已知函数f ( x)2 x 1 lg(3 x 1) ，则 f (0)，函数定义域是.1 x12.已知 e 1, e 2 是单位向量，且e 1 e 2 ， AB2e 1 e 2 ， BCe 13e 2 ， CD e 1 e 2 ，若AB CD ，则实数；若 A,B,D 三点共线，则实数.13.已知函数 f ( x)2tan( a x)( a 0) 的最小正周期是 3，则a， f (x) 的对称6中心为.a,bR“ ” aba, abx14.已知 ，定义运算，设函数f ( x)221 log2 x ，：b,abx 0,2 ，则 f (1)， f ( x) 的值域为 .15.已知函数 f (x)(2m 9) x a 为幂函数，且其图象过点 (3, 3) ，则函数 g ( x) log a ( x 2mx6)的单调递增区间为.16.已知 a, b, c 是平面向量 , c 2 ，若 a c 2 ， b c 4 ，则 a b 的取值范围是.17.函数 f x 2 5 x， g x sin x ，若 x1 , x2 , , x n[0, ] ，使得2f ( x1 ) f ( x2 ) f (x n 1 )g ( x n ) g (x1 ) g( x2 )g (x n 1 ) f ( x n ) ，则正整数n的最大值为.三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分 14 分）已知向量a(sin x,1)， b(cos x, 1) ， c(m,0) ，其中x[0,] ．4(1) 若 a b3 ，求5tanx 的值；(2)若 a c 与 a c 垂直，求实数m的取值范围．19.（本题满分 15 分）已知集合 A x y( x3)(1 x)， B a 1,2a 1 ，C{ x ( x m 1)(x m1) 0, m R} ．(1)若 e R A B，求 a 的取值范围；(2)若 A C C ，求m的取值范围．20.（本题满分 15 分）已知 f (x) 为偶函数，当x 0 时， f ( x) 2lg( x1) ，(1)求 f ( x) 解析式；(2) 若对于任意的x ( ,0) ，关于x的不等式 lg(kx) f ( x) 恒成立，求k 的取值范围 .21.（本题满分 15 分）已知函数( )sin(2)＝sin (＋ )(0,0,)f x x，g x A A的部分图象如图所示 .6x2(1)求 g x的解析式，并说明 f ( x) 的图象怎样经过 2 次变换得到 g x 的图象；(2)若对于任意的x4,6，不等式 f ( x) m 2 恒成立，求实数m 的取值范围.22.（本题满分 15 分）在函数定义域内，若存在区间m, n ，使得函数值域为m A, n A，则称此函数为“ A 档x x2] ，类正方形函数” ，已知函数 f ( x) log 3[2 k 9 ( k 1)3k(1) 当 k 0 时，求函数 y f x 的值域；(2)若函数 y f x 的最大值是 1，求实数 k 的值；(3) 当 x 0 时，是否存在k (0,1) ，使得函数 f ( x) 为“ 1 档类正方形函数”？若存在，求出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由．。
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z =1+3i1−2i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．﹣iD ．﹣12．在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（ ）A ．−35B ．35C ．−45D ．453．设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD ．若α∥β，l ∥α，则l ∥β4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝CD ＝1，则其内切球表面积为（ ） A ．3πB ．√3πC ．(3−2√2)πD ．(√2−1)π5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 176．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√367．在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)210．下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√611．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√2412．已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a m C ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 ．14．已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= ．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是 ．16．已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围； （2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：S n 2=a n （S n ﹣1），且S n ≠0，数列{b n }满足：对任意n ∈N *有b 1S 1+b 2S 2+⋯+b n S n=(n −1)⋅2n+1+2．（1）求证：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式； （3）设T n 是数列{2n−1b 2n −b n }的前n 项和，求证：T n ＜76．2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+3i1−2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．1B．i C．﹣i D．﹣1解：z=1+3i1−2i=(1+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+i，则z=−1−i，其虚部为﹣1．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（）A．−35B．35C．−45D．45解：由三角函数定义有sinα=−3 5，所以cos（α−π2）＝sinα=−35．故选：A．3．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．若α∥β，l∥α，则l∥β解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故B错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故C正确；若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故D错误．故选：C．4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3πB．√3πC．(3−2√2)πD．(√2−1)π解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，所以AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ， 设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ，则V ABCD =V O−ABC +V O−ABD +V O−ACD +V O−BCD =13r(S △ABC +S △ABD +S △ACD +S △BCD )， 所以r =3V ABCDS ABCD，因为四面体ABCD 的表面积为S ABCD =S △ABC +S △ABD +S △ACD +S △BCD =1+√2， 又因为四面体ABCD 的体积V ABCD =13×12×1×1×1=16， 所以r =3VABCD S ABCD =√2−12，所以内切球表面积S =4πr 2=(3−2√2)π． 故选：C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 17解：因为等比数列{a n }的前n 项积为T n ， 若T 7＞T 9＞T 8，故1＞a 8a 9，a 9＞1，a 8＜1；所以a 1⋅q 8＞1，所以a 1＞0，0＜q ＜1；所以T 16=a 1⋅a 2⋅...⋅a 15⋅a 16=(a 8a 9)8＜1，T 17=a 1⋅a 2⋅...a 16⋅a 17=a 917＞1． 故选：D ．6．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√36解：如图，取A 1C 1的中点E ，连接DE ，CE ，又D 是A 1B 1的中点， ∴DE ∥B 1C 1，且DE =12B 1C 1， 又B 1C 1∥BC ，且B 1C 1＝BC ， ∴DE ∥BC ，且DE =12BC ，∴过B ，C ，D 三点的平面截该三棱柱的截面为梯形BCED ， ∴所求体积为：V 三棱柱ABC−A 1B 1C 1−V 三棱台A 1DE−ABC =12×2×2×√32×2−13×(12×1×1×√32+12×2×2×√32+√34×√3)×2 =2√3−7√36=5√36． 故选：B ．7．在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB ＝4， 则A （﹣2，0），B （2，0），C （a ，b ），P （0，0），P 0（x ，0），所以PB →=（2﹣x ，0），PC →=（a ﹣x ，b ），P 0B →=（2，0），P 0C →=（a ，b ）， 因为恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（2﹣x ）（a ﹣x ）≥（2a ， 整理得x 2﹣（a +2）x ≥0恒成立，故Δ＝（a +2）2≤0，即a ＝﹣2，此时BA ⊥AC ， 所以∠A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 故选：A ．8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25解：因为C =23π，AC ＝1，BC ＝2，所以由余弦定理可得AB =√AC 2+CB 2−2AC ⋅CBcosC =√7，由正弦定理可得AC sinB =ABsinC，即sinB =ACsinC AB =1×√327=√2114，又B 为锐角，所以cosB =√1−sin 2B =5√714，设CM ＝BM ＝x ，则CM 2＝CB 2+BM 2﹣2CB •BM cos C ， 即x 2=4+x 2−10√77x ， 解得x =2√75，即BM =25AB ， 所以AM =35AB =3√75，则S △AMC =35S △ABC =35×12×1×2×√32=3√310，又cos ∠AMC =AM 2+CM 2−AC22AM⋅CM =6325+2825−12×3√75×2√750， 则∠AMC 为锐角，所以△AMC 的三个内角均小于120°， 则P 为三角形的正等角中心， 所以S △AMC =12|PA →|⋅|PM →|sin 2π3+12|PM →|⋅|PC →|sin 2π3+12|PA →|⋅|PC →|sin 2π3 =√34(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|)=3√310， 所以|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|=65，所以PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=|PA →|⋅|PM →|cos 2π3+|PM →|⋅|PC →|cos 2π3+|PA →|⋅|PC →|cos 2π3=−12(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA|⋅|PC|)=−12×65=−35． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)2解：对于A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →，不能得出a →∥c →，选项A 错误；对于B ，|（a →•b →）c →|＝|（|a →||b →|cos ＜a →，b →＞|c →|）|≤|a →||b →||c →|，当且仅当a →与b →共线时取“＝”，所以选项B 正确；对于C ，a →⊥(b →−c →)时，a →•（b →−c →）＝0，即a →⋅b →=a →⋅c →，选项C 正确；对于D ，（a →•b →）•b →是数乘向量，与b →共线的向量，a →•(b →)2也是数乘向量，与a →共线的向量，所以等式不成立，选项D 错误． 故选：BC ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√6解：对于A ，f （x ）＝sin ωx +2cos （ωx +π3）＝（1−√3）sin ωx +cos ωx =√5−2√3sin （ωx +φ），其中tan φ=11−3=−1+√32，若f （x ）的最小正周期为π，则ω=2ππ=2，选项A 正确； 对于B ，△ABC 中，A ＞B 得出a ＞b ，充分性成立，a ＞b 也能得出A ＞B ，必要性成立，是充要条件，选项B 正确；对于C ，若2a ，2b ，2c 成等差数列，则2•2b ＝2a +2c ，所以2＝2a ﹣b +2c ﹣b ，所以a ﹣b ＝c ﹣b ＝0，即a ＝b ＝c ，所以选项C 错误；对于D ，△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√2S 直观图＝2√2×√34×22=2√6，选项D 正确． 故选：ABD ．11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24解：对A 选项，∵SD 在底面的射影为CD ，而CD 与AD 夹角始终为锐角， ∴AD 与AD 不垂直，∴根据三垂线定理可知AD 与SD 不垂直，∴A 选项错误； 对B 选项，若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 的高为SO ＝1，当AO ⊥DO 时，三角形AOD 的面积取得最大值为12×1×1=12，此时三棱锥S ﹣AOD 体积取得最大值为13×12×1=16，∴B 选项正确；对C 选项，∵AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径， ∴根据异面直线的判定定理可知：对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线，∴C 选项正确； 对D 选项，若∠ABD =π6，则∠AOD =π3，设圆锥的底面圆半径为r ， ∴SA →⋅OD →=(OA →−OS →)⋅OD →=OA →⋅OD →−OS →⋅OD →=r ×r ×cos π3−0=r 22，又易知|SA →|=√2r ，|OD →|＝r ，∴cos ＜SA →，OD →＞=SA →⋅OD →|SA →||OD →|=r 22√2r×r=√24，∴异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24，∴D 选项正确． 故选：BCD ．12．已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a m C ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）解：对于选项A ：因为a n+12−4a n+1=a n 2−3a n ，所以（a n +1﹣4）a n +1＝（a n ﹣3）a n ， 整理得a n +1=(a n −3)a na n+1−4，所以a n a n +1=(a n −3)a n 2a n+1−4≥0，故选项A 正确；对于选项B ：不妨设f （x ）＝x 2﹣4x ，因为a n+12−4a n+1=a n 2−4(34a n )≥(34a n )2−4(34a n )，可得f(a n+1)≥f(34a n )， 而f ′（x ）＝2x ﹣4＝2（x ﹣2），当x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ，故选项B 错误； 对于选项C ：由A 可知所有a n 同号，①当a 1＝0 时，对于任意正整数n ，都有a n ＝0；②当0＜a 1＜2时，0＜a n ＜2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＞f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减， 所以对于任意正整数n ，都有a n +1＜a n ；③当a 1＜0时，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＜f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n ，都有a n +1＞a n ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ， 当a 1＝1时，a n ≤（34）n ﹣1，所以S 2022≤∑ 2022k=1（34）k ﹣1=1−(34)20221−34=4[1﹣（34）2022]＜4，因为当a 1＝1时，0＜a n ≤1，又a 22−4a 2+2＝0，解得a 2＝2−√2＞12， 所以S 2022＞S 2＞32，则S 2022∈（1，5，4），故选项D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 12√2 ．解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r ，所以2πr =2π3×30，可得r ＝10， 因此该圆锥的高为h =√302−102=20√2， 故侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形的圆锥的高为1230ℎ=25×20√2=8√2，因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致， 则该几何体的高为20√2−8√2=12√2． 故答案为：12√2．14．已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= 1 ．解：等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3， 所以公差d ＝a 9﹣a 8=π3， 则cosa 5+cosa 7cosa 6=cos(a 6−π3)+cos(a 6+π3)cosa 6=2cosa 6cosπ3cosa 6=1．故答案为：1．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是125．解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，建立如图所示的坐标系，由题意可知A （4，0，0），B （0，3，0），C （0，0，0），B 1（0，3，3），设P （x ，y ，3）， 则BP →=（x ，y ﹣3，3），AB 1→=（﹣4，3，3），BP ⊥AB 1， 可得：﹣4x +3y ﹣9+9＝0，即4x ﹣3y ＝0．直线A 1B 1的方程：3x +4y ＝12，{3x +4y =124x −3y =0，可得x =3625，y =4825，所以D （3625，4825），动点P 的轨迹为线段C 1D ，长度为：√(3625)2+(4825)2=12×525=125． 故答案为：125．16．已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 278 ．解：设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∵a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3，∴|a →||b →|=6， ∵向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)， ∴C 在线段AB 上，设∠AOC ＝α，则∠BOC =π3−α，则x =c →⋅a →|a →|=|c →|cos α，y =c →⋅b →|b →|=|c →|cos(π3−α)，∴34|c →|2≤34×(3√22)2x 2+y 2﹣xy =|c →|2cos 2α+|c →|2cos 2(π3−α)−|c →|cosα⋅|c →|cos(π3−α) =|c →|2[cos 2α+(12cosα+√32sinα)2−cosα(12cosα+√32sinα)]=|c →|2(cos 2α+12cos 2α+√32sinαcosα+34sin 2α−12cos 2α−√32sinαcosα)=34|c →|2，在△ABO 中，由余弦定理有：|AB|2=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|cos π3=|a →|2+|b →|2−|a →||b →|≥2|a →||b →|−|a →||b →|=|a →||b →|=6， ∴|AB|≥√6，当且仅当|a →|=|b →|时等号成立， ∵a →⋅c →=b →⋅c →，∴(a →−b →)⋅c →=0，∴BA →⊥OC →， ∴S △OAB =12|AB|×|OC|=12|OA|×|OB|sin π3，∴|OC|=6×√32|AB|≤3√3√6=3√22，即|c →|≤3√22，∴x 2+y 2﹣xy =34|c →|2≤34×(3√22)2=278． 故答案为：278．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．解：（1）设z ＝a +bi ，由题意可得， （3，z ）[z4]＝3z +4z =3（a +bi ）+4（a ﹣bi ）＝7a ﹣bi ＝7﹣3i ，故a ＝1，b ＝3， 所以|z |=√10； （2）由题意可得，原式＝2y ﹣sin x +（y +sin2x ﹣2√3sin ²x ）i 是实数， 所以y +sin2x ﹣2√3sin 2x ＝0， 即y ＝﹣sin2x +2√3sin ²x =√3（1﹣cos2x ）﹣sin2x ＝﹣2sin （2x +π3）+√3，所以当2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2，k ∈Z 时， sin （2x +π）单调递减，此时函数y 单调递增，解得k π+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 即单调增区间为[kπ+π12，k π+7π12]（k ∈z ）．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12． 由此可得，T =2πω=12，得ω=π6； 由规律②可知，f （x ）max ＝f （8）＝40（A cos2π+k ）＝40A +40k ， f （x ）min ＝f （2）＝40（A cos π+k ）＝﹣40A +40k ， 由f （8）﹣f （2）＝80A ＝160，得A ＝2；又当x ＝2时，f （2）＝40[2cos ω（2+4）+k ]＝80•cos π+40k ＝40， 解得k ＝3．综上可得，f （x ）＝80cos （π6x +2π3）+120符合条件．（2）由条件，80cos （π6x +2π3）+120＞160， 可得cos （π6x +2π3）＞12，则2k π−π3＜π6x +2π3＜2k π+π3，k ∈Z ， ∴12k ﹣6＜x ＜12k ﹣2，k ∈Z ．∵x ∈[1，12]，x ∈N *，∴当k ＝1时，6＜x ＜10，故x ＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式；（2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 解：（1）由S n ＝n 2+4n ﹣3， 可得n ＝1时，a 1＝S 1＝5﹣3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+4n ﹣3﹣（n ﹣1）2﹣4（n ﹣1）+3， 化简可得a n ＝2n +3（n ≥2）， 所以a n ={2，n =12n +3，n ≥2且n ∈N ∗；（2）b n =2n+5S n S n+1=2n+5(n 2+4n−3)(n 2+6n+2)=1n 2+4n−3−1n 2+6n+2，可得T n =12−19+19−118+...+1n 2+4n−3−1n 2+6n+2=12−1n 2+6n+2=n 2+6n2n 2+12n+4．20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围； （2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1． 解：（1）由正弦定理有：asinA=b sinB=c sinC=√32=4√33， ∴a =4√33sinA ，b =4√33sinB ， ∴a +b =4√33sinA +4√33sinB =4√33sinA +4√33sin(2π3−A) =4√33sinA +4√33(√32cosA +12sinA) =2√3sinA +2cosA =4sin(A +π6)， ∵内角A ，B 都是锐角，∴{0＜A ＜π20＜2π3−A ＜π2，∴π6＜A ＜π2， ∴π3＜A +π6＜2π3，∴sin(A +π6)∈(√32，1]， ∴a +b ∈(2√3，4]， ∴a +b +c ∈(2+2√3，6]，∴△ABC 周长的取值范围为(2+2√3，6]；（2）∵sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ， 由正弦定理得：a 2+b 2＞c 2，由余弦定理：cos C =a 2+b 2−c 22ab＞0， ∵C ∈（0，π），∴C 为锐角， ∵A ，B 都是锐角，∴A +B ＞π2，∴0＜π2−B ＜A ＜π2， ∴sinA ＞sin(π2−B)=cosB ＞0， ∴sin 2A +sin 2B ＞cos 2B +sin 2B ＝1， ∴sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值． 解：（1）证明：取AC 中点O ，连接OB 1，OD ，因为菱形ABCD ，∠AB 1C =π3， 所以△ACB 1，△ACD 为等边三角形， 所以OB 1⊥AC ，OD ⊥AC ，又因为OB 1，OD ⊂面OB 1D ，OB 1∩OD ＝O ， 所以AC ⊥面OB 1D ，因为B 1D ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥B 1D ．（2）因为DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，所以FE →=FB 1→+B 1E →=CB 1→−CF →+12B 1D →=CB 1→−13CD →+12(CD →−CB 1→)=16CD →+12CB 1→，平方得，FE →2=(16CD →+12CB 1→)2=136CD →2+16|CD →||CB 1→|cos∠B 1CD +14CB 1→2，即374=136×36+16×6×6cos∠B 1CD +14×36，解得cos ∠B 1CD =−18，在△B 1CD 中，由余弦定理得，B 1D ²＝C B 12+CD ²﹣2CB 1•CD cos ∠B 1CD ＝36+36﹣2×6×6×(−18)=81，所以B 1D ＝9，由（1）可知，∠DOB 1 是二面角B 1﹣AC ﹣D 的平面角， 在等边△AB 1C 中B 1O =B 1Csin60°=3√3，同理OD =3√3，在△B 1OD 中，由余弦定理得，cos ∠B 1OD =B 1O 2+DO 2−B 1D 22B 1D⋅DO =27+27−812×27=−12， 因为0＜∠B 1OD ＜π，所以∠B 1OD =2π3， 即二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小2π3．（3）取B 1E 中点G ，连接CG ，则E 是GD 靠近G 的三等分点，则EF ∥CG ，所以CG 与平面AB 1C 所成角即为所成角， 在平面DOB 1中，作GK ⊥B 1O ， 因为AC ⊥面OB 1D ，GK ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥GK ，又因为AC ，B 1O ⊂面AB 1C ，AC ∩B 1O ＝O ， 所以GK ⊥面AB 1C ，所以∠GCK 是CG 与平面AB 1C 所成角，在△DOB 1中，∠OB 1D =∠ODB 1=π6，B 1G =14B 1D =94， 所以GK =12B 1G =98，在ΔDCB 1中，由△DEF ∽△DGC ，得EF CG =DE DG =23，CG =32×√372=3√374， 所以sin ∠GCK =GK CG =983√374=3√3774， 所以EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值为3√3774． 22．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：S n 2=a n （S n ﹣1），且S n ≠0，数列{b n }满足：对任意n ∈N *有b 1S 1+b 2S 2+⋯+b n S n =(n −1)⋅2n+1+2． （1）求证：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）设T n 是数列{2n−1b 2n−b n }的前n 项和，求证：T n ＜76． 解：（1）证明：由S n 2=a n （S n ﹣1）得S n 2=（S n ﹣S n ﹣1）（S n ﹣1）， 化简得S n S n ﹣1+S n ﹣S n ﹣1＝0，由于S n ≠0，所以又有1+1Sn−1−1S n =0， 即1S n −1S n−1=1， 又1S 1=1a 1=1，所以{1S n }是以1为首项，1为公差的等比数列；（2）结合（1）可得1S n =1+（n ﹣1）＝n ，所以有b 1+2b 2+…+nb n ＝（n ﹣1）•2n +1+2， 又有b 1+2b 2+…+nb n +（n +1）b n +1＝n •2n +2+2， 二式相减得（n +1）b n +1＝（n +1）•2n +1， 即b n +1＝2n +1，所以当n ≥2有b n ＝2n ，又b 1＝2，符合上式，所以b n ＝2n ；（3）结合（2）可知2n−1b 2n −b n =2n−122n −2n ＜2n−122n −22n−1=2n−122n−1， 所以T n ＜12+323+525+⋯+2n−122n−1， 设Q n =12+323+525+⋯+2n−122n−1， 则14Q n =123+325+527+⋯+2n−122n+1，二式相减得34Q n =12+2×（123+125+⋯+122n−1）−2n−122n+1=12+14×(1−(14)n−1)1−14−2n−122n+1， 即Q n =23+49(1−(14)n−1)−432n−122n+1， 又2n−122n+1＞0，所以Q n 随着n 的增大而增大， 当n →+∞，Q n →23+49=109，所以T n ＜109＜76．。