《等差数列的前n项和》(全国讲课比赛一等奖)精品PPT课件
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等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
数列定义
数列是由一系列数字按照一定 顺序排列而成的集合。
数列的元素
数列中的每个数字称为数列的 元素。元素的位置用自然数表 示。
通项公式
通项公式是根据数列的特点和 规律，通过公式来表示数列中 的任意一项。
等差数列的特点和公式
等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差恒定的数列。在这个部分中，我们将研究等差数 列的特点和等差数列公式，以及如何判断一个数列是否为等差数列。
《等差数列的前n项和》 课件（全国讲课比赛一等 奖）
欢迎大家来到我的《等差数列的前n项和》课件！在这个课件中，我们将探索 数列的定义、等差数列的特点和公式、等差数列的前n项和公式，以及一些例 题和实际应用。
数列的定义
数列是由一系列数字按照一定顺序排列而成的集合。在这个部分中，我们将学习数列的定义、数列的元 素和通项公式，以及如何表示一个数列。
总结与展望
通过本课件，我们学习了等差数列的定义、特点和公式，推导了等差数列的 前n项和公式，并应用到了实际问题中。希望大家能够通过本课件加深对等差 数列的理解，并能够灵活运用等差数列的知识。
1
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示第一项， an表示第n项。
2
证明前n项和公式
我们可以通过数学归纳法来证明等差数列的前n项和公式。
3
具体例题演示
让我们通过一些具体的例题来加深对等差数列的前n项和公式的理解。
应用实例
等差数列的特点
等差数列的每一项与前一项之间的差恒定。
等差数列的公式
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
对学生的答疑解惑
01
解答学生在学习过程中遇到的疑 惑和问题，帮助他们更好地理解 和掌握等差数列的前n项和。
02
针对学生的不同学习需求和问题 ，提供个性化的指导和建议。
下节课预告：等差数列的性质探究
• 预告下节课的学习内容，引导学生对等差数列的 性质进行探究和思考，激发他们的学习兴趣和好 奇心。
THANKS。
详细描述
首先，将等差数列的项倒序排列，然后将其与原数列相加。由于倒序数列与原数列的对 应项相加都等于同一个常数（等差数列的首项加末项），因此，这些相加的结果都相互 抵消，除了第一项和最后一项。因此，等差数列的前n项和可以通过求第一项和最后一
项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。
错位相减求和
总结词
错位相减法是一种通过将等差数列的每 一项乘以一个递增或递减的系数，然后 求和来找到等差数列的和的方法。
等差数列的前n项和公式的扩 展
推广到等差数列的任意项和
总结词
等差数列的任意项和公式是等差数列前n项和公式的一种扩展，它可以计算等差数列中任意一项的值。
详细描述
等差数列的任意项和公式是基于等差数列的通项公式和前n项和公式推导出来的。通过设定等差数列的首项、公 差以及项数，可以计算出任意一项的值。这个公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是那些需要精确计算等 差数列中某一项的值的问题。
要点二
详细描述
首先，将等差数列的每一项拆分成两个部分，通常是一个 常数和一个递增或递减的等差数列。然后，将这些拆分后 的项重新组合成新的数列，并求和。由于相邻的拆分项会 相互抵消，因此最后只剩下首项和末项的和。因此，等差 数列的前n项和可以通过求首项和末项的和，然后乘以项 数n再除以2来得到。
等差数列的前n项和PPT优秀课件1
（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
等差数列的前n项和公开课一等奖课件省赛课获奖课件
工具
第二章 数列
1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．5或7
B．3或5
C．7或－1
D．3或－1
解析： Sn＝na1＋2 11＝35.
∴na1＋11n＝70，①
an＝a1＋(n－1)×2＝11.
∴a1＋2n＝13.②
由①②得 a1＝3 或 a1＝－1.故选 D.
工具
第二章 数列
设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和， 当 n≤20 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋nn－ 2 1×3 ＝－32n2＋1223n；8 分 当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋nn－ 2 1×3－2×－60×20＋20×2 19×3 ＝32n2－1223n＋1 260.10 分
2.2.3 等差数列的前n项和
工具
第二章 数列
第1学时 等差数列的前n项和
工具
第二章 数列
工具
第二章 数列
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题． 3.纯熟掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能 够由其中的三个求另外的两个.
工具
第二章 数列
2.已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13， (1)求公差d的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解析：(1)由 11a5＝5a8－13 得 11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－ 13
∵a1＝－3，∴d＝59.
工具
第二章 数列
(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×59 令 an≤0 得 n≤352 ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…. ∴Sn 的最小值为 S6＝6a1＋6×2 5d＝6×(－3)＋15×59＝－239.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2
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板书设计
§3.3 等差数列前n项和
一、高斯算法 倒序相加法
三、探究深化
二、求和公式推导 1.公式1.
公式2.
四、总结反思
为更好满足学习和使用需求，课件在下载 后自由编辑，请根据实际情况进行调整
Thank you for watching and listening. I hope you can make great progress
2.3.1等差数列的前n项和
授课教师： 刘 伟 授课班级：高一（2）班 时间节次：20
一、情境导入
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
一、情境导入
5050
德国数学家 高斯 被誉为“世界数学王子”
一、情境导入
老师问：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？
解:
S1 S4
2 20
a1 2
4(41)d
4a1
2
20
a d
1
2 2
an 2n
三、探究深化
例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.
解:
S7
7(a1a7) 2
a1a7 2a4
72a4 2
7a4
49
四、总结反思
1.本节课学到了哪些知识？ 2.你觉得本节课的难点是什么？ 3.高斯的故事对你有什么启发？
三、探究深化
例2.已知等差数列{an}满足a2+ a5=14, a10=20， 求相应等差数列{an}的Sn.
解:
aa120
a5 20
14
2a1a1 95dd2104
a d
1
2 2
Snn1a n(n2 1)dn2n
三、探究深化
例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn. 且S1=2， S4=20， 求数列{an}的通项an.
Sn n1an(n21)d
比较两个公式的异同:
已知a1，an,n,求Sn时，知优三先 求一考虑1公式
已知 a1，d,n,求Sn时，优先考虑 2 公式
三、探究深化
例.1 求 S2468 2000
解: 方法一：
知三求一
Snn(a12 an)(220 2) 0 10 0 0 10 001
方法二：
Snn1an(n21)d1001000
已知 a1，an 和n
，可an求a1Sn(.n1)d
已知a1,d,n,能否求Sn.
公式2:Sn=na1+
n(n-1) 2
d
二、学导结合
几何法理解等差数列的前n项和公式2的推导
公式2： Snna1n(n21)d
S S S
na1n(n21)d
等差数列前n项和公式
公式1
公式2
Sn
n(a1 an) 2
s100 =10100/2=5050
思考：问1+2+3+4+…+n=?
一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1 + 2 + … +(n-1)+ n sn = n +（n-1）+ … + 2 + 1
2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
Sn
(n1)n 2
=n(n+1)
2Sn = (a1+an )×n
Sn = (a1+an ) n/2
公式1 ： 等差数列的求和公式
Sn
倒n序(a相1加an法) 2
二、学导结合
几何法理解等差数列的前n项和公式
公式1 Snn(a12an)
类比梯形面积公式 : n
S （上底下底）高 2
a1 an + a1
公式 1
Sn
n(a1an) 2
高斯答：
5050
1+2+3+4+…+97+98+99+100=
一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+100=?
s100 = 1 + 2 + 3 +…+100
s100 = 100 + 99 + 98 +…+ 1
2 s100 =（1+ 100）+ （2+ 99） +…+（100+ 1）
=100(1+100)=10100
Sn =？
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
二、学导结合
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am +an =ap+aq
设等差数列{an}的前n项和为Sn，
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn
Sn = a1 +a2 +a3 +…+an-2 + an-1 + an Sn = an +an-1 +an-2 +… +a3 + a2 + a1