2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期12月学科核心素养测评数学试题 PDF版
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2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试卷 及答案解析
2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x(x−2)=0}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∪B等于()A. {−2,−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. [−2,2]D. {0,2}2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A. a2<abB. −ab<−b2C. 1a <1bD. ba>ab3.下列图象中，表示y是x的函数的个数有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.若a,b,c∈R , a>b，则下列不等式成立的是()A. 1a <1bB. a2>b2C. ba +ab≥2 D. a(c2+1)>b(c2+1)5.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A. 至多有一个B. 有一个或两个C. 有且只有一个D. 一个也没有7.若实数a，b满足a<b<0，则下列不等式成立的是()A. ab <1 B. 1a<1bC. a2<b2D. a2>ab8.不等式x2<|x−1|+a的解集是区间(−3,3)的子集，则实数a的取值范围是()A. (−∞,5]B. (−∞,5)C. (−∞,7]D. (−∞,7)二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.若a，b，c为实数，下列说法正确的是A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a<b<0，则a2>ab>b2C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2−4ac≤0”D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件10.44.下列函数中，既是偶函数又是上的减函数的是()A. B. y=e−x C. D.11.当x≥1时，下列函数的最小值为4的有()A. y=4x+1x B. y=4x2−4x+52x−1C. y=2√x2+1D. y=5x−1x12.下列不是函数f(x)=lg(7+6x−x2)的定义域的是()A. (−1,7)B. [−1,7)C. (−1,7]D. [−1,7]三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知m∈R时，函数f(x)=m(x2−1)+x−a恒有零点，则实数a的取值范围是______ ．14.某商品零售价2014年比2013年上涨25%，欲控制2015年比2013年只上涨10%，则2015年应比2014年下降______%．15.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增，且f(1)=0，则不等式f(x−2)≥0的解集是______．16.按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设全集U=R，集合A={x|1≤x<4}，B={x|2a≤x<3−a}．(1)若a=−1，求B∩A，B∩∁U A；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1=b4，______，b2=8，b1−3b3=4，是否存在正整数k，使得数列{1S n }的前k项和T n>1516⋅若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．从①S4=20，②S3=2a3，③3a3−a4=b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分19.设函数f(x)=ax2−(3a+2)x+6．⑴若f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1在x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围;⑴解关于x的不等式ax2−(3a+2)x+6>0．20.某渔业公司今年初用98万元购进一艘远洋渔船，每年的捕捞可有50万元的总收入，已知使用x年(x∈N∗)所需(包括维修费)的各种费用总计为2x2+10x万元．(1)该船捞捕第几年开始赢利(总收入超过总支出，今年为第一年)？(2)该船若干年后有两种处理方案：①当赢利总额达到最大值时，以8万元价格卖出；②当年平均赢利达到最大值时，以26万元卖出，问哪一种方案较为合算？请说明理由．21.设函数f(x)=|x+m|+|2x+1|．(Ⅰ)当m=−1，解不等式f(x)≤3；(Ⅱ)求f(x)的最小值．22.已知指数函数y=g(x)满足：g(3)=8，定义域为R的函数f(x)=n−g(x)是奇函数．m+2g(x)(1)确定y=g(x)的解析式；(2)求m、n的值；(3)若对任意的t∈R，不等式f(2t−3t2)+f(t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|x(x−2)=0}={0,2}，B={x∈Z|x2≤1}={−1,0，1}，则A∪B={−1,0，1，2}，故选：B．分别求出集合A、B，根据并集的定义计算即可．本题考查了并集的定义，考查集合的运算，是一道基础题．2.答案：B解析：解：对于A：由a<b<0，得：a2>ab，故A错误；对于B：若a<b<0，则−a>−b>0，b<0，∴−ab<−b2，故B正确；对于C：由a<b<0，两边同除以ab得：1b <1a，即1a>1b，故C错误；对于D：0<ba <1，ab>1，故D错误；故选：B．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数的概念和图象．利用函数的定义判断选项即可，是基础题．解：根据函数的概念可知，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，故第1个图象和第2个图象符合题意，所以符合概念的图象有2个，故选C．4.答案：D解析：本题考查不等式的概念和不等关系，根据不等式的性质解题即可．∵a>b, c2+1>0，因此a(c2+1)>b(c2+1)，D选项正确，a=1，b=−1时，可判断A，B，C错误．故选D．5.答案：A解析：本题考查充分条件，必要条件，属于基础题．根据题意结合充分，必要条件即可得解．A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件B能推出A，B能推出C，C能推出B，D能推出CA是D的必要不充分条件．6.答案：C解析：本题把二次函数与二次方程结合起来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．属于基础题．由于f(1)>0，f(2)<0，根据零点存在定理可知，f(x)在(1,2)上至少有一个零点．再结合f(x)是二次函数，可知有且只有一个零点．解：∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上至少有一个零点．又f(x)是二次函数，可知有且只有一个零点．故选：C．7.答案：D解析：由不等式的性质可判断A和D；又y=在x<0递减，可判断B；由y=x2在x<0递减，可判断C.本题考查不等式的性质的运用，以及函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．解：实数a ，b 满足a <b <0，可得>1，故A 错； 又y =在x <0递减，可得>，故B 错；由y =x 2在x <0递减，可得a 2>b 2，故C 错；由a <0，a <b ，可得a 2>ab ，故D 正确．故选：D ．8.答案：A解析：将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键，属于基础题．解：等式x 2<|x −1|+a 等价为x 2−|x −1|−a <0，设f(x)=x 2−|x −1|−a ，若不等式x 2<|x −1|+a 的解集是区间(−3,3)的子集，则{f(−3)=5−a ≥0f(3)=7−a ≥0，解得a ≤5， 故选A ．9.答案：BD解析：【试题解析】解：对于A ：若a >b ，则ac 2>bc 2，在c =0时不成立，所以A 错误；对于B ：根据不等式的性质，若a <b <0，则−a >−b >0，所以−a 2<−ab ，−ab <−b 2，所以a 2>ab ，ab >b 2，即a 2>ab >b 2，选项B 正确；对于C ：a =b =0，c =0时，不等式ax 2+bx +c ≥0也恒成立，所以选项C 错误；对于D ：方程x 2+x +a =0有两个异号的实根的充要条件是a <0，所以a <1是“关于x 的方程x 2+x +a =0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确． 故选：BD ．根据不等式的基本性质，可以判断选项A 、B 是否正确；通过举反例可以判断选项C 错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D 正确．本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑推理的应用问题，是基础题．10.答案：CD解析：根据题目要求，对四个选项的奇偶性和单调性进行判断，得到符合要求的选项，从而得到答案．【详解】选项A中，是奇函数，不符合题目要求；选项B中，y=e−x是非奇非偶函数，不符合题目要求；选项C中，是偶函数，在上是单调递减函数，符合题目要求；选项D中，是偶函数，在上，函数解析式为，是单调递减函数，符合题目要求．故选：CD．本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题．11.答案：BCD解析：【试题解析】解：对于A：y=4x+1x ≥2√4x⋅1x=4，当且仅当x=12时，最小值为4，由于x≥1，故不成立，故A错误；对于B：y=4x2−4x+52x−1=(2x−1)2+42x−1=(2x−1)+42x−1≥4，当且仅当x=32时，等号成立，故B正确；对于C：y=2√x2+1=2√x2+1√x2+1=√x2+1+√x2+1，当且仅当x=√3时，等号成立，故C正确；对于D：由于函数g(x)=5x在[1,+∞)为增函数，且f(x)=−1x，在[1,+∞)为增函数，所以y min=5×1−1=4，故D正确．故选：BCD．直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A、B、C、D的结论本题考查的知识要点：不等式的性质，均值不等式的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.答案：BCD解析：由7+6x−x2>0，解得−1<x<7，故定义域为(−1,7)13.答案：[−1,1]解析：解：①若m=0，则f(x)=x−a，它的零点为a，故m=0符合题意，②若m≠0，函数f(x)=m(x2−1)+x−a=mx2+x−m−a恒有零点，∴△=b2−4ac≥0得4m2+4ma+1≥0∵m∈R，∴4m2+4ma+1≥0恒成立的条件是：△=b2−4ac≤0得16a2−16≤0得−1≤a≤1故答案为[−1,1]利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函数，是否有等根等．注意分类讨论思想的运用．本题考查函数零点的确定，考查函数在某个区间内有零点的转化方法，注意对二次项系数的讨论．考查学生的分类讨论思想，属中档题．14.答案：12解析：本题考查函数模型的应用，设2013年的市场零售价为1，则2014年的零售价为125%，2015年为110%，设2015年应比2014年下降x%，建立方程求解即可．解：由已知设2013年的市场零售价为1，则2014年的零售价为125%，2015年为110%，设应下降x%，由题意，得125%(1−x%)=110%，解得x=12．故答案为12．15.答案：{x|x≥3或x≤1}解析：解：∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，f(1)=0，∴不等式f(x−2)≥0等价为f(|x−2|)≥f(1)，即|x−2|≥1，即x−2≥1或x−2≤−1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．16.答案：2800元解析：解：由题意，设这个人应得稿费(扣税前)为x元，则280=(x−800)×20%×(1−30%)所以x=2800，故答案为：2800元．由题意，设这个人应得稿费(扣税前)为x元，则280=(x−800)×20%×(1−30%)，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确选择函数模型是关键．17.答案：解：(1)由A={x|1≤x<4}得∁U A={x|x<1或x≥4}；当a=−1时，B={x|−2≤x<4}；∴B∩A=[1,4)，B∩∁U A=[−2,1)；(2)若A∪B=A，则B⊆A，①B=⌀时，则2a≥3−a，∴a≥1，符合题意；②B≠⌀时，则{2a<3−a2a≥13−a≤4，∴12≤a<1；综上所述，所求a的取值范围为[12,+∞)．解析：本题考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算，子集、并集的定义．(1)a=−1时，求出B，然后进行交集，补集的运算即可；(2)根据A∪B=A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集，即可得解．18.答案：①或②或③解析：解：设等比数列{b n}的公比为q(q>0),则b1=8q，b3=8q，于是8q−3×8q=4，即6q2+q−2=0,解得q=12,q=−23(舍)，若选①，则a1=b4=2,S4=4a1+4×32d=20，解得d=2所以S n=2n+n(n−1)2×2=n2+n，1 S n =1n(n+1)=1n−1n+1，于是T n=1S1+1S2+⋯+1S k=(1−12)+(12−13)+⋯+(1k−1k+1)=1−1k+1．令1−1k+1>1516,解得k>15,因为k为正整数,所以k的最小值为16．若选②：则a1=b1=2,3a1+3×22d=2(a1+2d)，则a1=d=2．下同①．若选③：则a1=b1=2，3(a1+2d)−(a1+3d)=8，解得d=43，于是S n=2n+n(n−1)2×43=23n2+43n，1 S n =32×1n(n+2)=34(1n−1n+2)，于是T n=34[(1−13)+(12−14)+⋯+(1k−1−1k+1)+(1k−1k+2)]=34(1+12−1k+1−1k+2)=98−34(1k+1+1k+2)．令T k >1516,得1k+1+1k+2<14．注意到k 为正整数，解得k ≥7，所以k 的最小值为7．本题的第一步为求出数列通项公式，然后求出等差数列的前n 项和．题目中出现的三个条件均可采用等差数列的定义和性质求解．本题属于开放性的题目，要求我们选择合适的条件进行作答．本题的难点在于若选③难度较大，需要我们合理的筛选． 19.答案：解：(1)由f(x)>(a −2)x 2−(a +1)x +1得：2x 2−(2a +1)x +5>0在x ∈[−1,+∞)恒成立．令g(x)=2x 2−(2a +1)x +5，则g(x)的最小值大于0，1°，2a+14≤−1，即a ≤−52时，g(x)min =g(−1)=8+2a >0，则a >−4，所以−4<a ≤−52． 2°，2a+14>−1，即a >−52时，g(x)min =g(2a+14)>0，即△=(2a +1)2−40<0，所以−2√10<2a +1<2√10，即−2√10−12<a <2√10−12，所以−52<a <2√10−12． 综上，−4<a <2√10−12． (2)1°，a =0，则−2x +6>0，所以x <3．2°，a >0，则(ax −2)(x −3)>0，方程的根x 1=2a 或x 2=3．①2a <3，即a >23时，x <2a，或x >3； ②2a >3，即0<a <23时，x <3，或x >2a； ③2a =3时，即a =23时，x ≠3． 3°，a <0，则x 1=2a ，x 2=3，所以2a <x <3．综上，a <0时，解集为(2a ,3)；a =0时，解集为(−∞,3)；0<a <23时，解集为(−∞,3)∪(2a ,+∞)；a =23解集为{x|x ≠3}；a >23时，解集为(−∞,2a )∪(3,+∞)．解析：【试题解析】(1)将不等式化简归零，然后构造函数，研究函数的单调性，令该函数的最小值大于零即可；(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解． 本题考查不等式的解法以及函数、方程与不等式之间的关系，以及分类讨论思想在解题中的应用．属于中档题．20.答案：解：(1)∵每年的捕捞可有50万元的总收入，使用x 年(x ∈N ∗)所需(包括维修费)的各种费用总计为2x 2+10x 万元，∴由该船捞捕第x 年开始赢利，可得50x >2x 2+10x +98∴x 2−20x +49<0∴x ∈[3,17](x ∈N ∗)∴该船捞捕第3年开始赢利；(2)①令y 1=50x −2x 2+10x +98=−2(x −10)2+102∴x =10时，赢利总额达到最大值102万元∴10年赢利总额为102+8=110；令y 2=−2x −98x +40，则由基本不等式可得−2x −98x +40≤12此时，x =7，年平均赢利达到最大值为12万元∴7年赢利总额为7×12+26=110万元，两种情况的盈利额一样，但方案②的时间短，故方案②合算．解析：(1)根据题意，由该船捞捕第x 年开始赢利，可得50x >2x 2+10x +98，解得x 的取值范围从而解决问题．(2)①先求出平均盈利的函数表达式，再利用基本不等式求其最大值，从而得出盈利总额； ②先求出平均盈利的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求其最大值，从而得出盈利总额；最后比较两种情况的盈利额的情况即可解决问题．本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)当m =−1时，不等式f(x)≤3，可化为|x −1|+|2x +1|≤3．当x ≤−12时，−x +1−2x −1≤3，∴x ≥−1，∴−1≤x ≤−12；当−12<x <1时，−x +1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴−12<x <1；当x ≥1时，x −1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴x =1；综上所得，−1≤x ≤1．(Ⅱ)f(x)=|x +m|+|2x +1|=|x +m|+|x +12|+|x +12| ≥|(x +m)−(x +12)|+|x +12| =|m −12|+|x +12|，当且仅当(x +m)(x +12)≤0时等号成立．又因为|m −12|+|x +12|≥|m −12|，当且仅当x =−12时，等号成立．所以，当x =−12时，f(x)取得最小值|m −12|．解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．(Ⅰ)当m =−1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．22.答案：解：(1)设g(x)=a x (a >0且a ≠1)，∵g(3)=8，∴8=a 3，解得a =2．∴g(x)=2x ；(2)f(x)=n−2x m+2x+1，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)=n−1m+2=0，解得n =1．∴f(x)=1−2xm+2x+1，又f(−x)+f(x)=0，∴1−2xm+2x+1+1−2−xm+2−x+1=0，化为(m −2)(2−2x −2−x )=0，∵上式对于任意实数都成立，∴m −2=0，解得m =2．∴m =2，n =1；(3)由(2)可知：f(x)=1−2x2+2x+1=12(21+2x −1)，∵函数y =2x 在R 上单调递增，∴f(x)在R 上单调递减．∵不等式f(2t −3t 2)+f(t 2−k)>0恒成立，∴f(t 2−k)>−f(2t −3t 2)=f(3t 2−2t)在R 上恒成立，∴t 2−k <3t 2−2t 在R 上恒成立，即2t 2−2t +k >0在R 上恒成立．∴△=4−8k<0，解得k>1．2,+∞)．∴k的取值范围是k∈(12解析：(1)设g(x)=a x(a>0且a≠1)，利用g(3)=8，可得8=a3，解得a即可；(2)利用奇函数的定义和性质f(0)=0，f(−x)+f(x)=0即可得出；(3)利用(1)(2)可证明函数f(x)在R上单调递减，进而即可解出t的取值范围．本题考查了函数的奇偶性和单调性、指数函数的定义与性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
2020-2021学年山东省潍坊市高一(上)期中考试数学试卷人教A版(2019)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020-2021学年山东省潍坊市高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x2−3x=0}，B={1,2,3}，则A∪B=( )A.{3}B.{1,2,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3}2. 若a，b，c∈R，则下列不等式成立的是( )A.若a>b，则a2>b2B.若a>b，则ac>bcC.若a>b，则1b >1aD.若a>b，则a3>b33. 下列各图中，一定不是函数图像的是( )A. B.C. D.4. 铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式表示为( )A.a+b+c<130B.a+b+c>130C.a+b+c≤130D.a+b+c≥1305. 设U为全集，则"A∩B=⌀”是“A⊆∁U B‘’的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2)<0且f(3)>0，则f(x)在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有7. 某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )A.3或4B.4或5C.3或5D.4或68. 已知不等式组{x2−4x+3<0,x2−6x+8<0的解集是关于x的不等式x2−3x+a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是( )A.a<0B.a≤0C.a≤2D.a<2二、多选题下列命题中是假命题的是( )A.∀x∈R，x3≥0B.∃x0∈R，x03=3C.∀x∈Q，x3≥1D.∃x0∈N，x03=3下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=1xB.f(x)=−2xC.f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0D.f(x)=x+1x下列结论正确的是（ ） A.若x <0，则y =x +1x 的最大值为2 B.若a >0，b >0，则ab ≤(a+b 2)2C.若a >0，b >0，且a +4b =1，则1a+1b的最大值为9D.若x ∈[0,2]，则y =x√4−x 2的最大值为2下列关于函数f (x )=1|x|+1的叙述正确的是( )A.f (x )的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≥1}B.f (x )的图象关于y 轴对称C.当x ∈[−1,0)时，f (x )有最小值2，但没有最大值D.函数g (x )=f (x )−x 2+1有2个零点 三、填空题已知函数f (x )={x 2, x <1,x −a, x ≥1,若f (−1)+f (1)=4，则a =________.一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的________倍．已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式f (x −2)<0的解集为________.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是________元． 四、解答题已知全集U =R ，集合A ={x|x 2+x −6≥0}，B ={x|1<x <6}，C ={x|m +1<x <2m}. (1)求(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆B ，求实数m 的取值范围．在①∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0，②存在区间A =(2,4)，B =(a,3a )，使得A ∩B =⌀，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a .问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2−a ≥0，命题q ：________，都是真命题．（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分．）已知函数f (x )=x 2−(a +b )x +2a.(1)若关于x 的不等式f (x )<0的解集为{x|1<x <2}，求a ，b 的值；(2)当b =2时，解关于x 的不等式f (x )>0.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元． (1)该车营运第几年开始盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）；(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．已知函数f(x)=x|x−a|，a∈R，g(x)=x2−1.(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)当a>4时，记函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式．已知函数f(x)=x2+1ax+b是定义域上的奇函数，且f(−1)=−2.(1)求函数f(x)的解析式，判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明；(2)令g(x)=f(x)−m，若函数g(x)在(0,+∞)上有两个零点，求实数m的取值范围；(3)令ℎ(x)=x2+1x2−2tf(x)(t<0)，若对∀x1，x2∈[12,2]都有|ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】首先解得集合A，利用集合的运算得解．【解答】解：由题设得A={0,3}，所以A∪B={0,1,2,3}．故选D．2.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的性质判断即可【解答】解：A，若a>b，则a2>b2不一定成立，如a=2，b=−3，故该选项错误；B，若a>b，则ac>bc不一定成立，如c=0时，ac=bc，故该选项错误；C，若a>b，则1b >1a不一定成立，如a=2，b=−3，故该选项错误；D，若a>b，则a3>b3成立，故该选项正确. 故选D.3.【答案】A【考点】函数的概念【解析】根据函数的定义直接判断即可．【解答】解：由函数的定义可知，对于定义域内任一个x的值只能对应一个y的值，而选项A中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图像.故选A．4.【答案】C【考点】不等式的概念与应用【解析】直接列出不等式.【解答】解：不超过即为小于等于，故由题意得：a+b+c≤130.故选C.5.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接讨论集合的包含关系，即可确定充要性.【解答】解：∵若A=B=⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若A=⌀，B≠⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若B=⌀，A≠⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若A≠⌀，B≠⌀，此时A∩B=⌀，则A⊆∁U B成立，且“A⊆∁U B”，则“A∩B=⌀”也成立，故“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”充分必要条件.故选C.6.【答案】C【考点】函数零点的判定定理 【解析】直接利用零点的存在性定理，结合函数分析得出答案. 【解答】解：由零点的存在性定理可知，f (2)<0，f (3)>0， 则f (x )在区间(2,3)上有零点.当a =0时，f (x )在区间(2,3)上有唯一零点； 当a ≠0时，f (x )为二次函数，由二次函数的图象分布可知：f (x )在区间(2,3)上有唯一零点. 综上：函数f (x )在区间(2,3)上有唯一零点. 故选C . 7.【答案】 B【考点】不等式的概念与应用 【解析】直接各种可能性，进行合理的推导判断即可. 【解答】解：设有x 间宿舍，有y 名学生， 由题意可得{y =3x +6,1≤5x −y ≤4,联立解得3.5≤x ≤5. 因为x 只能为整数，所以男生宿舍可能的房间数是4或5. 故选B ． 8.【答案】 B【考点】集合关系中的参数取值问题 函数恒成立问题【解析】首先解出不等式组的解集，再结合解集的包含关系，确定恒成立问题，求出参数范围. 【解答】解：由不等式组{x 2−4x +3<0，x 2−6x +8<0，解得2<x <3.由题意可知：不等式x 2−3x +a <0在区间(2,3)上恒成立，即a <(3x −x 2)min .∵ y =3x −x 2在(2,3)上为减函数， ∴ y =3x −x 2>3×3−32=0， ∴ a ≤0. 故选B .二、多选题 【答案】 A,C,D【考点】命题的真假判断与应用 全称量词与存在量词【解析】由存在性量词命题与全称量词命题，举反例进行判断. 【解答】解：当x <0时，x 3<0，所以∀x ∈R ，x 3≥0是假命题，故A 为假命题；∃x 0=√33∈R ，使得x 03=3，故B 为真命题；当x =12时，x 3=18<1，所以∀x ∈Q ，x 3≥1为假命题，故C 为假命题；当x 03=3时，x 0=√33∉N ，故D 为假命题. 故选ACD . 【答案】 B,C【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】逐个进行判断奇偶性、单调性. 【解答】解：f (x )=1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意； f (x )=−2x 为奇函数，在R 上单调递减，符合题意；f (x )={x 2,x ≤0,−x 2,x >0,当x ≤0时，−x ≥0，f (−x )=−(−x )2=−x 2=−f (x )为奇函数，且单调递减，符合题意；f (x )=x +1x 为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意.故选BC . 【答案】 A,B,D【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用二次函数在闭区间上的最值【解析】由基本不等式逐个进行判断. 【解答】解：若x<0，则y=x+1x =−(−x+1−x)≤−2√−x×1−x=−2，当且仅当−x=1−x，即x=−1时等号成立，所以y=x+1x的最大值为−2，故A正确；若a>0，b>0，则ab≤(a+b2)2，故B正确；若a>0，b>0，且a+4b=1，则1a +1b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba+ab=9，当且仅当4ba =ab时，1a+1b的最小值为9，故C错误；若x∈[0,2]，则y=x√4−x2=√4x2−x4=√−(x2−2)2+4，当x=√2时，y的最大值为2，故D正确.故选ABD.【答案】B,C,D【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断奇偶函数图象的对称性【解析】对于A：求函数f(x)的定义域、值域进行判断；对于B：判断函数的奇偶性，得对称性；对于C：求函数的单调性得最值进行判断；对于D，由函数的零点进行判断.【解答】解：对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>1}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，f(−x)=1|−x|+1=f(x)，故函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故B正确；对于C，当x∈[−1,0)时，f(x)为增函数，故f(x)在[−1,0)上有最小值2，无最大值，故C正确；对于D，由y=1|x|与y=x2−2的图象可知，函数g(x)=1|x|−x2+2有两个零点，故D 正确.故选BCD.三、填空题【答案】−2【考点】函数的求值【解析】代入函数解析式，求得a值.【解答】解：由题意，f(−1)+f(1)=(−1)2+1−a=4，∴a=−2.故答案为：−2.【答案】0.96【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】由题意求出该商品的最值售价，比最初售价得倍数.【解答】解：由题意得，该商品最终售价为25×(1+20%)(1−20%)=25×1.2×0.8=24（元），2425=0.96.故答案为：0.96.【答案】(1,3)【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质函数的零点【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：由题意可得：偶函数f(x)在[0,+∞）上为增函数，f(1)=0，∴不等式f(x−2)<0等价于f(|x−2|)<f(1)，即|x−2|<1，解得1<x<3.故答案为：(1,3).【答案】5712【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税．【解答】解：由题意知，李华全年应缴纳综合所得个税为：36000×3%+[249600−52800−4560−249600×(8%+2%+1%+9%)−60000−36000]×10%=5712（元）．故答案为：5712．四、解答题【答案】解：(1)A={x|x2+x−6≥0}={x|x≤−3或x≥2}，∁U A={x|−3<x<2}，所以(∁U A)∩B={x|1<x<2}．(2)①当C=⌀时，满足C⊆B，即m+1≥2m，解得m≤1；②当C≠⌀时，因为C⊆B，所以{m+1<2m, m+1≥1, 2m≤6,解得1<m≤3.综上，实数m的取值范围为(−∞,3]．【考点】交、并、补集的混合运算一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)A={x|x2+x−6≥0}={x|x≤−3或x≥2}，∁U A={x|−3<x<2}，所以(∁U A)∩B={x|1<x<2}．(2)①当C=⌀时，满足C⊆B，即m+1≥2m，解得m≤1；②当C≠⌀时，因为C⊆B，所以{m+1<2m,m+1≥1,2m≤6,解得1<m≤3.综上，实数m的取值范围为(−∞,3]．【答案】解：选条件①.由命题p为真，可得不等式x2−a≥0在x∈[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，∴1≤x2≤4，所以a≤1.若命题q为真，则方程x2+2ax+2−a=0有解，所以判别式Δ=4a2−4(2−a)≥0，所以a≥1或a≤−2．又因为p，q都为真命题，所以{a≤1,a≥1或a≤−2,所以a≤−2或a=1，所以实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}.选条件②.由命题p为真，可得不等式x2−a≥0在x∈[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，∴1≤x2≤4，所以a≤1．因为集合B=(a,3a)，必有a>0.由A∩B=⌀，得a≥4或3a≤2，即0<a≤23或a≥4.又因为p，q都为真命题，所以{a≤1,0<a≤23或a≥4,解得0<a≤23，所以实数a 的取值范围是0<a ≤23．【考点】命题的真假判断与应用 【解析】 无【解答】解：选条件①.由命题p 为真，可得不等式x 2−a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立． 因为x ∈[1,2]，∴ 1≤x 2≤4，所以a ≤1.若命题q 为真，则方程x 2+2ax +2−a =0有解， 所以判别式Δ=4a 2−4(2−a )≥0， 所以a ≥1或a ≤−2．又因为p ，q 都为真命题，所以{a ≤1,a ≥1或a ≤−2,所以a ≤−2或a =1，所以实数a 的取值范围是{a|a ≤−2或a =1}. 选条件②.由命题p 为真，可得不等式x 2−a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立． 因为x ∈[1,2]，∴ 1≤x 2≤4，所以a ≤1． 因为集合B =(a,3a )，必有a >0. 由A ∩B =⌀，得a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.又因为p ，q 都为真命题，所以{a ≤1,0<a ≤23或a ≥4,解得0<a ≤23，所以实数a 的取值范围是0<a ≤23．【答案】解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2−(a +b )x +2a =0的两个根为1和2， 所以{a +b =3,2a =2,解得{a =1,b =2.(2)当b =2时，x 2−(a +2)x +2a >0，即(x −a )(x −2)>0， 当a <2时，解得x <a 或>2； 当a =2时，解得x ≠2；当a >2时，解得x <2或x >a .综上可知，当a <2时，不等式的解集为(−∞,a )∪(2,+∞)； 当a =2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)； 当a >2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(a,+∞)． 【考点】一元二次不等式的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2−(a +b )x +2a =0的两个根为1和2， 所以{a +b =3,2a =2,解得{a =1,b =2.(2)当b =2时，x 2−(a +2)x +2a >0，即(x −a )(x −2)>0， 当a <2时，解得x <a 或>2； 当a =2时，解得x ≠2；当a >2时，解得x <2或x >a .综上可知，当a <2时，不等式的解集为(−∞,a )∪(2,+∞)； 当a =2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)； 当a >2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(a,+∞)．【答案】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元，若该车从第x 年开始盈利，则30x >2x 2+6x +50， 则2x 2−24x +50<0，即x 2−12x +25<0， 解得3≤x ≤9（x ∈N +）， 所以该车营运第3年开始盈利． (2)方案①：由题意知，盈利总额y 1=30x −(2x 2+6x +50) =−2x 2+24x −50=−2(x −6)2+22，∴ x =6时，盈利总额达到最大值，为22万元， 所以6年的盈利总额为32万元． 方案②：由题意知，年平均盈利总额y 2=−2x 2+24x−50x=−2x −50x+24=24−2(x +25x)≤4，当且仅当x =5时取等号．∴ x =5时，年平均盈利总额达到最大值，为4万元， 所以5年的盈利总额为32万元．两种方案的盈利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 【考点】函数模型的选择与应用 一元二次不等式的应用 函数最值的应用基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元，若该车从第x 年开始盈利，则30x >2x 2+6x +50， 则2x 2−24x +50<0，即x 2−12x +25<0， 解得3≤x ≤9（x ∈N +）， 所以该车营运第3年开始盈利． (2)方案①：由题意知，盈利总额y 1=30x −(2x 2+6x +50) =−2x 2+24x −50=−2(x −6)2+22，∴ x =6时，盈利总额达到最大值，为22万元， 所以6年的盈利总额为32万元． 方案②：由题意知，年平均盈利总额y 2=−2x 2+24x−50x=−2x −50x+24=24−2(x +25x)≤4，当且仅当x =5时取等号．∴ x =5时，年平均盈利总额达到最大值，为4万元， 所以5年的盈利总额为32万元．两种方案的盈利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 【答案】解：(1)当a =−1时，即解不等式x|x +1|≥x 2−1．①当x ≥−1时，不等式为x 2+x ≥x 2−1，解得x ≥−1，所以x ≥−1；②当x <−1时，不等式为−x 2−x ≥x 2−1，解得−1≤x ≤12，所以解集为空集．综上，不等式的解集为{x|≥−1}． (2)因为x ∈[0,4]，且a >4，所以f (x )=x (a −x )=−x 2+ax ， ①当4<a <8时，F (a )=f (a2)=a 24；②当a ≥8时，F (a )=f (4)=4a −16，综上F (a )={a 24,4<x <8,4a −16,a ≥8.【考点】一元二次不等式的解法二次函数在闭区间上的最值 【解析】【解答】解：(1)当a =−1时，即解不等式x|x +1|≥x 2−1．①当x ≥−1时，不等式为x 2+x ≥x 2−1，解得x ≥−1，所以x ≥−1；②当x <−1时，不等式为−x 2−x ≥x 2−1，解得−1≤x ≤12，所以解集为空集．综上，不等式的解集为{x|≥−1}． (2)因为x ∈[0,4]，且a >4，所以f (x )=x (a −x )=−x 2+ax ， ①当4<a <8时，F (a )=f (a2)=a 24；②当a ≥8时，F (a )=f (4)=4a −16，综上F (a )={a 24,4<x <8,4a −16,a ≥8.【答案】解：(1)∵ f (−1)=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2， ∴{2−a +b =−2,2a +b =2, 解得{a =1,b =0,∴ f(x)=x +1x .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 证明如下：取x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2).∵ x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，0<x 1x 2<1，即x 1x 2−1<0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )在(0,1)上单调递减.同理可证函数f (x )在(1,+∞)上单调递增．(2)函数g (x )在(0,+∞)上有两个零点，即x 2−mx +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，须满足{Δ=m 2−4>0,m >0,解得m >2．(3)由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t (x +1x ). 令z =x +1x ，y =z 2−2tz −2，由(1)可知函数z =x +1x 在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴ z ∈[2,52].∵ 函数y =z 2−2tz −2的对称轴方程为z =t <0， ∴ 函数y =z 2−2tz −2在[2,52]上单调递增.当z =2时，y min =−4t +2；当z =52时，y max =−5t +174，即ℎ(x )min =−4t +2，ℎ(x )max =−5t +174.又∵ 对任意的∀x 1，x 2∈[12,2]都有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤154恒成立， ∴ ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤154，即−5t +174−(−4t +2)≤154，解得t ≥−32.又∵ t <0，∴ t 的取值范围是−32≤t <0. 【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数单调性的判断与证明 由函数零点求参数取值范围问题 函数恒成立问题 【解析】 暂无 暂无【解答】解：(1)∵ f (−1)=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2，∴{2−a +b =−2,2a +b =2, 解得{a =1,b =0,∴ f(x)=x +1x .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 证明如下： 取x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2).∵ x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，0<x 1x 2<1，即x 1x 2−1<0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )在(0,1)上单调递减.同理可证函数f (x )在(1,+∞)上单调递增．(2)函数g (x )在(0,+∞)上有两个零点，即x 2−mx +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，须满足{Δ=m 2−4>0,m >0,第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页解得m >2．(3)由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t (x +1x ). 令z =x +1x ，y =z 2−2tz −2，由(1)可知函数z =x +1x 在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴ z ∈[2,52].∵ 函数y =z 2−2tz −2的对称轴方程为z =t <0， ∴ 函数y =z 2−2tz −2在[2,52]上单调递增.当z =2时，y min =−4t +2；当z =52时，y max =−5t +174，即ℎ(x )min =−4t +2，ℎ(x )max =−5t +174.又∵ 对任意的∀x 1，x 2∈[12,2]都有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤154恒成立，∴ ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤154，即−5t +174−(−4t +2)≤154，解得t ≥−32.又∵ t <0，∴ t 的取值范围是−32≤t <0.。
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，则集合UA（ ）A ．{0,2}B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+≥”的否定是( ) A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x +≤ B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x +< C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+<D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+≤3．设x ∈R ，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各式运算正确的是( ) A ．245(1)(5)a a a a ++=++ B ．222249(23)a ab b a b ++=+ C ．()3322()a b a b a ab b+=+-+ D ．()3322()a b a b a ab b-=--+5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米7．对x R ∀∈，不等式()2214(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6]B ．[2,6){2}⋃-C ．(,2)[2,6)-∞-⋃D ．[2,6)8．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( ) A ．120B ．130C ．150D ．1809．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <> ②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1B ．2C ．3D ．410．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[2,1]-C ．[1,3]-D ．[0,2]11．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,1--⋃+C ．(2,1)(2,3)--⋃D ．(2,6)12．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y +++++++的值为( ) A ．20 B ．24 C ．36 D ．40二、填空题13．函数(11)f x x -的定义域是_______． 14．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =-，则(2)f -=________．15．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1,1]x a a ∀∈-+，都有[1,1]y b b ∈-+，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图像上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是________．三、解答题17．已知集合{|26}A x x =-≤≤，{|35}B x x =-≤≤． （1）求AB ，A B ；（2）若{|121}C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x ≥-的解集为(,1)[0,)-∞-+∞． （1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．19．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图像；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围． 20．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围．21．第二届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2021年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？注：利润=销售额–成本22．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图像与x 轴两交点间距离为4． （1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1,2]x ∈-． ①若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；②记()g x 的最小值为()h k ，讨论()24h t λ-=的零点个数．参考答案1．A 【分析】利用集合补集的性质直接求解即可 【详解】由于{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，所以，UA {0,2}故选A 2．C 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故C 选项正确. 故选C. 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 3．A 【分析】求得不等式|3|1x -<的解集，由此判断出充分、必要条件. 【详解】由|3|1x -<得131x -<-<，即24x <<，所以“|3|1x -<”是“2x >” 充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 4．C 【分析】利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，右边265a a =++≠左边，故A 选项错误.对于B 选项，右边224129a ab b =++≠左边，故B 选项错误. 对于C 选项，根据立方和公式可知，C 选项正确.对于D 选项，根据立方差公式可知，正确的运算是()3322()a b a b a ab b -=-++，故D选项错误. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，属于基础题. 5．D 【分析】利用函数的奇偶性化简,a c ，再根据单调性比较出三者的大小关系. 【详解】由于()f x 是偶函数，故()()()()33,11a f f c f f =-==-=.由于()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()()()13πf f f <<，即c a b <<. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小，属于基础题. 6．B 【分析】利用配方法求得()h t 的最大值，也即烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度. 【详解】依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B. 【点睛】本小题主要考查二次函数最大值的求法，考查函数在生活中的应用，属于基础题. 7．D 【分析】对m 分成2m =和2m ≠且2m ≠-两种情况，结合一元二次不等式恒成立，求得的m 的取值范围. 【详解】当2m =时，原不等式化为104>恒成立. 当2m ≠且2m ≠-时，要使对x R ∀∈，不等式()2214(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则需()()22240124402m m m m ⎧->⎪⎨∆=---⋅<⎪+⎩即()()()()220260m m m m ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，m 的取值范围是[2,6). 故选：D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 8．A 【分析】设出3种书每本的数量，设出学生人数，根据已知条件列方程组，解方程组求得学生人数. 【详解】设毛诗x 本，春秋y 本，周易z 本，学生人数为m ，则94345x y z mxm y mz++=⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩， 解得120403024m x y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故选A. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查方程的思想，属于基础题. 9．B 【分析】对四个判断逐一分析，由此确定判断正确的个数.对于①，由于0,0a b >>，由11a b <，得110b a a b ab--=<，即0a b >>>以①正确.对于②，由于0,0a b >>，()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当42,23b a b a a b ===时等号成立，故②错误. 对于③，由于0,0a b >>，所以112,2a b a b+≥+≥，根据不等式的性质，有114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故③正确.对于④，由于0,0a b >>，所以1111121111y a a a a =+=++-≥=-=++，但是由于111a a +=+时，0a =或2a =-，不符合题意，故等号不成立.所以④错误.综上所述，正确的判断个数为2个. 故选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 10．C 【分析】根据奇函数的性质，求得不等式1(1)1f x -≤-≤的解集. 【详解】由于()f x 是奇函数，故()()221f f =--=-.由于奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数.由1(1)1f x -≤-≤得()()()212f f x f ≤-≤-，所以212x ≥-≥-，解得13x -≤≤.故选C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.【分析】构造函数()225(9)2f x x a x a a =-++--，根据()f x 零点分布列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】构造二次函数()225(9)2f x x a x a a =-++--，其开口向上.依题意，()f x 的零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()()222205920202920a a a a a a a a ⎧-->⎪-++--<⎨⎪-++-->⎩，解得(11)(3,1a ∈-⋃+. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．D 【分析】根据已知条件判断()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称，由此求得128128x x x y y y +++++++的值.【详解】由于()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，当0x =时，()23f =，所以()f x 关于()2,3中心对称.由于()325315()3222x x g x x x x -+-===+---，所以()g x 关于()2,3中心对称.故()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称.所以()f x 与()g x 的图像交点()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，两两关于()2,3对称.所以128128x x x y y y +++++++828340=⨯+⨯=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．[2,1)(1,)-+∞【分析】要使函数()f x 有意义，只需2010x x +⎧⎨-≠⎩，解此不等式组即可．【详解】解：要使函数()f x 有意义，须有2010x x +⎧⎨-≠⎩，解得2x -，且1x ≠，故函数()f x 的定义域为：{|2x x -，且1}x ≠， 故答案为：[2,1)(1,)x ∈-+∞．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，若函数为偶次根式，被开放数须大于等于0；若函数为分式，分母必不为0． 14．2 【分析】根据函数的奇偶性求得()2f -的值.【详解】由于()f x 是奇函数，故()()()222122f f -=-=--=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 15．{1|6x x <或12x ⎫>⎬⎭.【分析】根据20ax bx c ++>的解集写出根与系数关系，由此求得不等式20cx bx a ++<的解集. 【详解】由于不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，所以0a <，2682612b a c a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，即812b a c a=-⎧⎨=⎩，所以不等式20cx bx a ++<可化为21280ax ax a -+<，由于0a <，所以21280ax ax a -+<可化为212810x x -+>，即()()21610x x -->，解得16x <或12x >. 故答案为{1|6x x <或12x ⎫>⎬⎭. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.16．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】对m 分成1,11,1m m m ≤--<<≥三种情况，结合[1,1]x m m ∀∈-+，都有[1,1]y n n ∈-+进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】 函数212y x =-开口向下，对称轴为y 轴.由于B 在函数212y x =-的图像上，所以212n m =-.依题意[1,1]x m m ∀∈-+，都有[1,1]y n n ∈-+，即：[1,1]x m m ∀∈-+，都有22[11122,1]y m m --∈-+. 当10m +≤，即1m ≤-时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上递增，最小值为()2112m --，最大值为()2112m -+，所以()()2222111111211222m m m m ---<-+≤--≤+，此不等式在1m ≤-时无解.当101m m -<<+，即11m -<<时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上，最大值为0，最小值在区间[1,1]m m -+的端点取得，故()()222222221110122111111222111111222m m m m m m m m ⎧--≤≤-+⎪⎪⎪--≤--≤-+⎨⎪⎪--≤-+≤-+⎪⎩，解得1122m -≤≤. 点10m -≥，即m 1≥时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上递减，最小值为()2112m -+，最大值为()2112m --，所以()()2222111111211222m m m m --+<--≤--≤+，此不等式在m 1≥时无解.综上所述，m 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题.17．（1）{|25}A B x x ⋂=-≤≤,{|36}A B x x ⋃=-≤≤（2）3m ≤【分析】（1）根据交集、并集的知识，求得A B ，A B . （2）根据（1）得到A B ，对C 分成C =∅和C ≠∅两种情况，结合()C A B ⊆进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）由已知可得{|25}A B x x ⋂=-≤≤，{|36}A B x x ⋃=-≤≤．（2）由（1）知{|25}A B x x ⋂=-≤≤.由于()C AB ⊆，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <；②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上可得3m ≤．【点睛】本小题主要考查集合交集和并集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.18．（1）1a =；（2）证明见解析.【分析】（1）化简不等式()1f x ≥-为整式形式，根据不等式()1f x ≥-的解集，求得a 的值.（2）利用函数单调性的定义，计算()()210f x f x ->，由此证得函数()f x 在[0,)+∞上是增函数.【详解】（1）由题意211x a x -≥-+， 变形2311011x a x a x x --++=≥++， 等价于(31)(1)0x a x -++≥且10x +≠，解得1x <-或13a x -≥， 所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则210x x ->，那么()()()()()2121212112321211111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， ∵210x x ->，()()12110x x ++>，∴()()210f x f x ->，∴函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查利用函数单调性的定义证明函数单调性，属于基础题.19．（1）()F x 在R 上是偶函数,增区间为(2,0)-，(2,)+∞，递减区间为：(,2)-∞-，(0,2),图像见解析；（2）3t >或1t =-【分析】（1）利用奇偶性的定义，判断出()F x 为偶函数，根据函数()f x 的解析式以及()F x 图像的对称性，画出()F x 的图像，根据图像写出()F x 的单调区间.（2）令()()0H x F x t =-=，()F x t =，结合()F x 图像与y t =的图像有两个交点，求得t 的取值范围.【详解】（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称，又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==，∴()F x 在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图像如下图：观察图像可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时，即()F x 的图像与直线y t =图像有两个交点，观察函数图像可得3t >或1t =-．【点睛】本小题主要考查函数奇偶性，考查函数图像的对称性，考查函数零点问题的求解策略，考查20．（1）当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,) a -；（2）{|1x x ≤-或}1x ≥.【分析】（1）将不等式()0f x <左边因式分解，将a 分成1,1,1a a a <-=->-三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式()0f x <的解集.（2）变换主参变量，将“[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立”转化为一次函数在区间[]1,1-上恒大于零，列不等式组来求解得x 的取值范围.【详解】（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于 ()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -．（2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++，设2()(1),[1,1]g a a x x x a =-+++∈-，要使()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩， 即22210,10,x x x ⎧++≥⎨-≥⎩解得1x ≥或1x ≤-，所以x 的取值范围为{|1x x ≤-或}1x ≥．【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．（1）2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≥⎪⎩（2）2021年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元【分析】（1）利用()104000R =求得a 的值.利用销售额减去固定成本和()R x ，求得利润()W x 的函数关系式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式，求得当x 为何值时，()W x 取得最大值.【详解】（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =，当040x <<时，()22()9001030026010600260W x x x x x x =-+-=-+-； 当40x ≥时， 22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=， 所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≥⎪⎩． （2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+当30x =时，max ()8740W x = 当40x ≥，29190100001000010000()91909190x x W x x x x x x -+-⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭， 因为0x >，所以10000200x x +≥=， 当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x ≤-+=，所以max ()8990W x =万元，因为87408990<，所以2021年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元．【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数求最值的方法，属于中档题.22．（1）2()23f x x x =+-（2）①0k ≥或6k ≤-；②2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点，1λ=时，有3个零点，2λ=或1λ<时，有2个零点【分析】（1）设出二次函数解析式，根据已知条件得到二次函数对称轴、与y 轴交点、根与系数关系，由此列方程组，解方程组求得二次函数解析式（2）①求得()g x 解析式，根据其对称轴与区间[1,2]-的位置关系，求得k 的取值范围. ②将k 分成0k ≥，60k -<<，6k ≤-三种情况，结合()g x 的单调性，求得()h k 的表达式，利用换元法：令244m t =-≥-，即()(4)h m m λ=≥-，结合()h m 的图像对λ进行分类讨论，由此求得()24h t λ-=的零点个数.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12b x a=-=-；① (0)3f c ==-；②设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=，124x x -===；③ 由①②③解得1a =，2b =，3c =-，∴2()23f x x x =+-．（2）①2()(2)2g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-． 由题意知：212k +-≤-或222k +-≥， ∴0k ≥或6k ≤-．② 1)当0k ≥时，对称轴212k x +=-≤-，()g x 在[1,2]-上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+，2)当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()24k k k h k g +--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 3)当6k ≤-时，对称轴222k x +=-≥，()g x 在[1,2]-单调递减， ()(2)210h k g k ==+， ∴21,0,44(),604210, 6.k k k k h k k k k -+≥⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩， 令244m t =-≥-，即()(4)h m m λ=≥-，画出()h m 简图，i ）当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，∴244t -=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．ii ）当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =2个零点．iii ）当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且23,(4,2)(2,0)m m ∈--⋃-，2340,40m m +>+>，∴224t m -=时，解得t =234t m -=时，解得t =4个不同的零点．iv ）当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =有2个零点．v ）当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．【点睛】本小题主要考查根据二次函数的性质求得二次函数解析式，考查含有参数的二次函数在给定区间上的单调性讨论问题，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。
山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期12月高中学科核心素养测评数学试题
2021年潍坊市高中学科核心素养测评高三数学2021.12本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为 A ．7 B ．7．2 C ．7．5 D ．8 2．已知集合{}{}21,1,,A m B a a A =-=∈．若A B ⋂中有两个元素，则实数m 的不同取值个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．塔里木河为中国第一大内流河，全长2179千米，由发源于天山的阿克苏河，发源于昆仑山的叶尔羌河，和田河汇流而成．塔里木河自西向东蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地区大多流经起伏不平的戈壁荒漠，所以河水的含沙量大，很不稳定，被称为“无缰的野马”．已知阿克苏河，和田河和叶尔羌河的含沙量和流量比(见表)，则塔里木河河水的含沙量约为A ．3.333kg/m 3B ．4.060kg/m 3C ．4.992 kg/m 3D ．5.637 kg/m 34．在平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，且终边经过点()1,2P -，则()sin 1sin 2sin cos αααα+=+A ．65-B ．25-C.25D ．655．在Rt △ABC 中，BC=1，斜边AB=2，点P 满足2AB PC =，则PC PA ⋅=A ．12-B ．12C ．32-D ．326．2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜(简称FAST)．FAST 的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个FAST 模型，其口径为5米，反射面总面积为8π平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为(注：球冠表面积2S Rh π=，其中R 是球的半径，h 是球冠的高．) A ．7米B ．72米 C ．73D ．747．已知函数()1f x x a x=++．若存在相异的两个实数()12,,0x x ∈-∞，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为A ．(),1-∞B．⎛-∞ ⎝⎭C ．(1，+∞)D．⎫∞⎪⎪⎝⎭+8. 设数列()()22121n n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则A ．25<S 100<25.5B ．25.5<S 100<26C ．26<S 100<27D ．27<S 100<27.5二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0a b ab <≠且，则下列结论成立的是A ．33a b <B ．11a b>C ．a a b b <D ．23a b < 10．已知函数()()tan 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭C ．当1ω=时，2125f f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．若()f x 在区间,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为10,3⎛⎤⎥⎝⎦11．设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，则下列说法正确的是A ．当[]2,3x ∈时，()()()223g x x x =---B ．()32122k k g k N -+-⎛⎫=∈⎪⎝⎭C ．若()2g m ≥，则实数m 的最小值为72D ．若()()()2h x g x k x =--有三个零点，则实数16k =-12．四面体ABCD 的四个顶点都在球O的球面上，4,AB BC CD DA AC BD ======点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，则下列说法正确的是 A ．过点E ，F ，G 做四面体ABCD 的截面，则该截面的面积为2B ．四面体ABCDC ．AC 与BD的公垂线段的长为D ．过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知复数z 满足()25z i i ⋅-=，则z 的虚部为_________．14．对于项数为m(m ≥3)的有穷数列{}n a ，若存在项数为m+1的等比数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中k=1，2，…，m ，则称数列{}n b 为{}n a 的“等比分割数列”．已知数列7，14，38，60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是_______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)15．已知()()()323012311,3nn n x x a a x a x a x a x n N n +++=++++⋅⋅⋅+∈≥且．若123134n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则3a =_________．16．设0,0a b >>，若关于x 的方程x a x a b -++=恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等比数列；②数列{}1n S a +是等比数列；③212a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，已知2,,623A B AB ππ∠=∠==，点E 在AB 上且AE=2BE ，2,73CED EC π∠==． (1)求sin BCE ∠的值； (2)求△DCE 的周长．19．(12分)已知函数()sin f x ax x =，若函数()2f x x π=在处的切线斜率为2．(1)求实数a 的值； (2)求函数()()2xf xg x e +=在区间[]1,π上的最小值．20．(12分)如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为11,,P Q AAC C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，12,AB AA k ==． (1)当k 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是△PBC 的重心；(2)若[]2,4k ∈，当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．21．(12分)2021年11月4日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计2900多家参展商参展，420多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相．某投资公司现从中选出20种新产品进行投资．为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲，乙两部门分别从这20种新产品中随机地选取10种产品，每种产品被甲，乙两部门是否选中相互独立．(1)求20种新产品中产品A 被甲部门或乙部门选中的概率； (2)甲部门对选取的10种产品的年研发经费i x (单位：万元)和年销售额i y (i=1，2，…，10)(单位：十万元)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．根据散点图现拟定y 关于x 的回归方程为()23y b x a =-+.求,a b 的值(结果精确到0.1)；(3)甲，乙两部门同时选中了新产品A ，现用掷骰子的方式确定投资金额．若每次掷骰子点数大于2，则甲部门增加投资1万元，乙部门不增加投资；若点数小于3，则乙部门增加投资2万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为100万元的概率．附：对于一组数据()11,u υ，()22,u υ，…，(),n n u υ，其回归直线u αβυ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()12120162057.529,,877320520.5277niii nii u u u b υυβαυυυ==---⨯==-=-⨯-∑∑，2016657.51019877365 6.55567-⨯=-⨯.22．(12分)已知函数()()()1ln 1x f x x a x a R x-=+--∈． (1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)设()()()()()221112x a h x x f x x x -=--+-，若()1x t t =>为函数()h x 的极值点，且()12a h t -=，求a 的值。
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末数学试题及答案
高一数学2021．1本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2,5B =，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2,5 B ．{}1,0,1,5-C ．{}1,0,1,2,5-D ．{}1,0,2,5-2．函数31y x=的定义域是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,0)(0,1]-∞⋃ C ．(,0)(0,1)-∞⋃D ．(0,1]3．把A ，B 两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设A 队得分的极差为x ，B 队得分的25%分位数为y ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．42 66.5B ．47 66.5C ．42 69D ．47 694．方程ln 4x x =-的根所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（ ）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.6996．函数2()1xf x x =-+的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算2035年我国城镇常住人口数为（ ） A ．10.82亿B ．10.66亿C ．10.98亿D ．9.12亿8．已知函数()2xf x =，且函数()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，函数()x ϕ的图像与()g x 的图像关于x 轴对称，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、多项选择题：9．若0a b >>．0c ≠，则（ ） A ．ac bc <B ．a c b c +>+C ．22ab>D ．11a b< 10．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ） A ．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D ．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件11．若函数,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+-<⎩（0a >且1a ≠）在R 上为单调函数，则a 的值可以是（ ）A ．13B ．23CD ．212．已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则（ ） A ．()30f =B ．()()35f f =C ．(3)(1)f x f x +=-D ．(2)(1)1f x f x +++=三、填空题：13．1249log 24⎛⎫+=⎪⎝⎭______． 14．若“x ∃∈R ，220x ax a --<”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是______．15．如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，写出一个关于甲、乙两种产品销售额比较．．的统计结论：____________________________________．16．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()2()f x x x =∈R ，1()(0)g x x x=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =-+，则实数b 的取值范围是______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知全集为R ，[,5]A a =，(,2](6,)B =-∞⋃+∞． （1）若[3,2]A B ⋂=-，求RA ；（2）从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是RA B ⊆的什么条件？（只需说明充分必要性，无需证明）．①[3,2)a ∈--；②(3,4)a ∈．18．已知函数2()(1)4f x x k x =+-+，且关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,m ．（1）求实数m ，k 的值； （2）当(0,)x ∈+∞时，()f x b x<恒成立，求实数b 的取值范围． 19．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1个红球，4个白球除颜色外球的质地大小完全相同）．（1）从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？（2）现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？ 20．已知函数()2()31x f x λλ=-∈+R ． （1）若32λ=，求函数()f x 的零点； （2）探索是否存在实数λ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ的值并证明；若不存在，请说明理由．21．某市约有30万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值a ，若居民某月用电量不超过a 度则按第一阶梯电价标准收费，价格为0.5元/度；若某月用电量超过a 度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为b 元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了200户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值a 应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数；（2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过a 度的居民用电量保持不变；月用电量超过a 度的居民节省“超出部分”的40%，试估计全市居民每月节约的电量；（3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价b ．（结果保留两位有效数字）22．已知函数()log log ()2a a a f x x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）． （1）当2a =时，解不等式()1f x >；（2）[2,4]x a a ∀∈，()1f x ≤，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在,(,)a αβ∈+∞，使()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log a a βα？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，试说明理由．高一数学参考答案及评分标准2021．1一、单项选择题 1-4 CBDC 5-8 BAAD二、多项选择题 9．BCD 10．BD11．ABD12．ABC三、填空题 13．214．[]8,0- 15．结论一：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品；结论二：甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较大；结论三：甲产品的月销售额的极差小于乙产品的月销售额的极差．16．1⎡⎤--⎣⎦四、解答题17．解：（1）由题意可得3a =-， 所以R(,3)(5,)A =-∞-⋃+∞，（2）当选择①时，则结论是既不充分也不必要条件； 当选择②时，则结论是充分不必要条件．18．解：（1）由题意得m ，1是方程2(1)40x k x +-+=的根， 由韦达定理得14m ⨯=， 所以4m =，又151m k +==-， 解得4k =-． 所以4m =，4k =-．（2）由题意得，254x x b x -+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，令254()x x g x x-+=，只需min ()b g x <即可，由均值不等式得4()551g x x x =+-≥=-， 当且仅当4x x =，即2x =时等号成立．所以1b <-，所以实数b 的取值范围是(),1-∞-．19．解（1）甲盒中的3个红球记为1a ，2a ，3a ；2个白球记为1b ，2b ； 从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1213111221232122313231321112131221222321,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a a b a b a a a a a b a b b a b a b a b b b a b a b a b b ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭共20个样本点，记事件A ：至少取得一个红球，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()121311122123212231323132111213212223,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a A a b a b a a a a a b a b b a b a b a b a b a b a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭共18个样本点，所以至少取得一个红球的概率189()2010P A ==； （2）参考答案一：选择的是甲盒， 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为35，在乙盒中摸到红球的概率为15， 在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应是甲盒， 但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性． 参考答案二：选择的是乙盒 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为35，在乙盒中摸到红球的概率为15，虽然在乙盒中摸到红球的概率较低，但是不为0，所以存在选择乙盒的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性． 参考答案三：无法判断， 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为35，在乙盒中摸到红球的概率为15， 都是概率不为0的随机事件，都有可能发生，所以可能无法判断． 20．解：（1）当32λ=时，32()231x f x =-+， 由()0f x =得，23312x =+， 所以4313x +=，133x =，解得1x =-，所以函数()f x 的零点为1-．（2）假设存在实数λ，使得函数()f x 为奇函数， 因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 则(0)10f λ=-=， 所以1λ=，此时31()31x x f x -=+，又因为3113()()3131x xxx f x f x -----===-++， 此时()f x 为奇函数，满足题意．故存在实数1λ=，使得函数()f x 为奇函数．21．解：（1）由频率分布直方图可得，区间[]0,160的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值a 的值为160，众数为(]120,160的中间值140，平均数为200.04600.121000.241400.31800.252200.05130⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由（1）知，月用电量在[]0,160内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为0度； 月用电量在(]160,200内的50户居民，平均每户用电180度，超出部分为20度，根据题意，每户每月节电2040%8⨯=（度），50户每月共节电850400⨯=（度）； 月用电量在(]200,240内的10户居民，平均每户用电220度，超出部分为60度，根据题意，每户每月节电6040%24⨯=（度），10户每月共节电2410240⨯=（度） 故样本中200户居民每月共节电400240640+=（度）， 用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为3064096200⨯=（万度）． （3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出部分”对应的总电费也不变，在200户居民组成的样本中，每月用电量共超出205060101600⨯+⨯=度，实行“阶梯电价”后，共节约640度，剩余960度，所以16000.5960b ⨯=⨯，解得0.83b ≈． 22．解：（1）2a =时，()2222()log (1)log (2)log 32f x x x x x =-+-=-+ 函数定义域为(2,)+∞，()1f x >，即()222log 32log 2x x -+>，所以2322x x -+>， 即230x x ->， 解得0x <或3x >， 又(2,)x ∈+∞，所以不等式()1f x >的解集为(3,)+∞． （2）[2,4]x a a ∀∈，()1f x ≤， 即max ()1f x ≤成立，又222233()log log 22416a a a a a f x x ax x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数223416a t x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[2,4]a a 上为增函数，①若01a <<，则(2)1f a ≤，所以223log 21416a a a a ⎡⎤⎛⎫--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2232416a a a a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，则3102a a ⎛⎫-≥⎪⎝⎭， 解得23a ≥或0a ≤． 又01a <<，所以213a ≤<．②若1a >，则(4)1f a ≤，所以223log 41416a a a a ⎡⎤⎛⎫--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2234416a a a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，则21102a a ⎛⎫-≤⎪⎝⎭， 解得2021a ≤≤， 又1a >，所以a ∈∅． 综上a 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（3）假设存在α，β满足题意，由（2）知213a ≤<，所以()f x 在(,)a +∞上是减函数，则()log ()log a a f f ααββ=⎧⎨=⎩， 所以2222322322a a a a αααβββ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，即α，β是方程22322a x ax x -+=的大于a 的两个不等实根， 设223()122a h x x a x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，其对称轴为3142x a =+，由题意得2231,423140, 22 ()0,aaaah a⎧+>⎪⎪⎪⎛⎫∆=+-⨯>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩所以26aaa<⎧⎪>⎨⎪<⎩或6a<--又213a≤<，所以a∈∅．综上，不存在满足题意的实数α，β．。
2020-2021学年山东潍坊高一上数学月考试卷
D.若 ， ，则 ，
下列说法正确的是( )
A.“ ”是“ ”的必要不充分条件
B.“ ， ”是“ ”的充分不必要条件
C.“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
D.“ ”是“ ， ”的充要条件
若 ， 且 ，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
已知关于 的不等式 的解集为 ，则 .
A. B. C. D.
8.若两个正实数 ， 满足 ，当 取得最小值时，不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
已知集合 ， ，定义运算 ，则下列描述正确的是( )
A.若 ，则符合要求的 有 个
B.
C. 中所有元素之和为
D.记 为集合 ，则
下列命题中正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
二元一都接程组的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
全称命因与特末命题
基本常等式簧最母问赤中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题
【答案】
此题暂无答案
【考点】
其他不三式的解州
交常并陆和集工混合运算
解关于 的不等式 .
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东潍坊高一上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
全称命因与特末命题
命正算否定
山东省潍坊市2020-2021学年上学期高一年级期中考试数学试卷
山东省潍坊市2020-2021学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}230A x x x ===，{}1,2,3B =，则A B ⋃=（ ）． A ．{}3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,3D ．{}0,1,2,32．若a ，b ，c ∈R ，则下列不等式成立的是（ ）． A ．若a b >，则22a b > B ．若a b >，则ac bc > C ．若a b >，则11b a> D ．若a b >，则33a b >3．下列各图中，一定不是函数图像的是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式表示为（ ）． A ．130a b c ++<B ．130a b c ++>C ．130a b c ++≤D ．130a b c ++≥5．设U 为全集，则“A B ⋂=∅”是“UA B ⊆”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()2f x ax bx c =++满足()20f <且()30f >，则()f x 在()2,3上的零点（ ）． A ．至多有一个 B ．有1个或2个 C ．有且仅有一个D ．一个也没有7．某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是（ ）． A ．3或4B ．4或5C ．3或5D ．4或68．已知不等式组22680430x x x x ⎧⎨-+<-+<⎩的解集是关于x 的不等式230x x a -+<解集的子集，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．0a <B ．0a ≤C ．2a ≤D ．2a <二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题中是假命题的是（ ）． A ．x ∀∈R ，30x ≥ B ．0x ∃∈R ，303x = C ．x ∀∈Q ，31x ≥D ．0x ∃∈N ，303x =10．下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）．A ．()1f x x=B ．()2f x x =-C ．()22,0,0x x x f x x ⎧≤=⎨->⎩ D ．()1f x x x =+11．下列结论正确的是（ ）． A ．若0x <，则1y x x=+的最大值为-2 B ．若0a >，0b >，则22ab a b +⎛⎫⎪⎝⎭≤C ．若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最大值为9D ．若[]0,2x ∈，则y =的最大值为2 12．下列关于函数()11f x x=+的叙述正确的是（ ）． A ．()f x 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}1y y ≥ B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．当[)1,0x ∈-时，()f x 有最小值2，但没有最大值D ．函数()()21g x f x x =-+有2个零点三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．已知函数()2,1,1x x x a x f x ⎧<=⎨-≥⎩，若()()114f f -+=，则a =______．14．一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的______倍．15．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式()20f x -<的解集为______．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知全集U =R ，集合{}260A x x x =+-≥，{}16B x x =<<，{}12C x m x m =+<<．（1）求()UB A ⋂；（2）若C B ⊆，求实数m 的取值范围．18．在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②存在区间()2,4A =，(),3B a a =，使得A B ⋂=∅，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题[]:1,2p x ∀∈，20x a -≥，命题:q ______，都是真命题． （若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分。
2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|x 2−4x ≤0}，则A ∪B =( )A. (−3,4]B. (−3,4)C. (0,1]D. (−1,4]2.已知a >b >0，c ∈R ，则下列关系式中一定正确的是( )A. a2+c 2c>2aB. ac >bcC. ac 2>bc 2D. 1a 2<1b 23.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. y =1,y =xx B. y =lgx 2，y =2lgx C. y =x,y =3x 3D. y =|x|,y =(√x)24.下列四个命题，其中正确命题的个数( )①若，则 ②若，则③若，则 ④若，则A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个5. 若x ∈R ，则“x >2”是“x 2>4”的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要6. 定义域为R 的偶函数f(x)满足对∀x ∈R ，有f(x +2)=f(x)−f(1)，且当x ∈[2,3]时f(x)=−2(x −3)2，若函数y =f(x)−log a (x +1)在(0,+∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为( )A. (0,√22) B. (0,√33) C. (0,√55) D. (0,√66) 7. 设a <b <0，则下列不等式中不一定正确的是( )A. 2a >2b B. ac <bc C. |a|>−bD. √−a >√−b8. 已知，若是的充分非必要条件，则的取值范围是( )A. B.C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有()A. 该函数在定义域上是偶函数B. 对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0C. 对定义域上任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)D. 对定义域上任意实数x1，x2，都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)10. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−3)=−f(x)，当x∈[0,3]时，f(x)=x2−3x，则()A. f(2019)+f(2020)=f(2021)B. f(2019)+f(2021)=f(2020)C. 2f(2019)+f(2020)=f(2021)D. f(2019)=f(2020)+f(2021)11. 分析给出的下面四个推断，其中正确的为()A. 若a，b∈(0,+∞)，则ba +ab≥2B. 若xy<0，则xy +yx≤−2C. 若a∈R，a≠0，则4a+a≥4D. 若x，y∈(0,+∞)，则lgx+lgy≥2√lgx⋅lgy12. 关于变量x，y的n个样本点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)及其线性回归方程：ŷ=b̂x+â，下列说法正确的有()A. 若相关系数r越小，则表示x，y的线性相关程度越弱B. 若线性回归方程中的b̂>0，则表示变量x，y正相关C. 若残差平方和越大，则表示线性回归方程拟合效果越好D. 若x−=1n ∑x ini=1,y−=1n∑y ini=1，则点(x−,y−)一定在回归直线ŷ=b̂x+â上三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=x(x−4)(2x−a)为奇函数，则实数a=______ ．14. 如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE=1，AB=3，CF=4√2，则BC边的长为______ ．15. 已知的定义域为，又是奇函数且是减函数，若，那么实数的取值范围是．16. 一种药在病人血液中的量需保持在1500mg以上，才有药效：而低于600mg，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在______h内再向病人的血液补充这种药(精确到0.1ℎ，参考数据：lg3≈0.477，lg5≈0.699)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合U={x|−1≤x≤2,x∈P}，A={x|0≤x<2,x∈P}，B={x|−a<x≤1,x∈P}(−1<a<1)(1)若P=R，求∁U A中最大元素m与∁U B中最小元素n的差m−n(2)若P=Z，求∁A B和∁U A中所有元素之和及∁U(∁A B)18. 已知命题若，则方程有实数根。
2021-2022学年山东省潍坊市高二(上)核心素养测评数学试卷(12月份)(附详解)
2021-2022学年山东省潍坊市高二（上）核心素养测评数学试卷（12月份）副标题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在空间直角坐标系O −xyz 中，点A(1,2,4)关于xOy 平面的对称点B 的坐标为( )A. (1,−2,4)B. (−1,2,4)C. (1,2,−4)D. (−1,−2,4)2. 抛物线y =2x 2的准线方程是( )A. x =12B. x =−12C. y =18D. y =−183. 已知直线l ：√3x −y +3=0，下列结论正确的是( )A. 直线l 的倾斜角为π6 B. 直线l 的法向量为(√3,1) C. 直线l 的方向向量为(1,√3)D. 直线l 的斜率为−√34. 已知斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1所有棱长均为2，∠A 1AB =∠A 1AC =π3，点E 、F 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √6B. √5C. 2D. √25. 中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部(图2)外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在x 轴上离心率为√343的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为( )A. 5x ±3y =0B. x ±15y =0C. √5x ±3y =0D. 3x ±√5y =06. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =120°，AB =AC =1，PA =√2，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A. 2√55B. 2√23C. √55D. 137. 已知两定点P(−12,0)，Q(m,0)(m <−12)，动点M 与P 、Q 的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0且λ≠1)，那么点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为x 2+y 2=4，则λ+m 的值为( )A. −8B. −4C. 0D. 48. 我国南北朝时期的数学家祖眶提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．根据祖暅原理，对于3D 打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D 打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S ，随高度ℎ的变化而变化，变化的关系式为S(ℎ)=π(4−ℎ2)(0≤ℎ≤2)，则该零件的体积为( )A. 4π3B. 8π3C.16π3D.32π3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ∈AD 1，N ∈BD ，且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的是( )A. AD 1⊥MNB. MN//A 1CC. MN//平面DCC 1D 1D. MN 为AD 1与BD 的公垂线A. 直线(a −1)x −(a −2)y −1=0(a ∈R)一定经过第一象限B. 经过点P(1,2)，倾斜角为α的直线方程为y −2=tanα(x −1)C. 经过两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线方程为y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1) D. 截距相等的直线都可以用方程x +y =a(a ∈R)表示11. 已知双曲线x 24−y 23=1的两个顶点分别是A 1，A 2，两个焦点分别是F 1，F 2.P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，则有( )A. ||PA 1|−|PA 2||=4B. 直线PA 1，PA 2的斜率之积等于34 C. 使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有8个D. 若PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =012. 已知点P ，C ，D 是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点P 为圆心，4为半径的半圆，点C 是AB ⏜的中点，点D 是AC⏜的中点(如图)，则下列说法正确的是( ) A. 圆锥的体积为8√33π B. 直线PD 与圆锥底面夹角为π6C. 圆锥的内切球半径为2√33D. 以圆锥底面圆心为球心、半径为2的球被平面PCD 所截，则截面面积为167π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 给出下列条件：①l//α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点．能确定直线l 在平面α外的条件的序号为______． 14. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为C ，过点F 作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若△ABC 为直角三角形，则双曲线的离心率为______． 15. 如图，已知正方体ABCD −A′B′C′D′，E ，F 分别为AD ，AB 的中点，点G 在上底面A′B′C′D′(含边界)上运动．请补充一个恰当条件，当点G 满足______条件时，有BC′//平面EFG ．16.已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆(如图)，在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为x2m +y2n=1(m>n>0)，篮球与地面的接触点为H，则|OH|的长等于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知两个条件：①圆心C在直线x−2y=0上，直线4x−3y=0与圆C相交所得的弦长为4；②圆C过圆x2+y2−6x−6y+8=0和圆x2+y2−4x−8y+4=0的公共点．在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．问题：是否存在唯一的圆C过点A(6,0)且_____，并说明理由．18.如图，已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，O，F，G分别为BD，A1D1，C1D1的中点，E为线段BB1上非端点的动点，且AB=AD=2，AA1=4，设面EFG与底面ABCD的交线为直线l，(1)证明：l//FG；(2)当BE=14BB1时，证明：OE为平面EFG的一条垂线．19. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求|AB|； (2)若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．20. 如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏粗盐(供融化高速公路上的积雪之用).现有的仓库的底面直径为12m ，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粗盐现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4m(高不变)，二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积； (2)分别计算按这两个方案所建仓库的表面积； (3)哪一个方案更经济些？21. 四棱锥P −ABCD 底面为直角梯形，∠BAD =∠ADC =π2，平面PAC ⊥平面ABCD ，CD =4，AD =AB =2，PA =PC =3，AC 中点为F ，过BD 的平面BDG 交线段PC 于G ，并且AP//平面BDG ． (1)求PGGC 的值；(2)平面PAD 与平面PBC 交线上是否存在点H ，使平面FGH 与底面ABCD 所成的角为π3，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由．22. 已知定点M(−1,0)，圆N ：(x −1)2+y 2=16(N 为圆心，O 为坐标原点)，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，过N 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的方程；(2)点T 在线段AB 上，且AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 关于原点的对称点为R ，求△BRT 面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：在空间直角坐标系O−xyz平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以点P关于平面xOy对称的点是(1,2,−4)，故选：C．关于xOy平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数．本题考查平面内点的坐标表示，属于容易题．2.【答案】Dy，【解析】解：根据题意，抛物线y=2x2的标准方程为x2=12其焦点在y轴上，且2p=1，2，则p=14；则抛物线的准线方程为：y=−18故选：D．根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析抛物线的焦点以及p的值，由抛物线的准线方程即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程．3.【答案】C【解析】解：由题意可得直线的斜率k=√3，故直线的倾斜角π，AD错误，C正确；3，与l垂直的直线斜率−√33)，所以与l垂直的直线的一个方向向量为(1,−√33)不平行，B错误．又(√3,1)与(1,−√33故选：C．项即可判断．本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及直线的方向向量及法向量的求解，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1所有棱长均为2，∠A 1AB =∠A 1AC =π3，点E 、F 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗=1+1+1+12×2×2×12−2×1×12−2×1×12=2， ∴|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， 故选：D ．先利用空间向量的线性运算得到EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用空间向量的求模公式求解即可．本题考查空间向量的线性运算，空间向量的求模公式，是中档题．5.【答案】A【解析】解双曲线的离心率e =ca=√343， 而c 2=a 2+b 2， 所以e =√1+b 2a 2， 所以√343=√1+b 2a2，可得b a =53，因为焦点在x 轴上，设双曲线的方程为：x 2a 2−y 2b 2=1， 所以渐近线的方程为：y =±ba x =±53x ， 即5x ±3y =0， 故选：A ．上，可得渐近线的方程．本题考查双曲线的离心率的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，属于中档题．由题可得PB=PC，取BC的中点D，连接AD，PD，可得BC⊥平面PAD，在平面PAD中，过A作AO⊥PD于O，则AO⊥平面PBC，从而可知∠APD即为直线PA与平面PBC所成的角，在Rt△PAD中，可得sin∠APD=ADPD =13．【解答】解：∵PA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∵AB=AC=1，PA=√2，∴PB=PC=√3．取BC的中点D，连接AD，PD，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD．在平面PAD中，过A作AO⊥PD于O，则BC⊥AO，又BC∩PD=D,BC,PD⊂平面PBC，∴AO⊥平面PBC，在Rt △PAD 中，AD =12，PA =√2， ∴PD =√PA 2+AD 2=32，∴sin∠APD =ADPD =13，即直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13， 故选D ．7.【答案】B【解析】解：设M(x,y)，由|MQ||MP|=λ(λ>0且λ≠1)，得√(x−m)2+y 2√(x+12)2+y 2=λ，所以x 2−2mx +m 2+y 2=λ2x 2+λ2x +14λ2+λ2y 2， 所以x 2+y 2−λ2+2m 1−λ2x =14λ2−m 21−λ2，又M 的轨迹方程为x 2+y 2=4， 所以λ2+2m 1−λ2=0且14λ2−m 21−λ2=4，解得m =−12(舍去)或m =−8，所以m =8，所以λ2=−2×(−8)=16，所以λ=4， 所以λ+m =−4． 故选：B ．设M(x,y)，由|MQ||MP|=λ，得x 2+y 2−λ2+2m 1−λ2x =14λ2−m 21−λ2，与x 2+y 2=4对比，可得λ2+2m 1−λ2=0且14λ2−m 21−λ2=4，求解即可．本题考查点的轨迹方程的求法，属基础题．8.【答案】C【解析】解：由祖暅原理，该零件在高为ℎ的水平截面的面积为S(ℎ)=π(4−ℎ2)(0≤ℎ≤2)，恰好与一个半径为2的半球在高为ℎ处的水平截面面积一致， 故该零件的体积即为半球的体积12×4π3×23=16π3．由祖暅原理，该零件在高为ℎ的水平截面的面积为S(ℎ)=π(4−ℎ2)(0≤ℎ≤2)，恰好与一个半径为2的半球在高为ℎ处的水平截面面积一致，在结合球的体积公式，即可求解． 本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D 1(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A 1(1,0,1)，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则M(23,0,13)， 由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则N(13,13,0)， 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,13,−13)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， 则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AD 1⊥MN ，故选项A 正确； A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又MN ，A 1C 不在同一条直线上，所以MN//A 1C ，故选项B 正确；平面DCC 1D 1一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)，而MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−13≠0， 所以MN 与平面DCC 1D 1不平行，故选项C 不正确； DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，有MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13×1+13×1+(13)×0=0， 所以NM ⊥DB ，又AD 1⊥MN ，且NM 与DB ，AD 1均相交， 所以MN 为AD 1与BD 的公垂线，故选项D 正确． 故选：ABD ．设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量对每一选项进行验证即可得到答案．本题主要考查空间线线、线面的位置关系的判断，考查向量法的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：因为直线(a −1)x −(a −2)y −1=0可化为a(x −y)−(x −2y +1)=0恒过定点(1,1)，即直线一定经过第一象限，A 正确； 倾斜角为α=π2时，B 显然不成立；过两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线斜率k =y 2−y1x 2−x 1，故直线方程为y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1)，C 正确；当截距都为0时，直线方程也可能为x −y =0，D 显然不成立． 故选：AC ．结合直线所恒过的定点可检验A ；结合直线的倾斜角与斜率关系可检验选项B ；先求出直线的斜率，然后结合点斜式方程可检验选项C ； 考虑直线的截距是否为0检验选项D ，本题主要考查了直线方程恒过定点，直线的倾斜角与斜率关系，经过两点的直线方程的求解及直线的截距式方程的应用，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：由双曲线x 24−y 23=1可得a 2=4，b 2=3，所以a =2，b =√3，c =√4+3=√7，对于A.由双曲线的定义得，||PF 1|−|PF 2||=2a =4，故A 不正确； B .设P(x 0,y 0)，则x 024−y 023=1，所以k PA 1⋅k PA 2=−y 02x 02−4=34，故B 正确；C .若P 在第一象限，则当PF 1=2c 时，|PF 2|=2c −2a ，△PF 1F 2为等腰三角形；当|PF 2|=2c 时，|PF 1|=2c +2a ，△PF 1F 2也为等腰三角形； 因此使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有八个，故C 正确；D .若PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0²+y 0²−4=3，则x 0²+y 0²=7=c²，从而PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0²+y 0²−c²=0，故D 正确； 故选：BCD ．由双曲线的定义可判断A 不正确；化简斜率乘积推出结果判断B ；判断三角形的公式判断C ；利用点到直线的距离求解判断D ．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：根据题意，还原圆锥如下所示：不妨设该圆锥底面半径为r，高为ℎ，底面圆圆心为O，根据题意，PA=4，圆锥底面圆周长为2πr=12×2π×4，解得r=2，由勾股定理可得ℎ=√PA2−r2=2√3，A：圆锥的体积为13×πr2×ℎ=13×4π×2√3=8√33π，故A正确；B：显然直线PD与圆锥底面夹角为∠PDO，在Rt△PDO中，cos∠PDO=ODPD =24=12，故∠PDO=π3，则直线PD与圆锥底面的夹角为π3，故B错误；C：设内切球的球心为O，半径为1，画出圆锥轴截面和内切球的示意图如下：由三角形PHO1与三角形POC相似可得：r1r =ℎ−r14，即r12=2√3−r14，解得r1=2√33，故C正确；D：易知：平面PCD截以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球的截面为一个圆，则S△PCD=12×2√2×√PD2−(12CD)2=2√7，由等体积法可得，V O−PCD=V P−OCD，即13×S△PCD×ℎ1=13×S△OCD×PO，解得ℎ1=2√217，故可得，r2=√22−ℎ12=4√77，故截面圆面积为πr22=16π7，故D正确；故选：ACD．由已知条件，还原圆锥，根据锥体体积的计算公式、线面角的求解，圆锥内切球的求解方法，以及球体截面面积的计算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和求解．本题考查了立体几何综合，属于难题．13.【答案】①③【解析】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l//α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：过点F作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，可得A，B关于x轴对称，又因为△ABC为直角三角形，所以∠ACF=45°，所以|CF|=|AF|，代入双曲线的方程可得|y A|=b2，a，整理可得a2+ac=c2−a2，所以a+c=b2a即e2−e−2=0，解得e=2，故答案为：2．由题意及△ABC为直角三角形可得∠ACF=45°，可得a2+ac=c2−a2，可得离心率的值．本题考查双曲线的性质的应用及等腰直角三角形的应用，属于基础题．15.【答案】G在B′C′中点与C′D′中点连线上【解析】解：取BB′，B′C′，C′D′，DD′的中点分别为Q，M，N，P，连接BD，B′D′，FQ，QM，MN，NP，PE，因为E，F分别为AD，AB的中点，所以EF//BD．同理可得MN//B′D′．因为BB′//DD′，BB′=DD′，所以四边形BB′D′D是平行四边形，可得B′D′//BD．所以EF//MN，同理可证明PE//QM，PN//FQ，所以E，F，Q，M，N，P共面，因为BC′//QM，BC′⊄平面EFQMNP，QM⊂面EFQMNP，所以BC′//平面EFQMNP，若BC′//平面EFG，则点G在平面EFQMNP内，又因为点G在上底面A′B′C′D′(含边界)，所以点G在面EFQMNP与面A′B′C′D′的交线上，所以点G在线段MN上，即点G在B′C′中点与C′D′中点连线上，故答案为：G在B′C′中点与C′D′中点连线上．取BB′，B′C′，C′D′，DD′的中点分别为Q，M，N，P，连接BD，B′D′，FQ，QM，MN，NP，PE，可证明BC′//平面EFQMNP，点G在平面EFQMNP内，进而可得点G在面本题主要考查线面平行的判定与性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．16.【答案】√m −n【解析】解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径， 由图∠O′AB +∠O′BA =12(∠A′AB +∠B′BA)=12×180°=90°， ∴∠AO′B =90°，由O 是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，过球心向地面作垂线，垂足是H ，在构成的直角三角形中，OO ′2=OH 2+O′H 2， ∴OH =√a 2−b 2=√m −n ， 故答案为：√m −n ．在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，过球心向地面作垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可求出结果． 本题考查了圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量，属于中档题．17.【答案】解：选择①，不存在唯一的圆C ，理由如下：设圆的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，因为圆心C 在直线x −2y =0上，所以a −2b =0，① 圆心到直线的距离d =|4a−3b|5，则(|4a−3b|5)2+4=r 2，②又因为圆C 过点A(6,0)，则(6−a)2+b 2=r 2，③由①②③解得a =4，b =2，r 2=8或者a =8，b =4，r 2=20， 所以方程为(x −4)2+(y −2)2=8或者(x −8)2+(y −4)2=20． 故不存在唯一的圆C ．选择②，存在唯一的圆C ，理由如下：设圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +8+λ(x 2+y 2−4x −8y +4)=0， 又因为圆C 过点A(6,0)，则8+16λ=0，即λ=−12．所以圆的方程为x 2+y 2−8x −4y +12=0即(x −4)2+(y −2)2=8． 故存在唯一的圆C ．【解析】选择①，先设圆的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，然后结合已知确定圆的圆心及半径的关系，结合方程解的个数即可判断；选择②，先设圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +8+λ(x 2+y 2−4x −8y +4)=0，结合圆C 过点A(6,0)，代入可求λ，进而可求圆的方程．本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的应用，还考查了圆的方程的求解，属于中档题．18.【答案】证明：(1)连接A 1C 1，因为F ，G 为A 1D 1，C 1D 1的中点， 所以FG//A 1C 1， 又因为AC//A 1C 1， 所以FG//AC ，又因为FG ⊄平面ABCD ， 所以FG//平面ABCD ，因为FG ⊂平面EFG ，平面EFG ∩平面ABCD =l ， 所以FG//l ．(2)方法1：连接OF ，OE =√OB 2+BE 2=√3， EF =√B 1E 2+B 1F 2=√14，同理可得OF =√17， 因为OF 2=EF 2+OE 2，所以OE ⊥EF ， 同理OE ⊥GE ，又因为EF ∩EF =E ， 所以OE ⊥平面EFG ，所以OE 为平面EFG 的一条垂线．方法2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(2,2,1)，F(1,0,4)，G(0,1,4)，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,3)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,3)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 所以OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以OE ⊥EF ，OE ⊥EG ， 所以OE ⊥平面EFG ，所以OE 为平面EFG 的一条垂线．【解析】(1)推导出FG//平面ABCD ，利用线面平行的性质定理即可证得FG//l ； (2)方法1：利用线面垂直的判定定理即可得证；方法2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得证．本题主要考查线线平行与线面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由已知抛物线的方程可得F(1,0)，可得直线l 的方程为y =x −1，代入抛物线方程可得：x 2−6x +1=0，Δ=36−4=32>0，则x A +x B =6， 所以|AB|=x A +x B +p =x A +x B +2=8，(2)依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为x =my +1，(m ≠0)① 代入y 2=4x 中，得y 2−4mx −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，② ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 1−1,y 1)=2(1−x 2,−y 2)，∴y 1=−2y 2，代入①得m 2=18，即m =±√24∴直线ll 的方程为x =±√24y +1，【解析】(1)由已知求出直线l 的斜率，由此求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式即可求解；(2)可设直线l 的方程为x =my +1，(m ≠0)得y 2−4mx −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=−3y 2，得m 2即可．本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．20.【答案】解：(1)设两种方案所建的仓库的母线长分别为l 1，l 2，表面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，方案一：仓库的底面直径变成16m ， 则所建仓库的体积为V 1=13×π×82×4=2563π(m 3)；方案二：仓库的高变成8m ，则所建仓库的体积为V =1×π×62×8=96π(m 3)；此时圆锥的母线长l1=√82+42=4√5(m)，则仓库的表面积为S1=π×8×√82+42=32√5π(m2)，方案二：仓库的高变成8m，此时圆锥的母线长l2=√82+62=10(m)，则仓库的表面积为S2=π×6×√62+82=60π(m2)．(3)因为V1<V2，S1>S2，所以第二种方案更经济些．【解析】(1)设两种方案所建的仓库的母线长分别为l1，l2，表面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，利用圆锥的体积公式分别求解即可；(2)利用圆锥的表面积公式求解即可；(3)比较大小，即可得到答案．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设AC，BD交于E，连接EG，如图所示：因为AP//平面BDG，平面BDG∩平面APC=EG，AP⊂面APC，所以AP//EG，PGGC =AEEC因为底面ABCD是等腰梯形，且DC=2AB，由△DEC～△BEA可得：所以AEEC =ABDC=12，所以PGGC =12．PA =PC =3，连接PF ，F 为AC 中点，则PF ⊥AC ，又因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC⋂平面ABCD =AC ，PF ⊂平面PAC ，所以PF ⊥平面ABCD ，又AC =√AD 2+DC 2=√4+16=2√5，所以AF =√5，PA =3，所以PF =2，则K(4,0,0)，F(1,2,0)，P(1,2,2)，C(0,4,0)，由(1)知PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设G(x,y,z)，则(x −1,y −2,z −2)=12(−x,4−y,−z)， 所以x =23，y =83，z =43，即G(23,83,43)，设PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(3,−2,−2)=(3λ,−2λ,−2λ)， 当λ=0时，不符合题意，故λ≠0，FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)+(3λ,−2λ,−2λ)=(3λ,−2λ,2−2λ)，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,23,43) 设平面FGH 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z) 则{FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−13x +23y +43z =0FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3λx +(−2λ)y +(z −2λ)z =0， 令z =1，则x =−1+λλ，y =−1+5λ2λ 则n ⃗ =(−1+λλ,−1+5λ2λ,1)取平面ABCD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,0,1) cos π3=|cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=√2λ2+24λ2+1=12所以17λ2+18λ+5=0，Δ=182−4×5×17=−16<0，无解，故不存在H 点，使得平面FGH 与底面ABCD 所成的角为π3．【解析】(1)根据AP//平面BDG推出AP//EG，再根据三角形相似即可求得比值关系；(2)找到两平面的交线，建立空间直角坐标系，假设存在点H，利用向量法求解即可．本题主要考查空间向量的应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)由中垂线的性质得|PM|=|PQ|，所以|MP|+|NP|=|PQ|+|NP|=4>|MN|=2，所以，动点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=2，b=√a2−1=√3，因此，曲线C的方程为：x24+y23=1．(2)由题意知直线l的斜率不为0，可设l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则R(−x2,−y2)，由题意可知，S△BRT=13S△ABR=23S△AOB=23×12|ON|⋅|y1−y2|=13|y1−y2|，联立{x=my+1x24+y23=1，整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，由根与系数的关系得y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，所以|y1−y2|=√(y1−y2)2=√(y1+y2)2−4y1y2=√36m2(4+3m2)2−4×−94+3m2=12√1+m24+3m2．令t=√1+m2(t≥1)，则S△BRT=4√m 2+13m2+4=4t3t2+1=43t+1t．因为f(t)=3t+1t在[1,+∞)上是增函数，所以f(t)≥f(1)=4，所以△BRT面积的取值范围为(0,1]．【解析】(1)利用中垂线的性质及椭圆的定义即可得出．(2)由题意知直线l的斜率不为0，可设l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得R(−x2,−y2)，由题意可知，S△BRT=13S△ABR=23S△AOB=23×12|ON|⋅|y1−y2|=13|y1−y2|，把直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用根与系数的关系、换元法、基本不等式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中垂线的性质、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一(上)核心素养测评数学试卷(12月份)(附详解)
2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）核心素养测评数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x||x−2|<3}，B={y|y=3x,0≤x≤2}，则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|1<x<5}C. {x|1≤x<5}D. {x|−1<x≤9}2.下列命题中正确的是()A. 若1a <1b<0，则|a|+|b|>|a+b|B. 若a，b∈R，a>b+1，则|a|>b+1C. 若a>b，c>d，则a−c>b−dD. 若a>b，c<d，则ac >bd3.已知函数f(x)=log2x+log2(4−x)，则()A. f(x)在(0,4)内单调递减B. f(x)是偶函数C. f(x)的图像关于点(2,0)中心对称D. f(x)的最大值为24.在同一直角坐标系中，函数y=1a x +a x和y=log a(x+12)(a>0且a≠1)的图像可能是()A. B.C. D.5. a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b+ma+m >ba (a >b >0,m >0)，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是( )A. log 85<log 1610B. lg7+lg111+lg7+lg11>lg71+lg7+lg111+lg11√7√11<√7−2√11−2 √5√3<√5+2√3+26. 已知函数f(x)的定义域为R ，其图像关于y 轴对称，且f(x)在(−∞,0]上单调递增，若f(3a −2)>f(2a)，则实数a 的取值范围是( )A. a <12或a >52 B. a <25或a >2 C. 12<a <52D. 25<a <27. 已知函数f(x)=x 3+2x −9在(1,2)内有一个零点，且求得f(x)的部分函数值数据如表所示：要使f(x)零点的近似值精确度为0.01，则对区间(1,2)的最少等分次数和近似解分别为( )A. 6次 1.75B. 6次 1.76C. 7次 1.75D. 7次 1.768. 记对数log 23的整数部分为a ，第一位小数的值为b ，则a +b =( )A. 4B. 5C. 6D. 7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在整数集Z 中，被7除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={7n +k|n ∈Z,k ∈Z}，k =0，1，2，3，4，5，6，给出如下四个结论，其中正确的结论为( )A. 2021∈[5]B. −2∈[2]C. Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]D. 若a −b ∈[0]，则整数a ，b 属于同一类10. 下列说法正确的是( )A. 命题“∀x >0，e x >1”的否定是“∃x >0，e x ≤1”B. 若“x <m ”是“x <2019或x >2020”的充分不必要条件，则实数m 的最大值为2019C. “m ≥2√2”是“函数y =2x 2−mx +1在(−∞,+∞)内有零点”的必要不充分条件D. 若函数f(x)=3x +a 3x +1，的最小值为3，则a =9411. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x1+2x−12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述正确的是( ) A. f(x)是奇函数 B. g(x)是偶函数 C. g(x)的值域为{−1,0}D. 方程g(x)+2(x −[x])=0在[−1,1]上有3个实数根12. 已知函数f(x)={x 2+4x,x <02−x −1,x >0，若关于x 的方程4f 2(x)−4λf(x)+2λ+3=0有5个不同的实根，则实数λ可能的取值有( )A. −32B. −43C. −76D. −87三、单空题（本大题共4小题，共18.0分）13. 已知函数f(x)=(13)x +1，其反函数为y =f −1(x)，则f −1(4)=______． 14. 若正实数x ，y 满足x +4y =6xy ，则x +y 的最小值为______．15. 已知函数f(x)=lg a x 2+1的定义域为R ，且存在实数x 0使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)成立，则实数a 的取值范围为______． 16. 定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足：①当x ∈[1,3)时，f(x)={x −1,1≤x ≤23−x,2<x <3； ②f(3x)=3f(x)．(1)若f(x)=k(x −2)有唯一解，则实数k 的取值范围为______；(2)若函数F(x)=f(x)−a的零点从小到大依次记为x1，x2，⋅⋅⋅，x n，⋅⋅⋅，则当a∈(1,3)时，x1+x2+⋅⋅⋅+x9+x10=______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知函数f(x)，若f(x)=x，则称实数x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))=x，则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f(f(x))=x}．(1)已知函数f(x)=3x−2，分别求出函数f(x)对应的集合A和B；(2)设f(x)=x2+ax+b，若A={−1,3}，求函数f(x)对应的集合B．18.已知函数f(x)=ax2+(4−2a)x−8(a∈R)．(1)当a>0时，f(x)<4x在x∈[−1,4]上恒成立，求a的取值范围；(2)当a≤0时，解关于x的不等式f(x)<0．19.如图，A，B，C，D四点都在⊙O上，AB=AD，∠ABC=90°，BE为圆的切线，切点为B，线段DA的延长线交BE于点F．(1)证明：AB是∠DBE的角平分线；(2)设⊙O的半径为R=2，BD=2√3，求△BDF的内切圆半径r的值．20. 已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+mg(x)=e x (m >0,e =2.71828⋅⋅⋅)．(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)设函数F(x)=f(x)−g(x)，当m ∈[12,34]时，方程F(x)=0有解且所有解均在区间[a,b]内，求实数a ，b 的取值范围．21. 近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与空气污染指数p(x)的关系为：f(x)=p(x)|p(x)−k|+14(0<x ≤24)，其中空气污染指数p(x)与时刻x(小时)和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，k ∈(0,12)． (1)求空气污染指数p(x)的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1.试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．+a)．22.已知a∈R，函数f(x)=log2(1x(1)当a=5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x的方程f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的(3)设a>0，若对任意t∈[12差不超过1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A ={x||x −2|<3}={x|−1<x <5}， B ={y|y =3x ,0≤x ≤2}={y|1≤y ≤9}， ∴A ∩B ={x|1≤x <5}． 故选：C ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A ，令a =−1，b =−2，满足1a <1b <0，但|a|+|b|=|a +b|，故A 错误，对于B ，∵|a|≥a ， ∵a >b +1，∴|a|>b +1，故B 正确，对于C ，令a =1，b =−1，c =1，d =−1，满足a >b ，c >d ，但a −c =b −d ，故C 错误，对于D ，令a =1，b =−1，c =1，d =−1，满足a >b ，c >d ，但ac =bd ，故D 错误． 故选：B ．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵f(x)=log 2x +log 2(4−x)=log 2(−x 2+4x)，可知{x >04−x >0，即0<x <4，因为y =−x 2+4x 在(0,4)上不单调，故A 选项错误； 因为定义域为(0,4)，不关于原点对称，故B 选项错误；对于C 选项，f(4−x)=log 2(−x 2+4x)=f(x)≠−f(x)，故C 选项错误；对于D 选项，设t =−x 2+4x ，当x =2时，t 最大为4，故f(x)的最大值为f(2)=2，故D 选项正确． 故选：D ．根据复合函数的单调性可判断A ，由函数的定义域可判断B ，根据对称性可判断C ，利用复合函数值域的求法可判断D ．本题考查了对数函数的定义域和对数函数的单调性，以及函数的中心对称和最值问题，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由函数y =1a x +a x =a −x +a x ，可知函数为偶函数，函数图像关于y 轴对称，可排除选项AC ，又y =log a (x +12)的图像过点(12,0)，可排除选项D ． 故选：B ．利用函数的奇偶性及对数函数的图像的性质可得．本题考查了函数的奇偶性及对数函数的性质，属于基础题，用排除法即可得到选项．5.【答案】A【解析】解：对于A ，lg8>lg5，lg2>0， log 85=lg5lg8<lg5+lg2lg8+lg2=lg10lg16=log 1610，故A 正确，对于B ，lg71+lg7+lg111+lg11>lg71+lg7+lg11+lg111+lg7+lg11=lg7+lg111+lg7+lg11，故B 错误，对于C ，√7√11=√7−2+2√11−2+2>√7−2√11−2，故C 错误，对于D ，∵√3√5<√3+2√5+2∴√5√3>√5+2√3+2，故D 错误．故选：A ．根据已知条件，结合不等式的性质，以及对数函数的公式，即可求解． 本题主要考查不等式的性质，以及对数函数的公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)是定义域在R上的偶函数，∵f(x)在(−∞,0]上单调递增，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴不等式等价于f(|3a−2|)>f(|2a|)，即|3a−2|2<4a2，则5a2−12a+4<0，解得25<a<2，实数a的取值范围是(25,2)，故选：D．根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由表格数据，零点区间变化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656)，此时区间长度小于0.01，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取1.76．故选：D．根据已知条件，结合精度要求，以及二分法，确定区间．本题主要有考查函数的实际应用，掌握二分法是解本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵1<log23<2，∴a=1，设第二位小数及以后的值为c，则有log23=1+0.1b+0.01c，∴log23−1=0.1b+0.01c，∵0.1b+0.01c=log23−1=log23−log22=log232，∴b+0.1c=10log232=log2310210=log2590491024，而590491024≈57.7，32<590491024<64，∴25<590491024<26，∴5<log 2590491024<6，∴5<b +0.1c <6， ∴b =5， ∴a +b =6， 故选：C ．先求出a =1，设第二位小数及以后的值为c ，则有b +0.1c =10log 232=log 2310210=log 2590491024，由估计值可知25<590491024<26，即5<log 2590491024<6，所以5<b +0.1c <6，从而求出b 的值．本题主要考查了对数的运算性质，同时考查了学生的转化思想和运算求解能力，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A ：∵2021÷7=288…5，∴2011∈[5]，故A 正确； 对于B ：∵−2=7×(−1)+5，∴−2∉[2]，故B 错误；对于C ：因为整数集中的数被7除的数可以且只可以分成七类，故Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]，故C 正确；对于D ：∵a −b ∈[0]，a −b 被7除的余数为0，∴整数a ，b 被7除的余数相同，整数a ，b 属于同一类，故D 正确． 故选：ACD ．对各个选项进行分析：A2021÷7=288…5；B −2÷7=−1…5，C 整数集中的数被7除的数可以且只可以分成七类，故Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]；D 由a −b ∈[0]，a −b 被7除的余数为0，可证整数a ，b 属于同一类．本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的理解，属基础题．10.【答案】AB【解析】解：由全称命题的否定知“∀x >0，e x >1”的否定是“∃x >0，e x ≤1”，故A 正确；因为“x <m ”是“x <2019或x >2020”的充分不必要条件，所以m ≤2019，故B 正确；函数y =2x 2−mx +1在(−∞,+∞)内有零点等价于2x 2−mx +1=0有实数根， 即Δ=m 2−8≥0，解得m ≤−2√2或m ≥2√2，故m ≥2√2是“函数y =2x 2−mx +1在(−∞,+∞)内有零点”的充分不必要条件，故C 错误； 若a ≤0，则(x)无最小值，所以a >0，因为f(x)=3x +a3x +1=3x +1+a3x +1−1≥2√(3x +1)⋅a3x +1−1=2√a −1，当且仅当3x +1=a3x +1时等号成立，若2√a −1=3，解得a =4，所以D 错误． 故选：AB ．根据全称命题的否定判断A ，由充分必要条件可转化为集合间的包含关系判断B ，求出函数有零点的等价条件，根据集合间的包含关系判断C ，根据基本不等式判断D ． 本题主要考查函数最值的求法，命题的真假的判断与应用，基本不等式以及充要条件的判断，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：f(x)=2x 1+2x −12=12−11+2x ，因为f(−x)=2x 1+2−x−12=11+2x−12=−f(x)，所以f(x)为奇函数，A 正确；因为g(1)=[f(1)]=[21+2−12]=0,g(−1)=[f(−1)]−[12+1−12]=−1，所以g(1)≠g(−1)，g(1)≠−g(−1)，所以函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，B 错误； 因为2x >0， 所以1+2x >1， 所以−12<f(x)<12，所以g(x)=[f(x)]的值域为{−1,0}，C 正确；当x =−1时，g(1)=0，所以0+2(1−1)=0，满足方程g(x)+2(x −[x])=0， 当x =0时，g(0)=0，所以0+2(0−0)=0，满足方程g(x)+2(x −[x])=0，当−1<x <0时，−16<f(x)<0， 所以g(x)=−1，所以−1+2(x +1)=0，解得x =−12， 当0<x <1时，0<f(x)<16， 所以g(x)=0， 所以2(x −0)=0， 解得x =0(舍去)，综上，g(x)+2(x −[x])=0在[−1,1]上的根为1,0,−12，故D 正确； 故选：ACD ．由f(−x)=−f(x)，故A 正确，利用g(1)≠g(−1)，g(l)≠−g(−1)可判断B 错误，求出f(x)的值域后利用高斯函数可求g(x)，从而可判断C 正确，分类讨论求出方程的根判断D ．本题考查了函数的奇偶性的性质与判断，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：作出函数f(x)={x 2+4x,x <02−x −1,x >0的图象，如图所示，若关于x 的方程4f 2(x)−4λf(x)+2λ+3=0有5个不同的实根，所以关于f(x)的一元二次方程有两个不同的根且满足−l <f(x)<0，−4<f(x)≤−1， 令t =f(x)，则4t 2−4λt +2λ+3=0的两根满足−l <t <0，−4<t ≤−1， 令g(t)=4t 2−4λt +2λ+3， 则{g(−4)>0g(−1)≤0g(0)>0，即{18λ+67>06λ+7≤02λ+3>0，解得−32<λ≤−76， 故选：BC ．作出函数f(x)的图象，结合图象可知关于f(x)的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：令f(x)=(13)x +1=4，解得x =−1， 根据反函数的性质可得，f −1(4)=−1． 故答案为：−1．令f(x)=(13)x +1=4，解得x =−1，再结合反函数的性质，即可求解． 本题主要考查反函数的性质，属于基础题．14.【答案】32【解析】解：由正实数x ，y 满足x +4y =6xy 得23x +16y =1， ∴x +y =(x +y)(23x +16y )=56+2y3x +x6y ≥56+2√2y3x ⋅x6y =32， 当且仅当23x +16y =1且2y 3x =x 6y ，即{x =1y =12时x +y 取最小值32．故答案为：32．由正实数x ，y 满足x +4y =6xy 得23x +16y =1，可解决此题． 本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．15.【答案】[3−√5,3+√5]【解析】解：由题意可得，lga(x0+1)2+1=lg ax02+1+lg a2有实数解，即a(x0+1)2+1=ax02+1⋅a2有实数解，即(a−2)x02+2ax0+2(a−1)=0有实数解，当a=2时，方程的解为x0=−12，符合题意；当a≠2时，则Δ=4a2−8(a−2)(a−1)≥0，解得3−√5≤a<0或0<a≤3+√5．综上所述，实数a的取值范围为[3−√5,3+√5]．故答案为：[3−√5,3+√5]．由题意，结合对数的运算性质，将问题转化为(a−2)x02+2ax0+2(a−1)=0有实数解，分a=2和a≠2两种情况，分析求解即可．本题考查了函数与方程的综合应用，方程求解问题的求解，对数运算性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力与转化化归数学思想方法的运用，属于中档题．16.【答案】(−∞,0)∪(34,+∞)1452【解析】解：(1)由函数f(x)的解析式可得，f(x)的图象在[1,3]上是一段折线，起始点分别为(1,0)，(3,0)，顶点为A(2,1)，作出函数f(x)的图象如图所示，因为f(3x)=3f(x)，所以在x∈[3,9]上，图象也是一段折线，起始点分别为(3,0)，(9,0)，顶点为(6,3)，同理可得，在x∈[3k−1,3k]，k∈N∗，图象都是折线，起始点分别为(3k−1,0)，(3k,0)，顶点为(2⋅3k−1,3k−1)，顶点(2,1)，(6,3)，⋅⋅⋅，(2⋅3k−1,3k−1)都在直线y=12x上，直线l：y=k(x−2)过定点P(2,0)，B(6,3)，则k PB=3−06−2=34，由图象可知，若f(x)=k(x−2)有唯一解，则实数k的取值范围为(−∞,0)∪(34,+∞)．(2)作直线y=a，函数F(x)的零点，即f(x)的图象与直线y=a的交点的横坐标，如图所示，由1<a<3，因此x1+x2=12，x3+x4=3×12，⋅⋅⋅，x2n−1+x2n=3n−1×12，所以x1+x2+⋅⋅⋅+x9+x10=12+12×3+12×32+12×33+12×34=12×1−351−3= 1452．故答案为：(1)(−∞,0)∪(34,+∞)；(2)1452．(1)作出函数f(x)的图象，结合直线y=k(x−2)是恒过定点P(2,0)的直线，利用数形结合法求解即可；(2)作出直线y=a，从图象可得它们交点的性质，利用对称性以及等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了分段函数的理解与应用，函数图象与性质的理解与应用，函数零点的理解与应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．17.【答案】解：(1)由f(x)=x，得3x−2=x，解得x=1；由f[f(x)]=x，得3(3x−2)−2=x，解得x=1．∴集合A={1}，B={1}；(2)∵f(x)=x2+ax+b，若A={−1,3}，则方程x2+ax+b=x的两根是−1，3，即方程x2+(a−1)x+b=0的两根是−1，3，即−1+3=−(a−1)，−1×3=b，解得a=−1，b=−3，故f(x)=x2−x−3，若f(f(x))=x，即(x2−x−3)2−(x2−x−3)−3=x，即x4−2x3−6x2+6x+9=0，即(x+1)(x−3)(x2−3)=0，解得：B={−1,3,−√3,√3}，【解析】(1)直接由f(x)=x，f[f(x)]=x求解方程组得集合A，B；(2)由f(x)=x2+ax+b，A={−1,3}，求出a，b，进而由f(f(x))=x构造方程，解方程可得B．本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想，属中档题．18.【答案】解：(1)由题意得，当a>0时，f(x)<4x在x∈[−1,4]上恒成立，即当a>0时，ax2−2ax−8<0在x∈[−1,4]上恒成立，不等式可变为8a>x2−2x=(x−1)2−1在x∈[−1,4]上恒成立，令ℎ(x)=(x−1)2−1，x∈[−1,4]，则ℎ(x)∈[−1,8]，故8a>ℎ(x)max=8，解得0<a<1，所以实数a的取值范围为(0,1)；(2)当a≤0时，解不等式f(x)<0，即当a≤0时，解不等式ax2−2ax+4x−8<0，不等式可变为(ax+4)(x−2)<0，若a=0时，不等式可变为x−2<0，解得x<2；若a<0时，不等式可变为(x+4a)(x−2)>0，当a<−2时，2>−4a ，解得x<−4a或x>2；当a=−2时，2=−4a，即(x−2)2>0，解得x∈R且x≠2；当−2<a<0时，2<−4a ，解得x<2或x>−4a．综上所述，当a=0时，原不等式的解集是{x|x<2}；当−2<a<0时，原不等式的解集是{x|x<2或x>−4a}；当a=−2时，原不等式的解集是{x|x≠2}；当a<−2时，原不等式的解集是{x|x<−4a或x>2}．【解析】(1)利用参变量分离，将不等式转化为8a>x2−2x=(x−1)2−1在x∈[−1,4]上恒成立，构造函数ℎ(x)=(x−1)2−1，x∈[−1,4]，求解最值，即可得到答案；(2)分a=0，−2<a<0，a=−2，a<−2四种情况，分别利用一元二次不等式的解法求解即可．本题考查了不等式恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，含有参数的一元二次不等式的解法，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19.【答案】(1)证明：由弦切角定理得，∠ABE=∠ADB，又因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB，所以∠ABD=∠ABE，即AB是∠DBE的角平分线．(2)解：连接AC，交BD于点G，连接OB，因为∠ABC=90°，所以AC是⊙O的直径，∠ADC=90°，由勾股定理可得CB=DC，所以AG是BD的中垂线，且BG=√3，在直角三角形△BGO中，OG=1=12OA，所以G是线段OA的中点，△AOB是边长为2的等边三角形，故∠ABD=∠ADB=∠ABF=30°，所以∠BFD=90°，BF=√3，DF=3，由等面积法得，S△BDF=12(BF+BD+DF)r=12(3+√3+2√3)r=3√32，所以r=3−√32．【解析】(1)由弦切角定理得，∠ABE =∠ADB ，∠ABD =∠ADB ，∠ABD =∠ABE ，由此能AB 是∠DBE 的角平分线．(2)连接AC ，交BD 于点G ，连接OB ，AC 是⊙O 的直径，∠ADC =90°，由勾股定理可得CB =DC ，AG 是BD 的中垂线，且BG =√3，G 是线段OA 的中点，△AOB 是边长为2的等边三角形，从而∠ABD =∠ADB =∠ABF =30°，进而∠BFD =90°，BF =√3，DF =3，由此能求出结果．本题考查角平分线的证明，考查圆半径的求法，考查与圆有关的比例线段等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由f(x)+mg(x)=e x 得f(−x)+mg(−x)=e −x ，又f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 故f(x)−mg(x)=e −x ，由{f(x)+mg(x)=e x f(x)−mg(x)=e −x ，解得f(x)=e x +e −x 2,g(x)=e x −e −x2m ； (2)由(1)可得，F(x)=e x +e −x2−e x −e −x 2m，由F(x)=0得e x +e −x2−e x −e −x 2m=0，所以m =e x −e −xe z +e −x ，因为m ∈[12,34]，所以12≤e x −e −x e x +e −x≤34，化简得12≤1−2e 2x +1≤34， 即3≤e 2x ≤7， 解得12ln3≤x ≤12ln7， 所以a ≤12ln3,b ≥12ln7．【解析】(1)由条件构造f(x)−mg(x)=e −x ，与f(x)+mg(x)=e x 联立解方程组可得f(x)与g(x)的解析式； (2)由(1)得F(x)=e x +e −x2−e x −e −x 2m，令F(x)=0求解m ，根据m 的范围求解x 的取值范围，结合题意可得a ，b 的取值范围．本题考查了函数的解析式的求法，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得，p(x)=12x+1x 2=xx 2+1，x∈(0,24]，即p(x)=1x+1x≤ 2√x⋅1x=12，当且仅当x =1x =1 时，p(x)max =12． (2)由(1)得p(x)=xx 2+1，x ∈(0,24]， 设t =p(x)，令g(t)=t|t −k|+14，t ∈(0,12]， 则g(t)={−t 2+kt +14,0<t ≤kt 2−kt +14,k <t ≤12，故g(t)在(0,k2]和(k,12]上单调递增，在(k2,k]上单调递减，且g(k2)=k 24+14，g(12)=12−k2， 所以g(k2)−g(12)=k 24+k 2−14，令k 24+k2−14≥0，解得√2−1≤k <12，令k 24+k 2−14<0，解得0<k <√2−1， g(t)max={12−k2,0<k <√2−114+k 24,√2−1≤k <12， 当0<k <√2−1 时，12−k2<1，当√2−1≤k <12 时，14+k 24<1，即g(t)max =1，故f(x)max <1，故目前市中心的综合污染指数没有超标．【解析】(1)由题意可得，p(x)=12x+1x 2=xx 2+1，x ∈(0,24]，结合基本不等式的公式，即可求解．(2)设t =p(x)，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0；得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x +4=4x+1x >0，即x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}.(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，① 则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②，当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2， 则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t,t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， 即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1) 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵y =r +2r 在(0,√2)上递减， ∴r +2r ≥12+4=92， ∴rr 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23， ∴实数a 的取值范围是a ≥23．【解析】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．(1)当a=5时，解不等式即可．(2)根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．(3)根据条件得到f(t)−f(t+1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．第21页，共21页。