逻辑代数的基本定律和规则
逻辑代数的基本定律和规则
逻辑代数的基本定律和规则一、逻辑代数的基本公式（一）、逻辑常量运算公式（二）、逻辑变量、常量运算公式变量A的取值只能为0或为1，分别代入验证。
二、逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。
这些定律和普通代数相似，有其独特性。
（一）、与普通代数相似的定律交换律、结合律、分配律（二）、吸收律与学生一同验证以上四式。
第④式的推广：由表4可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。
（三）、摩根定律三、逻辑代数的三个重要规则（一）、代入规则对于任一个含有变量A的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量A用同一个逻辑函数替代，替代后等式仍然成立。
这个规则称为代入规则。
代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。
例题：（二）、（三）、若两函数相等，其对偶式也相等。
（可用于变换推导公式）。
讨论三个规则的正确性。
逻辑涵数的公式化简法一、化简的意义与标准1、化简逻辑函数的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。
这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。
2、逻辑函数式的几种常见形式和变换3、逻辑函数的最简与-或式对与或式而言：最简：二、逻辑函数的代数化简法1、并项法三、代数化简法举例在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简与-或式.四、作业：。
逻辑代数
一、逻辑代数的基本定律
结合律
分配律
A B C A B C A B C A B A C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C
左右比较符合： ·变+，+变· 1变0，0变1 运算顺序不变
二、其它常用公式：
吸收律
A A B A
A ( A B) A
证明： 左边＝A(1+B)
证明： 左边＝A·A+A·B =A+AB
=A·1
=A =右边 练习：化简 AB+ABC 证明(A+B) ·(A+B+C)=A+B
=A
=右边
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.4 逻辑代数的公式法化简
同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。
其中，最常用的为“与或”逻辑表达式。
最简“与或”式的标准： １.含的与项最少； －－门最少 ２.各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 除此以外，还有与非式、或非式、或与式、与或非式
A B
A B A B
A
B
摩根定律
AB
A B
A B
0
0
0
1
0 1 1 1
1 0
1 1
1
1
1
1
0
1
0
0
A B A B
0
0
左右比较符合： 0 0 ·变+，+变· 1变0，0变1 0 1 运算顺序不变 0 0 公共非号不变
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
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三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是指逻辑代数中的基础规则和定理，这些定理是逻辑代数中最基本的概念和方法。
逻辑代数是用数学方法来处理逻辑问题的一种方法，它将逻辑问题转化为数学问题，从而可以用数学方法来解决。
逻辑代数的基本定律主要包括以下几个方面：1. 同一律同一律是指一个逻辑表达式和它自身相与（或相或）的结果不变。
即A ∧ T = A，A ∨ F = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与真值或假值相与（或相或）时，结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ T，它与真值T 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ F，它与假值 F 相或的结果仍然是 A。
2. 恒等律恒等律是指一个逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）的结果相等。
即A ∧ A = A，A ∨ A = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）时，结果相等。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ A，它与恒等式 A 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ A，它与恒等式 A 相或的结果仍然是 A。
3. 交换律交换律是指一个逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）的顺序可以交换。
即A ∧ B = B ∧ A，A ∨ B = B ∨ A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）时，它们的顺序可以交换。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ B，它与表达式B ∧ A 相与的结果是相等的。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ B，它与表达式B ∨ A 相或的结果是相等的。
4. 结合律结合律是指一个逻辑表达式中的多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
即A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C，A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中有多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ (B ∧ C)，它与表达式(A ∧ B) ∧ C 相与的结果是相等的。
逻辑代数
1.逻辑函数的变换 1.逻辑函数的变换
3.1.3 逻辑函数的代数变换与化简
L = AC + C D = AC + C D = AC • C • D = ( A + C ) • (c + D ) = AC + AD + C D = AC + C D = AC + C D = A + C + C + D
在逻辑代数中， 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个 二值变量）， ），即 和 。 值（二值变量），即0和1。
基本运算规则
， 加运算规则: 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A =A， ， ， ， A+A =1 乘运算规则: 0•0=0 乘运算规则: A•0 =0 非运算规则: 非运算规则: 0=1
根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图， 根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表 达式的形式决定门电路的个数和种类， 达式的形式决定门电路的个数和种类，因此实际中 需要对表达式进行变换。 需要对表达式进行变换。 例如L=A⊕B ⊕ 例如 1.用与非门实现：与或表达式→摩根定律 用与非门实现：与或表达式 摩根定律 用与非门实现 有反变量输入、 有反变量输入、无反变量输入 2.用或非门实现：或与表达式→摩根定律 用或非门实现：或与表达式 摩根定律 用或非门实现 有反变量输入、 有反变量输入、无反变量输入 3.用最少门实现 用最少门实现 化简；选用异（ 化简；选用异（同）或门
逻辑代数常用恒等式
逻辑代数常用恒等式逻辑代数是一种数学分支，它研究的是逻辑关系和逻辑运算。
在逻辑代数中，恒等式是一种非常重要的概念，它们可以帮助我们简化逻辑表达式，提高计算效率。
本文将介绍逻辑代数中常用的恒等式，并按照类别进行划分。
1. 布尔恒等式布尔恒等式是逻辑代数中最基本的恒等式，它们描述了布尔代数中的逻辑运算规律。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）交换律：A∧B=B∧A，A∨B=B∨A（2）结合律：(A∧B)∧C=A∧(B∧C)，(A∨B)∨C=A∨(B∨C)（3）分配律：A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)（4）德摩根定律：¬(A∧B)=¬A∨¬B，¬(A∨B)=¬A∧¬B2. 德摩根恒等式德摩根恒等式是逻辑代数中非常重要的一类恒等式，它们描述了逻辑运算中的否定关系。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）双重否定律：¬(¬A)=A（2）否定的交换律：¬(A∧B)=¬A∨¬B（3）否定的结合律：¬(A∨B)=¬A∧¬B3. 布尔-德摩根恒等式布尔-德摩根恒等式是布尔恒等式和德摩根恒等式的结合体，它们描述了逻辑运算中的复合关系。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）德摩根第一定律：¬(A∨B)=(¬A)∧(¬B)（2）德摩根第二定律：¬(A∧B)=(¬A)∨(¬B)（3）布尔第一定律：A∨(A∧B)=A（4）布尔第二定律：A∧(A∨B)=A4. 其他恒等式除了以上三类恒等式外，逻辑代数中还有一些其他的恒等式，它们描述了逻辑运算中的特殊情况。
其中最常用的恒等式有以下几个：（1）恒等律：A∨¬A=1，A∧¬A=0（2）同一律：A∨1=1，A∧0=0（3）零律：A∨0=A，A∧1=A总结逻辑代数中的恒等式是逻辑运算中的基本规律，它们可以帮助我们简化逻辑表达式，提高计算效率。
第3章(1) 逻辑代数
3.2 逻辑函数的卡诺图化简法
3.2.1 最小项的定义及其性质
1、最小项 ⑴、定义：
在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
例：3变量逻辑函数中
ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC 是最小项
一、化简的意义和最简的概念 1、化简的意义
• 节省器材。元器件减少，成本降低。
• 提高了工作的可靠性。单个门电路减少，输入、输出头减 少，电路的工作可靠性提高
· 例： A B·
·· &
１
&
C
·１
&
≥１ Y=ABC+ABC+ABC
A
&
Y=ABC+ABC+ABC
B
≥１
C
=A(BC+BC+BC) =A(BC+BC+BC+BC) =A(B+C)
4、配项法：
利用 A=A（B+ B ）作配项用，然后消去更多的项 Z=AB+ A C+BC=AB+ A C+（A+ A ）BC
=AB+ A C+ABC+ A BC=AB+ A C 也可利用 A+1=1 或 A+A=A 来配项
Z=ABC+ A BC+ AB C=ABC+ A BC+ AB C+ABC =（A+ A ）BC+（ AB +AB）C=BC+C=C
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1 基本关系 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A A+A =1 =A， 乘运算规则: 0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
逻辑代数中的基本定律和公式
逻辑代数中的基本定律和公式
逻辑代数是一种用来研究逻辑的数学，它通过使用变元和逻辑公式来描述逻辑系统，它被用来解释和分析许多不同类型的逻辑结构。
它还可以帮助我们理解计算机语言、逻辑设计和许多其他类型的数学理论。
基本定律和公式是逻辑代数的基础，它们用来描述一个逻辑系统的行为。
以下是一些常见的定律和公式：* 交换律：如果A和B是同类元素，则A+B = B+A。
* 结合律：如果A、B和C是同类元素，则A+（B+C）=（A+B）+C。
* 分配率：如果A、B和C是同类元素，则A（B+C）= AB + AC。
* 吸收律：如果A和B是同类元素，则A+AB=A。
* 对立律：如果A是一个元素，则A+ A'=
1，其中A'是A的补充。
* 析取律：如果A和B是同类元素，则A+B'=A'B。
* 推理律：如果A和B是同类元素，则A→B = A'+B。
* 合取律：如果A和B是同类元素，则A+B = A'B'。
这些定律和公式提供了一种方法来描述逻辑系统的行为，这些定律和公式可以用来构建逻辑系统，并且可以用来解释和分析逻辑系统的行为。
它们也可以用来构建计算机语言，并用来解释和分析计算机语言的行为。
因此，我们可以看出，逻辑代数中的基本定律和公式是一种非常重要的工具，它们可以帮助我们理解和分析逻辑系统，也可以帮助我们理解和分析计算机语言的行为。
此外，它们还可以用来解释和分析许多不同类型的逻辑结构。
因此，逻辑代数中的基本定律和公式是一种非常重要的研究工具，它们可以帮助我们理解和探索逻辑系统的行为，从而有助于我们更好地理解和设计逻辑系统。
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◇逻辑符号：
A B C D
◇与或非门真值表： ◇逻辑表达式：
F
& ≥1 &
A F B C D
+
A B
F
C D
每组有0为1, 某组全1为0。
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
◇与非逻辑表达式： F A B ◇与非门逻辑符号：
A B
&
F
A B
F
A B
F
◇与非门真值表：
A B F A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
与非门运算顺序是： 有0为1,全1为0
先与后非
1 0
即：当输入A、B中，只要有一个 0,输出就是 1,只有输入全为 1时， 输出才是0。
A B
F A B
0
0 1 1
0
1 0 1
1 0 0 0
即：当输入 A 、 B 中， A 只 要 有 一 个 1, 输 出 就 B 是 0, 只有输入全为 0 时， F 输出才是1。
与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合。它是 将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。 能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门。
逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。 逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值 逻辑中，每个逻辑变量的取值只有0和1两种。
在逻辑代数中，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻 辑状态。
一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。
为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子 作一说明。
☆工作波形图 把输入和输出之 间的逻辑关系用波形 图的方法表示，即为 工作波形图。
A B
☆逻辑图（符号） 将逻辑函数中各 变量之间的逻辑关系 用图形符号表示，即 为逻辑图。Aຫໍສະໝຸດ B&F
F
有0为0，全1为1 把实现与逻辑运算 的单元电路叫做与门。
逻辑或的概念：决定某一件事的诸条件中，只要有一 个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则 结果不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑或、逻辑加、 或称为“或”运算。 用并联开关电路简单说明或逻辑关系：
真值表
A B 0 1 0 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1 F 0 1 1 1 0
基本运算规则
与
F A B
A B
&
F
0 1 1 A
A A A A 1 A A 0 0
A＋A A
或
F A B
A B
0
≥1
F
0 1 1
A＋ 11 A＋0 A
A A 0
A A A＋A 1
假设：
开关闭合为 1 开关断开为 0
A B ~ 220V
用四个式子表示： 0＋0=0 0＋1=1
灯亮为 1 灯不亮为 0
1＋0=1
1＋1=1
或逻辑的表示方法：
☆真值表： A B F 0 0 0
☆工作波形图
有 1为 1 全 0为 0
A B
0 1 1
1 0 1
1 1 1
F
☆逻辑表达式： F=A+B 把实现或逻辑运算的 单元电路叫做或门。
逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先 要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有 什么异同之处。 逻辑代数和普通代数的区别： 共同点： ☆ 都用字母 A、B、C --- 等表示变量。 ☆ 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、 其次乘、最后加）。 不同点： ★ 这些变量 A.B.C 的取值范围是 0 和 1 。 ★ 其运算规则是按逻辑规则来定义的。 ★ 0、1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
F AB CD ◇工作波形图：
A B C D F
A,B为两个单刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上 220V F 面，另一个开关打在下面。两个开关 同时打在上面或者下面，则灯不亮。 假设： ★取F=1列与项逻辑式。 真值表： 开关打在上面为1 ★如果输入变量是“1”,记原 开关打在下面为0 A B F 变量。如果输入变量是“0”, 记反变量。 灯亮为1 0 0 0 灯灭为0 0 1 1 ★对任何一种输入变量组合， 异或运算特点： 1 0 1 变量之间是“与”运算。 相异为1，相同为0 1 1 0 ★各组合之间是“或”逻辑关 系。 F AB AB A B ◇由真值表写出逻辑表达式：
1、“与”运算及与门
逻辑与的概念：若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果 就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、 逻辑乘、或称为：“与”运算。
能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。
假设： 开关闭合为 1 开关断开为 0 灯亮为 1 灯不亮为 0
用四个式子表示： A ~ 220V B
A
F 1
非
FA
A
1
F
0
1
0
实际的逻辑问题比与、或、非复杂得多。利用这三种 基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻 辑，如与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。
1、 与非逻辑 与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。 能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。
0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 有 0为 F 0 1 ·0 = 0 全1为1 1 ·1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种） ☆真值表： A B F ☆逻辑表达式： 将输入变 量所有的取值 0 0 0 把输出与输入之间的逻辑 下对应的输出 0 1 0 关系写出与运算的逻辑代数式 值找出来，列 ，即为逻辑表达式。 1 0 0 成表格，即可 F = A ·B 1 1 1 得到真值表。
☆逻辑图（符号）
A
B
≥1
F
逻辑非的概念：条件具备了，结果不会发生。条件 不具备，结果一定发生。 假设： 开关闭合为 开关断开为 灯亮为 灯不亮为 工作波形:
A
1 0 1 0
A F
~ 220V A F
0
1
1
0
逻辑表达式：
FA
F
A
F
逻辑符号：
1
把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
逻辑运算 逻辑表达式 逻辑符号
A B
◇工作波形图：
F
或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。 能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门。 ◇或非逻辑表达式： F A B
◇或非门逻辑符号：
A B F A B A
≥1
F
B
+
F
◇或非门真值表： 或非门运算顺序是： 先或后非 ◇或非门工作波形 有1为0,全0为1