横截面上的应力
第三节轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN A
为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴 式中，
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求
k
p
为帕（Pa)。常用的还有kPa、MPa、GPa，其中1kPa =103Pa，
1MPa =106Pa，1GPa=109Pa 。工程上常用单位是MPa(N／m2)
二、轴向拉伸与压缩时杆 横截面上的正应力
a c
1、观察变形
横向线ab 和cd在杆件变形过程
中始终为直线，只是从起始位置平
c′
b
a) a′
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 max 为
×20mm2 =
300mm2
max =
F A
N
20 10 = MPa = -66.7MPa 300
3
负号表示最大正应力为压应力。
正应力垂直于横截面的应力表示切应力相切于横截面的应力表示在国际单位中应力的单位是nm1观察变形横向线ab和cd在杆件变形过程中始终为直线只是从起始位置平移到ab和cd的位置但仍垂直于杆轴线
第三节 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
一、应力的概念
1、定义：内力在截面上分布的集度称为内力 2、分类：正应力—垂直于横截面的应力 用 表示 切应力—相切于横截面的应力 用 表示 图4-5 在国际单位中，应力的单位是N／m2，称为帕斯卡，简称
杆内的最大正应力。
F
扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力一、应力分布规律为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。
下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。
取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。
在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。
两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度ϕ，叫做相对扭转角，见下图。
观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。
所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。
由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。
下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。
为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。
假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dϕ，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。
应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。
设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即所以 (a)由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得(b)将式(b)代入(a)式得(1-40)上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
5-3拉伸(压缩)时横截面上的应力-正应力
B
F1
F2
Q
N F 20 KN 1 1 200 MPa BC杆： 1 2 A A mm 1 1 100
N F 17 . 32 KN 2 2 86 . 6 MPa 2 2 AB杆： A A 200 mm 2 2
2 p cos cos
为横截面正应力
p sin sin cos sin 2
2
第三节 拉伸（压缩）时横截面 上的应力——正应力
第三 节 拉伸或压缩杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力 称为应力。 在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
2 1Pa 1N/ m
2 6 1 MPa 1 N /mm 10 Pa
P P cos 这是斜截面上与 p cos A A 轴线平行的应力
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
沿切线方向的应力为剪应力
（2）、计算机各段的正应力
AB段：
3 F 50 10 1 MPa 125 MPa AB A 400 1
3 F 30 10 2 MPa 100 MPa BC段： BC A 300 2
3 F 10 10 3 MPa 33 . 3 MPa CD段： CD A 300 2
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
横截面上的应力知识点总结
横截面上的应力知识点总结1. 横截面应力的定义横截面应力是指作用在材料截面上的内部力对单位面积的作用。
它是一个矢量，具有大小和方向。
在力学分析中，横截面应力通常用符号σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。
横截面应力的大小和方向取决于截面上的受力情况，包括拉伸、压缩、弯曲和剪切等。
2. 横截面应力的计算方法计算横截面应力的方法有很多种，常用的包括静力学方法、弹性力学方法和有限元法等。
在静力学方法中，可以使用平衡方程和横截面的几何形状来计算应力。
在弹性力学方法中，可以利用材料的弹性性质和变形关系来计算应力。
有限元法是一种数值计算方法，通过离散化截面和应力场来求解应力分布。
3. 横截面应力的分布规律横截面应力的分布规律是指应力在截面上的分布情况。
在拉伸和压缩的情况下，横截面应力通常呈现线性分布，即在截面上的应力随着距离的增加而线性变化。
在弯曲和剪切的情况下，横截面应力则呈现非线性分布，即应力随着距离的增加而不断变化。
4. 横截面应力的影响因素横截面应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括受力的形式、材料的性质和截面的几何形状。
在拉伸和压缩的情况下，应力的大小取决于受力材料的强度和刚度。
在弯曲和剪切的情况下，应力的分布受到截面几何形状和横截面惯性矩的影响。
5. 横截面应力的实际应用横截面应力的研究在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。
比如，在结构设计中，需要通过计算横截面应力来确定构件的尺寸和材料的选择，以确保结构的安全性和稳定性。
在材料科学中，研究横截面应力可以帮助理解材料的力学性能和断裂行为。
总之，横截面应力是力学和材料科学领域中重要的研究内容，它涉及到材料的强度、稳定性和工程设计的安全性。
通过对横截面应力的研究，可以更好地理解材料的受力情况，并为工程设计和材料选择提供依据。
横截面和斜截面上的应力
FN FN
A
即横截面上的正应力计算式为
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大
正应力。
1
2
解:
F
F
①计算轴力
1
2
FN =-20KN ②计算最大的正应力值
A11—1
A22—2
h h0 h
Amin= A2=（h- h0）b=（25 -10）×20mm2= 300mm2
F
F
l1
a1
1. 纵向变形为 l=l1- l 横向变形为 a=a1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。 纵向线应变： l l1 l
ll
横向线应变： a a1 a
aa
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0；
3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
FP1
m
切应力
K
FP2 m
全应力 p
正应力
二、拉压杆横截面上的正应力
1 1
2 2
轴向拉伸 F
F
轴向压缩 F
1 111
2 2 2 2
F
1 1
2 2
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍
为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化，
由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设:
平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，仅沿轴向产生了相对平移。
杆件横截面上的应力课件
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
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泊松比ν----在弹性变形范围内，横向线应 变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以
ν代表它们的比值之绝对值。
而横向线应变与纵向线应变正负号恒相反，故
例题6−4 图示一等直钢杆，材料的弹性模量E＝ 210GPa。试计算：(1) 每段的伸长；(2) 每段的 线应变；(3) 全杆总伸长。
p cos cos2
1
τα
pα
sin α
σ sin 2α 2
斜截面上的正应力和切应力分别为：
cos2
分析：
1
2
sin 2
正应力的最大值发生在α = 0的截面，即横截面上，其值为
σα0 σmax σ
当 α π 时对应的斜截面上，切应力取得最大值
解：(1)取节点A为脱离体，受力如图
Fy 0 Fx 0
FNAC
5 65 3
108.33kN
4
FNAB
65 3
86.67kN
B
(2)AB杆的横截面面积为AAB=300 3m mm2，AC杆为10号槽钢，由型钢 表(附表II，表3)查出横截面面积 为AAC =12.7cm2 ＝12.7×10-4m2。
§6−4 斜截面上的应力
研究目的：找出过一点哪一截面上应力达到最大 以作为强度计算的依据。
n－n截面的轴线方向的内力 F
nm
F
F F
F
斜截面面积
Aα
A cosα
F
斜截面上的应力pα为：
m
n
n α
Fα
n
n
σα
α
α
pα
n τα
pα
Fα Aα
即
p
F A
cos
cos
（a） （b） （c）
第6章 轴向拉伸和压缩
§6−1 轴向拉伸和压缩的概念
受力特点：杆件受与轴线重合的 F
F
外力作用。
变形特点：杆件发生轴线方向的 F
F
伸长或缩短。
§ 6−2 轴力与轴力图
横截面上的内力——轴力
轴力－FN
按截面法求解步骤：
F
Ⅰm
可在此截面处假想将杆截断。
m Ⅰ
保留左部分或右部分为脱离体。 F
Ⅱ
F
FN
A 5kN
B
C
10kN 10kN
2m
2m
D 5kN
2m
10mm （a）
5kN
5kN
FN图
（b）
5kN
解：（1）求出各段轴力，并作轴力图（图b）。
FNAB 5kN FNBC 5kN FNCD 5kN
5kN
C 4m
F
A FNAB
F A
FNAC
例题2−4图
(3) 求出AB杆和AC杆的应力分别为
AB
FNAB AAB
86.67 103 300 106
288.9106 Pa
288.9MPa
AC
FNAC AAC
108.33103 12.7 104
85.03106 Pa 85.03MPa
20kN
A 600
B 300C
500 D 400 E
（b） FR A
（c） FR A
（d） FR A
（e）
1 40kN 2 55kN
4
3
1
BC 2
D 3
4
1 FN1 1 40kN
（f） 2
FN2
FN44 4
B2 50
FN3 3 25kN 3D
20kN E
20kN
20kN
（g）
10
5 例题6−1图
20 FN 图 （ kN ）
4
ταπ 4
τmax
σ 2
§6−5 拉压杆的变形、胡克定律
一.拉压杆的变形
F
d1 d
F
l l1
杆件的纵向（a伸） 长或缩短：
杆件的横向伸长或缩短：
纵向线应变： l
l
横向线应变： d
d
F
d1
d
l l1 （b）
Δ l l1 l Δ d d1 d
F
△l和△d 伸长为 正，缩短为负
横截面上的应力：
m F
F F
FN
m ac
a'
c'
b'
d''
bd
σ
FN
σ
F （a）
F （b）
（c） F
（d）
变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面 且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。
拉压杆横截面上正应力计算公式：
考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由 表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设—— 杆件的任一横截面上各点的变形是相同的。
用简便法求轴力：
任一横截面上的轴力等于该截面一侧上所有轴 向外力的代数和。背离该截面的外力取+号，指 向该截面的外力取-号。
§6−3 横截面上的应力
推导应力公式的方法：
1.由变形几何关系找出应变与所在位置的 关系。
2.由物理关系既应力与应变的关系，找出 应力与所在位置的关系。
3.由静力关系找出应力与内力的关系。
拉应变为正，压 应变为负。
二.胡克定律
在弹性范围内
Δl Fl A
引入比例常数Ｅ， 又F = FN，得到胡克定律：
Δl FNl EA
ε σ 或 σ Eε E
弹性模量E，其单位为Pa。其值与材料性质有关，是 通过实验测定的，其值表征材料抵抗弹性变形的能力。
EA——拉伸（压缩）刚度。
FN1 F
（b）
FA
m B 2F
n CF
m
n
在n −n处将杆截开，仍取左段为脱离体
A F
B 2F
n FN2
n
Fx 0 FN2 2F F 0
（a） （c）
FN F
FN 2 F
F
x （d）
例题6−1 一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆 的轴力图。
（a）
40kN 55kN 25kN
坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置， 取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。 正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。
例题：一等直杆及其受力情况如图a所示，试作 杆的轴力图。
FA
m B 2F
n CF
（a）
m
n
解：假想用一平面沿m −m处将杆截开，设取左段为脱离体
A F
m
FN1 m
Fx 0
根据力与变形间的物理关系，得到变形相同
时，受力也相同。
通过静力学关系，得到以内力表示的应力计
算公式。
FN
σdA σ dA σA
A
A
拉压杆横截面上正应力σ计算公式:
σ FN A
拉应力为正，压应 力为负。
例题6−3 图示为一简单托架，AB杆为钢板 条，横截面面积300mm2，AC杆为10号槽钢， 若F=65kN，试求各杆的应力。
（a） （b）
FN
移去部分对保留部分的作用，
Ⅱ
பைடு நூலகம்
F
（c）
用内力来代替，其合力为FN。
Fx 0, FN F 0, FN F
列平衡方程。
符号规定：引起杆件纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力， 引起杆件纵向缩短变形的轴力为负，称为压力，
轴力图
轴力图的作法： 以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的