地球重力场
地球物理学概论(重力勘探)
2、火成岩（2.5～3.6 g /cm³）
（1）主要取决于矿物成分及其含量的百分比，由 酸性→基性→超基性岩，随着密度大的铁镁 暗色矿物含量增多密度逐渐加大。
（2）成岩过程中的冷凝、结晶分异作用也会造成 同一岩体不同岩相带，由边缘相到中心相， 密度逐渐增大；
（3）不同成岩环境(如侵入与喷发)也会造成同一岩 类的密度有较大差异，同一成分的火成岩密 度，喷出岩小于侵入岩。
attraction.
To the left is a “gravimeter” which measures the force of
gravity in the earth.
（一）重力仪分类：
石英弹簧重力仪 机械式重力仪 金属弹簧重力仪
按结构分
振弦重力仪（海上）
电子式重力仪
超导重力仪 （实验室）
地球物理学概论 地球重力场
中国大陆地区布格重力异常
中国大陆地区自由空间重力异常
中国区域地质图
第一节 重力勘探理论基础
一、重力场（gravity field）
（一）重力 （gravity）
P F C
P—重力
C—惯性离心力，
F—地球质量对物体m的引
力,
而引力 F 服从万有引力定律，即：
器 的干涉条纹数目直接代表下落距离(即S=Nλ/２，N为
干涉条纹数)。这些干涉信号由光电倍增管接收，转换
成电信号，放大后与来自石英振荡器的标准频率信号
同时送入高精度的电子系统，以便计算时间间隔与干
涉条纹数目，从而精确得到S１、S2、S3、 S4 。
2
上抛下落对称观测可避免残存空气阻力、时间测
定、电磁等影响带来的误差，物体被铅垂上抛后，
第二章地球重力场
a ( 9.78033 0.00001)m / s2
U0 ( 6.263686 0.000003) 107 m 2 / s2
GRS80系统正常重力在椭球面上的公式
( 0 ,) 978.0327(1 5.279041103 sin 2 2.32718105 sin 4 0.01262105 sin6 )Gal
Wzz
描述了重力随高程的变化， 称为垂直重力梯度，与水 准面曲率有关。
2-5 地球引力位的球谐函数展开
从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是 简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能 直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。 引力位可用基本公式(1-11)表示
故在椭球面S0 上的全部重力以γ 表示时，则有
(2-69)
再引入下列简化符号 第二偏心率
(2-72)
(2-72)
上式是一个重要的近似公式，1738年由克莱劳提出，所以称为 克莱劳理论。比较一下(2-73)式的 γa 和(2-74)式的γb ，以及 (2-72)式中括弧号的量，可以看出 γ 有如下的对称的公式
正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体 所产生的重力场。
此物体称为 正常地球旋转椭球
正常重力场的等位面称为 正常水准面。由于正常位可以根据 正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。
如果设定了正常地球的长半径 a、扁率 f、旋转角速度ω 以 及总质量 M，并要求椭球表面就是它本身重力场的水准面。 根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的 重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球。进一步地，采
a 6378137 2m GM ( 398600.5 0.05 ) 109 m 3 / s2 其中包括大气质量 GMa ( 0.35 0.003 ) 109 m 3 / s2 J 2 ( 1082.63 0.005 ) 106
第六章——地球重力场模型
第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。
以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。
6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。
用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。
当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。
第二讲 地球重力场
地球重力场地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。
重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力( =G/m )重力加速度g=G/m重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。
重力加速度重力重力场强度重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。
重力(重力加速度)单位在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.重力的变化包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。
空间上:9地球形状、地形：引起约6万g.u. 的变化；9地球自转：重力有3.4万g.u. 的变化;9地下物质密度分布不均匀：能达到几千g.u.变化9人类的历史活动遗迹和建筑物等时间上：9潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.9非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。
地球上海潮涨落主要是由月球还是太阳引起的？月球和太阳对地球的引力不但可以引起地球表面流体的潮汐（如海潮、大气潮），还能引起地球固体部分的周期性形变（固体潮）。
太阳的质量虽比月球的质量大得多，但月球同地球的距离比太阳同地球的距离近，月球的引潮力比太阳的引潮力大。
在日、月引力作用下，地球固体表面也会像海水一样产生周期性的涨落，这就是地球的潮汐现象，称为地球固体潮。
固体潮随时间和空间的变化，除了和地球、太阳、月亮三者之间相对位置的变化有关外，还和地球内部物质的物理性质有关。
因而，利用固体潮资料可以研究地壳内部物质的物理性质和各种物质的分布规律。
它在空间上的变化主要反映地壳和上地幔区域结构的变化。
它在时间上的变化可能与某些灾难性的地震有直接和间接的联系。
地球重力场的表达方式
TP
+
1
4p R
òò
s
K
(r,y
)(T
-
TP
)ds
( ) K
(r,y
)
=
-
R2 l5
5R2r - r3 - Rr2 cosy - 3R3 cosy
2R2r 2R4 R2 - l3 + l3r + r2
K
(
R,y
)
=
-
4
1 sin3
y
+1
2
1 地球重力场的表达方法
Vening-Meinesz公式
ò ò ( ) x jP,lP
s
-
cscy
y
csc 2
-
y
tg 2
ö ø÷
¶N ¶y
ds
1 ¶N = x cosa + hsina R ¶y
sina = - cosj sin(lP - l)
siny
cosa = cosjP sinj - sinjP cosj cos(lP - l)
siny
1 地球重力场的表达方法
垂线偏差计算大地水准面
[
1 2
(j
P
+
j
)]
-
sin
2
é ëê
1 2
(j
P
- j )ùûúüýþ
y
s = sin 2
1 地球重力场的表达方法
扰动位径向梯度→扰动位
òò J
T (y )
=
=
R2
4p
6 sin
s
y
2
Trr J(y )ds
+ 2(1 - 3sin2
地球重力场的定义
地球重力场的定义地球重力场的定义地球重力场是指地球引力作用下，周围物体所受到的重力影响。
在地球表面上，重力加速度的大小约为9.8m/s²，这是由于地球质量、密度和大小等因素所决定的。
地球重力场不仅影响着人类生活，还对许多自然现象产生了重要影响。
一、地球引力的基本概念1.引力的定义引力是指物体之间由于它们之间存在质量而产生的相互吸引作用。
它是经典物理学中最基本、最普遍的力之一。
2.万有引力定律万有引力定律是牛顿在1687年发现的一条规律，它描述了两个物体之间相互作用的大小与距离平方成反比例关系。
即：F=G(m1m2/r²)，其中F表示两个物体之间相互作用产生的引力，G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
二、地球重力场特点1.强度变化在不同位置处，由于地球半径和密度分布不同，地球表面上所受到的重力加速度大小也不同。
例如，在地球赤道上，重力加速度约为9.78m/s²，而在北极地区则约为9.83m/s²。
2.方向变化地球重力场的方向指向地心，因此在地球表面上垂直于水平面。
但在不同位置处，由于地球自转和引力作用的影响，重力方向也会发生微小的变化。
3.形状特征地球重力场呈现出类似于一个椭球形的形状，其中离地心较远处的引力作用较弱，而靠近地心处则较强。
三、地球重力场应用1.测量地球质量和密度通过测量不同位置处的重力加速度大小和方向等参数，可以推算出地球质量和密度分布情况。
这对于了解地球内部结构和演化历史等问题具有重要意义。
2.卫星导航系统卫星导航系统是利用卫星发射信号，在空中进行定位、导航和测量等操作的一种技术。
其中最基本的原理就是利用卫星所受到的重力影响来计算其位置信息。
3.天文学研究天文学研究中经常需要考虑重力作用的影响，例如行星运动、恒星演化等问题。
地球重力场的研究也为天文学研究提供了基础数据。
四、地球重力场研究方法1.重力仪测量法重力仪是一种专门用来测量地球重力场的仪器。
地球重力场的基本知识
地球重力场的基本知识1.1 引力与离心力1、万有引力（1）引力的定义：指质量和质量之间的一种相互吸引力，简称为引力。
（2）引力的公式设有两质点M （a.b.c ）和P （x.y.z ），质量分别为M 和m ，则两点之间的引力的大小与两点质量的乘积成正比，与两点之间距离的平方成反比，其方向在两点的联线上。
式中，f —万有引力常数，实验得知6.67×10-8；M 称为吸引点，P 为被吸引点，则引力的方向朝向M 点，在公式中有“-”号，表示引力的方向与向径（矢径）的方向相反。
可知，为沿X ，Y ，Z 轴的单位向量，模为：当P=1时，即P 为单位质点，则上式变为2M F f r=− 引力的三个方向余弦为：（3）引力的三个坐标轴分量（模乘以方向余弦）：2、地球引力（1）假设：地球为圆球，物质按同一密度按同心层分布。
（2M：地球质量m：质点质量r：质点至地心距离（3）方向：指向地心3、地球上一点的离心力（1）定义：离心力是一个惯性力，是地球上一点以等角速度绕地球自转轴而产生的。
（2）公式：P= m ω2ρ，式中： ω—地球自转角速度；ρ—质点所在平行圈半径，随纬度不同而不同： ①在旋转轴上离心力=0；②离旋转轴越远，离心力越大；③在赤道上，离心力达到最大值，约为引力的1/200还小。
（3）方向：指向质点所在平行圈半径的外方向。
4、重力（1）定义：指相对于地球固定的单位质点所受的力。
因地球上的质点同时受到引力和离心力的共同影响。
（2）表达式：P F g+=其中，F ：指地球及其它天体质量产生的引力；P ：指相对于地球瞬时角速度的离心力，而自转角速度是随时间变化的，地球地极也不是固定不变的，故指相对于地球的平均角速度和平均地极的离心力。
（3）地极：过地球质心的自转轴与地面的交点，称为地极，是随时间变化的。
（4）对实测重力应加改正：（因重力测量是单位质点在测量时刻的真正重力，不是前面定义的重力，故应加改正）包括：①相对于地球运动的天体的影响；②由这些天体影响造成的地球形状变化的影响； ③大气的影响；④地球的自转角速度变化和极移的影响（极移：地极点在地球表面上的位置随时间变化的现象，称为地极移动，简称极移） （5）方向：重力的方向主要取决于地球引力的方向，总是朝向地球内部。
(武汉大学大地测量学课件)第三章 地球重力场及地球形状的基本理论
=M0
z
m
dm
定义坐标系：x 0 = y 0 = z 0 = 0 ，则有：
v0 =
f r
M
v1
=
f r3
( x ∫ xm dm
M
+
y∫
M
y m dm
+
z ∫ zm dm )
M
=
0
v2
=
f 2r 5
[( y 2
+
z2
−
2x2)A
+
(x2
+
z2
−
2 y 2 )B
+
(x2 + y2 − 2z 2 )C + 6 yzD + 6xzE + 6xyF ]
地球重力场的基本原理
3.2.3 重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和：
W =V +Q
∫ W = f ⋅ dm + ω 2 (x2 + y2 )
r2
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
gx
=
−
∂W ∂x
gy
=
−
∂W ∂y
g = − ∂W
z
∂z
= −(∂V ∂x
F
=
f
⋅
M ⋅m r2
P = mω 2ρ
gv
=
v F
+
v P
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
8
地球重力场的基本原理
3.2.2 引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的 任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点 与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是 保守力。
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在重力勘探和大地测量学中，一般把大地水准面的形状作为地球 的基本形状。
测量结果表明，大地水准面的形状不规则，它在南北两半球并 不对称，北极略为突出，南极略平，呈“梨”型，见下图。
1、计算正常重力值的基本公式：
g0 ge (1 sin2 1 sin2 2)
式中 g p ge ,
ge
1
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
（例如，△m=50万吨的球形矿体，当中心埋深为100米， 可产生355μGal 的异常，当中心埋深为1000米； 则只能 产生3.4μGal的异常，该强度的异常仪器不能观测到。）
（5）干扰场不能太强或具有明显的特征。
第二节 岩矿石密度、重力仪
三大岩类物质循环
三大岩类物质循环
一、岩（矿）石的密度及地球密度分布
（2）成岩过程中的冷凝、结晶分异作用也会造成 同一岩体不同岩相带，由边缘相到中心相， 密度逐渐增大；
C=mr ，方向垂直自转轴向外。
（二）重力场
1、重力场强度
单位质量的物体在重力场中所受的力，称为重力 场强度
P = mg
g=P/m
上式左边为重力场强度，右边为重力加速度
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
地球重力场
第一节 重力勘探理论基础
一、重力场（gravity field）
（一）重力 （gravity）
PF C
P —重力
C —惯性离心力，
F —地球质量对物体m的引
力,
而引力 F 服从万有引力定律，即：
m1
Fr F
m2
F
G
m1m2 r2
G—万有引力常数
质量为m的质点在自转的地球上所受的惯性离心力C为：
2、重力的单位（gravity unit)
在SI制中：g（重力加速度）的单位为1m/s2，规定 1m/s2的百万分之一为国际通用重力单位（gravity unit)，简写为g.u，即：
1m / s2 106 g.u
有时也用Gal（伽）作为重力单位，与其它单位关系 如下：
1Gal 103 mGal 106 Gal
（1）正常重力值不是客观存在的，它是人们根 据需要而提出来的；
（2）正常重力值只与纬度有关，在赤道处最小 （97803000g.u.），两极处最大 （9832087g.u.），相差约50000 g.u ；
（3）正常重力值随纬度变化的变化率，在纬度 45°处最大，而在赤道和两极处为零；
（4）正常重力值随高度增加而减小，其变化率 为-3.086 g.u /m 。
（二）重力随时间的变化
1、长期变化 原因：地壳内部的物质运动，如岩浆活动、构造运动、
板块运动有关。
特点：变化十分缓慢、幅度小，在短时间内变化很弱， 故在重力勘探中不予考虑。
2、短期变化（日变化） 原因：地球与太阳、月亮之间的相互位置变化引起（即
与天体运动有关）。
特点：周期短（24小时）、变化幅度较大，可达2~3g.u. 概念：固体潮
（一）岩（矿）石的密度的一般规律
1、火成（岩浆）岩密度＞变质岩密度＞沉积岩密度
根据长期研究的结果，认为决定岩、矿石密 度的主要因素为：
※ 组成岩石的各种矿物成分及其含量的多少； ※ 岩石中孔隙度大小及孔隙中的充填物成分； ※ 岩石所承受的压力等。
2、火成岩（2.5～3.6 g /cm³）
（1）主要取决于矿物成分及其含量的百分比，由 酸性→基性→超基性岩，随着密度大的铁镁 暗色矿物含量增多密度逐渐加大。
1mGal 10g.u. 1mGal 105 m / s2
二、重力位
重力场的性质除了用矢量g来描述外，还 可以用重力位这一标量函数来描述
对该标量函数沿不同方向求导数，恰好等 于重力场强度（ g ）在相应方向上的分量， 这个标量函数就叫做重力位函数，简称重力 位，即：
dW/dS=g.cos(g.s)=gs
1、当s方向与g的方向垂直时 dW/dS=g.cos(g.s)=0
则 W(x,y,z)=c
c—常数
上式表示一个空间的曲面，该曲面上重力位处处都等于常数 c，
故称此曲面为“重力等位面”，重力等位面处处与重力（ g ）
正交，故又将重力等位面称为“水准面”；当 c 取某一定值的 水准面与平均海平面重合时，则这个水准面—称为“大地水准 面”
Δg = g观 – g0 ΔF×cosθ
4、引起重力异常的条件
△g
+
0
-
σ1
σ2
σ3
σ0
σ1>σ0
σ2<σ0
σ3=σ0
4、引起重力异常的条件
（1）探测对象与围岩要有一定的密度差。 （2）岩层密度必须在横向上有变化，即岩层内有密度不同的地
质体存在，或岩层有一定的构造形态。 （3）剩余质量不能太小（即探测对象要有一定的规模） （4）探测对象不能埋藏过深
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 8
2
1 4
,
ac
c
φ为计算点的纬度； ge为赤道重力值； gp为两极重 力值；g0大地水准面上纬度为φ处的正常重力值；a 为赤道半径；c为极半径
2、常用公式（ 1909年的赫尔默公式： g0 = 9780300(1+ 0.005302sin2 - 0.000007sin2 2)
3、地球表面正常重力场的基本特征
1976年7月9日—10日北京重力日变曲线
（三）重力异常
1、定义： 在重力勘探中，由地下岩（矿）石密度分 布不均匀所引起的重力变化称为重力异常。
广义的讲：
g g观 g0
g观 ——测点的重力观测值 g0 ——测点的正常重力值 g ——重力异常
2、造成 g观 与 g0 之间差别的原因
σh
地表（观测面） 大地水准面
2、 当s方向与g的方向平行时
dW/dS=g.cos(g.s)=g 由此可见，重力g是重力位沿重力方向的导数
三、地球的重力场
（一）正常重力场
假定：
❖地球是一个旋转 椭球体（又称为参 考椭球体）、表面 光滑；
❖内部密度是均匀 的，或者是呈同心 层状分布，每层的 密度是均匀的，并 且椭球面的形状与 大地水准面的偏差 最小