最新南京市鼓楼区中考二模数学试卷含答案
南京市鼓楼区中考二模数学试卷注意事项：本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1．下列关于“－1”的说法中，错误的是（）A．－1的相反数是1B．－1是最小的负整数C．－1的绝对值是1D．－1是最大的负整数2．16等于A．－4B．4C．±4D．2563．北京时间2月11日23点30分，科学家宣布：人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦100年前的预言．引力波探测器LIGO的主要部分是两个互相垂直的长臂，每个臂长4000米，数据4000用科学计数法表示为A．0.4×103 B．0.4×104C．4×103 D．4×1044．计算(－2xy2)4的结果是A．8x4y8 B．－8x4y8 C．16 xy8 D．16 x4y85．如图，图（1）是一枚古代钱币，图（2）是类似图（1）的几何图形，将图（2）中的图形沿一条对称轴折叠得到图（3），关于图（3）描述正确的是A．只是轴对称图形B．只是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形6．将一块长a米，宽b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草．现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为为S1、S2和S3，则它们的大小关系为图（1）图（2）图（3）60°x x30°x xx x30°30°30°A ．S 3＜S 1＜S 2B ．S 1＜S 3＜S 2C ． S 2＜S 1＜S 3D ．S 1＝S 2＝S 3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．使式子1x ＋2有意义的x 的取值范围是 ▲ ．8．计算48－27的结果为 ▲ ． 9．把4x 3－x 分解因式，结果为 ▲ ．10．反比例函数y ＝kx的图像经过点P （3，－2），则k= _____▲_____．11．如图，把等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1＋∠2＝ ▲ °．12．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1+x ≥0，x 3+1＞ x+12．的解集为 ▲ ．13．“微信发红包”是刚刚兴起的一种娱乐方式，为了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小红随机调查了15名同事，结果如下表：则此次调查中平均每个红包的钱数的众数为 ▲ 元，中位数为 ▲ 元．14．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，连接AD ．若∠C ＝80°，∠CEA ＝30°，则∠CDA＝ ▲ °．15．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与函数y 2＝kx 的图像交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4， 点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是（第11题） 12▲ ．16．如图①，四边形ABCD中，若AB＝AD，CB＝CD，则四边形ABCD称为筝形．根据筝形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，请你在图②中画出筝形的大致区域，并用阴影表示．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（10分）（1）解方程1－xx－2＝12－x－2；（2）计算a－2a2－1÷ (1a－1－1) ．18．（9分）为了了解某校1500名初中生冬季最喜欢的体育活动，该校随机抽取了校内部分学生进行调查，整理样本数据，得到下列统计图．（第14题）（第15题）ABCD图①矩形菱形平行四边形图②四边形正方形（第16题）根据以上信息回答下列问题：（1）共抽取了 ▲ 名校内学生进行调查，扇形图中m 值为 ▲ ． （2）通过计算补全直方图．（3）在各个项目被调查的学生中，男女生人数比例如下表：根据这次调查，估计该校初中生中，男生人数是多少？19．（8分）把甲、乙两张形状、大小相同但是画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同的2段，混合洗匀．（1）从这堆图片中随机抽出一张，放回混合洗匀，再抽出一张．则抽出的这两张图片恰好是可以拼成同一张风景图片的概率为 ▲ ；（2）从这堆图片中随机抽出两张，求抽出的这两张图片恰好可以组成甲图片的概率．20．（9分）已知，如图，P A 与⊙O 相切于点A ，过A 作AB ⊥OP ，交⊙O 于点B ，垂足为H ． 连接OA 、OB 、PB ．（1） 求证：PB 为⊙O 的切线； （2） 若OA ＝2，PH ＝4，求OP 的长．21．（8分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．BC ＝3，CA ＝4，矩形DEFC 的顶点D 、E 、F 都在△ABC的边上．（1）设DE ＝x ，则AD ＝ ▲ （用含x 的代数式表示）； （2） 求矩形DEFC 的最大面积．OPAB H（第20题）CBAEDF22．（8分）在某大型游乐场，景点A 、B 、C 依次位于同一直线上（如图），B 处是登高观光电梯的入口．已知A 、C 之间的距离为70米，EB ⊥AC ．电梯匀速运行10秒可从B 处到达D 处，此时可观察到景点C ，电梯再次以相同的速度匀速运行30秒可到达E 处，此时可观察到景点A ．在D 、E 处分别测得∠BDC ＝60°，∠BEA ＝30°．求电梯在上升过程中的运行速度．23．（7分）“郁郁林间桑葚紫，芒芒水面稻苗青”说的就是味甜汁多、酸甜适口的水果——桑葚．4月份，水果店的小李用3000元购进了一批桑葚，随后的两天他很快以高于进价40% 的价格卖出150kg ．到了第三天，他发现剩余的桑葚卖相已不大好，于是果断地以低于进价20%的价格将剩余的全部售出．小李前后一共获利750元，设小李共购进桑葚x kg ． （1）根据题意完成表格填空；（用含x 的代数式表示）（2）求x ．24．（8分）如图，已知点A 、点B 和直线l ．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，利用尺规在直线l 上作出点P ，使得∠APB ＝90°； （2）在图（2）中，利用尺规在直线l 上作出点P ，使得∠CQD ＝60°．（第22题）CBA ED（第24题）（1）（2）ABl CDl25．（10分）如图○1，在400米环形跑道上，M 、N 两点相距100米,.甲、乙两人分别从M 、N 两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米．甲每跑200米停下来休息10秒钟，乙每跑400米停下来休息20秒钟．甲、乙两人各自跑完800米．设甲出发x 秒时，跑步的路程为y 米．图○2中的折线OABC 表示甲在跑步过程中y （米）与x （秒）之间的部分函数关系．（1）请解释图中点B 的的实际意义；（2）求线段BC 所表示的y 与x 的函数关系式；（3）甲、乙两人在跑步过程中相遇的时间是__________________________秒．26. （11分）在□ABCD 中，∠BAD 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 平分线分别为AG 、BE 、CE 、DG，BE 与CE 交于点E ，AG 与BE 交于点F ，AG 与DG 交于点G ， CE 与DG 交于点H . （1）如图（1），已知AD ＝2AB ，此时点E 、G 分别在边AD 、BC 上. ①四边形EFGH 是___________；A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形 ②请判断EG 与AB 的位置关系和数量关系，并说明理由；A DEFH 2040 6080100120140160180 200220240260 y (米x (秒)O50 （图○2）（2）如图（2），分别过点E、G作EP∥BC、GQ∥BC，分别交AG、BE于点P、Q，连结PQ、EG.求证：四边形EPQG为菱形；（3）已知AD＝n AB（n≠2），判断EG与AB的位置关系和数量关系（直接写出结论）.数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．x≠－2；8． 3 9．x（2x＋1）（2x－1）10．－6 11．13512．20 15．－4＜x＜－3．16．AB CDEFGHPQ图（2）三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（10分）（1）解：方程两边同乘以x －2得：1－x ＝－1－2（x －2）．………………………2分解这个方程，得 x ＝2 ．…………………………………………………………………4分 经检验： x ＝2是增根，原方程无解．………………………………………5分（2）a －2a 2－1÷ (1a －1－1)＝a －2(a ＋1)(a －1)÷(1a －1－a －1a －1) …………………2分＝a －2(a ＋1)(a －1)·a －12－a……………………4分 ＝－1a ＋1 ………………………5分18．（9分）解：（1）200，m =25%.………………………………………………………………4分（2）略 ………………………………………………………………………6分 （3）1500×(20%×14 ＋ 25%×25＋40%× 34＋15%×45)………………………………………8分＝855(人)答:估计该校初中毕业生中，男生人数为855人………………………………………9分 19．（8分）（1）14………………………………………………………2分（2）画树状图或列表，………………………………………………………6分一共有12种等可能的结果，其中抽出的这两张图片恰好可以组成甲图片的情况有2种，∴抽出的这两张图片恰好可以组成甲图片的概率＝212＝16……………………………………………………8分20．（9分）∵P A 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥P A ，……………………………………………………1分即∠P AO ＝90°， ∵OP ⊥AB ， ∴AH ＝BH ， 即OP 垂直平分AB ， ∴P A ＝PB ． 在⊙O 中， OA ＝OB ， ∵OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OBP ，……………………………………………………3分 ∴∠PBO ＝∠P AO ＝90°， 即OB ⊥PB ． 又∵点B 在⊙O 上，∴PB 为⊙O 的切线．………………………………………………………4分 （2）∵AB ⊥OP ， ∴∠AHP ＝90°， ∴∠APO ＋∠P AH ＝90°， 由（1）知∠P AO ＝90°， ∴∠OAH ＋∠P AH ＝90°，∴∠OAH ＝∠APO ，又∵∠AOH ＝∠POA ，∴△OAH ∽△OP A ，………………………………………………………5分 ∴OA OP ＝OHOA，∴OA 2＝OH ×OP ， ∴22＝(OP －4)·OP ………………………………………………………7分OP ＝2±22，∵OP ＞0∴OP ＝2＋22………………………………………………………8分21．（8分）（1）43x ………………………………………………………2分（2）矩形DEFC 的面积＝(4－43x ) x ……………………………………………………4分＝－43x 2＋4x＝－43(x －32)2＋3……………………………………………………6分∵0≤x ≤3∴当x ＝32时，矩形DEFC 的面积有最大值，最大值是3…………………8分22．（8分）设电梯在上升过程中的运行速度为x m/s ． ∵ BE ⊥AC ，∴ ∠ABE ＝∠CBE ＝90°． 在Rt △ABE 中，∠ABE ＝90°，∠BEA ＝30°， ∴ tan ∠BEA ＝AB BE ，∴ tan30°＝AB BE，∴33＝AB 40x ，∴ AB ＝4033x ．……………………………………………………2分 在Rt △BDC 中，∠CBD ＝90°，∠BDC ＝60°， ∴ tan ∠BDC ＝BC BD ．∴ tan60°＝BC BD．∴ 3＝BC10x ．∴ BC ＝103x ．……………………………………………………4分∴ AC ＝AB ＋BC ＝4033x ＋103x ＝7033x ．由题意得AC ＝70，∴7033x ＝70．……………………………………………………6分 ∴ x ＝3．……………………………………………………7分∴ 电梯在上升过程中的运行速度为3m/s ．……………………………………………………8分23．（7分）（1）①3000x •（1＋40%） ②3000x •（1－20%） ③x －150………………………………………3分（2）根据题意得150•3000x •（1＋40%）＋（x －150）•3000x •（1－20%）－3000=750，……………………………………………5分或 150•3000x •40%－（x －150）•3000x•20%=750，解得：x =200，………………………………………………………………………………………………………………………………6分（第22题）CBAED经检验x =200是原方程的解．答：小李共购进桑葚200kg ．……………………………………………………………………………7分24．（8分） （1点P 1、P 2为所要作的点．……………………………………………………4分 （2）点Q 1、Q 2为所要作的点．……………………………………………………8分25. （10分）（1）点B 实际意义是当甲出发50秒后，所跑路程为200米(且已在此处休息10秒)；……………………………………………………2分 （2）设y BC ＝kx ＋b （k ≠0）；由图像可知：B （50，200），点C 的纵坐标为400，∴ 点C 的横坐标为50＋（400－200）÷5＝90，即C （90，400）．将B （50，200），C （90，400）分别代入y BC ＝kx ＋b 得⎩⎨⎧ 50k ＋b ＝200， 90k ＋b ＝400，解得⎩⎨⎧ k ＝5， b ＝－50，∴ y BC ＝5x －50；……………………………………………………7分Q 1Q 2CDll（3）120、145、170秒．下方方法供参考……………………………………………………10分26. （11分）（1）①B ；……………………………………………………1分 ②EG ∥AB ，EG ＝AB .理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，∴ ∠AEB ＝∠EBG .∵ BE 平分∠ABC ，∴ ∠ABE ＝∠EBG ， ∴ ∠ABE ＝∠AEB ，∴ AB ＝AE . 同理，BG ＝AB ，∴ AE ＝BG .∵ AE ∥BG ，AE ＝BG ，∴ 四边形ABGE 是平行四边形.∴ EG ∥AB ，EG ＝AB . ……………………………………………………5分 （2）证明：分别延长EP 、GQ ，交AB 于点M 、N ， 分别延长PE 、QG ，交CD 于点M'、N'， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥DC ，又∵ PE ∥BC ， ∴ 四边形MBCM'是平行四边形，2040 6080100 120 140 160 180 200 220 240 260 y (米x (秒)O50 A B CDEFGH∴ MM '＝BC ，MB ＝M'C . ∵ PE ∥BC ， ∴ ∠MEB ＝∠EBC . ∵ BE 平分∠ABC ， ∴ ∠ABE ＝∠EBC ， ∴ ∠MEB ＝∠ABE ，∴ MB ＝ME .同理，M'E ＝M'C . ∴ ME ＝M'E .∴ ME ＝12MM '，又∵ MM '＝BC ，∴ ME ＝12BC .同理，NG ＝12BC.∴ ME ＝NG . ∵ GQ ∥BC ， ∴ ∠DAG ＝∠AGN . ∵ AG 平分∠BAD ， ∴ ∠DAG ＝∠NAG ， ∴ ∠NAG ＝∠AGN ， ∴ AN ＝NG .∵ MB ＝ME ，AN ＝NG ，ME ＝NG ， ∴ MB ＝AN .∴ MB －MN ＝AN －MN ，即BN ＝AM . ∵ PE ∥BC ， ∴ ∠DAG ＝∠APM , 又∵ ∠DAG ＝∠BAG ， ∴ ∠APM ＝∠BAG ， ∴ AM ＝PM .同理，BN ＝QN . ∴ PM ＝QN .∵ ME ＝NG ，PM ＝QN ，∴ ME －PM ＝NG －QN ，即PE ＝QG . ∵ EP ∥BC ，GQ ∥BC ，A BCD F EGHP QM N M'N'∴ EP ∥GG . 又∵ PE ＝QG ，∴ 四边形EPQG 是平行四边形. ∵ AG 、BE 分别平分∠BAD ，∠ABC ， ∴ ∠BAG ＝12∠BAD ，∠ABG ＝12∠ABC .∴ ∠BAG ＋∠ABG ＝12∠BAD ＋12∠ABC ＝12×180°＝90°，∴∠AFB ＝90°，即PG ⊥EF .∴ 平行四边形EPQG 是菱形. ……………………………………………………9分 （3）①n ＞1时，EG ∥AB 且EG ＝（n －1）AB ； ②n ＜1时，EG ∥AB 且EG ＝（1－n ）AB ；③n ＝1时，此四边形不存在.（此种情况不写不扣分）………………………………………11分。
2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题含解析
2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（ ）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm2．如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．53．某青年排球队12名队员年龄情况如下： 年龄18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ）A ．20，19B ．19，19C ．19，20.5D ．19，204．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果关于x 的方程220x x c ++=没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是（ ）A ．2；B ．1；C ．0；D ．3-．7．下列运算中，计算结果正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 2+a 3=a 5C ．（a 2）3=a 6D ．a 12÷a 6=a 2 8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）A．B．1 C．D．9．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣310．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D 为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．3211．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x12．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B 61C66D．43二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB 长_____海里．14．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．15．分解因式2242xy xy x ++=___________16．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm ），计算出这个立体图形的表面积．17．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由BC ，线段CD 和线段BD 所围成图形的阴影部分的面积为__．18．在ABC 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，(22P ，322P ⎛ ⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．20．（6分）如图所示，点C为线段OB的中点，D为线段OA上一点．连结AC、BD交于点P．（问题引入）（1）如图1，若点P为AC的中点，求ADDO的值．温馨提示：过点C作CE∥AO交BD于点E．（探索研究）（2）如图2，点D为OA上的任意一点（不与点A、O重合），求证：PD AD PB AO=．（问题解决）（3）如图2，若AO=BO，AO⊥BO，14ADAO=，求tan∠BPC的值．21．（6分）西安汇聚了很多人们耳熟能详的陕西美食．李华和王涛同时去选美食，李华准备在“肉夹馍（A）、羊肉泡馍（B）、麻酱凉皮（C）、（biang）面（D）”这四种美食中选择一种，王涛准备在“秘制凉皮（E）、肉丸胡辣汤（F）、葫芦鸡（G）、水晶凉皮（H）”这四种美食中选择一种．（1）求李华选择的美食是羊肉泡馍的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率．22．（8分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．23．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．24．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．求证：△ABM ∽△EFA ；若AB=12，BM=5，求DE 的长．25．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，连接CE ，请直接写出线段CE 的长．26．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于D ；若AB=10cm ，CD=4cm ，求△ABD 的面积．27．（12分）先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x-+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B【解题分析】当腰长是2 cm 时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm 时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm ．故选B ．2、C【解题分析】【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案． 【题目详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ， 根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．3、D【解题分析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【题目详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202+=1． 故选D ．【题目点拨】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．4、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选D．【题目点拨】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．5、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、A【解题分析】分析：由方程根的情况，根据根的判别式可求得c的取值范围，则可求得答案．详解：∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根，∴△＜0，即11﹣4c＜0，解得：c＞1，∴c在1、1、0、﹣3中取值是1．故选A．点睛：本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．7、C【解题分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确；D 、a 12÷a 6=a 12﹣6=a 6，故本选项错误．故选：C ．【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、B【解题分析】根据题意求出AB 的值，由D 是AB 中点求出CD 的值，再由题意可得出EF 是△ACD 的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2, AB=2BC=22=4,D 是AB 的中点, CD=AB= 4=2.E,F 分别为AC,AD 的中点,EF 是△ACD 的中位线. EF=CD= 2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.9、A【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程2410x x +=﹣，变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣），故选A ．本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．10、B【解题分析】试题解析：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB33，根据题意得：AD=BC=x，AE=3，作EM⊥AD于M，则AM=12AD=12x，在Rt△AEM中，cos∠EAD=13263xAMAE x==；故选B．【题目点拨】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.11、B【解题分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【题目详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()147001400x+．故选B．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．12、D【解题分析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =AB BI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ． 点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB ∥NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt △ABP ，得出AB=AP•cos ∠A=1海里．详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．∵AB ∥NP ，∴∠A=∠NPA=60°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，∴AB=AP•cos ∠A=4×cos60°=4×12=1海里．故答案为1．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．14、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3≤． x 为整数， x ∴最大值为1．故答案为1． 【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15、22(1)x y +【解题分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【题目详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2， 故答案为2x （y ＋1）2 【题目点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16、100 mm 1 【解题分析】首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可． 【题目详解】根据三视图可得：上面的长方体长4mm ，高4mm ，宽1mm ， 下面的长方体长8mm ，宽6mm ，高1mm ，∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm 1）． 故答案为100 mm 1． 【题目点拨】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．17、﹣23π． 【解题分析】试题分析：根据题意可得：∠O=2∠A=60°，则△OBC 为等边三角形，根据∠BCD=30°可得：∠OCD=90°，OC=AC=2，则CD=OCD122S =⨯=OBC 60423603S ππ⨯==扇形，则23S π=阴影． 18、2.1 【解题分析】先求出△ABC 是∠A 等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【题目详解】解：根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 为k 、2k 、3k ， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=12AB=1， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=12BC=2.1． 故答案为2.1． 【题目点拨】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC 是直角三角形是解本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）①2P ，3P ;②，(-，(，(-;（2）33n -≤≤．【解题分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为y =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ， 故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线． 设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =．直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ． 连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ = 在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =． 所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB = 所以22ON =． 所以点1Q 的坐标为2,22．同理可求点2Q 的坐标为(22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为()22,2点4Q 的坐标为()2,22--， 综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--．（2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°， ∴23sin 60CD OC ==︒， 设⊙A 与直线BC 相切于点F ， 在Rt △ACE 中，同法可得23AC =∴33OA =， ∴433n =根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，43n =，观察图象可知满足条件的N的值为：434333n-≤≤．【题目点拨】此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20、（1）12；(2) 见解析；(3)12【解题分析】（1）过点C作CE∥OA交BD于点E，即可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的性质可得CE BCOD BO=，再证明△ECP≌△DAP，由此即可求得ADDO的值；（2）过点D作DF∥BO交AC于点F，即可得PD DFPB BC=，AD DFAO OC=，由点C为OB的中点可得BC=OC，即可证得PD ADPB AO=；（3）由（2）可知PD ADPB AO==14，设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，根据勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，从而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=12 OCOA=．【题目详解】（1）如图1，过点C作CE∥OA交BD于点E，∴△BCE∽△BOD，∴=，又BC=BO，∴CE=DO．∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，又∠EPC=∠DPA，PA=PC，∴△ECP≌△DAP，∴AD=CE=DO，即=；（2）如图2，过点D作DF∥BO交AC于点F，则=，=．∵点C为OB的中点，∴BC=OC，∴=；（3）如图2，∵=，由（2）可知==．设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，∴BD==5t，∴PD=t，PB=4t，∴PD=AD，∴∠A=∠APD=∠BPC，则tan∠BPC=tan∠A==．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解决本题的关键，也是求解的难点．21、（1）14；（2）见解析.【解题分析】（1）直接根据概率的意义求解即可；（2）列出表格，再找到李华和王涛同时选择的美食都是凉皮的情况数，利用概率公式即可求得答案．【题目详解】解：（1）李华选择的美食是羊肉泡馍的概率为；（2）列表得：E F G HA AE AF AG AHB BE BF BG BHC CE CF CG CHD DE DF DG DH由列表可知共有16种情况，其中李华和王涛选择的美食都是凉皮的结果数为2，所以李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率为=．【题目点拨】本题涉及树状图或列表法的相关知识，难度中等，考查了学生的分析能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22、（1）2（2）BD=5，3【解题分析】（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题.【题目详解】（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴2，（2）如图②，连接OB，OD，OC，∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=12∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5，∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴OD⊥BC，设垂足为E，∴53，∴3．【题目点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．23、证明见解析.【解题分析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【题目详解】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝FC+CD，∴AC＝FD，在△ABC 和△DEF 中，A DB E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （AAS ） ∴BC ＝EF ． 【题目点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24、（1）见解析；（2）4.1 【解题分析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ，得出∠AMB=∠EAF ，再由∠B=∠AFE ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM ∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可得出DE 的长． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ， ∴∠AMB=∠EAF ， 又∵EF ⊥AM ， ∴∠AFE=10°， ∴∠B=∠AFE ， ∴△ABM ∽△EFA ；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5， ∴，AD=12， ∵F 是AM 的中点， ∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM ∽△EFA ， ∴BM AMAF AE =， 即5136.5AE=， ∴AE=16.1， ∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．25、作图见解析；CE=4.【解题分析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．26、（1）答案见解析；（2）220cm【解题分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.【题目详解】解:(1)如图所示,AD即为所求;(2)如图,过D作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S△ABD=12AB·DE=20cm2.【题目点拨】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.27、-5【解题分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【题目详解】原式=[2(1)(1)xx x--+(2)(2)(2)x xx x-++]÷1x=（1xx-+2xx-）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【题目点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．。
鼓楼初三数学二模试卷答案
一、选择题1. 选择题：下列各数中，不是有理数的是（）A. √4B. -√9C. 0.1010010001…（无限循环小数）D. π答案：D解析：有理数包括整数和分数，其中整数包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数。
选项A、B、C均为有理数，选项D为无理数，故选D。
2. 选择题：若x²+4x+3=0，则x的值为（）A. -1，-3B. 1，-3C. -1，3D. 1，3答案：A解析：由一元二次方程的解法可知，x²+4x+3=0可分解为(x+1)(x+3)=0，解得x=-1或x=-3，故选A。
3. 选择题：下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y=√(x-1)B. y=x²C. y=1/xD. y=lg(x)答案：B解析：函数的定义域是指函数的自变量x可以取的所有实数值。
选项A中，x-1≥0，即x≥1，故定义域为[1，+∞)；选项B中，x²的定义域为实数集R；选项C中，x不能为0，故定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)；选项D中，x>0，故定义域为(0，+∞)。
故选B。
二、填空题1. 填空题：若a²-5a+6=0，则a的值为__________。
答案：2或3解析：由一元二次方程的解法可知，a²-5a+6=0可分解为(a-2)(a-3)=0，解得a=2或a=3。
2. 填空题：函数y=2x+3的图象与x轴的交点坐标为__________。
答案：(-1.5，0)解析：令y=0，得2x+3=0，解得x=-1.5，故交点坐标为(-1.5，0)。
3. 填空题：若x+2y=5，则x的取值范围为__________。
答案：x≤3解析：由不等式x+2y=5可得y=(5-x)/2，因为y为实数，所以5-x≥0，解得x≤3。
三、解答题1. 解答题：解一元二次方程x²-4x+3=0。
答案：x=1或x=3解析：由一元二次方程的解法可知，x²-4x+3=0可分解为(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。
南京市鼓楼区九年级第二次模拟调研测试
南京市鼓楼区九年级第二次模拟调研测试数学试卷总分值120分考试时间120分钟以下各题所附的四个选项中，有且只有一个是正确的．一、选择题〔每题2分，共20分〕1．3的倒数是〔〕11C．3D．3A．B．332．计算〔a3b〕2结果正确的选项是〔〕A．a9b B．a9b2C．a3b2D．a6b23．某班45名同学的年纪散布状况以下列图，那么该班学生年纪的众数是〔〕人数25202015151046511121314年纪A．12B．13C．15D．204．4的值为〔〕A．±2B．2C．±2D．25．某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，以下所列方程正确的选项是〔〕A．148〔1＋a%〕2=200B．200〔1－a%〕2=148C．200〔1－2a%〕=1482 D．200〔1－a%〕=1486．二次函数y=x2＋2x－1的最小值是〔〕A．－1B．－2C．1D．217．在△ABC中，假定∠C＝90°，cosA＝2，那么∠A等于〔〕A．30°B．45°C．60°D．90°A的坐标为〔1，0〕，点B在直线y=－x上运动，当8．如图，点线段AB最短时，点B的坐标为〔〕A．〔0，0〕B．〔1，－1C．〔1，－1〕D．〔2，2〕2222 9．某气球内充满了必定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P〔kPa〕是气体体积V〔m3〕的反比率函数，其图象以下列图．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．那么，负气球爆炸的体积范围是〔〕A．不小于5m3B．小于5m3C．不小于4m3D．小于4m3445510．定义：定点现有一矩形别相切于点P与⊙O上的随意一点之间的距离的最小值称为点P与⊙O之间的距离．ABCD〔如图〕，AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CDE、F、G，那么点A与⊙K的距离为〔〕分A．4cm B．8cmC．10cm D．12cm二、填空题〔每题3分,共18分〕11312．依据以下列图的程序计算，假定输入x的值为1，那么输出y的值为．13．一次函数的图象过点〔 1，2〕，且函数值 y 跟着自变量 x 的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数的表达式： ．14．依据下表中的规律，表中的空格中应填写的数字是 ．000 110 010 100 111 001 10115．如图，菱形 A BCD 的对角线AC 和BD 订交于点O ，过点O 的直线分别交 AB 和CD于点E 、F ，BD=6，AC=4，那么图中暗影局部的面积和为 ．16．如图是一张简略活动餐桌平放在地面上,假如两条桌腿的张角〔∠ COD 〕为120°，OA=OB ，OC=OD ，桌面离地面的高度为70cm 〔不考虑桌面厚度〕，那么桌腿AD 长应为cm ．三、〔每题6分，共24分〕17．化简：1 4·a2．a 2 4a18．求不等式组x3 3 x 1的整数解．21) 8 x 1 3(x19．如图，在矩形 ABCD 中，点E 、F 分别在CA 、AC 的延伸线上，且 AE=CF ．请确立四边形BEDF的形状，并证明你的结论．EADBCF20．如图，在平面直角坐标系中，图形①与图形②对于点P成中心对称．1〕画出对称中心P，并写出点P的坐标；2〕将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③；⑶请详细说明图形③经过如何变换可直接获得图形①．四、〔第21题5分，第22题6分，共11分〕21．下表是某居民小区五月份的用水状况：月用水量〔米3〕456户数237〔1〕计算20户家庭的月均匀用水量；〔2〕假如该小区有500户家庭，依据上边的计算结果，预计这8591121500户家庭该月共用水多少立方米?22．阴历正月十五元宵节有吃汤元的风俗．小华的妈妈在包的48个汤元中，有两个汤元用红枣做馅，与其余汤元不一样馅．现每碗盛８个汤元，共盛6碗，且两个红枣汤圆被盛到不一样的碗里，假定小华吃２碗，那么吃到包有红枣的汤元，．〔１〕小华吃的两碗中都有红枣汤元的概率；〔２〕小华吃到红枣汤元的概率．五、〔第23题7分，第24题8分，共15分〕23．某中学数学活动小组利用周日展开课外实践活动，他们要在湖面上丈量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45，沿直线CD向塔AB方向行进18米抵达点D，测得塔顶A的仰角为60．湖面低于地平面．．．．．．．1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．〔结果精准到0．1米，参照数据：2≈1．41，3≈1．73〕24．清晨小明与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班．骑车走了一会接到小欣的，即以原速骑车前去小欣学校，并与小欣同时抵达校．他们离家的行程y〔米〕与时间x〔分〕的函数图象以下列图．妈妈A点坐标A(10，2500)，C点坐，标为(20，0)．〔1〕在图中，小明离家的行程y〔米〕与时间x〔分〕的函数图象是线段〔A〕OA〔Ｂ〕OB〔Ｃ〕OC〔Ｄ〕AB〔2〕分别求出线段OA与AB 〔3〕小欣步行速度为每分的函数表达式〔不需要写出自变量的取值范围〕50米，那么小欣家与学校距离为；米，小欣早晨上学需要的时间六、〔每题7分，共14分〕分钟．25．图①中是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB面〔视为水平的〕与拱肋用垂直于桥面的系杆连结，拱肋的跨度可视为抛物线的一局部，桥AB为280米，正中间系杆OC的长度为56米。
精选南京市鼓楼区中考数学二模试卷(2)(有详细答案)
江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≥15．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是，的倒数是．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是．10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= ．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= °．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH 的面积是．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是°时，CD∥AB．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2017年2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为 km/h，慢车的速度为km/h，甲乙两地的距离为km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y 轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：；定理2：；定理3：．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元【解答】解：将32800万用科学记数法表示为：3.28×108，故选：C．2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣【解答】解：3﹣2=，故选：C．4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≥1【解答】解：根据题意，得2x﹣2≥0，解得，x≥1．故选：D．5．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．【解答】解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得．故选：B．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大【解答】解：A、正确．正方形有且只有一个内切圆；B、错误．正方形有且只有一个外接圆；C、错误．对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形；D、错误．用一根绳子围成一个平面图形，圆形的面积最大；故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是﹣，的倒数是．【解答】解：的相反数是﹣，倒数是．故答案为﹣，．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， ==等．【解答】解：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， ==等；故答案为：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， ==等．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是4（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）故答案为：4（x+2）（x﹣2）10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= 16 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1，x1x2=﹣5，所以x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=（﹣1）2﹣3×（﹣5）=16．故答案为16．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是2（答案不唯一）．【解答】解：∵y=的图象位于一三象限，点A在第一象限，∴y1＞0，y随x的增大而减小．∵当m＜0时，点B位于第三象限，∴y2＜0．故假设不成立．当m＞0时，点B位于第一象限，∴y2＞0．又∵y1＜y2，∴m＜3．∴0＜m＜3．所以m的值可为2．故答案为：2．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= 220 °．【解答】解：如图，∵直线b平移后得到直线a，∴a∥b，∴∠1+∠4=180°，即∠4=180°﹣∠1，∵∠5=∠3=40°，∴∠2=∠4+∠5=180°﹣∠1+40°，∴∠1+∠2=220°．故答案为220．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH 的面积是ab ．【解答】解：∵点E、F分别是菱形AB、BC边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AC，且EF∥AC．同理，HG=AC，且HG∥AC，∴EF=HG，且EF∥HG．∴四边形EFGH是平行四边形．∴EH∥FG，EH=FG=BD．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH的面积=EF•EH=a•b=ab．故答案是： ab．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是100或280 °时，CD∥AB．【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：100或280．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是（，）．【解答】解：如图，∵原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1，∴OO1⊥AB，设O1O与直线y=﹣x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，由直线y=﹣x+4可知A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S△AOB=OA•OB=AB•OD，∴OD==，∴OO1=，∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，∴△AOD∽△O1OE，∴=，即=，∴OE=，∴O1E==，∴点O的坐标是（，），1故答案为（，）．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 5 ．【解答】解：∵PC、PB是⊙O的切线，∴∠PCO=∠PBO=90°，∴点C、B在以OP为直径的圆上，∵BC是这个圆的弦，∴当BC=OP=5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．故答案为5．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．【解答】解：原式=+•=+1=，当x=3时，原式==2．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3 ．【解答】解：（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，∴2x﹣3x+3≤6，解得x≥﹣3，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．故答案为：﹣4＜a≤﹣3．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2017年2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．【解答】解：（1）用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如下：；（2）小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：=×（2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0）=1.9（万步）．（3）小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9×28=53.2（万步）．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，故转动一次，指针指向白色区域的概率为： =，则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：，故让转盘自由转动两次．指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区域的概率是：2××=．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据题意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120=180，解得 x1=﹣2，x2=1.5．所以x=1.5，x+0.5=2．答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）【解答】解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ=xm，则PE=（x﹣1.6）m，PF=（x﹣1.2）m．在△PEA中，∠PEA=90°．则tan∠PAE=．∴AE=．在△PCF中，∠PFC=90°．则tan∠PCF=．∴CF=．∵AE+CF=BD．∴+=200．解，得x=．答：气球的高度是m．23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS ；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．【解答】解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，故答案为AAS．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴BE=CF，DE=DF．在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD．∴AE=AF．∴AE+BE=AF+CF．即AB=AC．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O是所求作的图形．（2）如图，作⊙O的直径AE，连接BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，∴△ABE∽△ADC，∴=．即=，解得AE=．∴⊙O的半径为．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为 km/h，慢车的速度为150 km/h，甲乙两地的距离为50 km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）快车的速度为300÷2=150km/h，慢车的速度为：300÷6=50km/h，甲乙两地的距离为300km，故答案为：150，50，300；（2）快车在行驶过程中离A地的路程y1与时间x的函数关系式：当0≤x＜2时，y1=150x，当2≤x≤4时，y1=300﹣150（x﹣2），即y1=600﹣150x．慢车在行驶过程中离A地的路程y2与时间x的函数关系式：当0≤x≤6时，y2=50x，由题意，得①当0≤x＜2时，y1﹣y2=100，150x﹣50x=100，解得x=1；②当2≤x＜3时，y1﹣y2=100，600﹣150x﹣50x=100，解得x=2.5；③当3≤x＜4时，y2﹣y1=100，50x﹣（600﹣150x）=100，解得x=3.5；④当4≤x≤6时，两车相距大于100km．答：出发1 h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；（3）s与x的函数图象如图所示：26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y 轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．【解答】（1）由题意知：，解得．∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；（2）①∵当x=0时，y=﹣4．∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，∴BD==8，即BD=2OB，∴∠ODB=30°．∴∠OBD=60°；②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，∵x=3时，m=﹣4．∴点C的坐标为（3，﹣4）．∵CD∥x轴，∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．∴DF=CD=，CF==，∵BD=8，∴BF=8﹣=， 设点P 的坐标为（x ，x 2﹣3x ﹣4）． 则PE=﹣x 2+3x+4，BE=4﹣x ，∵∠CBP=∠OBD=60°，∴∠CBF=∠PBE ．∵∠CFB=∠PEB=90°．∴△CBF ∽△PBE ． ∴=． ∴=．解得：x 1=4（舍去），x 2=﹣． ∵当x=﹣时，y=﹣．∴点P 的坐标为（﹣，﹣）．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD 中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①A B=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；⑤∠BAD=∠BCD；⑥∠ABC=∠ADC；⑦OA=OC；⑧OB=OD．【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．【解答】（1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠AD C，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C．在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABC D不一定是平行四边形．反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．。
2020年南京市鼓楼区中考数学二模试卷(有答案)
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x 1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定5．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62°C．64°D．65°6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=．9．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是万步，众数是万步．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选B．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m【解答】解：1÷5000000=2×10﹣7．故选：C．4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【解答】解：∵y=，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选D．5．（2分）如图，在△ABC中，∠AC B=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62° C．64°D．65°【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴CF=FB，∵∠B=32°，∴∠BCF=32°，∴∠AFC=32°+32°=64°，故选：C．6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=3．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1•x2=6，∵x1=2，∴x2=3故答案为：39．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值1．【解答】解：3x﹣1＜6，解得，x＜2，∴满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值是1或2，故答案为：1．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为17．【解答】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故答案为：17．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是20πcm2．（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是 1.1万步，众数是 1.2万步．【解答】解：每天所走步数的中位数是：（1+1.2）÷2=1.1，众数是1.2万步，故答案为：1.1；1.2．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=1．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上，∴n=m2﹣2m﹣3①，m=n2﹣2n﹣3②，①﹣②，得n﹣m=（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n=0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）=0，∵m≠n，∴m﹣n≠0，∴m+n=1；故答案为：1．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，∴AF=AB=2，CF⊥AB，∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴GF=CF=×AB=，由勾股定理得，AG==，故答案是：．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PBC=90°，∵∠PAC=∠PCB∴∠CAP+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=2，OC=1.5，∴OB==2.5，∴PB=OB﹣OP=2.5﹣1.5=1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则不能围成一个面积为110cm2的矩形．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率==．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．【解答】解：=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），=（7+9+6+8+2+7+8+4+9+10）=7（环）．=（4+4+0+1+0+1+1+1+0+0）=1.2（环2）；=（0+4+1+1+25+0+1+9+4+9）=5.4（环2）．甲和乙的平均成绩相同，而甲比较稳定，乙具有更强的潜力．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AB′∥BD，∴∠B′AD=∠ADB，∴∠B′AD=∠DA C，∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，∴∠BAC=∠CAB′，∴∠DAC=BAC，∴∠BAC=60°，∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形；（2）连接B′O，∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，∴CB′⊥OD，∵CD=OC，∴B′C垂直平分OD，∴B′O=B′D，∵AO=CO，∠AB′C=90°，∴B′O=OC，∴∠OB′C=∠OCB′=30°，∴∠DB′C=∠OB′C=30°，∴∠OCB′=∠CB′D，∴B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∴∠CHB=∠CHA=90°．在Rt△BCH中，sinA==，∴CH=b⋅sinA．同理可得CH=a⋅sinB．∴b⋅sinA=a⋅sinB．即=．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2=240m/min，下坡速度：240×1.5=360m/min，所以，下坡时间为480÷360=min，2+=min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．所以，y=﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2=120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）=480，解得x=2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD．∵BD∥CO，∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．在☉O中，OB=OD，∴∠DBO=∠ODB．∴∠COA=∠COD．在△CAO和△CDO中，∴△CAO≌△CDO（SAS）．∴∠CDO=∠CAO=90°．即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在⊙O中，OE⊥BD，∴BE=DE．在Rt△CAO中，OC==．∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，∴△OEB∽△CAO．∴=．∴=．∴BE=．∴BD=2BE=．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1）．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．【解答】解：（1）∵2＞1，∴点（1，2）的“绝对点”的纵坐标为2﹣1=1，则点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，又mn=2．所以n=±1．即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去，所以P的坐标为（2，1）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去．综上所述，点P的坐标为（2，1）．（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a 2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，Q Q′的最大值为14或2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．∵AD=AP，∠PAD=60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD=PA=3，∠ADP=60°．又∠ADB=150°，∴∠PDB=90°．在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，∴BP===5，（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．∵AB=2AC，AD=AP，∴==．又∠CAD=∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD=BP=2.5．在△PAD中，PA=，∠PAD=60°，AD=，易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD=，∴∠DPC=120°﹣30°=90°在Rt△DPC中，PC===2．。
2020届南京市鼓楼区中考数学二模试卷(有答案)(已审阅)
江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x 1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定5．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62°C．64°D．65°6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=．9．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是万步，众数是万步．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选B．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m【解答】解：1÷5000000=2×10﹣7．故选：C．4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【解答】解：∵y=，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选D．5．（2分）如图，在△ABC中，∠AC B=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62° C．64°D．65°【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴CF=FB，∵∠B=32°，∴∠BCF=32°，∴∠AFC=32°+32°=64°，故选：C．6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=3．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1•x2=6，∵x1=2，∴x2=3故答案为：39．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值1．【解答】解：3x﹣1＜6，解得，x＜2，∴满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值是1或2，故答案为：1．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为17．【解答】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故答案为：17．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是20πcm2．（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是 1.1万步，众数是 1.2万步．【解答】解：每天所走步数的中位数是：（1+1.2）÷2=1.1，众数是1.2万步，故答案为：1.1；1.2．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=1．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上，∴n=m2﹣2m﹣3①，m=n2﹣2n﹣3②，①﹣②，得n﹣m=（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n=0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）=0，∵m≠n，∴m﹣n≠0，∴m+n=1；故答案为：1．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，∴AF=AB=2，CF⊥AB，∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴GF=CF=×AB=，由勾股定理得，AG==，故答案是：．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PBC=90°，∵∠PAC=∠PCB∴∠CAP+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=2，OC=1.5，∴OB==2.5，∴PB=OB﹣OP=2.5﹣1.5=1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则不能围成一个面积为110cm2的矩形．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率==．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．【解答】解：=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），=（7+9+6+8+2+7+8+4+9+10）=7（环）．=（4+4+0+1+0+1+1+1+0+0）=1.2（环2）；=（0+4+1+1+25+0+1+9+4+9）=5.4（环2）．甲和乙的平均成绩相同，而甲比较稳定，乙具有更强的潜力．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AB′∥BD，∴∠B′AD=∠ADB，∴∠B′AD=∠DA C，∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，∴∠BAC=∠CAB′，∴∠DAC=BAC，∴∠BAC=60°，∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形；（2）连接B′O，∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，∴CB′⊥OD，∵CD=OC，∴B′C垂直平分OD，∴B′O=B′D，∵AO=CO，∠AB′C=90°，∴B′O=OC，∴∠OB′C=∠OCB′=30°，∴∠DB′C=∠OB′C=30°，∴∠OCB′=∠CB′D，∴B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∴∠CHB=∠CHA=90°．在Rt△BCH中，sinA==，∴CH=b⋅sinA．同理可得CH=a⋅sinB．∴b⋅sinA=a⋅sinB．即=．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2=240m/min，下坡速度：240×1.5=360m/min，所以，下坡时间为480÷360=min，2+=min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．所以，y=﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2=120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）=480，解得x=2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD．∵BD∥CO，∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．在☉O中，OB=OD，∴∠DBO=∠ODB．∴∠COA=∠COD．在△CAO和△CDO中，∴△CAO≌△CDO（SAS）．∴∠CDO=∠CAO=90°．即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在⊙O中，OE⊥BD，∴BE=DE．在Rt△CAO中，OC==．∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，∴△OEB∽△CAO．∴=．∴=．∴BE=．∴BD=2BE=．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1）．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．【解答】解：（1）∵2＞1，∴点（1，2）的“绝对点”的纵坐标为2﹣1=1，则点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，又mn=2．所以n=±1．即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去，所以P的坐标为（2，1）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去．综上所述，点P的坐标为（2，1）．（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a 2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，Q Q′的最大值为14或2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．∵AD=AP，∠PAD=60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD=PA=3，∠ADP=60°．又∠ADB=150°，∴∠PDB=90°．在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，∴BP===5，（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．∵AB=2AC，AD=AP，∴==．又∠CAD=∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD=BP=2.5．//在△PAD中，PA=，∠PAD=60°，AD=，易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD=，∴∠DPC=120°﹣30°=90°在Rt △DPC中，PC===2．//。
初中数学 南京市鼓楼区中考模拟二模数学考试卷及答案(word版)
xx 学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是试题2:下列算式结果为－3的是A．－│－3│B．（－3）0 C．－（－3）D．（－3）－1试题3:使分式有意义的x的取值范围是A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥2试题4:下列从左边到右边的变形，是因式分解的是A．(a－1)(a－2)＝a2－3a＋2 B．a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)C．(a－1)2＋(a－1)＝a2－a D．a2－3a＋2＝(a－1)2－(a－1)试题5:下列命题中，假命题的是A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形试题6:对函数y＝x3的描述：①y随x的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③试题7:9的平方根是．试题8:一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数是．试题9:已知方程组的解为则一次函数y＝－x＋1和y＝2x－2的图象的交点坐标为．试题10:计算（－）×的结果是．试题11:已知x1、x2是一元二次方程x2＋x＝1的两个根，则x1x2＝．试题12:如果代数式2x＋y的值是3，那么代数式7－6x－3y的值是．1试题13:已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是．试题14:如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝°．试题15:如图，△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm．则△ABC内切圆的半径是cm．试题16:如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝．试题17:解方程组试题18:解不等式2x－1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．试题19:某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据．（单位：个）1号2号3号4号5号总数甲班89 100 96 118 97 500乙班100 96 110 90 104 500统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？试题20:如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是，变量是；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．试题21:在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．（1）请列出所有可能的结果：（2）求每一种不同结果的概率．试题22:某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y＝ax＋b（a≠0）；②y＝a（x－h）2＋k（a≠0）；③y＝（a≠0）．你可选择的函数的序号是．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？试题23:三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB＝，∠B＝45°，BC＝1＋，解△ABC．试题24:如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用a、b、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．你添加的条件是，线段AB扫过的面积是．试题25:如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC＝2∠CBO．试题26:小明和小莉在跑道上进行100m短跑比赛，两人从出发点同时起跑，小明到达终点时，小莉离终点还差6 m，已知小明和小莉的平均速度分别为x m/s、y m/s．（1）如果两人重新开始比赛，小明从起点向后退6 m，两人同时起跑能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人起跑位置？请设计两种方案．试题27:（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE＝CF＝CG＝AH．求证：四边形EFGH是矩形．（2）已知： E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．试题28:△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG中，EF＝4，FG＞12．（1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x．①求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．试题1答案:D试题2答案:A试题3答案:C试题4答案: B试题5答案:D试题6答案:A试题7答案:±3试题8答案:5试题9答案:（1,0）试题10答案:2试题11答案:－1试题12答案:－2试题13答案:答案不唯一，如1等试题14答案:110试题15答案:试题16答案:试题17答案:解方程组解法一：由①，得x＝6－2y③，将③代入②，得3(6－2y)－2y＝2，解这个一元一次方程，得y＝2，将y＝2代入③，得x＝2，所以原方程组的解是解法二：①＋②，得4x＝8解这个一元一次方程，得x＝2，将x＝2代入①，得y＝2，所以原方程组的解是试题18答案:解：去分母，得 2（2x－1）≥3x－1．去括号，得 4x－2≥3x－1．移项、合并同类项，得x≥1．这个不等式的解集在数轴上表示如下：试题19答案:解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；＝100，＝100，s＝，s＝．甲班的优秀率为：2÷5=0.4=40%，乙班的优秀率为：3÷5=0.6=60%；乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较好．试题20答案:（1）单价，数量、金额；（2）设加油数量是x升，金额是y元，则y＝6.80x试题21答案:解：（1）搅匀后，从中随机摸出2个球，所有可能的结果有15个，即：（白，黑1），（白，黑2），（白，红1），（白，红2），（白，红3），（黑1，黑2），（黑1，红1），（黑1，红2），（黑1，红3），（黑2，红1），（黑2，红2），（黑2，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）．它们是等可能的．（2）其中摸得一个白球和一个黑球的结果有2个，摸得一个白球和一个红球的结果有3个，摸得二个黑球的结果有1个，摸得一个黑球和一个红球的结果有6个，摸得二个红球的结果有3个．所以P（摸得一个白球和一个黑球）＝，P（摸得一个白球和一个红球）＝＝，P（摸得二个黑球）＝，P（摸得一个黑球和一个红球）＝＝，P（摸得二红球）＝＝．试题22答案:解：（1）②；（2）当x＝4时，y＝90，当x＝10时，y＝51，当x＝36时，y＝90，则解得所以y＝（x－20）2＋26；当x＝20时，y有最小值26．答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．试题23答案:解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝45°，AB＝则cos ∠B＝．∴AD＝BD＝AB ×cos 45°＝×cos 45°＝1．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，C D＝BC－BD ＝1＋－1＝．则tan ∠C ＝＝＝．∴∠C＝30°．∴AC＝＝2，∠BAC＝180°－45°－30°＝105°．试题24答案:解：（1）如图；（2）如：OA=OA1，∠AO A1＝∠BOB1等；（3）添加的条件为：∠AO A1＝∠BOB1＝α；OA＝OA1＝a；OB＝OB1＝b ．面积为(b2－a2) 试题25答案:证明：连接OC、AC．A∵CD垂直平分OA，∴OC＝AC．C∴OC＝AC＝OA．D∴△OAC是等边三角形．B∴∠AOC＝60°．O∴∠ABC＝∠AOC＝30°．在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°．∴∠ABO＝45°．∴∠CBO＝∠ABO－∠ABC＝45°－30°＝15°．∴∠ABC＝2∠CBO．试题26答案:解：（1）根据题意，得＝，则y＝x．因为－＝－＝－＜0，所以＜所以小明先到达终点．（2）方案一：小明在起点，小莉在起点前6米处，两人同时起跑，同时到达；方案二：设小莉在起点，小明在起点后a米处，两人同时起跑，同时到达．则＝，即＝，解得a＝．所以小莉在起点，小明在起点后米处，两人同时起跑，同时到达．试题27答案:（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°．∵AE＝CF＝CG＝AH，∴BE＝BF＝DG＝DH．∴△AEH≌△CFG，△BEF≌△DHG．∴EH＝FG，EF＝HG．∴四边形EFGH是平行四边形．又∵∠AEH＝∠AHE＝（180°－∠A）＝90°－∠A，∠BEF＝∠BFE＝（180°－∠B）＝90°－∠B，∴∠HEF＝180°－∠AEH－∠BEF＝180°－（90°－∠A）－（90°－∠B）＝（∠A＋∠B）＝90°．∴四边形EFGH是矩形．（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，可证四边形EFGH是矩形，显然，AE与AH不相等．试题28答案:解：（1）学生回答合理应给分，如：从重叠部分的形状看分为2类，即三角形和四边形（梯形）；也可从数量的角度来分类，设平移的距离为x．分为0＜x ≤4，4＜x ≤8，8＜x ≤12三类等；（2）①当0≤x≤4时，y＝x2；当4＜x≤6时，y＝x －；当6＜x≤10时，y＝－（x－8）2＋；当10＜x≤12时，y＝－x＋；当12＜x≤16时，y＝（16－x）2．②如图：。
2020届南京市鼓楼区中考数学二模试卷(有答案)
江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定5．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62°C．64°D．65°6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=．9．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是万步，众数是万步．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选B．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m【解答】解：1÷5000000=2×10﹣7．故选：C．4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【解答】解：∵y=，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选D．5．（2分）如图，在△ABC中，∠AC B=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62° C．64°D．65°【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴CF=FB，∵∠B=32°，∴∠BCF=32°，∴∠AFC=32°+32°=64°，故选：C．6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=3．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1•x2=6，∵x1=2，∴x2=3故答案为：39．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值1．【解答】解：3x﹣1＜6，解得，x＜2，∴满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值是1或2，故答案为：1．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为17．【解答】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故答案为：17．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是20πcm2．（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是 1.1万步，众数是 1.2万步．【解答】解：每天所走步数的中位数是：（1+1.2）÷2=1.1，众数是1.2万步，故答案为：1.1；1.2．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=1．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上，∴n=m2﹣2m﹣3①，m=n2﹣2n﹣3②，①﹣②，得n﹣m=（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n=0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）=0，∵m≠n，∴m﹣n≠0，∴m+n=1；故答案为：1．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，∴AF=AB=2，CF⊥AB，∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴GF=CF=×AB=，由勾股定理得，AG==，故答案是：．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PBC=90°，∵∠PAC=∠PCB∴∠CAP+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=2，OC=1.5，∴OB==2.5，∴PB=OB﹣OP=2.5﹣1.5=1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则不能围成一个面积为110cm2的矩形．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率==．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．【解答】解：=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），=（7+9+6+8+2+7+8+4+9+10）=7（环）．=（4+4+0+1+0+1+1+1+0+0）=1.2（环2）；=（0+4+1+1+25+0+1+9+4+9）=5.4（环2）．甲和乙的平均成绩相同，而甲比较稳定，乙具有更强的潜力．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AB′∥BD，∴∠B′AD=∠ADB，∴∠B′AD=∠DA C，∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，∴∠BAC=∠CAB′，∴∠DAC=BAC，∴∠BAC=60°，∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形；（2）连接B′O，∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，∴CB′⊥OD，∵CD=OC，∴B′C垂直平分OD，∴B′O=B′D，∵AO=CO，∠AB′C=90°，∴B′O=OC，∴∠OB′C=∠OCB′=30°，∴∠DB′C=∠OB′C=30°，∴∠OCB′=∠CB′D，∴B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∴∠CHB=∠CHA=90°．在Rt△BCH中，sinA==，∴CH=b⋅sinA．同理可得CH=a⋅sinB．∴b⋅sinA=a⋅sinB．即=．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2=240m/min，下坡速度：240×1.5=360m/min，所以，下坡时间为480÷360=min，2+=min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．所以，y=﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2=120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）=480，解得x=2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD．∵BD∥CO，∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．在☉O中，OB=OD，∴∠DBO=∠ODB．∴∠COA=∠COD．在△CAO和△CDO中，∴△CAO≌△CDO（SAS）．∴∠CDO=∠CAO=90°．即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在⊙O中，OE⊥BD，∴BE=DE．在Rt△CAO中，OC==．∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，∴△OEB∽△CAO．∴=．∴=．∴BE=．∴BD=2BE=．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1）．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．【解答】解：（1）∵2＞1，∴点（1，2）的“绝对点”的纵坐标为2﹣1=1，则点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，又mn=2．所以n=±1．即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去，所以P的坐标为（2，1）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去．综上所述，点P的坐标为（2，1）．（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a 2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，Q Q′的最大值为14或2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．∵AD=AP，∠PAD=60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD=PA=3，∠ADP=60°．又∠ADB=150°，∴∠PDB=90°．在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，∴BP===5，（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．∵AB=2AC，AD=AP，∴==．又∠CAD=∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD=BP=2.5．_._在△PAD中，PA=，∠PAD=60°，AD=，易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD=，∴∠DPC=120°﹣30°=90°在Rt △DPC中，PC===2．_._。
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷【答案版】
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．下列四个数中，最大的是（）A．﹣1B．0C．1.4D．√22．计算a2•a4的结果是（）A．a8B．a4C．a6D．a23．计算√12−√3的结果是（）A．√9B．2C．2√3D．√34．已知A（2，0），B（0，2），下列四个点中与A、B在同一条直线上的是（）A．（1，2）B．（﹣1，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）5．如图，在⊙O中，C是AB̂上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC 满足的数量关系是（）A．∠C=13∠AOC B．∠C=12∠AOC C．∠C=23∠AOC D．∠C=34∠AOC6．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（）A．赚了99元B．赚了100元C．亏了99元D．亏了100元二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．式子√x−2有意义，则x的取值范围是．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是．9．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为．10．方程1x+2=1x2−4的解是．11．淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即0.000006米，用科学记数法表示0.000006是 ．12．已知a 、b 是一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个根，那么ab 2+a 2b 的值是 ．13．把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB 、AC ，则剪开的另一条棱是 （写出所有正确的答案）．14．如图，在▱ABCD 中，E 是线段AB 的中点，DE 交AC 于点F ，则AF AC= ．15．已知整式M ＝a 2﹣2a ，下列关于整式M 的值的结论： ①M 的值可能为4；②当a 为小于0的实数时，M 的值大于0； ③不存在这样的实数a ，使得M 的值小于﹣1． 其中所有正确结论的序号是 ．16．如图，⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的一条弦，以AB 为边作一个等边△ABC ，则OC 长的取值范围是 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 17．先化简，再求值：（2a +b ）2﹣（2a +b ）（2a ﹣b ），其中a ＝2，b ＝1． 18．解方程：x （x ﹣6）＝﹣4（x ﹣6）．19．如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，且AD ＝A ′D ′．求证：△ABC ≌△A 'B 'C '．20．如图所示是某地区2018﹣2022年汽车进、出口量统计图．（1）与上一年相比，出口量增长率最高的年份是（）A.2019年B.2020年C.2021年D.2022年（2）根据图提供的信息，请写出两个不同于（1）的结论．21．如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A站上车，随机从B，C，D，E中的某站下车．（1）甲从C站下车的概率是；（2）若乙与甲乘坐同一趟地铁从A站上车，随机从B、C、D、E中的某一站下车，求甲、乙两人恰好从同一站下车的概率．22．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）23．甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．（1）求甲、乙商品的售价；（2）某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F 在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3．（1）该抛物线经过一个定点：（写出坐标）；（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．①若N＝3，求k的值；②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．26．在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”．小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．（1）小明：如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿AB翻折，得到△ABD，再以D为圆心，DB长为半径作弧，交射线CB于点E，连接DE，过点A、E分别作AC、BC的垂线，交于点F．则四边形AFED是该命题的一个反例．请你说明此反例的合理性．（2）小丽：作出图②，在△ABC中，∠B＝90°，∠NMB＝∠A．她发现四边形ABMN已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证MN恰好与AB相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的M′N′，使四边形ABM′N′是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）．27．在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S1即图中灰色区域的面积，下同）；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S2．（1）①S1＝S2＝；（结果保留π）②比较S1与S2的大小．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．）（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．（3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个数中，最大的是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1.4D ．√2解：A 、﹣1为负数，小于选项C 、D 中的正数，故A 选项不符合题意； B 、0小于选项C 、D 中的正数，故B 选项不符合题意；C 、比较1.4和√2的大小，计算1.42＝1.96＜2，所以1.4＜√2，故C 选项不符合题意； C 、比较1.4和√2的大小，计算1.42＝1.96＜2，所以1.4＜√2，故D 选项符合题意； 故选：D ．2．计算a 2•a 4的结果是（ ） A ．a 8B ．a 4C ．a 6D ．a 2解：a 2•a 4＝a 2+4＝a 6． 故选：C ．3．计算√12−√3的结果是（ ） A ．√9B ．2C ．2√3D ．√3解：√12−√3=2√3−√3=√3． 故选：D ．4．已知A （2，0），B （0，2），下列四个点中与A 、B 在同一条直线上的是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（3，﹣2）解：设AB ：y ＝kx +b ，把A （2，0），B （0，2）代入关系式得， {0=2k +b 2=b ， ∴{k =−1b =2， ∴y ＝﹣x +2，把x ＝1代入关系式得，y ＝1，故A 不满足题意； 把x ＝﹣1代入关系式得，y ＝3，故B 满足题意； 把x ＝﹣2代入关系式得，y ＝4，故C 不满足题意； 把x ＝3代入关系式得，y ＝﹣1，故D 不满足题意；故选：B ．5．如图，在⊙O 中，C 是AB ̂上一点，OA ⊥OB ，过点C 作弦CD 交OB 于E ，若OA ＝DE ，则∠C 与∠AOC 满足的数量关系是（ ）A ．∠C =13∠AOC B ．∠C =12∠AOCC ．∠C =23∠AOCD ．∠C =34∠AOC解：连接OD ，∵OA ⊥OB ， ∴∠BOA ＝90°，∴∠BOC ＝∠AOB ﹣∠AOC ＝90°﹣∠AOC ， ∵OD ＝OC ， ∴∠D ＝∠C ，∵OD ＝OA ，OA ＝DE ， ∴OD ＝DE ， ∴∠DEO ＝∠DOE =180°−∠D 2=180°−∠C2， ∵∠DEO 是△EOC 的一个外角， ∴∠DEO ＝∠C +∠BOC ， ∴180°−∠C2=∠C +90°﹣∠AOC ，∴3∠C ＝2∠AOC ， ∴∠C =23∠AOC ， 故选：C ．6．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（）A．赚了99元B．赚了100元C．亏了99元D．亏了100元解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+...+197﹣198+199＝（﹣1）×1982+199＝（﹣1）×99+199＝（﹣99）+199＝100（元），则小红赚了100元，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．式子√x−2有意义，则x的取值范围是x≥2．解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是2：3．解：∵两个相似多边形面积比为4：9，∴两个相似多边形相似比为2：3，∴两个相似多边形周长比为2：3，故答案为：2：3．9．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为8．解：多边形的外角的个数是360÷45＝8，所以多边形的边数是8．故答案为：8．10．方程1x+2=1x2−4的解是x＝3．解：1x+2=1x2−4，方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x﹣2＝1，解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝3．故答案为：x＝3．11．淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即0.000006米，用科学记数法表示0.000006是6×10﹣6．解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10﹣6．故答案为：6×10﹣6．12．已知a 、b 是一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个根，那么ab 2+a 2b 的值是 3 ． 解：∵a 、b 是一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个根， ∴a +b =−32，ab ＝﹣2，∴ab 2+a 2b ＝ab （a +b ）＝﹣2×（−32）＝3， 故答案为：3．13．把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB 、AC ，则剪开的另一条棱是 BD 或CD （写出所有正确的答案）．解：把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB 、AC ，则剪开的另一条棱是BD 或CD ． 故答案为：BD 或CD ．14．如图，在▱ABCD 中，E 是线段AB 的中点，DE 交AC 于点F ，则AF AC=13．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠CDE ＝∠AED ，∠DCA ＝∠CAB ， ∴△AEF ∽△CDF ， ∴AF CF=AE CD，∵E 是AB 的中点， ∴AE =12AB ， ∴AE =12CD ，∴AE CD =AF CF =12， ∴AF AC =13．故答案为：13．15．已知整式M ＝a 2﹣2a ，下列关于整式M 的值的结论：①M 的值可能为4；②当a 为小于0的实数时，M 的值大于0；③不存在这样的实数a ，使得M 的值小于﹣1．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．解：①当M ＝4时，a 2﹣2a ＝4，整理得：a 2﹣2a ﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝4+16＝20＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，∴M 的值可能为4，故①正确；②M ＝a 2﹣2a ＝a （a ﹣2），∵a ＜0，∴a ﹣2＜0，∴a （a ﹣2）＞0，∴M ＞0，∴当a 为小于0的实数时，M 的值大于0，故②正确； ③M ＝a 2﹣2a ＝a 2﹣2a +1﹣1＝（a ﹣1）2﹣1，∵（a ﹣1）2≥0，∴（a ﹣1）2﹣1≥﹣1，∴M ≥﹣1，∴不存在这样的实数a ，使得M 的值小于﹣1， 故③正确；所以，上列关于整式M 的值的结论，其中所有正确结论的序号是①②③，故答案为：①②③．16．如图，⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的一条弦，以AB 为边作一个等边△ABC ，则OC 长的取值范围是 0≤OC ≤4 ．解：AB 为弦、△ABC 是等边角形，当△ABC 是等边角形，且C 恰好在圆的内部，C 与O 重合，此时OC 最小为0，当C 在圆的外部，如下图：连接：AO 、OC 、OB ，在OC下方作等边三角形OCD，则OC＝OD＝CD，∠OCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠OCD，∴∠ACO＝∠BCD，∴△CAO≌△CBD（SAS），∴BD＝OA＝2，∵OD最大是4，OD＝OC，∴0≤OC≤4，故答案为：0≤OC≤4，三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明17．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．解：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）＝4a2+4ab+b2﹣4a2+b2＝4ab+2b2，当a＝2，b＝1时，原式＝4×2×1+2×12＝10．18．解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．解：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6），x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，∴x﹣6＝0或x+4＝0∴x1＝6，x2＝﹣4．19．如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，D、D′分别是BC、B′C′的中点，且AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A'B'C'．证明：∵AD ，A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线，BC ＝B 'C '，∴BD ＝B 'D '，在△ABD 和△A 'B 'D '中，{AB =A ′B ′BD =B′D′AD =A′D′，∴△ABD ≌△A 'B 'D '（SSS ），∴∠B ＝∠B '，在△ABC 和△A 'B 'C '中，{AB =A ′B ′∠B =∠B′BC =B′C′，∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SAS ）．20．如图所示是某地区2018﹣2022年汽车进、出口量统计图．（1）与上一年相比，出口量增长率最高的年份是（ A ）A .2019年B .2020年C .2021年（2）根据图提供的信息，请写出两个不同于（1）的结论．解：（1）由统计图可知，与上一年相比，出口量增长率最高的年份是2019年，其增长为60%， 故答案为：A ；（2）由统计图可知，①2018年和2019年出口量比进口量低；②每年的出口量呈现上升趋势．21．如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A 站上车，随机从B ，C ，D ，E 中的某站下车．（1）甲从C 站下车的概率是 14 ；（2）若乙与甲乘坐同一趟地铁从A 站上车，随机从B 、C 、D 、E 中的某一站下车，求甲、乙两人 恰好从同一站下车的概率．解：（1）甲从C 出口出站的概率为14； 故答案为：14． （2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，甲、乙两人从同一个出口出站的结果有4种，∴甲、乙两人恰好从同一站下车的概率为416=14． 22．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE 、BD 和两楼之间的距离AD ，小莉在南楼楼底地面A 处测得北楼顶部B 的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C 处，此时测得B 的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）解：过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，由题意得：AC ＝DF ＝12m ，CF ＝AD ，设AD ＝CF ＝x m ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝31°，∴BD ＝AD •tan31°≈0.6x （m ），在Rt △CFB 中，∠BCF ＝20°，∴BF ＝CF •tan20°≈0.36x （m ），∴BD ＝BF +DF ＝（0.36x +12）m ，∴0.6x ＝0.36x +12，解得：x ＝50，∴AD ＝50m ，BD ＝30m ，∴两楼的高度约为30m ，两楼之间的距离约为50m ．23．甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．（1）求甲、乙商品的售价；（2）某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？解：（1）设甲商品的售价是x 元/千克，乙商品的售价是y 元/千克，根据题意得：{x −y =6020(x −55)=60(y −15)， 解得：{x =85y =25． 答：甲商品的售价是85元/千克，乙商品的售价是25元/千克；（2）设购进甲商品m 千克，则购进乙商品（120﹣m ）千克，根据题意得：m ≤2（120﹣m ），解得：m ≤80．设购进的两种商品销售完后获得的总利润为w 元，则w ＝（85﹣55）m +（25﹣15）（120﹣m ），即w＝20m+1200，∵20＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝80时，w取得最大值，此时120﹣m＝120﹣80＝40．答：要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲商品80千克，乙商品40千克．24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F 在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是40．（1）证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，∴AC是⊙O的直径，∵EF与⊙O相切于点C，∴AC⊥EF，∵OE＝OF，∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，∴∠AOF＝∠AOE，∵OA＝OA，∴△AOF≌△AOE（SAS），∴AF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠F AE＝90°，∴AC=12EF＝CF＝CE，∴∠CAE＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，∴矩形ABCD是正方形；（2）解：∵OC=12AC，AC＝CF，∴CF＝2OC，∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，∴102＝OC2+4OC2，∴OC＝2√5，∴AB=√2OC＝2√10，∴AB2＝40，∴正方形ABCD的面积是40．故答案为：40．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3．（1）该抛物线经过一个定点：（0，3）（写出坐标）；（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．①若N＝3，求k的值；②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．（1）解：∵y＝x2+（k﹣2）x+3，∴y＝x（x+k﹣2）+3，∴当x＝0时，y＝3，∴无论k取何值，抛物线经过（0，3）．故答案为：（0，3）．（2）①∵y＝x2+（k﹣2）x+3，a＝1＞0，∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小，∵N＝3，∴4×3−(k−2)24=3，解得k ＝2，答：k 的值为2．②∵﹣1＜k ＜3，∴0≤（k ﹣2）2＜9，∴﹣9＜﹣（k ﹣2）2≤0，∵N =4×3−(k−2)24≤3， ∴34＜N ≤3． 答：N 的取值范围为34＜N ≤3． 26．在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”．小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．（1）小明：如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿AB 翻折，得到△ABD ，再以D 为圆心，DB 长为半径作弧，交射线CB 于点E ，连接DE ，过点A 、E 分别作AC 、BC 的垂线，交于点F ．则四边形AFED 是该命题的一个反例．请你说明此反例的合理性．（2）小丽：作出图②，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠NMB ＝∠A ．她发现四边形ABMN 已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证MN 恰好与AB 相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的M ′N ′，使四边形ABM ′N ′是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）．解：（1）∵△ABD 由Rt △ABC 翻折得到，∴AC ＝AD ，∠C ＝∠ADB ＝90°，∵EF ⊥CE ，AC ⊥AF ，∴四边形ACEF是矩形，∴AC＝EF，∴AD＝EF，在四边形ACBD中，∠DAC＝180°﹣∠DBC，∠DBE＝180°﹣∠DBC，∴∠DAE＝∠DBE，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠DAC＝∠DEB，∵∠F AD＝90°﹣∠DAC，∠FED＝90°﹣∠DEB，∴∠F AD＝∠FED＜90°，∴四边形ADEF满足一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形，但是它不是矩形；（2）如图所示，①在射线MN上截取MD＝AB；②作DN′∥BC，交AC于点N′；③在BC上截取MM＝DN′，连接MN′，四边形ABM′N′即为所求．27．在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S1即图中灰色区域的面积，下同）；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S2．（1）①S1＝4πS2＝8π﹣8√3；（结果保留π）②比较S1与S2的大小．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．）（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．（3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．解：（1）①方案1：∵将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，∴小棒扫过区域是以AB为直径的圆，∴S1＝π×22＝4π，方案2：∵扇形ABC的面积=60×π×16360=83π，∴S2＝3×83π−√34×16×2＝8π﹣8√3，故答案为：4π；8π﹣8√3；②∵S1＝4π＝4×3.14＝12.56，S2＝8×3.14﹣8×1.73＝11.28，且12.56＞11.28，∴S1＞S2；（2）①依题意补全方案3的示意图如下：②连接EM，M为切点，则M为AA'的中点，EM＝4，第21页（共21页）设AM ＝x ，则AE ＝2x ，由勾股定理得：AM 2+EM 2＝AE 2，即：x 2+42＝4x 2，解得：x =4√33， ∴AA '＝AE ＝2x =8√33，∴S 3=12AA '•EM =12×8√33×4=16√33． （3）设计方案4：如图，△ABC 是等边三角形，首先让点B 在BC 上运动，点A 在CB 的延长线上运动，使得AB 的长度保持不变，当点B 运动到点C 时，由此AB 边调转到AC （ A 'B '）边，接着两次同样的方式旋转到BC （ A 'B '）边和AB （ B 'A '）边，最终小棒扫过的区域是如图所示．对于第一次旋转，当旋转AB 旋转到DH 时，此时DH ⊥BC ，又作DE ∥AB ，则S △CDE ＝S 3＝S △ABC +S 梯形ABED ，依题意得：扫过的区域比等边三角形ABC 多三块全等的图形，记每块面积为a ，则有a ＜S △ADF ，F 为AB 的中点，∵S △ADF ＜S △GDF ，∴S △ADF ＜12S 四边形GDAF =14S 梯形ABED ，∴a ＜S △ADF ＜14S 梯形ABED ，∴S 4＝S △ABC +3a ＜S △ABC +34S 梯形ABED ＜S △ABC +S 梯形ABED ＝S 3．。
2022年南京市鼓楼区初三二模数学试题及参考答案
2022年南京市鼓楼区初三二模数学试题及参考答案鼓楼区2022-2022学年度第二学期调研测试卷九年级数学考前须知：1．本试卷共6页．全卷总分值120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，共12分．在每题所给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上〕．．．．．．．1．据报道，截止2022年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是 A．328××××109元 2．以下学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B． C． D． 3．计算3－2的结果是111A．－6 B． C． D．－ 6994．使式子2x－2 有意义的x的取值范围是A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≥15．一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y 米，根据题意，得?????x＝3y，?x＝3y，?3x＝y，?3x＝y，???A． B． C． D．? x＋3＝y－4．x －3＝y＋4．x－3＝y＋4．????????x＋3＝y－4．6．以下关于正方形的表达，正确的选项是 A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上〕．．．．．．．7．2 的相反数是▲，2 的倒数是▲．8．假设△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：▲．第 1 页共 13 页9．把4x2－16因式分解的结果是▲．10．x1、x2是一元二次方程x2＋x－5＝0的两个根，那么x12＋x22－x1x2＝▲．611．点A〔3，y1〕、B〔m，y2〕是反比例函数y＝的图像上的两点，且y1＜y2．写出x满足条件的m的一个值，m可以是▲．12．如图，∠3＝40°，直线b平移后得到直线a，那么∠1＋∠2＝▲°． 13．如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．假设AC=a，BD=b，那么四边形EFGH的面积是▲．A a b3 AD HE 2 1 B D〔第12题〕F G C〔第13题〕CO〔第14题〕B14．如图，△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是▲°时，CD∥AB．415．平面直角坐标系中，原点O关于直线y＝－x＋4对称点O1的坐标是▲． 316．定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P 作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，那么线段BC的最大值是▲．三、解答题〔本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤〕 x2－1x2－2x17．〔6分〕先化简，再求值：2 ＋÷x，其中x＝3．x－2x＋1x－2x-1x18．〔7分〕〔1〕解不等式－≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；32〔2〕假设关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，那么a的取值范围是▲．第 2 页共 13 页19．〔6分〕QQ运动记录的小莉爸爸2022年2月份7天步行的步数〔单位：万步〕如下表：日期 2月6日步数 2.1 2月7日 1.7 2月8日 1.8 2月9日 1.9 2月10日 2月11日 2月12日 2.0 1.8 2.0 〔1〕制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势；〔2〕求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；〔3〕估计小莉爸爸2月份步行的总步数．〔7分〕如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让 20．转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．120°240°〔第20题〕 21．〔7分〕如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度〔AD〕比高度〔AB〕的少0.5 m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度． A D C B ②①〔第21题〕第 3 页共 13 页22．〔7分〕如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离〔BD〕是200 m，如果爸爸的眼睛离地面的距离〔AB〕为1.6 m，小莉的眼睛离地面的距离〔CD〕为1.2 m，那么气球的高度〔PQ〕是多少m？〔用含α、β的式子表示〕 PA αβ CB Q D〔第22题〕 23．〔8分〕命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形〔简称“等角对等边〞〕．：如图，△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；A 〔1〕请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：▲；〔2〕请你按照小莉的思路完成命题的证明． D C B 〔第23题〕 24．〔8分〕：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．〔1〕请用尺规作出⊙O〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕假设AB＝8，AC ＝6，AD＝5.4，求⊙O的半径． A C B D〔第24题〕第 4 页共 13 页25．〔10分〕快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y〔km〕与出发时间x〔h〕的函数图像，请结合图①中的信息，解答以下问题：〔1〕快车的速度为▲ km /h，慢车的速度为▲ km /h，甲乙两地的距离为▲km；〔2〕求出发多长时间，两车相距100 km；〔3〕假设两车之间的距离为s km ，在图②的直角坐标系中画出s〔km〕与x 〔h〕的函数图像．s/km y/km 300 300200100O 4 2 O 6 4 2 6 x/h x/h ②①〔第25题〕26．〔10分〕如图，二次函数y＝ax2＋bx－43的图像经过A〔－1，0〕、B 〔4，0〕两点，于y轴交于点D．〔1〕求这个二次函数的表达式；〔2〕点C〔3，m〕在这个二次函数的图像上，连接BC，点P为抛物线上一点， y 且∠CBP＝60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．第 5 页共 13 页D A O B x 〔第26题〕。