新课标高中数学微积分习题
高中微积分经典例题
高中微积分经典例题1. 函数求导- 例题1: 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 在点 $x=2$ 处的导数。
将函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 求导，得到 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。
将 $x=2$ 代入导数函数，得到 $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 9$。
所以函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处的导数为 9。
- 例题2: 求函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数。
使用链式法则，将函数 $g(x) = e^x \sin x$ 求导。
根据链式法则， $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)'$。
对于 $(e^x)'$，使用指数函数求导法则，得到 $(e^x)' = e^x$。
对于 $(\sin x)'$，使用三角函数求导法则，得到 $(\sin x)' = \cos x$。
将这些导数结果带入，得到 $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x$。
所以函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数为 $e^x \sin x + e^x \cos x$。
2. 积分计算- 例题1: 计算积分 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx$。
根据积分的线性性质，将积分展开，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 4 \, dx$。
对于每一项，根据幂函数积分法则，得到 $\int x^n \, dx =\frac{1}{n+1} x^{n+1}$。
将这些结果带入积分式，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx =\frac{1}{3} x^3 - x^2 + 4x + C$，其中 $C$ 为常数。
高一数学必修1微积分测试题及答案
高一数学必修1微积分测试题及答案本文档为高一数学必修1微积分的测试题及答案，旨在帮助学生巩固和提高他们在微积分方面的知识和能力。
以下是题目及答案：题目一已知函数 f(x) 的导数 f'(x) = 2x + 3，求 f(x)。
答案：f(x) = x^2 + 3x + C （C为常数）题目二已知曲线 y = x^2 + 2x + 1，求曲线上任意点的切线方程。
答案：设曲线上某点的横坐标为 a，纵坐标为 b。
由题意可得，该点的切线斜率为曲线在该点的导数值。
曲线的导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 a 代入 f'(x) 可得切线斜率 k = 2a + 2。
切线方程为 y - b = k(x - a)，将点的坐标代入可得切线方程。
题目三已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x，求函数 f(x) 的极值点和拐点。
答案：首先，求 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x + 2令 f'(x) = 0，求得极值点：x = (6 ± sqrt(36 - 48)) / 12，化简得 x = 0.5 或 x = 1将 x = 0.5 和 x = 1 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。
其次，求 f''(x)：f''(x) = 12x - 6令 f''(x) = 0，求得拐点：x = 0.5将 x = 0.5 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。
以上为高一数学必修1微积分的部分测试题及答案，希望对您有帮助。
高三数学微积分基础练习题集与答案
高三数学微积分基础练习题集与答案注：本练习题集共包含20道微积分基础题目，每道题后面附有详细的解答和答案。
希望能对高三学生复习微积分有所帮助。
1. 题目：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分。
解答：首先，我们计算f(x)的原函数F(x)。
F(x) = ∫(2x^3 - 3x^2)dx = 1/2x^4 - x^3 + C根据定积分的性质，f(x)在区间[a, b]上的定积分可以写成原函数F(x)在点b和点a处的函数值之差，即：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)代入a = -1，b = 2，得到：∫[-1, 2](2x^3 - 3x^2)dx = F(2) - F(-1) = (1/2 * 2^4 - 2^3) - (1/2 * (-1)^4 - (-1)^3)= 8 - 7/2= 9/2所以，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分为9/2。
2. 题目：计算函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分。
解答：由于e^x的原函数为e^x，即F(x) = e^x，根据定积分的性质，我们有：∫[0, ln2]e^xdx = F(ln2) - F(0) = e^(ln2) - e^0= 2 - 1= 1所以，函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分为1。
3. 题目：计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分。
解答：sin(x)的原函数为-cos(x)，即F(x) = -cos(x)。
根据定积分的性质，我们有：∫[0, π]sin(x)dx = F(π) - F(0) = (-cos(π)) - (-cos(0))= -(-1) - (-1)= 2所以，函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分为2。
4. 题目：计算函数f(x) = x/x^2 + 3在区间[1, 3]上的定积分。
高中数学导数及微积分练习题
1．求导：（1）函数 2cos x x 的导数为（2）y ＝(x ＋2)；(3)y ＝(1＋ x )2(4)y ＝3x 2＋ ；(5)y ＝x 2(2x －) ． (6)已知y ＝3)，则y ′＝1＝.2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）．(A)．54(B)．52 (C)．51 (D)．53 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定34.()34([0,1])1()1()()0()12f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( )5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．(Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18(B)．338(C)．316 (D)．167．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a 。
8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.10、已知f (x )32,在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值。
⑴求a ，b 的值；⑵若x ∈[－3，2]都有f (x )>112c -恒成立，求c 的取值范围。
新课标高中数学微积分习题
高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A ．320gtB ．20gtC ．220gt D ．620gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为 （ ）A ．6B 。
4C 。
3D 。
2[解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛acf (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛bcf (x )d xD ．⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )B ．1C ．2 8、⎠⎛03|x 2－4|dx ＝( )二、填空题：9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．f′（x）y=f.5 A dx|；3－1 2有最大值2 9 .16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ， 又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。
微积分练习100题及其解答
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim
2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ； 解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2
高中数学微积分练习题目集
高中数学微积分练习题目集一、函数与导数1. 求函数 $f(x) = x^2 + 3x + 2$ 在 $x=2$ 处的导数。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4x$ 的增减性和极值。
3. 已知函数 $h(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 1$，求函数 $h(x)$ 的拐点。
二、极限的计算1. 计算 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。
2. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$。
3. 求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$。
三、定积分1. 计算 $\int_0^1 (2x + 1) \ dx$。
2. 求 $\int_1^2 (3x^2 + 2x + 1) \ dx$。
3. 计算 $\int_0^{\pi/2} \cos x \ dx$。
四、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = \sin x$。
2. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$。
3. 已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = ky$，其中 $k$ 为常数，求其一阶线性齐次微分方程的通解。
五、数列与级数1. 求等差数列 $a_n = 2n - 1$ 的前 $n$ 项和。
2. 求等比数列 $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ 的前 $n$ 项和。
3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。
六、多元函数1. 求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 的偏导数。
2. 已知函数 $g(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$，求函数 $g(x, y)$ 在点 $(1, -2)$ 处的梯度。
3. 求函数 $h(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的方向导数，在点 $(3, 4)$ 朝斜率为 $-2$ 的方向上的方向导数。
新课标高中数学微积分习题修订版
新课标高中数学微积分习题修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、 若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（A ．6B 。
4C 。
3[解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S的值是( ) A．⎠⎛acf (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d x D ．⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确7、函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ． 1C ．2 D.128、⎠⎛03|x 2－4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233D.253二、填空题： 9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．11、若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________一，选择题 二、填空题9、 10、11、 12、 三、解答题：．13．计算下列定积分的值参考答案一、1．C ；dx |；－12a2x2有最大值2 9 .16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ， 又已知f ′（x ）=2x +2∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1.故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x .（3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。
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新课标高中数学微积分
习题
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高二数学微积分练习题
一、选择题：
1．已知自由落体运动的速率
gt v =，则落体运动从0=t 到
0t t =所走的路程为 （ ）
A ．320gt
B ．2
0gt C ．220gt D ．62
0gt
[解析]要学生理解微积分在物理学中
的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是
A ．32
B ．329-
C ．
332
D ．3
35
[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积
3、 若
1
1
(2)3ln 2a
x dx x
+=+⎰
，且a ＞
1，则a 的值为
（ ）
A ．6
B 。
4
C 。
3
D 。
2 [解析]
4、用S 表示图中阴影部分的面
积，则S 的值是( )
A ．⎠⎜⎛a
c
f (x )d x B ．|⎠⎜
⎛a
c f (x )
d x |
C ．⎠⎜⎛a b
f (x )d x ＋⎠⎜
⎛b
c f (x )
d x D ．⎠⎜⎛b c
f (x )d x －⎠⎜
⎛a
b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且⎠⎜⎛
6
f (x )d x ＝8，则⎠⎜⎛
-6
6
f (x )d x 等于
( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
6、函数y ＝⎠⎜
⎛-x
x
(cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是
奇函数
B ．是偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象
与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )
B ． 1
C ．2
8、⎠⎜
⎛0
3|x 2
－4|dx ＝( )
二、填空题：
9．曲线1,0,2
===y x x y ，所围成
的图形的
面积可用定积分表示
程
f
（x ＝
；5 、-
3－
＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2
＝－12⎝
⎛
⎭⎪⎫a －232＋29
∴当a ＝23时，f (a )有最大值2
9
.
16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ， 又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c
又方程f （x ）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=
3
1
|)31()12(01
23201
=++=++--⎰
x x x dx x x .
（3）依题意，有
x x x x x x t
t
d )12(d )12(2
021
++=++⎰⎰
---，
∴
023123|)3
1(|)31(t t
x x x x x x ---++=++，
－3
1t 3+t 2
－t +31=3
1t 3－t 2
+t ， 2t 3
－6t 2
+6t －1=0，
∴2（t －1）3=－1，于是t =1－
32
1. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。