高中数学 《圆锥曲线》全章课件 新人教A版选修2-1
2.求曲线方程的一般步骤
(x,y) 表示曲线上任意 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对______
一点M的坐标. {M|p(M)} (2)写出适合条件p的点M的集合P=_________. f(x,y)=0 (3)用坐标表示条件p(M),列出方程_________. (4)化方程f(x,y)=0为最简形式. 曲线上 (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_______.
2.求曲线方程时应注意的四个问题 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先选取适当的 坐标系,通常选取特殊位置为原点,相互垂直的直线为坐标轴. (2)第二步要仔细分析曲线的特征,注意揭示其隐含的条件,抓 住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出等式,此步骤有时 也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示.
【方法技巧】 1.方程表示的曲线的判断步骤
2.判断方程表示曲线的注意事项 方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方
程代表的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论
的思想.
【方法技巧】求曲线交点的三个步骤
【防范措施】 合理进行转化 将方程变形时,前后应保持等价,否则,变形后的方程表示 的曲线不是原方程代表的曲线.另外当方程中含有根式时,要注 意根式必须有意义.如本例含有根式,在化简时就容易忽视根式 必须有意义而导致错误.
2.椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆. (2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.
【知识拓展】椭圆的焦点三角形
2 2 x y 设M为椭圆 2 2 1 上任意一点 a b
(不在x轴上).F1,F2为焦点，则 △MF1F2为椭圆的焦点三角形.
结论
这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程
的曲线
【要点探究】 知识点 曲线的方程和方程的曲线
对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明 (1)定义中的条件①说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即 曲线上每个点的坐标都符合这个条件. (2)定义中的条件②说明符合条件的所有解构成的点都应在曲
线上.
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
曲线的方程和方程的曲线的概念 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 前提 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: 条件 这个方程的解 ①曲线上点的坐标都是_____________; 曲线上的点 ②以这个方程的解为坐标的点都是___________
(3)在第三步化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量 避免“失解”或“增解”. (4)第四步的说明可以省略不写,若有特殊情况,可以适当说明, 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方 程中x(或y)的取值予以剔除.
3.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时,坐标系建立的不同,同一曲线方程也不相同. (2)一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y), 而不设成其他字母. (3)求轨迹方程与求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可, 而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.
(3)定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0
的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间是一一对应关系.因此平面曲线
可以理解为平面内符合某种条件的点的集合.
(4)从集合角度看:若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程
f(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B,则A⊆B且B⊆A,所以 A=B.
2 2
xa y ，) , 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2.
又由点C在直线AB上时不能组成三角形, 故y≠0,因此顶点C的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2(y≠0). 答案:(x+3a)2+y2=4m2(y≠0)(答案不惟一)
2.2 椭
圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义
【知识拓展】轨迹方程与轨迹的辨析
【微思考】 (1)曲线(或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形,如何选取坐标 系? 提示:若曲线(或轨迹)为轴对称图形,通常以对称轴为坐标轴(x 轴或y轴);若曲线(或轨迹)是中心对称图形,通常以对称中心为 原点.
(2)求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗?
提示:不一定,若有坐标系,第一步可省略,第二步虽重要,但只
【知识拓展】两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系 曲线C1,C2的方程分别为f(x,y)=0和g(x,y)=0.
f (x 0，y0 ) 0， (1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则 g(x 0，y0 ) 0.
f (x，y) 0， (2)交点的个数与 的解的组数相同. g(x，y) 0 f (x，y) 0， 特别地,C1与C2没有公共点⇔ 没有解. g(x，y) 0
x 2 y 2，
2
【方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系; ②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求 解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件 列方程;对所求的方程化简、说明.
x0 3 x ， x 0 2x 3， 2 因为P为MB的中点,所以 即 y0 2y， y y0 ， 2
又因为M在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1. 所以P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.
【解析】选A.设Q点的坐标为(x,y),P点坐标为(x′,y′), 又Q分OP所成的比为
1 ,即= OQ 1 QP. 2 2
所以(x,y)= 1 (x′-x,y′-y),
1 2 x (x x)， x 3x， 2 所以 得 y 3y. y 1 (y y)， 2
又P(x′,y′)在2x+4y+3=0上,
所以2〓(3x)+4〓(3y)+3=0,
【典例1】 (1)(2014²南昌高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足
PM PN =0,则点P的轨迹方程为
.
(2)一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍, 求动点的轨迹方程.
【解题探究】1.题(1)条件 PM PN =0如何转化? 2.题(2)中条件可用式子如何表示? 【探究提示】1.写出向量 PM 的坐标和向量 PN 的坐标,转化 为向量的坐标运算. 2.设动点P到直线x=8的距离为d,则条件的几何表示为:d=2|PA|.
常数 大于 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_____(
|F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2. (3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. 2a 常数)且2a__|F > 1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=___(
2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上
要能把条件转化为方程即可,故也可省略.若化简前后方程的解
集相同,步骤(5)也可省略,如有特殊情况可以适当说明.
(3)求得曲线方程后,如何避免出现“增解”或“漏解”? 提示:可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两 个方面进行检验.
【即时练】
在Rt△ABC中,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程. 【解析】如图,以AB所在直线为x轴,以线段 AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则
【类题试解】若△ABC的边AB是定长2a,边BC的中线为定长m,则 顶点C的轨迹方程为 .
【解析】取AB的中点为原点,直线AB为x轴,建立直角坐标系,
则A(-a,0),B(a,0),设C(x,y),则边BC的中点为D (
由|AD|=m得 ( x a a) 2 ( y ) 2 =m2.
【要点探究】
知识点
坐标法与曲线方程的求解
1.平面直角坐标系的选取方法
(1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐标系.
(2)若已知两定点,常以两定点的中点为原点,两定点所在的直 线为x轴建立直角坐标系.
(3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立直角坐 标系. (4)若已知一定点和一定直线,常以点到直线的垂线段的中点为 原点,以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系.
即2x+4y+1=0.
故点Q的轨迹方程是2x+4y+1=0.
【防范措施】
重视题目中的隐含条件
求轨迹方程时虽能写出方程,但易产生增点或丢点现象,进
而求错.所以在求动点的轨迹时,一定要注意题目中的限制条件,
特别是隐含条件.如本例易忽略隐含条件C不在x轴上而致错.另 外三角形的三个顶点不共线;直线斜率不存在的情况;点到坐标 轴的距离为|y|或|x|也是解题时容易忽视的地方.
【自主解答】(1)设P的坐标为P(x,y),由 PM PN =(-2-x,-y)²(2-x,-y)=x2-4+y2=0, 得x2+y2=4,所以点P的轨迹方程为x2+y2=4. 答案:x2+y2=4
(2)设动点P坐标为(x,y),则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|, 到点A的距离|PA|= 由已知d=2|PA|得: |x-8|=2 x 2 2 y 2， 化简得: 3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.
【方法技巧】 1.代入法求轨迹方程的适用条件 已知一个点在已知曲线上运动,并带动另一个点M运动,在求动 点M的轨迹方程时,往往用代入法. 2.代入法求曲线方程的四个步骤
【变式训练】动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0) 连线的中点为P,求P点的轨迹方程. 【解析】设P(x,y),M(x0,y0),
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人教A版高中数学选修2-1课件圆锥曲线问题的定义法.pptx
(4)过点(1, 0)且与直线x=-1相切的圆的圆心的轨迹 是什么？
2
2
A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点
其方程为 x2 a2
y2 3a2
1 x 0.
16 16
探索提高
练习2.ABC顶点为A(0, 2),C(0, 2),三边长a,b, c 成等差数列,公差d 0,求动点B的轨迹方程.
解：由题意 BC BA 2 AC 8且 BC BA 动点B的轨迹是以A、C为焦点，以8为长轴长 的椭圆在y轴右边的部分，故所求轨迹方程为
42
A
1,
1
，P是椭圆上的动点，求
PA
PF 2
的最小值.
2
解：PA PF PF F A PF
2
1
1
2
37
2a F A 2 5 1
2
.当且仅当
P
F 、P、A共线，且P在y轴左侧时 1
y
A F1 o F2
P x
37
取“=”， PA PF2 最小值为2 5
.
2
2
x 练习1.已知F1、F2分别是双曲线
Q的轨迹C是以F1 -1，0为圆心，以4为半径的圆.故所求
Q的轨迹方程为 x 12 y2 16.
YQ P
F1
F2
O
X
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且 PA 3,则点P的轨迹是什么？
(2)已 知ABC的 一 边BC的 长 为3, 周 长 为8, 则 顶 点A的 轨迹是什么？ (3)若A(3,0), B(3,0),且 MA MB 4,则点M的轨迹是 什么？
2.PF1F2的面积何时最大？最大值是多少？
3.F1PF2一定存在直角吗？何时有且只有两个直角?
2
2
A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点
其方程为 x2 a2
y2 3a2
1 x 0.
16 16
探索提高
练习2.ABC顶点为A(0, 2),C(0, 2),三边长a,b, c 成等差数列,公差d 0,求动点B的轨迹方程.
解：由题意 BC BA 2 AC 8且 BC BA 动点B的轨迹是以A、C为焦点，以8为长轴长 的椭圆在y轴右边的部分，故所求轨迹方程为
42
A
1,
1
，P是椭圆上的动点，求
PA
PF 2
的最小值.
2
解：PA PF PF F A PF
2
1
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2a F A 2 5 1
2
.当且仅当
P
F 、P、A共线，且P在y轴左侧时 1
y
A F1 o F2
P x
37
取“=”， PA PF2 最小值为2 5
.
2
2
x 练习1.已知F1、F2分别是双曲线
Q的轨迹C是以F1 -1，0为圆心，以4为半径的圆.故所求
Q的轨迹方程为 x 12 y2 16.
YQ P
F1
F2
O
X
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且 PA 3,则点P的轨迹是什么？
(2)已 知ABC的 一 边BC的 长 为3, 周 长 为8, 则 顶 点A的 轨迹是什么？ (3)若A(3,0), B(3,0),且 MA MB 4,则点M的轨迹是 什么？
2.PF1F2的面积何时最大？最大值是多少？
3.F1PF2一定存在直角吗？何时有且只有两个直角?
高中数学第二章圆锥曲线与方程本章整合课件新人教A版选修2_1
������ 离心率:������ = (0 < ������ < 1) ������
定义:||������������1 |-|������������2 || = 2������ < |������1 ������2 | = 2������
������2 ������2 焦点在������轴上: 2 - 2 = 1(������,������ > 0) ������ ������ 标准方程 ������2 ������2 焦点在������轴上: 2 - 2 = 1(������,������ > 0) ������ ������
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面 几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、 线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数 的方法,还要多结合圆锥曲线的定义、根与系数的关系以及“点差 法”等.这些问题也是以往高考的重点和热点,高考中,大多以解答题 的形式出现而且难度较大.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. 提示:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,应转化为直线方 程与曲线方程恰有一个公共解,同时注意分类讨论思想的运用.
解:联立方程,得
������ = 1, 当 a=0 时,此方程组恰有一组解为 ������ = 0. ������+1 当 a≠0 时,得 ������2 − ������ − 1 = 0.
如消去y后,得ax2+bx+c=0. (1)若a=0,当圆锥曲线M是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线M是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ>0时,直线和圆锥曲线M相交于不同的两点; 当Δ=0时,直线和圆锥曲线M相切于一点; 当Δ<0时,直线和圆锥曲线M没有公共点.
高二数学人教A版选修2-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 整合
4
+
���3���2=1.
答案:C
0
知识网络
专题归纳
一
二
三
四
五
【应用 2】已知点 A(0,2),P 为抛物线 y2=8x 上一动点,过点 P 作抛物线
准线的垂线,垂足为 M,则|PM|+|PA|的最小值为
.
解析:由抛物线定义知|PM|=|PF|,F 为抛物线的焦点,
0
则|PM|+|PA|=|PF|+|PA|,显然当 P,F,A 三点共线时,|PM|+|PA|最小且
=(������2���-������2���2)2
−
������2������2 ������2
=0.
一
二
三
四
五
∵a2+b2=c2,∴������������24 − ������2������2������2=0.
∴a2=b2,∴a2=c2-a2,∴e=������������ = 2.
答案: 2
本章整合
-1-
知识网络
椭圆
定义:|������������1 | + |P������2 | = 2a > |������1 ������2| = 2c
标准方程
焦点在������轴:
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(a
>
������
>
0)
焦点在������轴:
������2 ������2
又∵������△������������1������2 =12 3,
∴12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 = 43|PF1|·|PF2|=12 3.
+
���3���2=1.
答案:C
0
知识网络
专题归纳
一
二
三
四
五
【应用 2】已知点 A(0,2),P 为抛物线 y2=8x 上一动点,过点 P 作抛物线
准线的垂线,垂足为 M,则|PM|+|PA|的最小值为
.
解析:由抛物线定义知|PM|=|PF|,F 为抛物线的焦点,
0
则|PM|+|PA|=|PF|+|PA|,显然当 P,F,A 三点共线时,|PM|+|PA|最小且
=(������2���-������2���2)2
−
������2������2 ������2
=0.
一
二
三
四
五
∵a2+b2=c2,∴������������24 − ������2������2������2=0.
∴a2=b2,∴a2=c2-a2,∴e=������������ = 2.
答案: 2
本章整合
-1-
知识网络
椭圆
定义:|������������1 | + |P������2 | = 2a > |������1 ������2| = 2c
标准方程
焦点在������轴:
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(a
>
������
>
0)
焦点在������轴:
������2 ������2
又∵������△������������1������2 =12 3,
∴12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 = 43|PF1|·|PF2|=12 3.
高中数学 2.5圆锥曲线综合课件 新人教A版选修2-1
栏 目
(3)圆 P 与圆 A 外切且与直线 x＝1 相切(P 为动圆圆心)．
链 接
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5
解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝
|AB|，故 P 点的轨迹是椭圆，且 2a＝6，2c＝4，即 a＝3，c＝2， ＝ 5，因此其方程为x92＋y52＝1(y≠0)．
(2)(2013·辽宁卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F，C
栏 目 链
与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|＝10，|AF| 接
＝6，cos ∠ABF＝45，则 C 的离心率 e＝________．
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7
解析：(1)由 PF1⊥x 轴知 P－c，－b3ca，把 P 代入双曲线得：
2．5 圆锥曲线综合
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1
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栏 目 链 接
2
1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程 及简单性质．
3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道 它的简单几何性质．
4．了解圆锥曲线的简单应用．
∴2a＝|BF|＋|BF1|＝14，∴a＝7，
∵O 为 Rt△ABF 斜边 AB 的中点，
栏
∴|OF|＝21|AB|＝5，∴c＝5，∴e＝75.
目 链
接
答案：(1)3 4 2
5 (2)7
规律方法：离心率是椭圆和双曲线的重要性质，是高考命题的热
点，因此要掌握求离心率的基本方法．
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9
例 3 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点．
圆锥曲线与方程课件 新人教A版选修2-1
将④代入②，得ac22＝2． ∴a2＋a2 b2＝2，即ba＝1， 故双曲线的渐近线方程为 y＝±x，即 x±y＝0．
答案：x±y＝0
直线与圆锥曲线的位置关系
高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲 线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有 广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如： 直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线 交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点 等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．
[考点精要]
直线与圆锥曲线有关的问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程 与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去 方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程， 考虑该一元二次方程的判别式 Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲 线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直 线与圆锥曲线无交点．
y2＝2px 或 y2＝－2px 或 x2＝2py 或
(a>0，b>0) x2＝－2py(p>0)
关系 式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
[典例] (1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离
心率等于12，则 C 的方程是
()
A．x32＋y42＝1
B．x42＋ y23＝1
C．x42＋y22＝1
F1，F2 的距离的差的
定点
F
和一条
绝 对 值 等 于 非 零 常 定直线 l(l 不经
义 常数(大于
|F1F2|) 的 点 的
数(小于|F1F2|且大于 零)的点的轨迹
过点 F)距离相 等的点的轨迹
人教A版-数学-选修2-1-第二章-圆锥曲线与方程-2.1曲线与方程-第一课时-课件-32页文档资料
7
曲线与方程的概念
思考 4 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解，能否 说 f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程？
思考 5 判断下列命题是否正确． (1)以坐标原点为圆心，半径为 r 的圆的方程是 y＝ r2－x2； (2)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|＝2.
规律方法 (1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方 面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方 程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲 线上点的坐标的一一对应关系． (2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方 程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不 可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明 两个条件同时成立．
思考 2 到两坐标轴距离相等的点都在直线 y＝x 上，对吗？
思考 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点 M 的坐标(x0，y0) 满足 y0＝x0 或 y0＝－x0，即(x0，y0)是方程 y＝±x 的解； 反之，如果(x0，y0)是方程 y＝x 或 y＝－x 的解，那么以(x0，y0)为坐 标的点到两坐标轴距离相等．
解析 ∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标 的点都是曲线C上的点”， ∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、 三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足 题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命 题是原命题的等价命题知，D是正确的． 答案 D
11
利用定义理解曲线的方程与方程的曲线
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件
(1)曲线上_点__的__坐__标__都是这个方程的解 (2)以这个方程的_解_为_坐__标__的__点_都是曲线上的点
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修2_1
A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A．]
(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦
点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF| －|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋ 4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解双曲线的定义、几
何图形和标准方程的推导 1．通过双曲线概念的学习，培养学
过程．(重点)
生的数学抽象的核心素养．
2．掌握双曲线的标准方程 2．通过双曲线标准方程的求解、与
及其求法．(重点)
双曲线有关的轨迹问题的学习，提
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|” 或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若 |MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动 点的轨迹不存在．
求双曲线中的焦点三角形 PF1F2 面积的方法 1①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理 表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思
(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦
点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF| －|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋ 4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解双曲线的定义、几
何图形和标准方程的推导 1．通过双曲线概念的学习，培养学
过程．(重点)
生的数学抽象的核心素养．
2．掌握双曲线的标准方程 2．通过双曲线标准方程的求解、与
及其求法．(重点)
双曲线有关的轨迹问题的学习，提
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|” 或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若 |MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动 点的轨迹不存在．
求双曲线中的焦点三角形 PF1F2 面积的方法 1①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理 表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思
《圆锥曲线与方程》人教版高二数学选修2-1PPT课件(第2.1.1课时)
l （1） 上点的坐标都是方程x-y=0的解 l （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 , 又说方程 x y 0 表示的直线是 l .
y l
1
O1
x
课前导入
请同学们独立思考，迅速回答
思考2：画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C，考察曲线C与方程2x2 y=0 ①的关系？曲线
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？
y
B
0
x
A
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一: 运用直线方程的知识来求.
解:∵
kAB
7 3
(1) (1)
即x1y1 k,即 x1 • y1 k
而
x1
,
y1
正是点M
到
1
纵轴、横轴的距离，
因此点M1到两条直线 的距离的积是常数k,
点M1是曲线上的点. 由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的
距离的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程.
y
M
o
x
新知探究
请同学们思考，必要的可以进行小组讨论，统一答案，派代表回答 证明已知曲线的方程的方法和步骤： 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解. 2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.
• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 • 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
∴说直线 l 的方程是 x y 0 , 又说方程 x y 0 表示的直线是 l .
y l
1
O1
x
课前导入
请同学们独立思考，迅速回答
思考2：画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C，考察曲线C与方程2x2 y=0 ①的关系？曲线
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
思考1： 我们有哪些可以求直线方程的方法？
y
B
0
x
A
新知探究
例2.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一: 运用直线方程的知识来求.
解:∵
kAB
7 3
(1) (1)
即x1y1 k,即 x1 • y1 k
而
x1
,
y1
正是点M
到
1
纵轴、横轴的距离，
因此点M1到两条直线 的距离的积是常数k,
点M1是曲线上的点. 由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的
距离的积为常数k(k 0)的点的轨迹方程.
y
M
o
x
新知探究
请同学们思考，必要的可以进行小组讨论，统一答案，派代表回答 证明已知曲线的方程的方法和步骤： 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解. 2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.
• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 • 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程第一课时教学课件 (共18张PPT)
___ 1x_ 62___y_ 9_ 2 _ __ 1__,焦 点 坐 标 为 __ (_ _ 5_,_0_-5,0),F2(5,0)， 双曲线上点P到F1与F2距离之差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程。
解：双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解的时候，给自己一个微 的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微笑奔跑
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2-b2
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2+b2
练一练2
1焦点在x轴上,且a 4, b 3 的椭圆的标准方程为
x2 y2 1 __1__6 ____9 ______,
焦点坐标为__(___7_,_0_) _
.
(2)焦 点 在 x轴 上 ,且 a4， b3 的 双 曲 线 标 准 方 程 为
每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就 又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你 生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕，
16 9
双曲线与椭圆对照表
定义
方 程
椭圆
双曲线
| | |MF1|+|MF2|=2a >|F1F2|
解：双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解的时候，给自己一个微 的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微笑奔跑
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2-b2
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2+b2
练一练2
1焦点在x轴上,且a 4, b 3 的椭圆的标准方程为
x2 y2 1 __1__6 ____9 ______,
焦点坐标为__(___7_,_0_) _
.
(2)焦 点 在 x轴 上 ,且 a4， b3 的 双 曲 线 标 准 方 程 为
每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就 又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你 生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕，
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双曲线与椭圆对照表
定义
方 程
椭圆
双曲线
| | |MF1|+|MF2|=2a >|F1F2|