投影变换法
土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
第3章变换投影面法
第3章 变换投影面法 我们知道，当空间的直线和平面对投影面处于一般位置时，它们的投影都不能直接反映真实大小、度量和定位关系，也不具有积聚性；但当它们和投影面处于特殊位置时，则它们的投影有的可直接真实地反映度量关系和定位关系或具有积聚性，如图３－１所示。
由此可知，若能把几何元素由一般位置改变成特殊位置，有些问题就容易解决，而变换投影面法就是解决这一问题常用的一种图解方法。
图３－１ 特殊位置几何元素的投影图直接反映真实大小和度量示例图３－２ V H 体系变换为V １H体系§３－１ 变换投影面法的基本概念 在两投影面体系中，空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替某一旧的投影面，保留原有的另一投影面，新投影面垂直于保留的投影面，使空间几何元素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后作出几何元素在新投影面上的投影。
在新投影面与保留的原有投影面组成的新的两投影面体系中解题，必要时还可将解题结果返回到原有的两投影面体系中去。
这种方法称为变换投影面法，简称换面法。
如图３－２所示，△ABC 平面为一铅垂面，该面在V 、H 两投影面体系即V H体系中的两个投影都不反映真形。
取一个平行于△ABC 且垂直于H 面的V １面来代替V 面，则新的V １面和保留的H 面相交成新的投影轴X １，构成一个新的两投影面体系即V １H 。
△ABC 平面在V １H 体系中V １面上的投影△a ′１b ′１c ′１就反映了△ABC 平面的真形。
再将V １面绕新投影轴X １旋转展开到与H 面成一个平面，从而得出V １H体系的投影图。
显然新投影面V １是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够有利于解题，并且新投影面V １和保留的H 面仍要构成一个由两个互相垂直的投影面组成的两投影面体系，这样才能应用前面所讲述的正投影原理作图。
因此，用换面法时，新投影面的选择必须符合下面两个基本条件： （１）新投影面必须垂直于保留的投影面，以构成新的两投影面体系。
空间几何中的投影变换
在空间几何中，投影变换是一种常见的变换，它具有广泛的应用。
投影变换可以用来描述物体在特定的空间中的位置和形状。
通过投影变换，我们可以将三维物体映射到二维平面上，从而方便地进行分析和计算。
投影变换的基本概念是将三维空间中的一个点映射到二维平面上的一个点。
在这个过程中，因为从三维到二维的映射是一种减维的过程，所以必然会有信息的丢失。
这种丢失可以从几何和图形的角度进行理解。
在几何上，投影变换可以分为正交投影和透视投影。
正交投影是指从一个点到另一个平面的投影，这个投影是垂直于平面的。
透视投影则不同，它是通过将一个点投影到另一个平面来实现的，但是这个投影并不垂直于平面。
在图形学中，投影变换是非常重要的。
它可以用来创建逼真的三维图像，同时也是计算机图形学的基础。
通过投影变换，我们可以实现三维场景的渲染和显示，从而创造出令人惊叹的视觉效果。
在实际应用中，投影变换有许多实际的应用。
例如，在建筑设计中，设计师可以使用投影变换来可视化建筑物的外观和结构。
在工程和制造领域，投影变换可以用来帮助工程师和设计师更好地理解产品的几何形状和物理属性。
此外，在计算机科学领域，投影变换也是一项重要的技术。
在图像处理和计算机视觉中，我们经常需要将三维图像或场景转换为二维图像进行分析和处理。
投影变换提供了一种有效的方法来实现这个转换，从而使得计算机能够理解和处理图像。
投影变换也被广泛应用于虚拟现实和增强现实技术中。
通过投影变换，我们可以将虚拟对象或信息叠加在真实世界的图像上，从而创造出逼真的虚拟体验。
这种技术已经应用于游戏、娱乐和教育等多个领域。
总之，空间几何中的投影变换是一种重要的几何转换方法。
通过投影变换，我们可以将三维空间中的物体和场景映射到二维平面上，从而方便地进行分析和计算。
它在建筑设计、工程和制造、计算机图形学以及虚拟现实等领域有着广泛的应用。
投影变换的理论和实践为我们理解和处理三维世界提供了重要的工具和技术。
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
投影变换法求实形原理
投影变换法求实形原理
投影变换法求实形原理主要是通过将三维物体转换为二维平面图形来实现。
具体来说，它是通过投影变换矩阵将场景世界中的3D物体转换为2D平面图形的过程。
转换后的二维平面图形相对于原来的三维物体降了一维。
在计算机图形学中，投影变换主要有两种形式：透射变换和仿射变换。
透射变换是将图像投影到一个新的视平面，可以看作是将三维物体通过某种方式投影到二维平面上。
而仿射变换则是一种特殊的透射变换，变换后图像的形状仍然维持原状。
在投影变换过程中，需要计算投影变换矩阵和投影变换参数，然后将这些参数映射到物体上，最终得到降维后的二维平面图形。
这个过程可以通过计算机图形学中的各种算法和工具来实现。
另外，在计算机图形学中，还可以使用一些特殊的装置来实现投影变换。
例如，可以使用类似于德国画家丢勒绘画时使用的装置，通过固定线和物体表面的点，记录线穿过木框的位置，并在画纸关闭时标记到画纸上，不断变动线末端物体上的点，最终可以得到准确的物体画像。
这个过程其实也是一种投影变换，通过这种方式可以绘制出真实立体感的图形。
总的来说，投影变换法求实形原理是一种将三维物体转换为二维平面图形的方法，它涉及到一系列的数学和几何学原理。
在计算机图形学中，这种方法被广泛应用于各种场景的建模、渲染和可视化中。
投影变换(换面法)
a ax
.
V
a
A
a' 1 v1
V X H
a1'
ax
X
ax1 a
H X1
ax1
H v1 X1
a
点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新轴。 aa1 X1
点的新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离。 a1ax1 = aax
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑶ 求新投影的作图方法 更换V面 更换H面
X1 H 1 V
. ● a1
a
V
a1
ax1
a
XV H
X
ax
ax1
.
H
ax
H
a
作图规律：
v1 X1
a
由点的保留投影向新轴作垂线，并在垂线上量取一段距离， 使这段距离等于替换(旧)投影到旧轴的距离。
新投影反映实形
3、辅助投影面、辅助投影、辅助投影轴（辅助轴） 新投影面
新投影
新投影轴(新轴)
§5-2 辅助投影面法(换面法)
一、新投影面的选择原则
v1
a
V
A B a
H
a1 '
b
b1'
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须与空间几何元素处于有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于原投影面之一。 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
§5-2 辅助投影面法(换面法)
指的是换“投影面”
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助 投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
大学画法几何5投影变换
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
练习：4－2 用换面法求线段CD的实长和对V面的倾角β
CD实长
d1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
c1
d'
c'
X
V H
d
c
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
d
b
a
a’1 ●
d● ’1
X
V H
c ac●’1●b’1 Nhomakorabeaθ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
（三）综合问题
主要是实形（含角度）和距离问题的逆向应用：
✓[例8] 求平面ABC与直线DE的交点 将其中一个面转换成投 [例9] 求平面ABC与平面DEF的交线 影面的垂直面换面1次
[例10] E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e [例16]
投影变换
a2 b2
b1
V1
a1
X1
第4章 投影变换
§4-1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其与投影面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们 的投影面就不具备上述特性。
投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投 影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定位问题。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
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例 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
f
caBiblioteka k bda d
Lesson 6
f
k
c
b n
4
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
总结：点线面的基本作图
问题总结：
➢ 求实长及与投影面的夹角－直角三角形法
➢ 已经面内的一投影，求另一个投影；
为过点M与△EFG平行的平面，
两轨迹的交线好为所求。 7
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
距离题：
例 已知点K到△ABC距离为18mm，求点K正面投影 。
X k
Lesson 6
a’
c’
b’
a
b c
分析：点K的轨迹是与 △ABC距离为18mm 的平面P，点K即在平
f
c
g
d’
b’ O
分析1(逆推法)：假设要求的 直线MN已经作出，则根据几 何定理，直线MN必平等于 △ABC与△EFG的交线KL，因 此要求直线MN，只要先求出 △ABC与△EFG的交线KL，然 后过点M作直线平行交线KL 即可。
a b
分析2（轨迹法）：所求解 MN轨迹之一为过点M且与
△ABC平行的平面；轨迹之二
总结：点线面的基本作图
相交问题： – 一般位置直线与垂直面相交 – 垂直线与一般位置平面相交 – 一般位置平面与垂直面相交 – 两投影面垂直相交 – 一般位置直线与一般位置平面相交 – 两一般位置平面相交：自己画图完成练习
Lesson 6
1
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
总结：点线面的基本作图
垂直问题：
– 过已知点作直线垂直于已知平面
– 过已知点作平面垂直于已知直线(与1类似)
– 过已知点作平面垂直于已知平面：（除法线外再多加一任 意线)
– 过已知直线作平面垂直于已知平面：(过直线上一点作已经
平面的法线)
Lesson 6
3
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
m e
别成为平面△ ABC的垂线 和直线DE的平行线即可。
6
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
相对关系题：
例 过点M作直线MN同时与△ABC及△ EFG平行 。
e’ m’ X m
e
Lesson 6
f’ g’ c’
11
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
其他类综合题：
例 已知矩形ABCD的一边BC，另一边AB平行于△ⅠⅡⅢ， 且顶点A位于H面上方10mm处，试完成该矩形的两投影。
c’ X
c
Lesson 6
1’ b’ 2’
3’
➢ 已经一直线及直线外一点，过此点作直线的平行线
➢ 过一点作已知的水平线、正平线的垂线
➢ 过一点作平面平行于已知直线
➢ 一般位置直线与一般位置面求交点：熟练掌握
➢ 过一般位置直线上一点求相垂直的平面：熟练掌握
➢ 过一般位置平面上一点求其法线：熟练掌握
➢ 轨迹法：一些规律性轨迹的内容
5
Lesson 6
角度题：
例 已知等腰△ABC 的正面投影及底边AB的水平投 影，试完成△ABC 的水平投影。
a’ X
a
Lesson 6
c’
b’ O
b
分析：首先分析直角关系。 等腰△ABC的 底边为AB，则高CD必垂直平分AB。
其次进行空间的分析。因CD⊥AB，且D为 底边AB的中点，则点C在过点D并垂直于 底边AB的平面P。点C在平面P内，故可用 平面内求点的作图方法求出所缺的投影。
求两平面的交线
c m
m
c
Lesson 6
k 1
k
1
b PV n 2
e
a b2
步骤：
l
QV
1、用直线与平面
求交点的方法求
出两平面的两个
共有点K、E。
e a
l
2、连接两个共有
点，画出交线KE。
2
n HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
O
b
1
3 2
分析：首先分析直角关系。由于矩形 ABCD的一边为BC，另一边为AB，则∠B＝ 900，AB⊥BC。
其次进行空间分析。矩形ABCD的边BC 已知，另一边AB⊥BC，则点A必在过点B所 作的垂直于边BC的平面P内，再根据AB ∥△I II III及点A在H面上方10mm的条件即可求出 点A，完成该矩形。
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
相对关系题：
例 过点M作一平面垂直于△ ABC，且平行于直线DE。
a’ X
a
Lesson 6
b’ d’
c’
c d
b
e’ m’
分析：过点M所作平面可
由一对相交直线来决定，
O 只要使这一对相交直线分
角边为AB，而斜边为AC，则∠B＝900， AB⊥ BC。
其次进行空间的分析。直角△ABC的斜 边平行线直线DE，当过点A作直线DE的平 行线AF时，斜边AC必在直线AF上，再根 据直角边AB ⊥BC，点C又在过点B所作的 AB垂线的轨迹平面P内，因此直线AF与平 面P的交点就是所求的点C。
10
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
O
面P内，则可利用平面 内求点的作图方法求 出所缺投影k’ 。
8
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
距离题：
例 在直线AB上求作一点K与已知两点E、F等距离。
b’
a’ f’
X
e’
b
f be
Lesson 6
分析：点K要与E、F两 点等距离，其轨迹之一 是E、F两点连线的中垂 O 面P，而点K又要在直线 AB上，因此，上述中 垂面P与直线AB的交点 就是所求的点K。
9
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
角度题：
例 已知直角三角形的一个直角边AB，并知其斜边 AC平行于直线DE，试完成△ABC 的两投影。
X
Lesson 6
b’ d’
a’ e’
O b
a
e
d
分析： 首先分析直角关系。 △ABC的一个直