[四川大学]《线性代数2443》19秋在线作业1
【奥鹏】-[四川大学]《线性代数2443》19秋在线作业1 试卷总分:100 得分:100
第1题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第2题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第3题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第4题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第5题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第6题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第7题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第8题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第9题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第10题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第11题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第12题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第13题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第14题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第15题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第16题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第17题,题面如图所示：A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第18题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第19题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第20题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第21题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第22题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第23题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第24题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第25题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第26题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第27题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第28题,题面如图所示：A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第29题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第30题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第31题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第32题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第33题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第34题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第35题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第36题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:D
第37题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:A
第38题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:B
第39题,题面如图所示：A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第40题,题面如图所示：
A、A
B、B
C、C
D、D
正确答案:C
第41题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:A
第42题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:A
第43题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:A
第44题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:B
第45题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:A
第46题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:A
第47题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:B
第48题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:B
第49题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:B
第50题,题面如图所示：
A、错误
B、正确
正确答案:A。
【期末试题】2018-2019秋线性代数(理工)
三、证明题（共 19 分）
1. （7 分）证明：向量组 ������1, ������2, ������3 线性无关的充分必要条件是向量组 ������1 + ������2, ������2 + ������3, ������3 + ������1 线性无关. 2.（6 分）设方阵 ������ 使得 ������3 = 2������, 证明 ������2 − ������ 可逆，并求 ������2 − ������ 的逆矩阵. 3.（6 分）设 ������ 阶方阵 ������ 满足 ������2 = ������. 则 ������ 是齐次线性方程组 ������������ = 0 解的充分必要条件 为：存在向量 ������ 使得 ������ = ������ − ������������.
0
相似,
则
������������ =
__________.
1 2 3 4 0 0 4 y
1 0 0
x
0
0
1
1
110 2. 若存在3维列向量不能由向量组 (0) , (������) , (2) 线性表出，则 ������ = __________.
121
1 2 4 ������1 3. 若二次型 (������1, ������2, ������3) (0 2 2) (������2) 正定，则 ������ 的取值范围为 __________.
0 0 ������ ������3 4. 设������为3阶实对称阵,������2 − ������ = 2������, ������������(������) = 0,则二次型 ������������������������ 的规范形为 __________.
西工大19秋《线性代数》在线作业
1
A:相似变换矩阵 B:相近变换矩阵 C:相似变换 D:相近变换 答案：A 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：A 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B 2 A:错误 B:正确 答案：B
下面叙述是否正确？ 二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B 1 A:错误 B:正确 答案：B
请检查答案是否正确？
A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：A 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：B 1 A:错误B:正确答案：A
下面描述是否正确A:错误来自:正确答案：A
川大《工程数学基础(Ⅰ)2342》19春在线作业1参考答案
7.设A,B,C均为n阶方阵,下列各式中不一定成立的是
A.
B.
C.
D.
答案:A
8.
A.4
B.-4
C.-6
D.6
答案:C
9.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
10.设A,B为n阶方阵,且r(A)= r(B),则
A.r(A-B)=0
B.r(A+B)=2 r(A)
C.r(A,B)=2 r(A)
D.
答案:D
其次，笔者认为对婚姻无效与被撤销后的财产分割应方式当加以丰富。我国现在的无效婚姻与可撤销婚姻制度的法律后果中对财产的规定非常单一，忽略了当事人在该婚姻因违法导致无效过程中的主观意志和责任程度，采取各打五十大板的做法不利于发挥法律惩恶扬善的功能。笔者认为在婚姻被撤销或被确认无效后的财产分配中应当参虑双方当事人的主观意志和责任程度，以此作出与之相匹配的分割方案。换句话说主要从“是否知道存在婚姻无效和可撤销的法定事由”和“对法定事由是否有过错”这两个维度来参虑财产的划分。
第一种情况，对于双方当事人都是既知道有违反婚姻生效的法定事由，又对此事由有过错的，适用现行的规定，即双方协商，协商不成的，由法院裁判。第二种情况，对于仅知道有违反婚姻生效事由但没有过错的当事人，在财产分配过程中应当少分，而不论是否属于弱国一方。因为这种情形下，当事人对社会公共利益和法律秩序的挑衅太严重，应当予以更加不利的法律后果。第三种情况，对于不知道存在违反婚姻生效法定事由但是有过错的当事人，境如当事人婚前不知自己患有禁止结婚的疾病而后导致婚姻可撤销，可以适用离婚时财产分割的相关规定。第四种情况，对于既不知道存在违反婚姻生效要件存在，对此又没有过错责任的当事人应当适用离婚时的财产分割规定。因为以上情形中，当事人对社会公益和法律秩序的破坏很小，甚至是无辜的，应当适用更为有利的法律制度。但是需要注意的时，当事人不知的状态需要一直持续到婚姻被确认无效或者被撤销，否者将构化为第一种或者第二种情况。最后，对于子女抚养在题一律适用与离婚时一样的对子女保护的相关规定。
《线性代数》(四川大学原稿) §4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 x4 20 x5 x x 5 x , 2 4 5 x 2 x 5 3
6
令x4 1, x5 0, 解得X1 1 1 0 1 0 ,
T
19
证 设X1 , X 2 ,
, X nr(I)为AX=0的一个基础解系.
( i ) 设1 , 2 ,
, t(II)为AX=0的任意一个基
础解系，则(I)与(II)皆线性无关且可以相互 线性表示，故t=n-r;
(ii ) AX=0的任意n-r+1个解可由含n-r个 向量的(I)线性表示，故线性相关;
... k1n
1 ... 0 k2,r 1 k2,r 2 ... k2 n ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 kr ,r 1 kr ,r 2 ... krn 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0
设X=(c1 ,
, cr , cr+1 ,
, cn )为AX=0(BX=0)的 c n X n r , 0)
T
任意解，则 X-cr+1 X 1 c r+2 X 2 （d1 , d 2 , , d r , 0,0,
为B0
ax0ax0iiiax0ax0ax0nrax0是齐次线性方程组的基础解系所含向量个数故可考虑利用齐次线性方程组的解的由基础解系于是可由线性表示即是也为满秩矩阵所以所以的余子式也为零从而全部为零所以阶子式则知所有的是自由变量分别代入值1001解出基础解系
§5 齐次线性方程组有非零解的条件及解 的结构
四川大学数一二线性代数期末考试试卷A
第 页 共6页1四川大学期末考试试卷(A )科 目：《大学数学》（线性代数）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 232323a a ab bb c c c = __abc()_____.2． 向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性_______.3． 设A =378012002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, A *是A 的伴随矩阵, 则 |15-A*| = _________.4． 当t 满足______的条件时, 22212311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5． 设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.第 页 共6页2 二、选择题（每小题3分，共15分）1． 设矩阵,23⨯A ,32⨯B 33⨯C , 则下列式子中, ( )的运算可行.(A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -.2． 设D=123012247-, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333A A A ++=( ).(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3． 设A 为4m ⨯矩阵, 秩(A)=2,123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性无关解向量, 则( )为AX =0的通解.(A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +-(C)1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+4． 设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ).(A) 11--=BC A X ; (B) 11--=C BA X ; (C) 11--=A BC X ; (D) 11--=BA C X .5． 设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值.(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件三、计算下列各题(每小题10分，共30分)1． 计算行列式 11120132.12231420------第 页 共6页32． 解矩阵方程,X B AX +=其中21125111,3001214A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.X=[-1 5]5/4 2 .-1/2 .-1 3．求向量组]1,3,2,1[1-=α, ]1,10,11,5[2--=α,]9,1,8,3[3-=α, ]19,9,2,0[4-=α的秩与它的一个极大线性无关组.四、解答下列各题(每小题12分，共24分)1．讨论当b取何值时, 非齐次线性方程组123412341234237335135543x x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩有解; 当有解时, 求方程组的通解.第页共6页4第 页 共6页5232232133),,(x x x x x f +=323121244x x x x x x -++ 化为标准形.第 页 共6页6 五、证明题(每小题8分, 共16分)1． 设12321311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 如果存在三阶矩阵 0,B ≠ 满足AB =0, 试求λ的值,并证明. rank B *=0, 其中B *是B 的伴随矩阵.2． 设A 是一个三阶矩阵,向量组123,,()I ααα中的三个向量分别是A 属于特征值0,1,3的特征向量, 向量组)(,,421II ααα线性相关, 证明: 向量组)(,,4321III αααα-线性无关.。
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
四川大学线性代数20春在线作业
1 .设A 可逆，则下列说法错误的是（A.AB.BC.CD.D【参考答案】：C2 .如图：设A 为皿乂口矩阵，则非齐次线性方程组人力有惟一解的充分必要条件是（）aA.B,Ax=O 只有零解C.向量b 可由A 的列向量组转性表出D.A 的列向量蛆线性无关，而增广矩阵笈的列向量组线性相关A.AB.BC.CD.D【参考答案】：D3.如图：二阶行列式”「「，卢0的充分必要条件是（）。
2, k —1A.k 声一1B.k 卢3C.女W 」且kW3D.目羊」或W3A.AB.BC.CD.D【参考答案】：D4.在下列矩阵中，可逆的是（A,存在B 使AB=E C.A 相似于对角阵B,冏金0D.A 的口个列向量线性无关■『0Q 『□1Q ； A . 010 B. 220 3。
10011"fl0% C 01ID.J 21,JoJA.AB.BC.CD.D【参考答案】：D5 .如图：设矩阵.4=I2l 的秩为2,则"=(K[23人十1：A.2B.1C.0D.-1【参考答案】：B6 .如图：齐次线性方程组AX =。
有韭霎解的充分必要条件是[A.幺的列向量组线性无关B *的行向量组线性无关 C A的列向量组线性相关D,4的行向量组线性相关A.AB.BC.CD.D【参考答案】：D二次型/（工口勺网卜野.心/之♦1。
小心的矩阵是（H66]B.0310：。
o Y门60'D..6310010-4;A.AB.BC.CD.D【参考答案】：C8.如图:已知足、住是非齐次线性方程组4r=5的两个不同的解，皿、的是其导出组3。
的一个基神解系，瓦、瓦为任意常数,则方程组3E的通解可表成（A.AB.BC.CD.D【参考答案】：D9.如图:谩两个向量组片,5,…，'和屋%，…，叽均线性相关，则(入 A.有不全为0的数为h X 工,…,使11□1斗入？口什…+—和 Xi P 什入284'*>0B.有不全为0的数％打入力…।k 使人i (”r+Bi)+L (口升+…+%$(a S +P 5?=0 C 有不全为0的数人，人力…，％使M (\_佐。
川大《线性代数2443》19春在线作业1【100分】
正确答案:C
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:A
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:A
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:C
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:B
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:C
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:A
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:C
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:C
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:B
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:A
题面如图所示： A.A B.B
C.C D.D
正确答案:C
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:A
题面如图所示：
A.A B.B C.C D.D
正确答案:D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
正确答案:D
题面如图所示： A.A B.B C.C D.D
东大19秋学期《线性代数》在线平时作业1参考答案
13.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:D
14.{图}
A.D
B.C
C.B
D.A
答案:D
15.{图}
A.D
B.C
C.B
D.A
答案:A
16.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
17.{图}
A.D
B.C
C.B
D.A
答案:A
18.{图}
A.D
B.C
C.B
D.A
答案:D
19.{图}
A.A
B.B
C.C
首先，笔者认为应当调整现行婚姻无效与可撤销规定的溯及力在题。溯及力涉及到对之前婚姻事实的法律认可状况。如果溯及既往，那么婚姻关系自成立起无效，从而导致因夫妻身份关系产生的其他一切行为也将陷入纠纷，对于与之有交易的第三人来讲将面临不可预测的法律法风险，不利于交易安全。笔者认为应当根据无效婚姻与可撤销婚姻中不同法定情形的违法程度区分为无效婚姻和可撤销婚姻的溯及力。在笔者对于无效婚姻法定情形重构之后，只剩下重婚、近亲婚姻以及未满十六周岁未成年人婚姻三种，本以为可以完全适用的无效婚姻被确认无效后自始无效的规定，但是在引入责任要素之后，笔者发现其中可能存在无辜方的情况，如重婚情形中被重婚的一方不知对方已有配偶，在婚姻被宣告无效之后，被重婚者依然与造成婚姻无效的一方当事人共同承担婚姻自始无效一样的结果，这样的规定对被重婚者不公平，也不利于保护子女的利益。笔者认为应参虑双方当事人的责任区分不同的溯及力，由造成婚姻无效的一方承担婚姻自始无效的后果，无辜一方则自法院宣告无效之日起婚姻开始无效。实际生活中造成婚姻无效的责任人可能是当事人一方，也可能是双方，可统一适用上无规则，笔者认为更加公平。笔者对可撤销婚姻的法定情形重构之后扩充了未达法定婚龄的婚姻、患禁婚疾病的婚姻、欺诈的婚姻与重大误解的婚姻。笔者认为此部分也不可以完全重构为“婚姻被撤销的，自撤销之日起生效”。因为尽管重构后的可撤销婚姻制度所保护的个人私益要件，但是其中当事人还是有过错方与无辜方的区分，适用同种法律后果依然不公平，应当根据造成婚姻无效的责任有无、大小区别对待，重构为“对婚姻被撤销有责任的，适用婚姻自始无效规定，无责任的适用撤销之日起无效。”
川大线性代数习题册答案3
矩阵特征值、特征向量一．选择题 1．C ２．D ３．C ４．D 二．求下列矩阵的特征值、特征向量１．解：2110101020220(2)1104132323λλλλλλλλλλλλλλ+-----=--=-------2201011(2)110(2)110(2)1102201111λλλλλλλλ--+=-=-=-----2(2)(1)λλ=-+所以，特征值为：2(1λλ==-二重），2λ=时，411411000000411000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得对应的特征向量为： ()1104Tx = ()2140Tx =2λ=对应的特征向量全体可表示为：1122x k x k x =+1λ=-时，111111030010414000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量可表示为： ()101Tx k =2．解：()()11112200111111111111111111111111110010001111111221111121111111211λλλλλλλλλλλλλλλλλ----------=-----------=-=---------()()()()()2231122022112211211211110100221122112112312(2)λλλλλλλλλλλλλλλλλ--=--=-----=--=-+--=-+特征值为：2(),2λλ==-三重2λ=时，11111111111100001111000011110000------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11001Tx = ()21010Tx =()3110Tx =对应的特征向量可表示为：112233x k x k x k x =++2λ=-时， 311111131113131113110404113111310044111331110448--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111301010011000--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-⎪⎝⎭对应的特征向量为: ()1111Tx k =-3．解：()220212(1)(2)4(2)402(2)(1)4λλλλλλλλλλλ--=-----=+--所以，特征值为：2,1,4λλλ=-==2λ=-时，420232232232420044022022011---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232011000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()122Tx k =1λ=时，120120120202042021021021000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()212T x k =-4λ=时，220220232012024000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()221T x k =- 三．解：()()()()312014113421101λλλλλλλ+-+-=+-+-++-()()2145λλλ=-++ 特征值为：1,2,2i i λλλ==-+=--1λ=时，412100100024024024100412412-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100012000⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()021Tx k =2i λ=-+时，1121031030140140141031120122ii i i i i i i i +--+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-→-+-→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1030122000i i -+⎛⎫ ⎪→+ ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()3221Tx k ii =---2i λ=--时，1121031030141120122103014014i i i i i i i i i ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1030122000i i --⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()3221Tx k ii =+-+四．解：2λ=为A 的一个特征值，故3A 的一个特征值为８，312A 的一个特征值为４，1312A -⎛⎫ ⎪⎝⎭的一个特征值为14，所以1312I A -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个特征值为15144+= 五．证明：若λ为A 的任一特征值，00x ≠为对应特征向量，则：()220000A x A Ax Ax x λλ===，而2A E =，所以200A x x =从而有：200x x λ=，所以有：21λ=，所以，1λ=±矩阵相似一．选择题 １．D ２．A ３．D二．下列矩阵哪些能对角化，若能，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵１．3111102121112112E A λλλλλλλλ-----=--=------ ()()110101211221112102λλλλλλ-=---=--------()()212λλ=-- 特征值为：2(),1λλ==二重2λ=时，111111111221001001110001000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭特征子空间的维数为１，故A 不能对角化．２．()1101011011111111011011011E A λλλλλλλλλλλ------=--=--=---------()()()()()112102111211011λλλλλλλλλ--=--=-=-+-----特征值为：1,1,2λλλ==-=1λ=时，010111111010010000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量为：()101T x k =- 1λ=-时，210111111111012012012012000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()121Tx k =-2λ=时，110110121011011000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()111T x k =所以，111021111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1100010002P AP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭３．()()2112111020224313413E A λλλλλλλλλλλ+--+-+--=-=-=--+--- ()()()()()()211112121211302λλλλλλλλ--=-+=-+=-+--所以，特征值为：2(,1λλ==-二重）2λ=时，411411000000411000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量：()()12104140TTx x ⎧=⎪⎨=⎪⎩1λ=-时，111111030010414000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量为：()3101T x = 故，111040401P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1200020001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭４．()111110011001111111111111111111111111111E A λλλλλλλλλλλλλλ-----------===------------- ()()10001111111112112121121λλλλλλλλ+--+-=-=--------()()()221101101001211211221212123λλλλλλλλλλλ---=--=--=-+-------()()()()()22321111131331λλλλλλλλ+--=-=-+=-+-所以，特征值为：1(),3λλ==-三重1λ=时，11111111111100001111000011110000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()()()123100*********T T T x x x ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 3λ=-时，31111113131131111131113111131311------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11131113044801120044001104040000------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()41111Tx =--111100110101101P ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 1100010000100003P A P -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 三．解：令()123122221212P x x x -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则，()()12312310023020003AP Ax Ax Ax x x x P ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭所以，1120331005202003300322233A P P -⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎪⎝⎭四．解：3221221(1)1423123E A k k k λλλλλλλλλ--+--=+-=-++---++-+ ()()1221221111012123001k k λλλλλλ--=+-+-=+---++()()211λλ=+-特征值为：1(),1λλ=-=二重，A 可对角化，则：1λ=-时有：()1rank E A λ-=，由42242200422000k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭知，必有0k = 对应特征值为：()()12102,120T Tx x ==-1λ=时，222111020010424000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应特征向量为：()3101T x = 111020201P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1100010001P AP --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭五．证明：B 与A 相似，则存在满秩矩阵P ，使得1B P AP -=，又A 有n 个互异特征值，故存在可逆矩阵M ，使得：11,(,)n M AM diag C λλ-=⋅⋅⋅∴111()A MCM P P MCM ---==，11111()B P AP P MCM P P MCM P -----=== 令11,Q P R P MCM --==，则Q 满秩，,A QR B RQ ==实对称矩阵的对角化一．解：首先将向量组正交化，取 ()111100Tβα==()()2122111(,)1111010110010(,)222TT T αββαβββ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭313233121122(,)(,)1111(,)(,)333Tαβαββαββββββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭单位化：1200,022TTηη⎛⎫⎫== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭3Tη⎛= ⎝⎭二．解：设()1234Tx x x x x =为单位向量，则有：123412341234020x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 其通解为：()4013T x k =-所以，所求单位向量为：0T⎝⎭三．求正交矩阵Q ，使1Q AQ -为对角矩阵１．解：()()2324221842E A λλλλλλ----=--=+---， 所以特征值为：1(),8λλ=-=二重1λ=-时，424212212000424000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，特征向量()()12101120TTx x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩8λ=时，52414114128252401894254250189----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭141021000-⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪⎝⎭特征向量：()3212Tx =将12,x x 正交化，令11x β=，2122111(,)112(,)22Tx x βββββ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭将123,,x ββ单位化得：2310323Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1(1,1,8)Q AQ diag -=-- ２．()111110011001111111111111111111111111111E A λλλλλλλλλλλλλλ-----------===------------- ()()10001111111112112121121λλλλλλλλ+--+-=-=--------()()()221101101001211211221212123λλλλλλλλλλλ---=--=--=-+-------()()()23211133λλλλλ+-=-=-+-，特征值为：1(),3λλ==-三重1λ=时，111111111111000011110000111100----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应特征向量为：()()()123100110101100T T T x x x ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 将123,,x x x 正交化，令11x β=，2122111(,)1101(,)22Tx x βββββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)1111(,)(,)333Tx x x βββββββββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭3λ=-时，311111131113131113110404113111310044111331110448---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113010100110000---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭， 对应特征向量为：()41111Tx =--将1234,,,x βββ单位化得：12100210212Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭四．证明：若,A B 有相同的特征值1,,n λλ⋅⋅⋅，则存在正交矩阵,Q T 使得：1111(,,)(,,)n n Q AQ diag T BT diag λλλλ--⎧=⋅⋅⋅⎪⎨=⋅⋅⋅⎪⎩，从而有1111(,,)n B Tdiag T TQ AQT λλ---=⋅⋅⋅=令1P QT-=，则()()()11111TTTT T P P TQ QT T T TT E -----====所以P 为正交矩阵，即存在正交矩阵P ，使得1B P AP -= 反之，若存在正交矩阵P 使得1B P AP -=，则有：11()E A P E A P E P AP E B λλλλ---=-=-=-故，,A B 有相同的特征多项式，所以,A B 有相同的特征值．五．解：因为3R 的维数为３，321λλ==对应的特征子空间2Φ应该为11λ=-所对应的特征子空间1Φ的正交补空间．所以2Φ的基应与1Φ的基1X 正交． 取()()23100,011T TX X ==-，则232,X X ∈Φ，将123,,X X X单位化得：010022022P ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ - ⎝⎭，所以100(1,1,1)001010TA Pdiag P ⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭。