人教版高中数学选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程 优质课件
(2)设方程： ①依据上述判断设方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋xb22＝ 1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2＋ny2＝ 1(m>0，n>0 且 m≠n)；
(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；
(4)得方程：解方程组，将 a，b，c 或 m，n 代入所设方 程即为所求.
方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．将两点(2，－ 2)，(－1， 214)代入，
4A＋2B＝1 得A＋144B＝1
，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
椭圆的标准方程 例 2 求经过两点 P1(13，13)， P2(0，－12)的椭圆的标准方程．
[分析] 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆 的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
[解] 解法一：①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的 标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为xa22
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得a12＝81 b12＝41
.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)椭圆方程为y52＋x42＝1；
(2)F1，F2 是焦点，P 是椭圆上一点且∠F1PF2＝30°. 解答本题可先利用 a，b，c 三者关系求出|F1F2|，再利用 定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|，最后求出S . F1PF2
[解] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2，
[解] 以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平 分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.如图所示．
由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，
因此，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，这个椭圆 上的点与两焦点的距离之和 2a＝10，但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5，c＝4，得 b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点 A 的轨迹方 程为2x52 ＋y92＝1(y≠0)．
[点拨] (1)确定曲线的方程时，若能明确方程的形式， 则可设出曲线方程，建立含参数的等式，求出参数的值，再
代入所设方程． (2)由于椭圆 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)包含焦点在
x 轴上(A<B)和焦点在 y 轴上(A>B)两类情况，因此解法二的 处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
B．直线 F1F2
C．线段 F1F2
D．直线 F1F2 的垂直平分线
解析：|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以点 M 的轨迹为线段 F1F2.
答案：C
2．下列说法中，正确的是( ) A．平面内与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数的点的 轨迹是椭圆 B．与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆 C．方程xa22＋a2－y2 c2＝1(a>c>0)表示焦点在 x 轴上的椭圆 D．方程xa22＋by22＝1(a>0，b>0)表示焦点在 y 轴上的椭圆 解析：依据方程的结构特点．B 中没强调平面内．
依题意知13a22＋13b22＝1， －b122 2＝1，
解得a2＝15， b2＝14.
∵a2＝15<14＝b2，
∴焦点在 x 轴上的椭圆不存在．
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由题意得13a22＋13b22＝1， －a122 2＝1，
4 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝____3____.
解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又 2|AB| ＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43.
ห้องสมุดไป่ตู้
5．当 3<k<9 时，指出方程9－x2k＋k－y2 3＝1 所表示的曲线．
解：∵3<k<9，∴9－k>0 且 k－3>0. (1)若 9－k>k－3，即 3<k<6 时，则方程表示焦点在 x 轴上的椭圆； (2)若 9－k＝k－3，即 k＝6 时， 则方程表示圆 x2＋y2＝3； (3)若 9－k<k－3，即 6<k<9 时， 则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆．
|PF1|＋|PF2|＝6. 而 |PF1|＋ |PA|＝ |PF1|＋ |PA|＋ |PF2|－ |PF2|＝ 6－ (|PF2|－ |PA|)． 在△PAF2 中，|PF2|>|PA|，|PF2|－|PA|≤|AF2|，当且仅当 P、A、F2 三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝ 2.所以当 P、A、 F2 三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为 6－ 2.
焦点
_±_c_，__0__ _
__________(a>b>0) _0_，__±_c___
焦距 a，b，c 的关系
|F1F2|＝__2_c_____ a_2＝__b_2_＋__c_2
1.平面内，若点 M 到定点 F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之
和为 2，则点 M 的轨迹为( )
A．椭圆
练 3 点 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，以点 P 以及焦 点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 8，求点 P 的坐标．
[解] 设点 P 的坐标为(x，y)． ∵c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴2c＝8.
∵S△PF1F2＝8，∴12×8×|y|＝8.∴y＝±2. 把 y＝±2 代入方程2x52＋y92＝1， 解得 x＝±35 5. ∴点 P 的坐标为(53 5，2)、(53 5，－2)、(－53 5，2)、 (－53 5，－2).
1.椭圆定义的理解
设两定点 F1、F2，点到 F1、F2 的距离之和为 2a (1)当 2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以 F1、F2 为端点的线段． (3)当 2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在．
2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
[解] (1)如上图，由题意知，A、B 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 上， 故有|AF2|＋|AF1|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2×5＝10， |AF2|＋|BF2|＝AB，
∴△ABF1 的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝ 4×5＝20.
练 1 已知 F1 为椭圆 5x2＋9y2＝45 的左焦点，P 为椭圆 上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA| 的最小值．
[解] 由椭圆方程 5x2＋9y2＝45 可知 a2＝9，b2＝5，c2 ＝4，左焦点 F1(－2,0)，右焦点 F2(2,0)，如图下所示．P 为 椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有
若焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由已知条件得b42＋a22＝1 b12＋41a42＝1
，解得b12＝81 a12＝41
.
即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍
去．
综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2.1.1 椭圆及其标准方程
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于__常__数____(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两___个__定__点_叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距____．
∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S PF1F2 ＝21|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4 3.
利用椭圆的定义求轨迹方程 例 4 已知 B，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周 长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适 当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
椭圆的定义
例 1 如图所示，已知经过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于 x 轴，交椭圆于 A、B 两点，F1 是椭圆的 左焦点．
(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；
(4)得方程：解方程组，将 a，b，c 或 m，n 代入所设方 程即为所求.
方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．将两点(2，－ 2)，(－1， 214)代入，
4A＋2B＝1 得A＋144B＝1
，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
椭圆的标准方程 例 2 求经过两点 P1(13，13)， P2(0，－12)的椭圆的标准方程．
[分析] 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆 的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
[解] 解法一：①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的 标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为xa22
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得a12＝81 b12＝41
.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)椭圆方程为y52＋x42＝1；
(2)F1，F2 是焦点，P 是椭圆上一点且∠F1PF2＝30°. 解答本题可先利用 a，b，c 三者关系求出|F1F2|，再利用 定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|，最后求出S . F1PF2
[解] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2，
[解] 以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平 分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.如图所示．
由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10，
因此，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，这个椭圆 上的点与两焦点的距离之和 2a＝10，但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5，c＝4，得 b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点 A 的轨迹方 程为2x52 ＋y92＝1(y≠0)．
[点拨] (1)确定曲线的方程时，若能明确方程的形式， 则可设出曲线方程，建立含参数的等式，求出参数的值，再
代入所设方程． (2)由于椭圆 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)包含焦点在
x 轴上(A<B)和焦点在 y 轴上(A>B)两类情况，因此解法二的 处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
B．直线 F1F2
C．线段 F1F2
D．直线 F1F2 的垂直平分线
解析：|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以点 M 的轨迹为线段 F1F2.
答案：C
2．下列说法中，正确的是( ) A．平面内与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数的点的 轨迹是椭圆 B．与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆 C．方程xa22＋a2－y2 c2＝1(a>c>0)表示焦点在 x 轴上的椭圆 D．方程xa22＋by22＝1(a>0，b>0)表示焦点在 y 轴上的椭圆 解析：依据方程的结构特点．B 中没强调平面内．
依题意知13a22＋13b22＝1， －b122 2＝1，
解得a2＝15， b2＝14.
∵a2＝15<14＝b2，
∴焦点在 x 轴上的椭圆不存在．
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由题意得13a22＋13b22＝1， －a122 2＝1，
4 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝____3____.
解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又 2|AB| ＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43.
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5．当 3<k<9 时，指出方程9－x2k＋k－y2 3＝1 所表示的曲线．
解：∵3<k<9，∴9－k>0 且 k－3>0. (1)若 9－k>k－3，即 3<k<6 时，则方程表示焦点在 x 轴上的椭圆； (2)若 9－k＝k－3，即 k＝6 时， 则方程表示圆 x2＋y2＝3； (3)若 9－k<k－3，即 6<k<9 时， 则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆．
|PF1|＋|PF2|＝6. 而 |PF1|＋ |PA|＝ |PF1|＋ |PA|＋ |PF2|－ |PF2|＝ 6－ (|PF2|－ |PA|)． 在△PAF2 中，|PF2|>|PA|，|PF2|－|PA|≤|AF2|，当且仅当 P、A、F2 三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝ 2.所以当 P、A、 F2 三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为 6－ 2.
焦点
_±_c_，__0__ _
__________(a>b>0) _0_，__±_c___
焦距 a，b，c 的关系
|F1F2|＝__2_c_____ a_2＝__b_2_＋__c_2
1.平面内，若点 M 到定点 F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之
和为 2，则点 M 的轨迹为( )
A．椭圆
练 3 点 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，以点 P 以及焦 点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 8，求点 P 的坐标．
[解] 设点 P 的坐标为(x，y)． ∵c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴2c＝8.
∵S△PF1F2＝8，∴12×8×|y|＝8.∴y＝±2. 把 y＝±2 代入方程2x52＋y92＝1， 解得 x＝±35 5. ∴点 P 的坐标为(53 5，2)、(53 5，－2)、(－53 5，2)、 (－53 5，－2).
1.椭圆定义的理解
设两定点 F1、F2，点到 F1、F2 的距离之和为 2a (1)当 2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以 F1、F2 为端点的线段． (3)当 2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在．
2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
[解] (1)如上图，由题意知，A、B 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 上， 故有|AF2|＋|AF1|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2×5＝10， |AF2|＋|BF2|＝AB，
∴△ABF1 的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝ 4×5＝20.
练 1 已知 F1 为椭圆 5x2＋9y2＝45 的左焦点，P 为椭圆 上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA| 的最小值．
[解] 由椭圆方程 5x2＋9y2＝45 可知 a2＝9，b2＝5，c2 ＝4，左焦点 F1(－2,0)，右焦点 F2(2,0)，如图下所示．P 为 椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有
若焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由已知条件得b42＋a22＝1 b12＋41a42＝1
，解得b12＝81 a12＝41
.
即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍
去．
综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2.1.1 椭圆及其标准方程
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于__常__数____(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两___个__定__点_叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距____．
∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S PF1F2 ＝21|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4 3.
利用椭圆的定义求轨迹方程 例 4 已知 B，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周 长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适 当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
椭圆的定义
例 1 如图所示，已知经过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于 x 轴，交椭圆于 A、B 两点，F1 是椭圆的 左焦点．
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高中数学选修1《椭圆及其标准方程》课件
一、教材分析
(三) 关于教材的处理
运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手 作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭 圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。
一、教材分析
（四）、教学目标
1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程， 明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
一、教材分析
(五) 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程 2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
二、学情分析
在此之前,学生对坐标法解决几何问题掌握 不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生 思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到 比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中 代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满 足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么 的办法来补充这些知识.
三、教法、学法和教学手段
1、教法设计：
采用启发式教学,在课堂教学中坚持以教师为主导, 学生为主体,思维训练为主线,能力培养为主攻的原则。
2、学法设计：
"授人以鱼，不如授人以渔."要求学生动手实验, 自主探究,合作交流,抽象出椭圆定义,并用坐标法探 究椭圆的标准方程,使学生的学习过程成为在教师引 导下的“再创造”过程。
四、教学过程 <初步运用，强化理解 >
例题
1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 长半轴长，短半轴长 ，焦点坐标.
[设计意图] 数学概念是要在运用中得以巩固的， 通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌 握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过 程中感受 "数形结合" 思想的优越性.
四、教学过程 <自我评价，反馈调节 >
2.1.1 第一课时 椭圆的定义及标准方程的求法 课件(人教A选修1-1)
[自主解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋ |AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》PPT课件(新人教版选修1-1)
例3 的标准方程
3 5 已知椭圆经过两点(− 2 , 2 )与( 3, 5)
,求椭圆
解：设椭圆的标准方程 则有
新疆 王新敞
奎屯
x2 y 2 + = 1(m > 0, n > 0, m ≠ n) m n
5 3 2 (− ) ( )2 2 + 2 =1 n m 2 ( 3) ( 5)2 + =1 n m
2 2 2
2 2
)x
2
+ a y = a (a - c
2 2
2
)
x
a2
b2
2.椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 y
F1 O
2 2
y
F1
F2
x
O F2
x
y 2 x 2 = 1 + = 1 2 2 2 2 a b 平方和的形式 ）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； 方 （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是 ； 在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0 a>b>0； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； 程 (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上； 焦点在大分母变量所对应的那个轴上； 焦点在大分母变量所对应的那个轴上 都有特定的意义， （4）a、b、c都有特定的意义，
x2 + y2 = 1 解：(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 （２）所求椭圆的标准方程是 + =1 100 36
.
求椭圆标准方程的解题步骤： 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； ）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； ）设出椭圆的标准方程； 的值， （3）用待定系数法确定 、b的值， ）用待定系数法确定a、 的值 写出椭圆的标准方程. 写出椭圆的标准方程
课件1：2.1.1 椭圆及其标准方程
这 样,我 们 把 方 程2 叫 做椭圆的标准
方程 .它 的 焦 点 在x 轴 上,两 个 焦 点 分
别 是F1 c,0, F c,0,这 里c2 a2 b2.
思考 如图2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在y轴上,且F1 , F2的坐 标
F2
分别为0,c,0, c, a,b 的意
M
x
义同上,那么 椭圆的方程是
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9
x
5,
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
本节内容结束
锥曲线的性质 ? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希蜡.当时 人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切 相关的曲线,它们的几何性质是圆的几何性质的
探 究 取一 条定 长 的细绳,把它的两端都固 定在图板的同一点处 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔
尖,这时笔尖 动点 画出的轨迹是一个圆.如果把细
绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处 ( 图 2.1 1 ),套上铅笔 ,拉紧绳子,移动笔尖 ,画 出的轨迹是什么曲线 ? 在这一过程中,你能说出移
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圆锥曲线conic sections
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密 的关系.早在 16、17 世纪之交,开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨 道 是一个椭圆 ;探 照 灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电 厂冷却塔的外形线是双曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢 ? 我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到答案 . 圆锥曲线具有怎样的几何特征呢 ? 如何研究圆
方程 .它 的 焦 点 在x 轴 上,两 个 焦 点 分
别 是F1 c,0, F c,0,这 里c2 a2 b2.
思考 如图2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在y轴上,且F1 , F2的坐 标
F2
分别为0,c,0, c, a,b 的意
M
x
义同上,那么 椭圆的方程是
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9
x
5,
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
本节内容结束
锥曲线的性质 ? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希蜡.当时 人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切 相关的曲线,它们的几何性质是圆的几何性质的
探 究 取一 条定 长 的细绳,把它的两端都固 定在图板的同一点处 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔
尖,这时笔尖 动点 画出的轨迹是一个圆.如果把细
绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处 ( 图 2.1 1 ),套上铅笔 ,拉紧绳子,移动笔尖 ,画 出的轨迹是什么曲线 ? 在这一过程中,你能说出移
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圆锥曲线conic sections
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密 的关系.早在 16、17 世纪之交,开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨 道 是一个椭圆 ;探 照 灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电 厂冷却塔的外形线是双曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢 ? 我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到答案 . 圆锥曲线具有怎样的几何特征呢 ? 如何研究圆
最新人教版数学选修1-1：2.1.1《椭圆及其标准方程》ppt课件名师资料汇编
该资料由764723079友情提供
教学目标
2019/3/27
3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学 美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和 成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精 神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定 为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭 圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。
例3 的标准方程
3 5 已知椭圆经过两点( 2 , 2 )与( 3, 5)
x2 y2 1 解：(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 （２）所求椭圆的标准方程是 1 100 36
.
求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，
2019/3/27 该资料由764723079友情提供
写出椭圆的标准方程.
2 2 2
设 a -P cx xy +y (=xa ， )c 是椭圆上任意一点
2
P
2019/3/27
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． 该资料由764723079友情提供 x y + = 1 a > b > 0 即：
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
x2 y 2 1 解：（1）所求椭圆标准方程为 25 9 y 2 x2 1 （2）所求椭圆标准方程为 10 6 2019/3/27
教学目标
2019/3/27
3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学 美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和 成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精 神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定 为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭 圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。
例3 的标准方程
3 5 已知椭圆经过两点( 2 , 2 )与( 3, 5)
x2 y2 1 解：(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 （２）所求椭圆的标准方程是 1 100 36
.
求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值，
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写出椭圆的标准方程.
2 2 2
设 a -P cx xy +y (=xa ， )c 是椭圆上任意一点
2
P
2019/3/27
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． 该资料由764723079友情提供 x y + = 1 a > b > 0 即：
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
x2 y 2 1 解：（1）所求椭圆标准方程为 25 9 y 2 x2 1 （2）所求椭圆标准方程为 10 6 2019/3/27
人教A版高中数学选修1-1第二章椭圆及其标准方程 (共12张PPT)
数学 选修1-1 2.1椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程
一.画椭圆
♦自然界处处存在着椭圆,我们如何画 出椭圆呢?
同桌俩人合作，完成图形
§(1)取一条细绳，在纸板上定两个点F1,F2； §(2)把细绳的两端固定在纸上的两点F1、F2 §(3)用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动看看画
出的图形
数学
M
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点； 2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）； 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
三. 推导椭圆方程
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。
2a
两定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）
椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
§问题1：定义中的常数为什么要大于 焦距 |F1F2 |？
若2a＝|F1F2|
若2a<|F1F2|
几点说明：
特 （4）a、b、c都有特定的意义，
a为椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c为半焦距.
点 恒有关系式 a2 b2 c2 成立。
▪ 问题2：回顾圆的轨迹方程是如何求的？
建系，设点，列式，化简
问题3：以四种建系方式，哪一种针对求椭圆
的标准方程比较好？
y
y
y
y
x
O
x
O
O
x
x
O
探究：如何建立椭圆的方程？
椭圆及其标准方程
一.画椭圆
♦自然界处处存在着椭圆,我们如何画 出椭圆呢?
同桌俩人合作，完成图形
§(1)取一条细绳，在纸板上定两个点F1,F2； §(2)把细绳的两端固定在纸上的两点F1、F2 §(3)用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动看看画
出的图形
数学
M
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点； 2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）； 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
三. 推导椭圆方程
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。
2a
两定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）
椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
§问题1：定义中的常数为什么要大于 焦距 |F1F2 |？
若2a＝|F1F2|
若2a<|F1F2|
几点说明：
特 （4）a、b、c都有特定的意义，
a为椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c为半焦距.
点 恒有关系式 a2 b2 c2 成立。
▪ 问题2：回顾圆的轨迹方程是如何求的？
建系，设点，列式，化简
问题3：以四种建系方式，哪一种针对求椭圆
的标准方程比较好？
y
y
y
y
x
O
x
O
O
x
x
O
探究：如何建立椭圆的方程？
人教A版高中数学选修1-1课件《2.1椭圆及其标准方程》
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
湖南长郡卫星远程学校
1、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距.
2、椭圆的标准方程
x2 y2 （1） a2 b2 1 (a b 0)
1.动点的轨迹及其轨迹方程 （1）求轨迹方程的一般步骤： ①建系设点；②寻找几何关系； ③几何关系代数化；④化简；⑤证明； （2）常用的方法： ①直接法；②定义法；③相关点法； ④参数法等. 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.
《同步导练选修1-1》 第二单元第2课时
y2 x2 （2） a2 b2 1 (a b 0)
2、椭圆的标准方程
x2 y2 （1） a2 b2 1 (a b 0)
y2 x2 （2） a2 b2 1 (a b 0) 【注】c2 a2 b2
1、利用定义法求动点的轨迹方程.
（1）一动圆与圆C1 : x2 y2 6x 5 0 外切,同时与圆C2 : x2 y2 6x 91 0内 切,求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是 什么曲线.
任意一点, 且QP 2PF，求动点P的 轨迹方程.
3、直接法求动点轨迹方程
（1）如图, 设点A、B的坐标分别为(5, 0)，
(5, 0)，直线AM、BM相交于点M，且它们
的斜率之积是 9，求点M的轨迹方程. 4
y M
x
A
O
B
(2)点A，B的坐标分别是(-1,0)， (1，0)，直线AM，BM相交于点M， 且直线AM的斜率与直线BM的斜率 的商是2，则点M的轨， B、C两点的坐标分别是(1, 0), (1, 0), 求顶点A的轨迹方程.
（金戈铁骑 整理制作）
湖南长郡卫星远程学校
1、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1、F2的距 离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距.
2、椭圆的标准方程
x2 y2 （1） a2 b2 1 (a b 0)
1.动点的轨迹及其轨迹方程 （1）求轨迹方程的一般步骤： ①建系设点；②寻找几何关系； ③几何关系代数化；④化简；⑤证明； （2）常用的方法： ①直接法；②定义法；③相关点法； ④参数法等. 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.
《同步导练选修1-1》 第二单元第2课时
y2 x2 （2） a2 b2 1 (a b 0)
2、椭圆的标准方程
x2 y2 （1） a2 b2 1 (a b 0)
y2 x2 （2） a2 b2 1 (a b 0) 【注】c2 a2 b2
1、利用定义法求动点的轨迹方程.
（1）一动圆与圆C1 : x2 y2 6x 5 0 外切,同时与圆C2 : x2 y2 6x 91 0内 切,求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是 什么曲线.
任意一点, 且QP 2PF，求动点P的 轨迹方程.
3、直接法求动点轨迹方程
（1）如图, 设点A、B的坐标分别为(5, 0)，
(5, 0)，直线AM、BM相交于点M，且它们
的斜率之积是 9，求点M的轨迹方程. 4
y M
x
A
O
B
(2)点A，B的坐标分别是(-1,0)， (1，0)，直线AM，BM相交于点M， 且直线AM的斜率与直线BM的斜率 的商是2，则点M的轨， B、C两点的坐标分别是(1, 0), (1, 0), 求顶点A的轨迹方程.
人教A版高中数学选修1-1课件高二2.1.1椭圆及其标准方程
k－2 0① ,
5－k 0, 解得2<k<5且
k－2 5－k,
k 7, 2
所以2<k<5且 k 7 2 k 5，②
2
而2<k<5推不出2<k<5且 k 7 .
2
所以,“2<k<5”是“方程 x2 y2 1”表示椭圆的必要不充
4
AQ的中点M的轨迹方程.
【解析】1.由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=
4.根据椭圆的定义知，顶点C是在以A，
B为焦点的椭圆上，且2a=6,c=2,
∴b2=a2－c2=5.又∵A，B，C三点构成三角形，所以点C不能在x
轴上,
所以，顶点C的轨迹方程为
x2
y2
【典例训练】
1.椭圆 x2 y2 1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个
25 9
焦点的距离为_______.
2.设P为椭圆 x2 y2 1上一点，F1，F2是其焦点，若∠F1PF2=
25 75 4
60°.求△F1PF2的面积.
【解析】1.由椭圆方程 x2 y2 1 知,a=5，设椭圆的两个焦点
பைடு நூலகம்识错误.
在正确求解方程表示椭圆的条件后，对②处所
常
以2<k<5且 k 7 2 k 5，而2<k<5推不出2<k
2
见 错
选A
<5且 k 7 充要关系的判断模糊不清而出错.
2
这是由于考试中题目的综合性较强,涉及到的知
误
识点过多而出错,这需要同学们做题时明确充要
【数学】2.1.1 椭圆及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
即 : ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2
两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 0
2
2 0
2
把x = x,y = 2y代入方程①,得 点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M
0 0
x + 4y = 4, 与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方
2 2
即
程得到点M的坐标所满足的方程.
2 2
x 1、建系 2、设标 3、列 + y = 1. 4 式 4、化简 5、检验 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆. （可省略不写）
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，
右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2.
3、椭圆的标准方程小结
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
生活中 的椭圆
一、引入
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹为椭圆。 常数必须大于两定点的距离
2019年高中数学人教版选修1-1课件：第二章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程
[知识提炼·梳理]
1．椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程
焦点位置
在 x 轴上
在 y 轴上
标准方程 xa_22_＋__by_22_＝__1(a>b>0) _ay_22＋__xb_22_＝__1(a>b>0)
将点(5，0)代入上式解得 a＝5，又 c＝4， 所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)法一：当椭圆的焦点在 x 轴上时， 设所求椭圆的方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
a42＋b02＝1， a＝2， 所以 a02＋b12＝1，则b＝1.
所以
4m＝1，
所以
m＝14，
n＝1，
n＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.
归纳升华 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
1．确定焦点位置． 2．设出方程． 3．寻求 a，b，c 的等量关系． 4．求 a，b 的值，代入所设方程．
[变式训练] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭 圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情 景中抽象出椭圆模型的过程． 2.掌握椭圆的定义及其标 准方程，能正确推导椭圆的标准方程(重点、难点)． 3. 利用椭圆的定义求轨迹方程，会根据椭圆的标准方程求焦 点坐标(重点)．
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a