几类函数的积分法
五大积分法
五大积分法积分是微积分的重要概念之一，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在微积分中，有多种方法可以进行积分运算，其中比较常用的是五大积分法，包括定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法和特殊函数积分法。
下面将分别对这五种积分法进行介绍。
一、定积分定积分是对函数在一个区间上的积分运算。
它的定义是将函数在该区间上的取值乘以区间的长度，并对乘积进行求和。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
定积分的计算需要确定积分上下限和被积函数，然后进行积分运算。
定积分的结果是一个数值，表示函数在给定区间上的总体积或面积。
二、不定积分不定积分是对函数的积分运算，它的结果是一个含有积分变量的表达式。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx 表示积分变量。
不定积分的计算需要找到被积函数的原函数，即原函数的导数等于被积函数。
不定积分的结果可以看作是原函数的一个特定形式，有时也被称为不定积分的通解。
三、换元积分法换元积分法是一种通过变量替换来简化积分运算的方法。
它的基本思想是将被积函数中的变量进行代换，使得积分变得更简单。
换元积分法的步骤是先选择适当的代换变量，然后计算出新的被积函数和积分变量，最后进行积分运算。
换元积分法在解决一些复杂的积分问题时非常有用，可以大大简化计算过程。
四、分部积分法分部积分法是一种通过对积分变量进行分部处理，将复杂的积分转化为简单的积分的方法。
它的基本思想是将被积函数进行分解，然后对分解后的每一项进行积分运算。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是两个函数，u'(x)和v'(x)分别是它们的导数。
分部积分法可以多次使用，将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
五、特殊函数积分法特殊函数积分法是一种通过使用特殊函数的性质来进行积分运算的方法。
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如 12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2）其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）ax A - ，（2）ka x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）k q px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k +-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2p x u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是du au B pu A dx pq p x BAx dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au Ap B du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222C pq px p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2p x u +=，并记224a p q =-，于是 ⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Audx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k k k k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)( 122222)(+-++=k k k kI a kI a u u ． 整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u a a u du I +=+=⎰arctan 1221．最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2．例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解 ⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u ]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u u C u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222． 例2 求dx x x ⎰-2)1(1．解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即A x C AB xC A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C ABC A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112 C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ， 两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是C x x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解 dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解 ⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+===, 2222222211tan 12tan 1sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ．由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222 C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx x x⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ．解 dx xx x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx x x dx xx ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x⎰+2cos 311． 解 x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是du a nuu a b u R dx b ax x R n n n1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23． 例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换 u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11．解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 du u u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222Cu u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222C x xx x x ++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1． 解⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令u x x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是 du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1 C x x C u +-+-=+-=3112323．。
几种特殊类型的函数的积分
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
求积分 方法
求积分方法求积分方法一、积分的定义积分是微积分的重要内容之一，其定义为：对于函数f(x)在区间[a,b]上，将其划分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，则在每个小区间上取一个样本点xi，令Δx趋近于0时，n趋近于无穷大，则当n趋近于无穷大时，Riemann和S=limΣf(xi)Δx即为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
二、基本积分公式1. 常数函数的积分：∫kdx=kx+C2. 幂函数的积分：∫xn dx=1/(n+1)x^(n+1)+C3. 指数函数的积分：∫e^xdx=e^x+C4. 三角函数的积分：（1）∫sinxdx=-cosx+C（2）∫cosxdx=sinx+C5. 反三角函数的积分：（1）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a arctan(x/a)+C（2）∫1/(a^2-x^2)dx=1/2a ln|(a+x)/(a-x)|+C三、换元法换元法是求解复杂定积分时常用的方法之一。
其基本思想是将被积函数中出现的某些部分用一个新的变量表示，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。
1. 第一类换元法对于∫f(g(x))g'(x)dx，令u=g(x)，则有dx=du/g'(x)，原积分化为∫f(u)du。
2. 第二类换元法对于∫f(ax+b)dx，令ax+b=t，则有x=(t-b)/a，dx=dt/a，原积分化为∫f(t)dt/a。
四、分部积分法分部积分法是求解复杂定积分时常用的方法之一。
其基本思想是将被积函数中出现的某些部分进行乘法拆解，并利用乘法公式进行变形，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。
对于∫u(x)v'(x)dx，可以利用乘法公式得到∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
五、特殊函数的积分1. 对数函数ln x的积分：（1）∫ln x dx=xln x-x+C（2）∫ln(ax+b) dx=(ax+b)(ln(ax+b)-1)/a+C2. 反双曲函数arcsinh x和arccosh x的积分：（1）∫arcsinh x dx=xarcsinh x+sqrt(x^2+1)+C（2）∫arccosh x dx=xarccosh x-sqrt(x^2-1)+C六、常用积分技巧1. 分式分解法对于有理函数f(x)/g(x)，可以将其分解为若干个部分，每个部分都是一个简单的有理函数或三角函数的积分。
分部积分法顺序口诀
将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
反>对>幂>三>指，这就是分部积分法的要领，当出现两种函数相乘时，指数函数必然放到d( )中，然后再用分部积分法拆开算，而反三角函数不需要动。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
不定积分的公式
1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1
3、∫1/x dx = ln|x| + C
4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1
5、∫e^x dx = e^x + C
6、∫cosx dx = sinx + C
7、∫sinx dx = - cosx + C
8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f （x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式。
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
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基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。
原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
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1
4
)
1 2
( x 12) 12 )d ( x 2 2 1 1 [( x 2 ) (1 4 )]
)
换元： u x 1 a 1 1
2
4
du u 1 du u 2 a 2 ( u 2 a 2 )2 du 2 ( u 2 a 2 )2
(1 ) 假分式
多项式除法
多项式 （ 真分式） ;
故下面我们假定分式是真分式，且P与Q无公因式。
(2)
真分式
待定系数法
部分分式之和 ：
1. 有理函数的分解 定理4.1
P( x) 若 ( x a)k Q( x) 为有理真分式，且 k 1
Q(a) 0，P与Q无公因式,则
P1 ( x ) P( x) A + k k ( x a ) Q( x ) ( x a ) ( x a )k 1 Q( x )
令x 3, 得B 6.
故
5 原式 x2
6 x3
或者用其他方法
（2 比较系数法 ） x 3 分母因式分解
x 5x 6
2
部分分式之和
x 3 ( x 2 )( x 3 ) A B , x2 x3
用分母乘两边
x 3 A( x 3 ) B ( x 2 ), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
具体的分解方法可以用待定系数法。
例1. 将下列真分式分解为部分分式之和 : 解: (1) 用拼凑法
1 1 x 3 (1) ; ( 2) ( 3 ) . ; 2 2 x ( x 1) (1 2 x )(1 x ) x2 5x 6 1 x ( x 1) 1 1 2 2 2 x ( x 1) x ( x 1) ( x 1) x ( x 1) 1 x ( x 1) 2 x ( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
1 1 d (u2 a 2 ) I1 I 2 2 2 2 ( u a 2 )2
递推公式
1 1 u 1 1 ) I1 2 ( 2 I1 ) ( 2 2 C 2 2 u a 2 2a u a
4a 2 1 u arctan 3 4a a
C
P1 ( x ) 2 k 1 ( x px q ) Q ( x ) 仍为有理真分式，B，C为常 这里，
数，i为虚数单位。
上述两个定理在 k 1 0 时仍可以继续使用。所以有 理真分式可以最终分解为下述四种部分分式之和：
A A ( 2) ( k 1); k (1) ; ( x a) xa Bx C (3) 2 ( p 2 4q 0); x pxq Bx C 2 ( 4) 2 ( k 1, p 4q 0). k ( x p x q)
B)
du
B 2
d (u 2 a 2 ) p (C B )Ik , 2 2 k (u a ) 2
du ( u 2 a 2 ) n 可由 递推公式 及 I 1 推出。
其中 I n
该递推公式见下面的例题8。
dx . 例8. 求I n 2 ( x a 2 )n
x2 x 解:直接用公式 I n 2 dx 2 n 2 2 n 1 2 n (x a ) (x a ) x ( x2 + a2 ) - a2 2 dx 2 n 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) x 2 2 2 n I n 2 n a I n1 2 n (x a )
dx In 2 ( x a 2 )n
例3
1 (1 2 x )(1 x 2 ) dx 同例1（3）
4 2 1 x 1 (1 2 x )(1 x 2 ) dx ( 5 5 2 5 )dx 1 2x 1 x
4 1 2 x 1 1 dx dx dx 2 2 5 1 2x 5 1 x 5 1 x
3x 4 x 3 4 x 2 1 A( x 2 1)2 ( Bx C ) x ( x 2 1) ( Dx E ) x
令 x 0,
得A 1;
令 x i , 得3 i 4 1 D E i ,
D 0, E 1;
令x 1, 得9 4 A 2 B 2C D E ,
1 1 1 1 . 2 2 ( x 1) x ( x 1) x x 1
(2) 用赋值法
A B x3 x3 2 x2 x3 x 5 x 6 ( x 2)( x 3)
x 3 A( x 3) B( x 2)
令x 2, 得A 5;
B d ( u2 a 2 ) du 2 R u2 a 2 2 u a2
B R u 2 2 ln( u a ) arctan C 2 a a
B 2C Bp 2x p 2 ln( x p x q ) arctan C 2 2 2 4q p 4q p
得递推公式
1 2 n 1 x I n 1 I 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na
1 2 n 1 x I 递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na 1 x 说明: 已知 I1 arctan C 利用递推公式可求得 I n . a a 例如, 3 1 x 2 I2 I3 2 2 2 2 4a 4a ( x a ) 3 1 x 1 x 1 2 2 2 I1 2 2 2 2 2 2 4a 2a x a 4a ( x a ) 2a 3 x 1 x 3 x 2 2 4 2 5 arctan C 2 2 2 a 8a x a 8a 4a ( x a )
Bx C 2 4 q 0 ). k p 4) 2 ( 1 , k ( x p x q)
分母配成完全平方
Bx C [( x
2
p 2 p ) (q )] k 2 4
2
dx
u x p
2
; a
q p
4
B u (C p (u a )
2 2
2
k
分解为部分分式之和
( x 2 x 1) ( x 1) dx 2 2 ( x x 1)
（没有用待定系数法）
1 x 1 ( 2 2 )dx 2 x x 1 ( x x 1)
分母配成完全平方
d ( x 12) ( x 1 2 )2 (1
几类函数的积分法
主讲：郭飞
第三节 有理分式的积分法
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 求导 • 初等函数 初等函数 积分 sin x cos x 1 x2 例如 , , , e ,sin x 2 虽然原函数存在， x x ln x 但原函数不能表达成初等函数，即“积不出来”或称“不可 积”。
5 C ; 3 3 A ; 2 1 B ; 6
2x 3 A( x 2)( x 1) Bx ( x 1) Cx ( x 2)
பைடு நூலகம்
令x 1, 得5 3C , 令x 0, 得3 2 A,
令x 2, 得-1 6 B,
3x 4 x 3 4 x 2 1 3x 4 x 3 4 x 2 1 A Bx C Dx E ( 2) 2 5 3 2 2 x 2x x x ( x 1) x x 1 x 2 1 2
2 . 5
例2. 将下列真分式分解为部分分式之和 :
解：
2x 3 (1) 3 ; 2 x x 2x
（1）原式=
3x 4 x 3 4 x 2 1 ( 2) x5 2 x3 x A B C 2x 3 = x x 2 x 1 x ( x 2)( x 1)
令x 1, 得7 4 A 2 B 2C D E ,
由(1)和(2)解得B 2, C 1.
(1)
( 2)
2.有理函数的积分
Adx 1) A ln x a C ; xa dx 1 k 1 2) x a C ;( k 1) k x a 1 k Bx C 3) 2 ( p 2 4q 0) x pxq
还原
。
注 （1）有理函数的原函数都是初等函数；有理函数的 积分一定可以“积出来”； （2）有理函数的积分总可以“程序化地”求出来； （3）对具体的有理函数的积分可能有特定的简便求 法，见下面的例5。
定理4.2
P( x) 若 ( x 2 px q )k Q( x ) 为有理真分式，且
k 1 ， x 2 px q ( x a bi )( x a bi )
Q(a bi ) 0 ，P与Q无公因式,则
P1 ( x ) P( x) Bx C 2 + 2 2 k k ( x px q ) Q( x ) ( x px q ) ( x px q )k 1 Q( x )
分母配成完全平方
Bx C dx 2 p 2 p (x ) ( q ) 2 4
2
u x p
2
; a
q p
4
B u (C p u a
2 2
2
B)
du
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R C Bp 2
Bx C 3) 2 ( p 2 4q 0 ) x pxq