2019年高考物理专题复习：相对运动问题的多种解法

相对运动问题的多种解法物块在木板上滑动的问题，是相对运动问题，一般是用牛顿定律解的运动学和动力学问题，本文给出这种问题的多种解法，还给出图像研究法，以飨读者。

【例1】一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块，在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5m ，如图(a)所示。

0t =时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至1t s =时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。

碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。

已知碰撞后1s 时间内小物块的v t -图线如图(b)所示。

木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g 取210m s 。

求(1)木板与地面间的动摩擦因数1μ及小物块与木板间的动摩擦因数2μ； (2)木板的最小长度；(3)木板右端离墙壁的最终距离。

【解法1】 (1) 规定向右为正方向。

木板与墙壁相碰撞前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，设加速度为1a ，小物块和木板的质量分别为m 和M 由牛顿第二定律有1()g (m M)a m M μ-+=+ ①由图（b ）可知，木板与墙壁碰前瞬间的速度14/v m s =，由运动学公式得1011v v a t =+ ②0011112s v t a t =+ 2 ③式中，1t =1s, 0s =4.5m 是木板碰前的位移，0v 是小物块和木板开始运动时的速度。

联立①②③式和题给条件得21/1s m a = μ=0.1 ④在木板与墙壁碰撞后，木板以1v -的初速度向左做匀变速运动，小物块以1v 的初速度向右做匀变速运动。

设小物块的加速度为2a ，由牛顿第二定律有22mg ma μ-= ⑤由图可得21221v v a t t -=- ⑥ 式中，2t =2s, 2v =0,联立⑤⑥式和题给条件得22/4s m a -= 2μ=0.4 ⑦（2）设碰撞后木板的加速度为3a ，经过时间t ∆，木板和小物块刚好具有共同速度3v 。

由牛顿第二定律及运动学公式得213()mg M m g Ma μμ++= ⑧313v v a t =-+∆ ⑨ 312v v a t =+∆ ⑩解得：23/34s m a =，s m v /23-=，s t 5.1=∆ 碰撞后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，木板运动的位移为1312v v s t -+=∆ ○11解得m s 5.41-= 小物块运动的位移为1322v v s t +=∆ ○12 解得 m s 5.12= 小物块相对木板的位移为21s s s =- ○13 得 s ∆=6.0m ○14 因为运动过程中小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为6.0m.(3)在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速运动直至停止，设加速度为4a ，此过程中小物块和木板运动的位移为3s 。

由牛顿第二定律及运动学公式得14()()a m M g m M μ+=+ ○15 解得24/1s m a = 234302a s υ-= ○16 解得m s 23-= 碰后木板运动的位移为13s s s =+ ○17 联立⑥⑧⑨⑩○11○15○16○17 式，并代入数值得 6.5s m =- ○18 木板右端离墙壁的最终距离为6.5m.。

【解法2】不统一规定正方向，在第一阶段，两物体一起向右运动时，设向右为正；第二阶段，物块向右运动然后向左运动，而木板一直向左运动，则对物块，设向右为正，对木板，设向左为正；第三阶段，两物体一起向左运动时，则设向左为正方向。

解法如下：为研究两个物体的运动情况，首先画出运动示意图，如下：第一阶段，两物体一起向右运动（应该是在同一直线上，为避免重复，而画开），第一阶段同【解法1】，不重复了。

第二阶段，物块向右运动然后向左运动，而木板一直向左运动，如下图第二阶段，对物块，匀减速运动，t v 44-=物，24214t t s ⨯-=物对木板，匀减速运动，t v 344-=木，234214t t s ⨯-=木因为二者末速度相等，即木物v v =-，解得s t 5.1=，s m v /2=木代入上两式得m s 5.1=物，m s 5.4=木，因为二者方向相反，所以木板的长度为m 6s s =+=木物L 。

第三阶段，两物体一起向左运动，如下图第三阶段，两物体一起向左运动时，则设向左为正，==322s a v 共m 21222=⨯，所以木板右端离墙壁的最终距离为=+共木s s 6.5m.。

【解法3】速度-时间图像（图像t -v ）法木板与墙壁碰撞后，物块与木板的速度-时间图象（v-t 图象）如下：用面积法从图象可以求出，木板右端离墙壁的位移为m s 5.45.12241-=⨯+-=，m s 2)5.15.3(223-=-⨯-=，m s s s 5.631-=+=，即木板右端离墙壁的最终距离为m 5.6。

物块的位移为m s 212421=⨯=（速度为0前，向右），ms 5.0)15.1(2222-=-⨯-=（速度为0后，向左），所以物块在木块上的总位移为m s s 5.1s 22212=+=，所以木板的长度为m L 65.45.1=+=。

考虑大家的习惯，取向右为正方向，则v-t 图象为此图像可以得到与上图相同的结果。

【解法4】位移-时间图像（s-t 图像）法以下是物块和木板的位移-时间图像（s-t 图像），以向右为正方向。

从图像可以看出，物块从木板的左端向右运动，至t=1s ，速度为0，然后向左运动，至t=1.5s ，速度与木板相同（木板从s=0开始向左运动，至t=1.5s ，速度与物块相同），然后二者一起向左运动，至t=3.5s ，二者速度为0，共运动6.5m 。

以上3个图像都是电脑Excel 作图，与电脑附件“画图”作图相比，更准确、正确。

【解法5】以B 为参照物，在第二阶段，A 的初速度为s m v /8=，加速度2/316344s m a =+=，末速度为0，所以位移m a v s 631626422=⨯==，即木板的长度为6m. 【例2】下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。

某地有一倾角为θ=37°（sin37°=53）的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B 上有一碎石堆A （含有大量泥土），A 和B 均处于静止状态，如图所示。

假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m （可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数μ1减小为83，B 、C 间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起点；在第2s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。

已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l =27m ，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

取重力加速度大小g=10m/s 2。

求：（1）在0~2s 时间内A 和B 加速度的大小 （2）A 在B 上总的运动时间【解法1】 解析法（1）在0~2s 时间内，A 和B 的受力如图所示，期中1f 、1N 是A 和B 之间的摩擦力和正压力的大小，2f 、2N 是B 与C 之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示111f N μ= ① 1cos N mg θ= ② 222f N μ= ③21cos N N mg θ=+ ④规定沿斜面向下为正。

设A 和B 的加速度分别为1a 和2a ，由牛顿第二定律得11sin mg f ma θ-= ⑤212sin mg f f ma θ-+= ⑥联立①②③④⑤⑥式，并代入题给条件得213/a m s = ⑦ 221/a m s = ⑧（2）在12t s =时，设A 和B 的速度分别为1v 和2v ，则1116/v a t m s == ⑨ 2212/v a t m s == ⑩1t t >时，设A 和B 的加速度分别为'1a 和'2a 。

此时A 与B 之间摩擦力为零，同理可得'216/a m s = ⑪'222/a m s =- ⑫即B 做减速运动。

设经过时间2t ，B 的速度减为零，则有'2220v a t += ⑬联立⑩⑫⑬式得21t s = ⑭在12t t +时间内，A 相对于B 运动的距离为2'22'2111212212222111122221227s a t v t a t a t v t a t m m⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=< ⑮ 此后B 静止不动，A 继续在B 上滑动。

设再经过时间3t 后A 离开B ，则有()''211231312s v a t t a t ι-=++ ⑯ 可得31t s = （另一解不合题意，舍去） ⒄设A 在B 上总的运动时间为t 总，有1234t t t t s =++=总 ⒅ 【解法2】t v -图象法 A 和B 的t v -图象如下图从图像可以看出，在s t 20<<，A 、B 都做匀加速运动，加速度不等；在s t 32<<，A 做匀加速运动，B 做匀减速运动，在s 3t =，B 的速度为0；在s t 43<<，B 静止，A 做匀加速运动。

A 总位移为m 3012181212126226=⨯++⨯++⨯， B 总位移为m 3122222=⨯+⨯,A 相对B 的位移为m 27330=-.这就验证了【解法1】的结果正确。

【解法3】以石板（记为B ）为参照物，则第一阶段，碎石堆（记为A ）加速度21/213s m a =-=，2s 内位移m t a x 4212111==。

第二阶段，A 的初速度为s m t a v /4111==，加速度22/826s m a =+=，位移为m x 818211422=⨯⨯+⨯=第三阶段，A 的初速度为s m v /123=，加速度23/6s m a =，位移为m x 1584273=--=，根据2336211215t t ⨯+=，解得s t 13= 所以A 在B 上总的运动时间为t=t 1+t 2+t 3=4s 。