初等数学
初等数学常用公式
附录：初等数学常用公式一、初等代数 1．乘法公式1) (a ±b )2 = a 2±2ab + b 2 2) (a ±b )3 = a 3±3a 2b + 3a b 2±b 3 3) ( a+ b+c ) 2 = a 2+ b 2+ c 2+2ab +2bc +2ca 4) (a －b ) (a+b ) = a 2－ b 2 5) (a ±b ) ( a 2 ab + b 2) = a 3±b 3 2．绝对值1） | a |=2a2) －| a | ≤ a ≤ | a | 3) | a | ≤ k⇔－k≤ a ≤ k , | a | < k ⇔－k < a < k4) | a |－| b | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | 3．一元二次方程 a x 2 + b x + c = 01） 判别式 Δ= b 2 －4 a c2） 根：a b 2Δ±-；两根和为ab 2-；两根积为ac ；Δ> 0时，为两不等实根；Δ = 0 时，为两等实根；Δ < 0时，为一对共轭虚根。
4． 级数1） 设等差级数首项为 a 1，公差为 d ，则：通项公式 a n= a 1+(n －1)d ；前n 项和公式 S n =d n n na a a n n )1(21)(211-+=+2） 设等比级数首项为 a 1，公比为 q ，则：通项公式 a n = a 1 q n －1；前n 项和公式 S n = q q a q q a a n n --=--1)1(1115．指数律 （a > 0, b > 0）1） a m • a n = a m+n 2） a m ÷ a n = a m －n 3） (a m ) n = a m n 4） (a b ) m = a m b m 5） (ab ) m =mma b6）m n nma a )(=6．对数律 （a > 0, a ≠1）1）若 a x = M ，则 log a M = x ; l g x = x 10log2）x ax a=log 3) 01log a =4）1log =aa 5）y x xy a a a log log )(log +=6）y x yxa a alog log log -= 7）)0(log log >=x x a x a a a8) ax x b b a log log log =9)1log log =⋅a b b a7．排列、组合与二项式公式1）设n m A 为m 个元素中取n 个的排列数，则nm A = m (m －1) (m－2)…(m －n +1)2）设n m C 为m 个元素中取n 个的组合数，则!n m !n !m C n m)(-=3）k n k n k n C C C 11+-=+4）(a + b ) n = a n +1n C a n －1 b +… +k n C a n －k b k +…+ b n二、平面三角 1 弧度=π180≈57°17′45″,1°=180π弧度≈0.0174533弧度1．基本关系 1） sin x ²csc x=1 2) cos x ²sec x=1 3) tan x ²cot x=1 4) sin 2 x+cos 2 x=1 5) 1+tan 2 x=sec 2 x6) 1+cot 2 x=csc 2 x7) tan x =cosx sinx8) cot x=sinxcosx2．两角和的三角函数1） sin (α±β) = sin αcos β± cos αsin β 2） cos (α±β) = cos αcos βsinαsin β3） tan (α±β) = βαβ±α tan tan 1tan tan3．倍角公式1）sin 2 x= 2sin xcos x2）cos 2 x= cos 2 x －sin 2 x=1－2sin 2 x=2 cos 2 x －13）tan 2 x=xx2tan 12tan -4）sin 3 x= 3sin x －4sin 3 x 5） cos 3 x= 4 cos 3 x －3 cos x4．半角公式1）s i n 2cosx 12-±=x 或 sin 2 2cosx 12-=x 2）c o s 2x cos 12+±=x 或 cos 22cosx 12+=x3）t a n cosx1sinxsinx cosx 12+=-=x5．和差化积公式1）sin α+ sin β= 2sin 2βα+cos 2βα-2）sin α－sin β= 2 cos 2βα+ sin 2βα-3）cos α+ cos β= 2cos 2βα+cos 2βα-4）cos α－cos β= －2sin 2βα+sin 2βα-6．积化和差公式 1）sin αcos β= 21[sin(α+β)+sin(α－β)] 2）cos αcos β=21[cos (α+β)+ cos (α－β)]3）s i n αs i n β= －21[cos (α+β)－ cos (α－β)]7．设三角形三边a, b, c 所对的三个角分别为A ，B ，C ，外接圆半径为R ，则有1）正弦定理R 2sinC c sinB b sinA a === 2）余弦定理 c 2 = a 2+ b 2－2 a b cosC 8．反三角函数恒等式1）arc s i n x + a r c cos x = 2π 2）arc t a n x + a r c co t x =2π3）arc t a n x = a r c s i n 21xx +4）arc s i n x = a r c t a n 21xx -三、平面解析几何下述公式中出现的点P ，Q ，M 的坐标分别为（x 1 , y 1），（x 2 , y 2），（x 0 , y 0）1．P ，Q 两点的距离:|PQ| =212212)()(y y x x -+-2．定比分点公式：λλλλ++=++=1 1210210y y y ,x x x ，这里M 点是线段PQ 的分点，且λ=MB AM。
(完整版)初等数学知识点汇总,推荐文档
初等数学知识点汇总一、绝对值1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a 的绝对值非负。
归纳：所有非负性的变量（1）正的偶数次方（根式） 0,,,,412142≥a a a a （2）负的偶数次方（根式） 112424,,,,0a a a a----> （3）指数函数 a x (a > 0且a≠1)>0考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。
2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b|右边等号成立的条件：ab ≥ 03、要求会画绝对值图像二、比和比例1、%(1%)ap a p −−−→+原值增长率现值 %)1(%p a p a -−−→−现值下降率原值%%%%p p p p ⋅=⇔=-⇔乙甲，甲是乙的乙乙甲注意：甲比乙大2、 合分比定理：d b ca m mdb mc ad c b a ±±=±±==1 等比定理：.a c e a c e a b d f b d f b++==⇒=++3、增减性(m>0) , (m>0)1>b a b a m b m a <++01a b <<ba mb m a >++4、注意本部分的应用题（见专题讲义）三、平均值1、当为n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即n x x x ，⋯⋯,,21),1 0( ·2121n i x x x x nx x x i nn n ＋＋＋＋＋＋⋯⋯≥⋯当且仅当。
时，等号成立＝n x x x ⋯⋯==212、 2ab b a ≥＋⎪⎩⎪⎨⎧>>等号能成立另一端是常数，00b a 3、2(0)a b ab abba≥>＋ ，同号4、n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n 个正数相等，且等于算术平均值。
初等数学公式及其函数图像
f (a) b f 1 (b) a .
27. 若 函 数 y f ( kx b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y
1 [f k
1
( x ) b] , 并 不 是
y [ f 1 (kx b) ,而函数 y [ f 1 (kx b) 是 y
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax bx c 0(a 0) 有且只有一个实根在
2
(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) 0 ,或 f (k1 ) 0 且 k1
k1 k 2 b k2 . 2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值
A CU B CU A B R
4.容斥原理
card ( A B) cardA cardB card ( A B ) card ( A B C ) cardA cardB cardC card ( A B ) card ( A B) card ( B C ) card (C A) card ( A B C ) .
1
ab 对称. 2m
( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y f ( x a ) b 的图 象；若将曲线 f ( x, y ) 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 f ( x a, y b) 0 的图
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (,) 的子区间 L （形如 , ， , ， , 不同）上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min 0( x L) . (2)在给定区间 (,) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t )man 0( x L) .
常用初等数学公式
常用初等数学公式1.乘法公式：-(a+b)×c=a×c+b×c-(a-b)×c=a×c-b×c-(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d-(a-b)×(c-d)=a×c-a×d-b×c+b×d2.平方公式：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²3.立方公式：- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³- (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³4.四则运算：-a+b=b+a-a-b=-(b-a)-a×b=b×a-a÷b=a/b5.分式运算：- 分式相加：a/b + c/d = (ad + bc) / bd- 分式相减：a/b - c/d = (ad - bc) / bd- 分式相乘：(a/b) × (c/d) = ac / bd- 分式相除：(a/b) ÷ (c/d) = (ad) / (bc)6.指数公式：-a⁰=1-a¹=a-a²=a×a-aᵐ×aⁿ=a^(m+n)（同底数的指数相乘，等于底数不变，指数相加）-(aⁿ)ᵐ=a^(n×m)（指数的幂，等于底数不变，指数相乘）-a⁻ⁿ=1/aⁿ（负指数的运算）7.开方公式：-平方根：√a×√a=a- a × √b × √b = ab- √(ab) = √a × √b-aⁿ/ⁿ√a=√a8.百分数运算：-百分数变小数：移动两位小数点向左-小数变百分数：移动两位小数点向右-分数变百分数：分子变化，分母变100-百分数变分数：分子不变，分母变1009.比例运算：-比例：a:b=c:d，即a/b=c/d-相等比例：a:b=c:b-倒数比例：a:b=1/b:1/a-反比例：a×b=k(k为常数)10.连续整数运算：-连续整数的和：n个连续整数之和=(第一个整数+最后一个整数)×n/2-连续整数的平均数：n个连续整数的平均数=(第一个整数+最后一个整数)/2-连续偶数的和：n个连续偶数之和=(第一个偶数+最后一个偶数)×n/2-连续奇数的和：n个连续奇数之和=n²或n²+n11.平行线运算：-共线角性质：对内(内错角)：互补角之和为180°；对内(内析角)：互余角之和为180°；对外角与内错角互补；对外角与内析角互余-切线性质：切线与半径垂直；相交弧（两条）所对圈角相等；切线之间平行12.角度运算：-直角的两个补角相等-锐角的两个角平分线的和等于180°-相邻补角：两个角的和等于180°-对顶角：两个补角叫做一个对顶角13.园及圆周运算：-圆的面积：A=πr²-圆的周长：C=2πr-弧长公式：L=2πr(α/360°)（α为圆心角）-扇形面积公式：A=1/2r²α/360°（α为圆心角）- 弓形面积公式：A = 1/2r²(α - sinα)14.角正弦、余弦、正切公式：- 正弦公式：sinA = 对边/斜边- 余弦公式：cosA = 邻边/斜边- 正切公式：tanA = 对边/邻边15.直角三角形中的特殊比值：- 正弦：sin45° = cos45° = √2/2- 余弦：cos45° = sin45° = √2/2- 正切：tan45° = 1, tan30° = 1/√3- 三角函数的反函数：sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA16.四边形运算：-平行四边形的性质：对角线互相平分；对角线互相垂直-矩形的性质：所有内角为90°；对角线相等-正方形的性质：所有边相等；所有内角为90°；对角线相等且互相垂直-菱形的性质：所有边相等；对角线互相垂直；对角线互相平分-梯形的性质：上底+下底×高/2=面积以上为常用的初等数学公式，涵盖了乘法公式、平方公式、四则运算、分式运算、指数公式、开方公式、百分数运算、比例运算等多个方面。
初等数学1
第一章 绝对值 平均值 比和比例一 实数和实数的绝对值1．实数：有理数 无理数的统称⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧,,2log ,2,π数，如无理数：无限不循环小数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数2．实数的绝对值（1）定义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=⎪⎭⎪⎬⎫)0()0(0)0(a a a a a a a 为实数，则设 零的绝对值是零 反数真数的绝对值是它的相 正数绝对值是它本身 2a a a ＝ 的绝对值还可以表示为实数（2）性质00,0=⇔=-=≥a a a a a ， （3）实数绝对值的几何意义；实数a 在数轴上对应一点，这个点到原点的距离就是a 的绝对值a(4)常用的运算法则；⋅=⋅a b a ;b ;)0();0();0(b a b b b a b b a b ba b a ≤≤-⇔>≤≠≤≠=b a b a b a b a b a b b a +≤+≤-≥-≤⇔>≥;)0(或①a b a b a b ==+⇔≥⋅0 ②a 0<⋅b b a b a +<+⇔;b a b a b a +≤-≤-①a b a b a b +=-⇔≤⋅0②b a b a b a +<-⇔>⋅0例1：设a.b.c 三个实数在数轴上的对应点为A B C ，位置如下化简:b a a +-+b c a c -+-()时当或解： 求 且：已知 例原式： 02||2|75|752|75|75077||550,,7,52300)(0<⋅=+∴=+-⇒=-==-⇒-==∴<⋅±==±=∴=+<===-+-+++=-=-⇒>--=-⇒>-+-=+⇒<+⇒-<⇒<b a b a b a b a b a b b a a b a b a b a a b c c a b a a bc b c b c c a a c c a b a b a b a b a b a例3：304030204030200)40(30)20(0,:0)40(30)202222=+-=++∴====-=+=-∴++=-+++-c b a c b a c b a c b a c b a 且它们的和为数已知式中各项均为非负解的值求：（已知例4：分别求适合下列条件的X 值 ①43≤-x ②14≥-x解：①71434≤≤-⇒≤-≤-x x②531414≥≤⇒≥--≤-或或x x x 例5 x 为何值时，等式242=-+-x x 成立 解法1：用b a b a +≤+4204020402""0)4()2(2)4()2(42≤≤⎩⎨⎧≤-≤-⎩⎨⎧≥-≥-=≥-⋅-=-+-≥-+-x x x x x x x x x x x 解得或由以上不等式得出成立时解法2：在全体实数范围内寻找使已知等式成立的X 值① 当x<2时,原等式化为2-x+4-x=2 解得x=2这与x<2不相符 这明在x<2的范围内没有使原等式成立的值② 当24≤≤x 时，原等式化为X-2+X-4=2 2=2 ∴当24≤≤x ,原等式恒成立 ③ 当x>4时,原等式化为 x-2+x-4=2 x=4这与x>4 不相符 说明在x>4 的范围内没有使原等式成立的值.∴ 综合得出X 的值的范围为24≤≤x二． 平均值 1．算术平均值：∑===++++ni innxxxxxxxxxnx nn 13213211记为的算术平均值为个数2.几何平均值：作长方形看成线段长把记为的几何平均值为个正数,11211321321aaxxxxxxxxxnii nnnnG n ==⋅⋅a 1a 2简单性质：①如果N 个数据彼此都相等 a x xxx n===== 321 则a G x ==②可以证明：332132121213;2x xxxxxxxxx ≥++⋅≥+以上各式中x xx 321为R +例1． 某笔厂生产三种不同规格的圆珠笔一批，其中有6000支单价为3元，3000支单价为5元，1000支单价为10元，求这批圆笔平均价格。
100个经典初等数学问题
100个经典初等数学问题第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？第02题德•梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n 次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）•（q/p）=（－1）[(p-1)/2]•[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.第47题范•施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theoremof Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶. *一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份？第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度.第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度？第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.。
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析初等数学是从小学到高中阶段的数学教育内容，它包含了数的概念、四则运算、代数、几何等基础知识。
在高观点下，初等数学的内涵不再仅仅是一系列概念、定理和计算方法，而是从整体上考虑数学教育的目的、方法和价值。
初等数学的内涵首先，初等数学的内涵应该包括数学的本质和价值。
数学是一种科学思维方式，它强调精确性、抽象性和逻辑性，不仅在自然科学和工程技术中有重要应用，而且还是一种文化和哲学上的追求。
因此，初等数学应该培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，同时也应该让学生了解数学在实际生活中的应用，并感受到数学对人类文明的作用。
其次，初等数学的内涵还应该包括个体化教育和多元化方法。
学生在数学学习中的兴趣、能力和学习风格都是不同的，因此教师应该采用不同的教学方法和策略来满足不同学生的需求。
比如，通过班级合作、小组活动、个别辅导等方式，让学生在自主学习和交互学习中发挥优势，提高学习积极性和学习效果。
最后，初等数学的内涵还应该强调培养学生的思想品质和创新思维。
数学是一种探索未知的过程，它需要学生具备求知欲、审美情趣和自主思考能力，同时也需要学生具备勇于挑战和创新的精神。
因此，初等数学教育应该通过具体的教学案例和课程设计，去激发学生的求知兴趣和创新能力。
在实现初等数学高观点的过程中，我们可以采取以下几个途径：第一，建立合适的数学课程和教学模式。
数学课程应该根据学生的发展需求和兴趣爱好来设计，使得学生在学习数学的过程中能够拓宽自己的思维领域和增强数学意识。
教师应该采用多种教学方法和策略，如讲解、引导、探究、演练等，让学生在探索中感受数学的魅力和美好。
第二，积极推进教育信息化和网络技术的应用。
随着信息技术的不断普及和发展，我们可以利用网络工具和数字资源来构建数学的虚拟学习环境，帮助学生在一个更宽广的空间中参与数学学习，并能够个性化定制、多元化参与和实时互动交流。
第三，加强教师的专业化研究和素养提升。
初等数学知识
初等数学知识教学内容教学要求思考题数学家——毕达哥拉斯初等数学知识大致说来，数学可分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学主要包括两部分：几何学与代数学。
几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含：解析几何：用代数方法研究几何问题；线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题；高等代数：研究方程式的求根问题；微积分：研究变速运动及曲边形的求面积问题；作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授微分方程与偏微分方程；概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理；所有这些学科构成高等数学的基本部分，在此基础上，建立了高等数学的宏伟大厦。
我们这门课程要讲的就是高等数学的重要分支——微积分。
微积分是17世纪后期出现的一个崭新的数学学科，它在数学中占据着主导地位，是高等数学的基础。
它包括微分学和积分学两大部分。
微积分学的诞生标志着高等数学的开始，这是数学发展史上的一次伟大转折. 高等数学的研究对象、研究方法都与初等数学表现出重大差异. 初等数学应当为高等数学做哪些准备？（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变. 符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力；（2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变；（3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变；（4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变.微积分研究的对象是变量，它的基础是实数，因此我们这一讲要回顾一下初等数学知识中与实数密切相关的几个概念。
教学内容1．第一次数学危机2．实数、数轴与绝对值3．区间与邻域教学要求1．了解第一次数学危机2．理解实数、数轴、绝对值的概念3．理解区间、邻域的概念1．第一次数学危机人们对数的认识来源于自然数。
自然数是数东西时“实物个数”的表示，从1开始，依次为1，2，3，4，…，n，…，其中n表示任意一个自然数。
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60
和角公式： sina b sinacosb cosasinb cosa b cosacosb sinasinb
sin
b ,cos
a2b2
a, a2b2
fxa2b2sinx 61
倍角公式： sin 2a 2sina cosa cos 2a cos2 a sin2 a 2cos2 a 1 1 2sin2 a 2 tan a tan 2a 1 tan2 a
计算经常包含排列组合．
袋中有 3 个黄球，2 个红球，1 个篮球，每次取一个球，
取出后不放回，任取两次，都是红球的概率是[ A ]
(A) 1 15
(B) 11 30
(C) 1 3
(D) 2 3
C62 15,C22 1
虽然描述是有序的，但是问题与次序无关， 仍可用组合数．若问：至少一个红球？
C62 15,C42 6
n个元素中任取m个，排成一列，几种排法？
Pnm
n!
n m!
n ! 1 2 .... n , 0 ! 1
21
n个元素中任取m个，形成一组，几种方法？
Cnm
n!
m!n m!
22
如果试验 E 有 n 个等可能性的结果，事件 A 包含其中 m 个 结果，则事件 A 发生的概率：
P(A) m / n ．
20
20
找好基点， 比如纯酒精
97
a2008 2008224 4
1 3
1a 1b
B
2008 2008224 b
6
1 2
32
分子相同
98
63 : 2
2 3
m 2 9 R 2 2 .2 5 R 2 9 R 2 c o s
m2 92.25963
R2Βιβλιοθήκη 243R B底圆上每一点到顶点距离
m
都是L，展开为扇形！平
1 2 2
22
作为验算，可以看看平方和是否等于1． 63
积化和差： sin a cos b 1 sina b sina b 2
sin a sin b 1 cosa b cosa b 2
应该与和角公式联系．
和差化积： sin a sin b 2sin a b cos a b
2
N次代数方程至少有一个 根（实根或复根）
N次代数方程有N个根（包
括重根的重数）
x1
实系数代数方程复数根必 共轭成对出现
a0
x2
a0
18
等差数列： an
an1
d
a1
n 1d
，中项：
a
2
b
4 a 0 2 2 d 6 4 a 6 a 7 2 a 0 1 1 d 3 2 S 1212a066d192
面上直线最短！
A
2 R
99
选项都是常数，利用特殊位 置（图），必然选 A．
对于（2）就要确认公共部分面积不变．如图可以贴补．
100
平行条件：
ka11 a2
k2 b1
b2
，垂直条件： ak11ak22
1 b1b2
0
夹角： tan k1 k2 ，锐角．
1 k1k2
75
平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于一个常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。
x2 a2
y2 b2
3 没有红球概率：2/5，所以： 5
23
几个概率公式
24
25
初等代数常用方法
26
27
B
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
基本公式：
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
，
x1 2x2 2x1x222x1x2b2 a2 2ac
x 1 x 2x 1 x 22x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2b 2 a 2 4 a c
x 2 y 2 1 实轴在ox上，符号交换则反之． a2 b2
半焦距 c a2 b2 ，焦点 c, 0 ，离心率： e c 1
a 离心率大—开口大．渐近线： y b x ． a b 等轴．
a
78
定义：平面内与一个定点F和一条定直线L距离相等的 点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线。
三角 形的 分类
按角分 按边分
锐角三角形，钝角 三角形，直角三角 形
等腰三角形，等边 三角形，不等边三 角形
59
能够完全重合的两个三角形叫全等。
全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、 高及中线相等。
正方形、矩形、菱形、平行四边形、一般四边形 园：半径、等弧周角是心角的一半、大弧对大角（周、心）
2
复数：虚数单位、实部与虚部、四则运算（开方）、 共轭复数、模（绝对值），复平面，复方程与图形
引入虚数单位 i，规定 i2=－1,i 可以和实数一起进行通常的四
则运算，运算时原有加乘运算仍然成立。形如：
a+bi（a,b 为实数）
a---实部 b----虚部
设： z1 a1 ib1 、 z2 a2 ib2 ，则：
88
89
C
4A 4A
2A
6A
2A
4A
3A
3A A
AB5A A
2
10
90
D
对称轴x=3/4，
x1,2
3 4
916k 4
大根不小于1， 小根大于-1
1
31
3 916k1k1
44
2
0,k9 1 4 16 2
3 916k1k5
44
2
91
C
a 2 a b b 2 c c a 1 2 a q a q 2 a 1 q 2 q 2 a a 1 1 q q
z1 z2 a1 a2 i b1 b2
z1z2 a1a2 b1b2 i a1b2 b1a2
z1 a1a2 b1b2 i b1a2 a1b2
z2
a22 b22
3
复数 z i i2 i3 i4 i5 i6 i7 ，则 z i (
)
A:2
B: 3 C: 2
等比数列： an an1q a1qn1 ，中项： ab
a 1 2 q 4 1 2 q 2 q 4 2 5 , a 3 a 5 a 1 q 2 1 q 2 5
a n s n s n 1 3 2 n 2 n 1 3 2 n 1 ,n 1 , a 1 1 119
D:1
4
5
算术计算技术
四则运算 分数运算 初等方程 比和比例
6
语言解读能力
7
8
计数能力
10
分数处理技术
11
12
13
14
15
16
代数部分
17
a2b22ab a b ab a b 2
abc
3
abc
2
ba
3
ax 2x 1 b xx2 c ab 0, x 1 x2x 1 ,2 ac b2 b a 2 4 a c
2sinarccos4cosarccos4 234 24
5
5 5 5 25
sinarccos41cos2arccos43
5
55
62
半角公式： sin a 1 cos a
2
2
cos a 1 cos a
2
2
sin sin /61 co s/6 123
1 2 2
22
c o s c o s/61 c o s/6 123
92
ABC DE A B C D E
93
D
CD AB 时，x y / 2 ，而不垂直时 x, y 会变化(向 2 个方
向接近平行时？)
94
95
B Sn1,1,2,2,......S2n1n;S2nn S20041002,S20051003
96
C
2049% 9.8,倒 10.2
B:812812.8 C:614610.2
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 （1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。
三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。
三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
58
三角形相等： （1）两边及夹角对应相等。记为SAS
（2）两角和一边对应相等。记为ASA （3）三边对应相等。记为SSS
所以：
P
1
C340 C440
51
52
53
54
55
56
几何部分
57
三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）
（1）内心到三角形三边的距离相等。 （2）三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。
三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（即外接圆的圆心）
（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。 （2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。
71
72
73
74
x, y 的一次方程 ax by c 0 是直线．
斜截式： y a x c ，斜率： k a ， y 截距： c
bb
b
b
截距式： x y 1， x 截距： c ， y 截距： c
c c
a
b
ab
点 x0 , y0 到直线的距离： d
ax0 by0 c a2 b2
1
a>b焦点在ox，反之焦点在oy,以下设a>b
半焦距 c a2 b2 ，焦点 c, 0 ，离心率： 0 e c 1