二次根式复习整理ppt课件
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二次根式复习 ppt课件
( 1 )23 5 6 10 (2) 80 40 5
16 842 2
(3)5352
5253561 155
(4 )ab3ab
3 aa b 3a b b3 ab2ab
题型5：利用 a( a)2(a0) 进行分解因式 在实数范围内分解因式：
(1)x2 2 x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
a
a
1
0
a 1 0
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
0 1
或 0
a 0
a
1
0
a 1或 a 0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
1. 当 x_≤__3__时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
D
x 1 + （ 3 y - 2）2 =0,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
16 842 2
(3)5352
5253561 155
(4 )ab3ab
3 aa b 3a b b3 ab2ab
题型5：利用 a( a)2(a0) 进行分解因式 在实数范围内分解因式：
(1)x2 2 x 2 (2 ) 2 x 2 x 2
a
a
1
0
a 1 0
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
0 1
或 0
a 0
a
1
0
a 1或 a 0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
1. 当 x_≤__3__时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
D
x 1 + （ 3 y - 2）2 =0,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
人教版-二次根式-复习ppt课件
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
考点攻略
易错方法点拨 1．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根 式． 2．在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式． 3．(a＋b)÷d＝(a＋b)·1d＝ad＋db，但 d÷(a＋b)≠d·1a＋b1.
数学·新课标（RJ）
考点攻略
[解析] C
0.54＝
54 ＝ 54＝ 9×6＝ 32· 3· 2，因为
100 10 10
10
2＝a， 3＝b，所以 0.54＝a1b03＝0.1ab3，故答案为 C.
数学·新课标（RJ）
┃
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的非负性 例 1 若实数 x，y 满足 x＋2＋(y－ 3)2＝0，则 xy 的值是
________． [答案] －2 3
数学·新课标（RJ）
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
┃
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
二次根式PPT精品课件
1
__6_____
③ 52 42 _3_______
④在直角坐标系中，点P（1， 3 ）到原点的
距离是_2________
基础题B组 2.化简下列各式
① (3)2 (3 2)2
② 24÷ 3 2
③ 27 （ 12 3 1）
3
④( 2 3)(2 2 1)
3、计算下列各题，并概括二次根式的 运算的一般 步骤：
考考您？
“泡泡男孩“从1971年出生起就生活在一个无菌的塑料隔离罩中， 因为他的体内没有任何免疫系统，没有任何抵御细菌、病毒的能力。 对他来说，泡泡外面的世界充满着致命的威胁，甚至连母亲一个充 满疼爱的吻或者拥抱，都可能会给他带来可怕的后果。1983年医生 为“泡泡男孩”移植了姐姐凯瑟琳的骨髓干细胞，但手术后，凯瑟 琳骨髓内潜伏的致命病毒也随之侵入并肆意繁殖，1984年2月22日， 与病魔和孤独斗争了12年半的“泡泡男孩”静静地离开了人世
乙肝 疫苗 第一次 第二次
第三次
脊髓灰质 百白破混 炎活疫苗 合制剂
第一次 第二次 第三次
第一次 第二次 第三次
加强
加强 加强
麻疹 疫苗
初种
课堂练习4
医生给肾功能衰竭的病人移植了一个健康的肾脏， 尽管医生的手术做得相当成功，但是几周后，这 个移植的肾仍然坏死了，这是人体免疫反应所造 成的，在这个免疫反应下，移植的肾属于
欧洲 哥廷 根小 型猪
课堂练习2
人体发生花粉过敏时，由于毛细血管壁
通透性增加，血浆蛋白渗出，会造成 B
A. 血浆量增加
B. 组织液增加
C. 组织液减少
D. 淋巴减少
课堂练习3
自身免疫病的产生的原因是 C
A、人体免疫系统对病原菌的免疫反应 B、人体免疫系统第一过敏原的反应 C、人体免疫系统对人体正常组织细胞的免疫反应 D、自身免疫功能不足引起
二次根式复习课件
(3)若 | x − 2 y | + x + y − 3 = 0 ，则x、y的值分别 ，. 为 x=2，y=1 感悟：利用二次根式成立的条件、二次根式的性质、 感悟：利用二次根式成立的条件、二次根式的性质、 非负数的性质是解该题的基本途径. 非负数的性质是解该题的基本途径
知识回顾 典例精析 课堂演练 课后训练 小 结
3a − 4 3 3 − 4 = = 2 2
知识回顾 典例精析 课堂演练 课后训练 小 结
【课后训练 】
*17．若 a = 3− 2 b = 2 −3， ， 求 (a2 − 6a + 5)(b2 + 6b + 13) 的值. 解：由题意可得 a − 3 = − 2， + 3 = 2 b
∴(a − 3)2 = 2， + 3)2 = 2 (b
【典例精析 】
例2：求代数式 ：
x − 2 − 2 − x + x 2 − 1 的值.
x − 2 ≥ 0 解：依题意可得： 依题意可得： 2 − x ≥ 0
解得x=2 解得 ∴原式=0 −0+4 −1=3. 原式 感悟：善于挖掘题目中的隐含条件求得x的值是 感悟：善于挖掘题目中的隐含条件求得 的值是 解题的突破口. 解题的突破口
a ⋅ b = ab (a≥0, b≥0)；
a a = (a≥0, b>0). b b
知识回顾
典例精析
课堂演练
课后训练
小
结
【典例精析 】
例1：填空题： ： (1)若 1 − 2 x 式子有意义，则x的取值范围 1 x≤ 是 2 . (2)若
(2 − 3a)2 = 3a − 2 ，则a的取值范围
2 a≥ 是 3 .
初三数学《二次根式》PPT复习课件
米）有下面的关系：t≈ h .现有一物体A）5 秒多 （B）6 秒多 （C）7 秒多 （D）8 秒多
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视野拓展
2、 飞出地球，遨游太空，是人类的一种理想，可是地 球的引力毕竟太大了，飞机飞得再快，也得回到地面，炮弹 打得再高，也得落向地面，只有当物体的速度达到一定数值 时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度我们叫做
基础演练
3、在 15 ， 1 ， 1 1 ， 40 中最简二次根式的个数是（ 62
A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4、下列各式正确的是（ ）
A． a2 a B． a2 a
C． a2 a D． a2 a2
基础演练
5、下列运算中，错．误．的是( )
A． 2 3 6
B． 1 2 22
二次根式复习课
考试要求
• 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除 运算法则，会用它们进行有关实数的简单 四则运算（不要求分母有理化）
• 能用有理数估计一个无理数的大致范围。
知识结构
相关概念
二次根式概念 最简二次根式 同类二次根式
二
a0(a0)
次 根
二次根式的性质
a2 a
式
( a)2a(a0)
二次根式的运算
二次根式乘除法则
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知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30 2.5x 50 2x(xy)2 x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，
如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式
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视野拓展
2、 飞出地球，遨游太空，是人类的一种理想，可是地 球的引力毕竟太大了，飞机飞得再快，也得回到地面，炮弹 打得再高，也得落向地面，只有当物体的速度达到一定数值 时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度我们叫做
基础演练
3、在 15 ， 1 ， 1 1 ， 40 中最简二次根式的个数是（ 62
A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4、下列各式正确的是（ ）
A． a2 a B． a2 a
C． a2 a D． a2 a2
基础演练
5、下列运算中，错．误．的是( )
A． 2 3 6
B． 1 2 22
二次根式复习课
考试要求
• 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除 运算法则，会用它们进行有关实数的简单 四则运算（不要求分母有理化）
• 能用有理数估计一个无理数的大致范围。
知识结构
相关概念
二次根式概念 最简二次根式 同类二次根式
二
a0(a0)
次 根
二次根式的性质
a2 a
式
( a)2a(a0)
二次根式的运算
二次根式乘除法则
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最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30 2.5x 50 2x(xy)2 x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，
如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
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探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
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探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
二次根式复习课PPT课件
2成立的条件是32232???xx1?x0?a0?aaa?20?a23?x???????002aaaaaa1二次根式中的取值范围是1?xx与的区别2a2a1式子表达的意义不同2a的取值范围不同请你来化简2232???aa????4177???????4411417417?????34417417???1417417?2417417???5417417???6本领3
A
D HQ
③ ①EG F
②
B
P
C
h
55
小结
畅 所 欲 言
1、这节课复习了哪些数学知识？ 2、你还有什么收获？
h
56
h
57
h
58
h
20
( a )2 与 a 2 的区别
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
h
21
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
h
22
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 4
17 4
（5）174174 （6）174174
h
31
做一做:
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
⑶ 为了保护草坪,用篱笆把四周围起来,
要做到合理用料,至少需要篱笆多少米?
h
32
例3、计算：
（1）
32 0.52 1 3
1 8
48;
解：原式 4 2 1 2 2 3 1 2 4 3 234
（A） x 2 1
A
D HQ
③ ①EG F
②
B
P
C
h
55
小结
畅 所 欲 言
1、这节课复习了哪些数学知识？ 2、你还有什么收获？
h
56
h
57
h
58
h
20
( a )2 与 a 2 的区别
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
h
21
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
h
22
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 4
17 4
（5）174174 （6）174174
h
31
做一做:
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
⑶ 为了保护草坪,用篱笆把四周围起来,
要做到合理用料,至少需要篱笆多少米?
h
32
例3、计算：
（1）
32 0.52 1 3
1 8
48;
解：原式 4 2 1 2 2 3 1 2 4 3 234
（A） x 2 1
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
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13
例 ：计算
（1）( 2 3)(2 2 1) （2）( 80 5) 10
解：( 2 3)(2 2 1) 解：( 80 5) 10
4 2 6 2 3
80 5 10 10
15 2
8 1 2
2 2 2
2
32
14
2
例4.计算 :
(1) 8 3 6
(2) 4 2 3 6 2 2
10
3、同类二次根式
定义：化为最简二次根式后被开方数相同
的二次根式。 例：下列哪些是同类二次根式。
18 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
11
4、二次根式的加减
例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2）（ 3 3 3）小结：
二次根式的定义： 形如 a （a 0）的式子
叫做二次根式。
（１）被开方数 a 0 ；（２）根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a ③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
3
二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
12 11 11 10
17
变式应用
例：已知 x 3 2 , y 3 2 ,
3 2
3 2
求 3x2 5xy 3y2 的值。
解：Q x y 3 2 3 2 3 2 3 2
( 3 2)2 ( 3 2)2 10
xy 3 2 3 2 1 3 2 3 2
3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy
(3) 6 2 6 2
2
(4) 2 5 2
解：(1) 8 3 6 (2) 4 2 3 6 2 2
8 6 3 6 4 22 23 62 2
4 33 2
23 3
2
(3) 6 2 6 2 6 2 4
2
(4) 2 5 2 20 4 10 2 22 4 10
3102 11 289
18
7、分解因式 a ( a)2(a 0)
例：分解因式：
(1)x2 2 x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3y2 ( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
练习：在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
15
6、分母（分子）有理化
例：计算 3 (3 3)
解法一： 3 (3 3) 3 3(3 3)
3 3 (3 3)(3 3)
解法二：
3 3 3 3( 3 1) 3 1
93
6
2
3 (3 3) 3
3 1
3 3 3( 3 1) 3 1
3 1
3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 3 1)( 3 1) 2
22 3
先化简，
(2) 8 18 12
再合并同类根式
解：原式 4 2 9 2 43
2 2 3 2 2 3
5 22 3
12
5、二次根式的乘除
乘法： a b ab (a 0,b 0)
ab a b(a 0,b 0） 除法： a a (a 0,b 0)
bb
a a (a 0,b 0） bb
6
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
(1) 50 (4) 0.75
(2) a2bc
(3) x2 y
(5) (a b)(a2 b2) (6) 1 6 2
9
例：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
(2) 4x6 y(x 0)
(3)4 1 1 2
(4)x2 y (x 0) x
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数 分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性 质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商 的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除 的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
19
谈谈你的收获。
20
1
知识结构
最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式
--不要求，只 需了解
1、 a 0(a 0)
二
三个性质 2、 a 2 aa 0
次
3、 a 2 a a 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
四种运算
加 、减、乘、除
2
1、二次根式的概念
（2）． ( a )2 a
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
4
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X __≤__3_时， 3 x有意义。
2. a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
说明：二次根式被开方数
解： x 5 0 ① 3 x 0 ②
不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 -5≤x＜3
5
4、已知函数y x 2 2 x x 1,求yx的值。
解：由2x
2 x
00 得： xx
2 2
x 2 y 3
y x 32 9
5、已知x、y是实数，且
y x2 4 4 x2 1 ，求3x+4y的值。 x2
A.3
B.-3
C.1
D.-1
7
2、最简二次根式
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根
式1
5
5 5
32
4 2
2
7
2 7 7
2x3 3y
x 6xy 3y
8
（3） ．
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
16
例: 试比较下列各组数的大小：
12 11 和 11 10。
解：Q 12 11 12 11 ( 12 11)( 12 11) 1
1
12 11
12 11
11 10 11 10 ( 11 10)( 11 10) 1
1
11 10
11 10
又Q 12 11 11 10
例 ：计算
（1）( 2 3)(2 2 1) （2）( 80 5) 10
解：( 2 3)(2 2 1) 解：( 80 5) 10
4 2 6 2 3
80 5 10 10
15 2
8 1 2
2 2 2
2
32
14
2
例4.计算 :
(1) 8 3 6
(2) 4 2 3 6 2 2
10
3、同类二次根式
定义：化为最简二次根式后被开方数相同
的二次根式。 例：下列哪些是同类二次根式。
18 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
11
4、二次根式的加减
例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2）（ 3 3 3）小结：
二次根式的定义： 形如 a （a 0）的式子
叫做二次根式。
（１）被开方数 a 0 ；（２）根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a ③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
3
二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
12 11 11 10
17
变式应用
例：已知 x 3 2 , y 3 2 ,
3 2
3 2
求 3x2 5xy 3y2 的值。
解：Q x y 3 2 3 2 3 2 3 2
( 3 2)2 ( 3 2)2 10
xy 3 2 3 2 1 3 2 3 2
3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy
(3) 6 2 6 2
2
(4) 2 5 2
解：(1) 8 3 6 (2) 4 2 3 6 2 2
8 6 3 6 4 22 23 62 2
4 33 2
23 3
2
(3) 6 2 6 2 6 2 4
2
(4) 2 5 2 20 4 10 2 22 4 10
3102 11 289
18
7、分解因式 a ( a)2(a 0)
例：分解因式：
(1)x2 2 x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3y2 ( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
练习：在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
15
6、分母（分子）有理化
例：计算 3 (3 3)
解法一： 3 (3 3) 3 3(3 3)
3 3 (3 3)(3 3)
解法二：
3 3 3 3( 3 1) 3 1
93
6
2
3 (3 3) 3
3 1
3 3 3( 3 1) 3 1
3 1
3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 3 1)( 3 1) 2
22 3
先化简，
(2) 8 18 12
再合并同类根式
解：原式 4 2 9 2 43
2 2 3 2 2 3
5 22 3
12
5、二次根式的乘除
乘法： a b ab (a 0,b 0)
ab a b(a 0,b 0） 除法： a a (a 0,b 0)
bb
a a (a 0,b 0） bb
6
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
(1) 50 (4) 0.75
(2) a2bc
(3) x2 y
(5) (a b)(a2 b2) (6) 1 6 2
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例：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
(2) 4x6 y(x 0)
(3)4 1 1 2
(4)x2 y (x 0) x
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数 分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性 质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商 的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除 的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
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谈谈你的收获。
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1
知识结构
最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式
--不要求，只 需了解
1、 a 0(a 0)
二
三个性质 2、 a 2 aa 0
次
3、 a 2 a a 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
四种运算
加 、减、乘、除
2
1、二次根式的概念
（2）． ( a )2 a
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
4
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X __≤__3_时， 3 x有意义。
2. a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
说明：二次根式被开方数
解： x 5 0 ① 3 x 0 ②
不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 -5≤x＜3
5
4、已知函数y x 2 2 x x 1,求yx的值。
解：由2x
2 x
00 得： xx
2 2
x 2 y 3
y x 32 9
5、已知x、y是实数，且
y x2 4 4 x2 1 ，求3x+4y的值。 x2
A.3
B.-3
C.1
D.-1
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2、最简二次根式
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根
式1
5
5 5
32
4 2
2
7
2 7 7
2x3 3y
x 6xy 3y
8
（3） ．
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
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例: 试比较下列各组数的大小：
12 11 和 11 10。
解：Q 12 11 12 11 ( 12 11)( 12 11) 1
1
12 11
12 11
11 10 11 10 ( 11 10)( 11 10) 1
1
11 10
11 10
又Q 12 11 11 10