抛物线的参数方程(教师版)
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念引导学生了解参数方程的定义和特点举例说明参数方程在实际问题中的应用1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数和变量的关系练习将直角坐标方程转换为参数方程第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质和特点举例说明参数方程图像的形状和变化趋势2.2 参数方程的图像绘制学习如何绘制参数方程的图像练习绘制不同类型的参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等举例说明参数方程在圆锥曲线中的应用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹练习解决物理问题，如求解物体在参数方程下的速度和加速度第四章：参数方程的转换4.1 参数方程与直角坐标方程的转换学习如何将参数方程转换为直角坐标方程练习将参数方程转换为直角坐标方程，并解决相关问题4.2 参数方程与其他形式的方程的转换介绍参数方程与其他形式的方程（如极坐标方程）的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并进行问题求解第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立合适的参数方程模型练习解决实际问题，如计算曲线的长度、面积等5.2 参数方程在数学竞赛中的应用介绍参数方程在数学竞赛中的应用，如解决综合题练习解决数学竞赛中的参数方程问题第六章：参数方程与曲线积分6.1 参数方程下的曲线积分概念引入曲线积分的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲线积分的计算方法6.2 参数方程下的曲线积分计算学习如何利用参数方程计算曲线积分练习计算不同类型曲线积分问题第七章：参数方程与曲面面积7.1 参数方程下的曲面面积概念引入曲面面积的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲面面积的计算方法7.2 参数方程下的曲面面积计算学习如何利用参数方程计算曲面面积练习计算不同类型曲面面积问题第八章：参数方程与优化问题8.1 参数方程在优化问题中的应用引入优化问题的概念，解释参数方程在优化问题中的应用举例说明参数方程在优化问题中的解法8.2 参数方程优化问题的解决方法学习如何利用参数方程解决优化问题练习解决实际优化问题，如最短路径问题等第九章：参数方程与微分方程9.1 参数方程与微分方程的关系解释参数方程与微分方程之间的联系举例说明微分方程在参数方程中的应用9.2 参数方程微分方程的求解方法学习如何利用微分方程求解参数方程练习求解不同类型的参数方程微分方程问题第十章：参数方程的综合应用案例分析10.1 参数方程在工程中的应用案例分析分析实际工程问题，利用参数方程进行问题建模练习解决工程问题，并进行案例分析10.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析分析实际科学研究问题，利用参数方程进行问题建模练习解决科学研究问题，并进行案例分析重点和难点解析重点一：参数方程的概念与特点学生需要理解参数方程的定义，即变量与参数之间的关系强调参数方程在解决实际问题中的应用价值重点二：参数方程的图像特点与绘制方法学生应掌握参数方程图像的性质和变化趋势练习将参数方程转换为图像，并分析图像的特点重点三：参数方程在几何和物理中的应用学生需要学会利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等强调参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹重点四：参数方程的转换方法学生应掌握参数方程与直角坐标方程、极坐标方程等的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并解决相关问题重点五：参数方程在曲线积分、曲面面积和优化问题中的应用学生需要理解参数方程在曲线积分和曲面面积计算中的作用强调参数方程在解决优化问题中的应用，如最短路径问题重点六：参数方程与微分方程的关系和求解方法学生应理解参数方程与微分方程之间的联系练习利用微分方程求解参数方程，并解决实际问题重点七：参数方程的综合应用案例分析学生需要学会将参数方程应用于工程和科学研究问题强调案例分析的重要性，通过实际问题加深对参数方程的理解本教案围绕参数方程的概念、图像、应用和转换等方面进行了详细的讲解和练习。
苏教版高中数学选修4-4第2讲：参数方程(教师版)
苏教版高中数学参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线解析：由3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)． 答案：这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线解析：由参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．答案：一个整圆弧例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.解析：由条件知,l 1∥l 2,在l 1中令t=0,则得坐标为(1,1). 由点到直线距离公式得l 1与l 2距离为:5=练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.解析：由l 1消去参数t 得,2,22k k y x =-++斜率为-.2k由l 2消去参数s 得,12y x =-,斜率为-2.∵两直线垂直,(2)()12k ∴-⋅-=-,得k =-1. 答案：-1类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则yx 的取值范围为______.解析：曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设y k x =,求yx 的取值范围,即求当直线y =kx 与圆有公共点时k 的取值范围,如图22-60结合圆的几何性质可得33k -≤≤故填[33-答案：[,]33-练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.解析：y 21cos 22cos ,θθ=+=消去22(02)x y y θ=≤≤得 其图像是一段抛物线弧,如图22-61,1(0,)2F 是它的焦点,l 是准线,d =|PF|,当A ,P ,F 三点共线时,||PA d +最小,其值是||2AF =例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.解析：把cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,化为普通方程为221,x y+=所以点(3,2)到方程cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小1.1.练习1：已知圆C的参数方程为cos1,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是______.解析：由cos1,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y-+=,则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是16=答案：6例5：已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．答案：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，因为点M在双曲线x2－y2＝1，则可设点M坐标为(secα，tanα)．d1＝|sec α－tan α|2，d2＝|sec α＋tan α|2，d1·d2＝|sec2α－tan2α|2＝12，故d1与d2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝a2⎝ ⎛⎭⎪⎫t＋1t，y＝b2⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．解析：∵t＋1t＝2xa，t－1t＝2yb，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝4x 2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋1t 2－2＝4y 2b 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4＝4x 2a 2－4y 2b 2，即x 2a 2－y2b2＝1. 答案：x 2a 2－y2b 2＝1类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.解析：C 1:221cos ,(1)1;sin x x y y θθ=+⎧⇒-+=⎨=⎩则圆心坐标为(1,0).21,2:112x t C y t⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩10.x y ++=由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d=2=,所以要求的最短距离为d -1=1.答案：1练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2解析：根据点到直线的距离公式可以得出结果. 答案：B类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.答案：(1)点P 在直线l 上． (2)最小值为 2.练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t ）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？答案：当θ为参数时，将原参数方程记为①， 将参数方程①化为 ⎩⎪⎨⎪⎧2x e t ＋e －t＝cos θ，2y e t－e－t ＝sin θ，平方相加消去θ，得x2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22＋y2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1.②∵(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0， ∴方程②表示的曲线为椭圆． 当t 为参数时，将方程①化为⎩⎪⎨⎪⎧2x cos θ＝e t ＋e －t，2y sin θ＝e t －e －t.平方相减，消去t ，得x 2cos 2θ－y2sin 2θ＝1.③ ∴方程③表示的曲线为双曲线，即C 为双曲线．又在方程②中⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点为(－1，0)，(1，0)．因此椭圆和双曲线有共同的焦点．类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程:223cos ,3,x y x ρθ=+=可得即2239()24x y -+=,22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩可得23,x y -=所以圆心到直线的距离0,d ==即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.答案：31.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)答案：C 2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221C.29D ．229答案：B3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t －e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆答案：C 4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为答案：y ＝±13(x －2)5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个． 答案：16．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.答案：(,0)(10,)-∞+∞7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案：168.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.答案：圆的方程可化为22(1)(2)4,x y ++-=其圆心为C (-1,2),半径为2. 由于圆心到直线l 的距离72,5d ==< 故直线l 与圆C 的公共点个数为2.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长答案：把直线2,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为y =+把它代入双曲线方程并整理得,2212130,x x -+=设直线交双曲线于1122(,),(,)A x y B x y 两点, 则1212136,,2x x x x +=⋅=则直线被双曲线截得的弦长||AB ==_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2答案：B2．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)答案：A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)答案：C4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线答案：C5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33B. 3C.332D.239答案：D6.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.答案：(x －1)2＋y 2＝47.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 答案： 5－ 58.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 答案：2能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)答案：D10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．0答案：A11．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．答案：1412.在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案：313.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．解析：圆C 3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离: d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 214.(2014·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案:(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。
人教A版高中数学选修4-4课件 抛物线的参数方程课件2
解：由于M1
,
M
两点对应的参数方程分
2
别是t1和t
2，则可得点M1和M
的坐标分别为
2
M1(2 pt12 , 2 pt1 ), M2 (2 pt22 , 2 pt2 )
kM1M 2
2 pt1 2 pt12
2 pt2 2 pt22
t1
1 t2
例2.设M为抛物线y2 2 x上的动点, 给 定点M0 (1, 0),点P为线段M0 M的中点, 求点P的轨迹方程。
例3.如图O是直角坐标原点, A, B是抛物线
y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点,且 OA OB,OM AB并于AB相交于点M， 求点M的轨迹方程。
yA
M
o
x
B
解 : 根据条件,设点M , A, B的坐标分别为( x, y),
(2
pt12 ,
2
pt1 ), )(t1
x
y
2p
tan2
2p
tan
(为参数）
这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
( , )
22
如果令t 1 , t (, 0) (0, ),则有
tan
x
2
pt
2
(t为参数)
y 2 pt
当t 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线
的顶点(0, 0)因此当t (, )时，参数方程就表
《抛物线的参数方程》课件2
y
M(x,y)
( , )
22
o
x
设抛物线的普通方程为 y2 2 px...........(5)
因为点M 在的终边上，根据三角函数的
定义可得 y tan ..................................(6)
第二讲 抛物线的参数方程课件 新人教A版选修4-4课件
y x
a sec b tan
(为参数)
思考:抛物线参数方程是什么?
前面曾经得到以时刻 t作为参数的抛 物线的参数方程 :
x 100 t ,
y
500
1 2
g
t2
.
t为参数, 且0 t
1000 g
对于一般的抛物线,怎样建立相应的
参数方程呢 ?
看点M运动形成轨迹的过程.
解 根据条,设点M , A, B
B
图2 13
的坐标为 x, y, 2 pt12,2 pt1 ,
2 pt22,2 pt2 t1 t2,且t1 t2 0,则OM x, y,
OA 2 pt12,2 pt1 ,OB 2 pt22,2 pt2 ,
所以xt1 t2 y 0,即t1 t2 y x 0. ⑨
x
因为AM x 2 pt12, y 2 pt1 ,
y
MB 2 pt22 x,2 pt2 y ,
A M
且A, M , B三点共线,所以
O
x
x 2 pt12 2 pt2 y y 2 pt1 2 pt22 x ,
x2 2 py( p 0)的参数方程?
x
y
2p
tan
2p
tan2
(为参数）
x y
2 2
pt pt
2
(t为参数)
用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程.
1、若曲线x 2 pt 2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
《抛物线的参数方程》教学案1
1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案一、学习目标(1).双曲线、抛物线的参数方程.(2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系.(3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________五、学习过程(阅读教材29-34完成)(一)双曲线的参数方程1双曲线),(0012222>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________注：(1)ϕ的范围__________________________(2)ϕ的几何意义___________________________2双曲线),(0012222>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________(二)抛物线的参数方程抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________(三)典型例题六、课堂练习：、 的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12___________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线ϕϕϕ==y x 32的轨迹方程。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，让学生理解参数方程是一种描述曲线运动的数学工具。
通过实际例子，让学生了解参数方程在现实中的应用。
1.2 参数方程的基本形式介绍参数方程的两种基本形式：圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程。
通过图形和实例，让学生理解参数方程与普通方程之间的关系。
第二章：参数方程的图像与性质2.1 参数方程的图像利用图形软件，绘制常见参数方程的图像，让学生直观地了解参数方程的特点。
引导学生观察图像，探讨参数方程与坐标轴之间的关系。
2.2 参数方程的性质引导学生研究参数方程的单调性、周期性和奇偶性等性质。
通过实例，让学生了解参数方程的性质在实际问题中的应用。
第三章：参数方程的变换与化简3.1 参数方程的变换介绍参数方程的基本变换，如平移、旋转和缩放等。
通过实例，让学生学会如何对参数方程进行变换。
3.2 参数方程的化简引导学生利用数学方法对参数方程进行化简，使其形式更加简洁。
通过实例，让学生了解参数方程化简的意义和应用。
第四章：参数方程的应用4.1 参数方程在物理中的应用以机械运动为例，介绍参数方程在描述物体运动中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际物理问题。
4.2 参数方程在工程中的应用以电子电路为例，介绍参数方程在描述系统动态行为中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际工程问题。
第五章：参数方程的综合练习5.1 参数方程的解题技巧通过实例，让学生学会如何运用不同的技巧解决参数方程问题。
5.2 综合练习题提供一系列与参数方程相关的综合练习题，让学生巩固所学知识。
对练习题进行讲解和解析，帮助学生提高解题能力。
第六章：参数方程在圆锥曲线中的应用6.1 圆锥曲线的参数方程复习圆锥曲线的普通方程，并引入其参数方程。
通过图形和实例，让学生了解圆锥曲线的参数方程表示方法。
6.2 圆锥曲线的参数性质引导学生研究圆锥曲线的参数性质，如渐近线、焦点、顶点等。
高中数学第2讲参数方程第6课时抛物线的参数方程课件新人教A版选修4_4
① ②
由②得 t1＋t2＝1， 代入①得 t21＋t22＝1－p p＞0，所以 0＜p＜1．
又t21＋2 t22＞t1＋2 t22，得1－p p＞12，所以 0<p＜23．
综上，0＜p＜23．
利用参数方程设出抛物线上点的坐标， 减少了未知量的引入．根据条件建立恰当的不等式，快捷方便 地求出了p的范围．
焦点坐标为14，0．
2．参数方程xy＝ ＝csions2θθ， (θ 为参数)所表示的曲线为(
)
A．抛物线的一部分
B．一条抛物线
C．双曲线的一部分
D．一条双曲线
【答案】A 【解析】x＋y2＝1⇒y2＝－x＋1，又x＝cos2θ∈[0,1]，方程Biblioteka 表示的曲线为抛物线的一部分．
3
．
参
数
方
程
x＝cos θ， y＝1＋cos 2θ
利 用 参 数 t 的 几 何 意 义 ， 由 OA⊥OB 得 t1·t2＝－1，利用根与系数的关系解决问题．
2．设M是抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P 为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．
【解析】令 y＝2t，则 x＝y22＝2t2，得抛物线的参数方程
x＝2t2， y＝2t.
200＝v0t0sin
α－12gt20，
0＝2v0t0sin α－2gt20，
消去 t0，得vv0022ssiinn2ααc＝os2α4＝003g0.00g，
解得 tan α＝45，v0＝7 1 230(米/秒)．
抛物线的轨迹问题
【 例 2】 已 知 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 过 顶 点 的 两 弦 OA⊥OB，求以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．
《抛物线的参数方程》课件
未来研究展望
随着数学和物理等学科的发展，抛物 线的参数方程将会得到更广泛的应用 。
此外，我们还可以将抛物线的参数方 程与其他数学工具和方法相结合，探 索更广泛的应用领域，例如几何光学 、波动光学和量子力学等。
参数方程的优势
参数方程可以更方便地描述某些具有特定性质的曲线，例如旋转、平移等。
抛物线参数方程的推导
推导过程
通过设定参数方程中的参数，我们可以得到抛物线的参数方程。首先设定一个参数为时间t，然后根据抛物线的 性质设定另一个参数，例如设定抛物线的顶点为原点，开口向右，可以得到抛物线的参数方程为x=2ptcosθ， y=2ptsinθ，其中p为焦距，θ为参数。
推导的意义
通过推导抛物线的参数方程，我们可以更深入地理解抛物线的性质和特点，为后续的学习和研究打下基础。
抛物线参数方程的特点
01
特点一
抛物线的参数方程中包含两个参数，一个是角度参数，另一个是长度参
数。通过调整这两个参数，我们可以得到不同形状和大小的抛物线。
02
特点二
抛物线的参数方程中包含三角函数，这使得抛物线在旋转和平移时具有
计算抛物线形状的结构
在建筑学和土木工程中，一些结构物 的形状是抛物线形状的，例如拱桥、 隧道等，利用抛物线的参数方程可以 方便地计算这些结构的尺寸和形状。
04
抛物线的参数方程的实例 分析
实例一：简单抛物线的参数方程
总结词：基础形式
详细描述：简单抛物线的参数方程通常表示为 (x = a cdot t, y = b cdot t^2)，其中 (t) 是参数，(a) 和 (b) 是常数。这种形式的抛物线在数学和物理中有广泛应用，如炮弹的轨迹、声波传播等。
抛物线的参数方程 教案
抛物线的参数方程教案教案标题：抛物线的参数方程教学目标：1. 理解抛物线的概念以及参数方程的基本含义。
2. 掌握抛物线的参数方程的推导和使用方法。
3. 能够通过参数方程绘制抛物线的图像。
4. 运用参数方程解决与抛物线相关的实际问题。
教学准备：1. 讲稿和教学素材2. 计算工具：纸、铅笔、尺子、直尺、计算器等3. 抛物线的图像和实例教学过程：导入（5分钟）1. 引入抛物线的概念，提问学生已知的与抛物线相关的物体或现象，并展示相关图片。
2. 引导学生思考抛物线的性质和特点，并与实际问题联系。
探究（15分钟）1. 解释参数方程的定义和基本概念。
2. 展示如何从标准方程转换为参数方程，并用示例演示。
实践（20分钟）1. 分发练习题，让学生运用参数方程绘制抛物线图像。
2. 引导学生通过改变参数值，观察抛物线的图像变化，并与实际问题联系。
拓展（15分钟）1. 提供更多的抛物线实例，让学生自行推导参数方程并绘制图像。
2. 引导学生分析抛物线的性质，如焦点、顶点、对称轴等，并解决相关问题。
归纳总结（10分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结参数方程的推导方法和使用技巧。
2. 强调参数方程与抛物线性质的联系，并与实际问题联系。
展示应用（10分钟）1. 展示一些与抛物线参数方程相关的实际问题，并引导学生运用所学知识解决。
2. 鼓励学生提出自己的问题，并讨论解决方法。
作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生继续运用参数方程绘制抛物线图像，并解决相关问题。
2. 鼓励学生自主搜索更多关于抛物线参数方程的应用案例。
教学反思：在教案编写过程中，教师应充分考虑学生的理解能力和实际应用能力，通过生动的示例和实践操作，激发学生的学习兴趣和动手实践能力。
同时，教师应及时引导学生发现相关知识的拓展和应用，培养他们的综合思考和解决问题的能力。
教学过程中，要随时关注学生的学习情况，及时调整教学策略，并提供个性化的指导和帮助。
高二数学(理)第二节《抛物线的参数方程》(课件)(精)
y2 2 px
x
2
pt
2
t为
参
数
y 2 pt
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
抛物线的参数方程(焦点在x轴上)
1.标准普通方程
标准参数方程
y2 2 px
2.(了解) 一般普通方程
x
2
pt
2
t为
参
数
y 2 pt
一般参数方程
( y k)2 2 p( x h)
制作 09
2010年上学期
例2.在例1中, 点A、B位于什么位 置时, ∆AOB面积最小?最小值是多少?
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
教材P35 T4、T5
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
x
h
2
pt
2
t为
参
数
y k 2 pt
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期
抛物线的参数方程(焦点在x轴上)
1.标准普通方程
y2 2 px
平 移
2.(了解) 一般普通方程
标准参数方程
x
2
pt
2
t为
参
数
y 2 pt
一般参数方程
( y k)2 2 p( x h)
了解一般普通方程??为参数tptkypthx???????22222hxpky???一般参数方程pty抛物线的参数方程焦点在x轴上pxpxyy222?????为参数t为参数tptx?????2?221
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14・抛物线的参数方程
主备5 审核J
学习目标:L r 解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义：
2.掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.
学习臺点：椭圆参数方程的应用，
学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.
学习过程：
一、课前准备：
阅读教材P33-P34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，井复习以下问题: 1•将下列参数方程化为普通方程：
X = 2-1
x = f--
(1) y = 2x-，其中A = f-y (f 为参数人答「 (2) 3y-=4x ，其中x = t (f>0为参数人 答：•
二. 新课导学,
(-)新知：
抛物线的参数方程的推导过程：
如图：设M (儿刃为抛物线上除顶点外的任意一点，以
射线OM 为终边的角记为a ,当住在内变化时,
2 2
点M 在抛物线上运动，并且对于住的毎一个值，在抛物 线上都
有唯一的M 点与对应•因此，可以取为参数探求 抛物线的参数
方程.
根据三角函数的定义得，tana =上，KP y = xtan<z,
X
_ 2" X ?—
(a 为参数人这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁, 2p y = tana
2 2〃(沏参数). y = 2M 当F=0时，由参数方程得，正好为顶点O(0,0).因此当)
时，上式为
y' = 2px 的参数方程.
注意：参数『的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点打原点连线的斜率的倒数. 动动手：(1)选择适当的参数/,建立抛物线x-=2py 的参数方程.
(f 为参数)，答：y = F- y = r+ t-3 -------
(2) fj" 5 为参数)，答：y-=8A .
[y = 4m ----------
2.将下列普通方程化为参数方程：
y = 2尸+3-4
,fw(Y\0)u(aF)p 贝I, 设/=—— tana
【解析】如图，ae （0冷）1）（今、补 根据三角函数的定
得，/ = uma =上，即 y = M,联立x-=2py .得 X
x = 2pt
＜ ,（『为参数）•
7 = 2p 广 （2）可选择M 到准线的距离/为参数，＞■- = 2px 的
数方程是怎样的？
【解析】如图，I MAl=t,则x = f-y ，代入抛物线方 程，得y
= ±j2M -r ,所以，抛物线的参数方程为 ［归一£
i 2
且Q4丄ozr OM 丄AB 井与AB 相交于M,求点M 的轨迹方程.
【解析】方法一：设. A ⑵&2fJ,班242,2『2）（“工4且人匕HO ）. 由页丄商，所以商•页 =0,
⑵/2）2+22卩2 =0，也=_1 ....... ①
又页7丄；?鸟，所以丽•刁用=0,
2X （?2~ -『［2） + 2（『2 - 片）=0 .
所以x （r,+z-,） + y = O, /, +r, =-—（x^^O ）
■ X
又AM=（x-2t ；,y-2^^）, 屈= （2f ；-y ）且A,
M, B 共线.
•*•（X — 2z,"）（2^2 — y ） = （＞' —2z,）（2/; — X ）,即 y （z, +4）—仝亿一兀=0 ......................................................... ③
由①，②代入③，得到x- + y--2x = Q{x^Q},这就是所求M 点的轨迹方程. 方法二：设 A （'^, }'1）（3'1 丰 0）'放"^,），2）（『2 丰 °）*
乙 乙
因为Q4丄OB ・所以牛•琴+ ）\儿=0,片儿=7,
乙 乙
直线AB 的方程为：y-X=」一（工-兀），即v =」一（工-2）, M+力 2 莎+儿
所以直线AB 过泄点C （2几0）
又OM 丄AB,所以点M 的轨迹是以OC 为宜径的圆，则M 的轨迹方程为
= /,（）/0）・
“7" （f 为参数）上异于顶点的两动点,
（『为参数）.
y = 土 J2pi-F
（-）典型例题：
【例1】A 、B 是抛物线r=2x 上异于顶点的两动点，
动动手：已知0是坐标原点，B 是抛物线＜ 义
参
7 = 2/”
且Q4丄08,求AB中点M的轨迹方程.
【解析】设5（2刃2I2刃2），由Q4丄OB,得V2=j，
X =丄匕丄- = M+2 )
，结合/心=一]*
2pr, +2/?z,
y = ----- — =Mi +G)
得点M 的方程为：y~ = p(x-2p).
三、 总结提升：
1•弄淸抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数f 对应的角的取值范囤，会将抛物线 的参数方程与普通方程互化.
2.抛物线r =2/zr(p>0)上任意一点可以设为M(2卩尸,2丙).
3•在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标.
四、 反馈练习；
又中点由・ 2. 3. 若点P(3jrt)在以点F 为焦点的抛物线< x = 4r y = 4f
C ・4 A. 2 B. 3 X 2,并
分(/H 为参数)的焦点坐标是
y = -/«"
A. (-1,0) B ・(0,-1) C ・ (r 为参数)上，则PF 等于(C )
D ・5
(0,-2) D ・(-2,0)
“2" (f 为参数，卩为正常数)上的两点M,N 对应的参数分别为fj 和匚,
.y =
2pf
且“+『2=0,那勾MN| =
A. /7|r,|
B. 2/7|Z ,| 已知曲线< (C
C. 4p|/,|
若曲线2pf(,为参数)上异于原点的不同的两点所对应的参数分别是人、[y = 2pt -
4.
t.,求M|M2所在直线的斜率.
【解析】由于M2所对应的参数分别是厶、G-所以可设两点M2坐标分别为M\(2pf、
2pi)M2(2pt；.2PS)■ 所以，£ = 型二竺
叫2pt;-2pt; z,+/,
5. A、B是抛物线r=2x上异于顶点的两动点，且Q4丄OB,点A、B在什么位置时, 4403的而积最小？最小值是多少？
【解析】设A(2牢,2G，5(2/2°) 4知2,且
则IOAI=2I jjf+l , IOBI=2I G I Jf； + I，
因为Q4丄OB,所以“2= j，
所以^M()8 = 21 “21J(“ +l)(q + 1) = 2jf「+f[ +2 = 2j(f] +4)2 +4 >4,
当且仅当t, = -G时，即A、B关于X轴对称时AAO3而积最小，最小面积为4.
五、学后反思:。