几何概型案例

《几何概型》教学案例教学目标一、知识与技能目标（1）通过学生对几个几何概型的实验和观察，了解几何概型的两个特点。

（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。

（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。

二、过程与方法让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。

教学重点几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。

教学难点建立合理的几何模型求解概率。

教学过程一、创设情境引入新课师：上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。

生甲：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

师：请同学们判断这个例子是古典概型吗？你判断的依据是什么？生乙：是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数是有限个，并且每个基本事件发生的可能性相等。

师：非常好，下面允许老师也举一个例子，请同学们作以判断。

如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球掉在阴影区域内的概率。

生丙：此试验不是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。

师：非常好，此试验不是古典概型，由此我们可以看到，在我们的生活中确实存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题，因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深入的学习和研究。

今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。

那到底什么是几何概型，它和古典概型有联系吗？在数学里又是怎样定义的呢？为此，我们接着来看刚才这个试验。

试验一师：请同学们根据我们的生活经验回答此试验发生的概率是多少？生丁：四分之一师：很好，那你是怎样得到这个答案的呢？生丁：就是用阴影的面积比上总面积。

师：非常好，下面我们再来看图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？生丁：仍是四分之一，还是用阴影的面积比上总面积。

师：非常好，请坐。

我们梳理一下我们刚才的发现。

首先此试验所包含的基本事件的个数为无数多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，而所求的概率就是用阴影的面积比上总面积，所以此概率仅与阴影的面及有关系，而与阴影的形状和位置并无关系。

试验二在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.师：首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。

生戊：此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个，每个基本事件发生的可能行都相等。

师：所求的概率是多少？生戊：就是用取出的水样的体积比上总体积，答案是五百分之二。

试验三取一根长为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于20厘米的概率有多大?请同学首先思考讨论，老师作以分析如下：首先此试验所包含的基本事件的个数仍是无限多个，并且每个基本事件发生的可能性都相等。

现在把这根绳子抽象为一条线段，因此每做一次随机试验就可以理解为在对应这条线段上取一个点，也就是说一次随机试验就可以理解为线段上的一个点，那基本事件空间就可以理解为这条线段，因此此试验的本质就是在此线段上取一个点，能够使得事件A 发生，所以现在问题的关键是线段上找到可以使事件A 发生的点。

老师通过实物的演示帮助学生在线段上找到可以使事件A 发生的点。

师:通过刚才的演示我们可以发现，当取到的点在A 、B 之间的时候能够使得事件A 发生，因此这个问题又可以理解为：在此线段上取一点当这个点在A 、B 之间的时候的概率是多少？ 生己：就是用线段AB 的长度比上总长度，答案是三分之一。

老师对此问题作以小结：在剪刀剪的次数可以是无限多次的情况下，通过建立等量替代关系，在“每剪一次→绳子上一点”对应基础上，顺次建立“无数次随即剪→线段上所有点”，“剪数量→线段长度”对应关系，在“数（次数）→形（点）→数（长度）” 转换过程中，解决无限性无法计算的问题。

这样对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理的。

二、几何概型的建构 1、想一想⑴以上三个试验共同点:①所有基本事件的个数都是无限多个。

②每个基本事件发生的可能性都相等。

AB20cm20cm⑵三个试验的概率是怎样求得的？师：简单的说所求概率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比，具体的说，就是把基本事件空间理解为一个区域，不妨记为Ω，而事件A 可以理解为它的一个子区域，而所求的概率就是用子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）比上区域Ω的几何度量。

⑶我们把满足上述条件的试验称为几何概型，参照上述三个试验请给出几何概型的定义。

2、几何概型的定义事件A 理解为区域 的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。

满足以上条件的试验称为几何概型。

在几何概型中，事件Ａ的概率定义为其中 表示区域 的几何度量，表示 区域A 的几何度。

3、古典概型和几何概型的比较4、怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解. ⑴ 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解； ⑵ 把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω； ⑶ 把随机事件A 转化为与之对应的区域A ； ⑷ 利用几何概型概率公式计算。

三、几何概型的应用 练一练Ω=μμAA P )(ΩμΩA μΩ⑴在面积为S 的△ABC 边AB 上任取一点P,求△PBC 的面积大于 的概率。

⑵在高产小麦种子100ml 中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出3ml ，求含有麦锈病种子的概率是多少？⑶取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

答案: 试试看⑴一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．解：事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m⑵面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。

2a3S2331004π20米7523600184)(18416262030600203022====⨯-⨯==⨯=ΩΩμμμμA A A P m m｝a-r分析：首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心O 的位置即可，一旦中心位置确定，只要当中心O 到其最近平行线的距离大于其半径时，就满足事件A,由此不难想到由中心O 向靠的的最近的平行线引垂线，垂足为M,显然线段OM 长度是介于0到a 之间的一个实数，接下来我们做一条长度为a 的线段，因此这个实数在此线段上就对应着一个点，从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点，所以这条线段就可以理解为区域Ω,其长度为a 。

接下来我们再来看事件A 所理解的区域，首先看一种临界状态，就是当硬币与平行线相切时，此时中心O 到最近平行线的距离r,显然只有当中心O 到最近平行线的距离大于r 时满足事件A,所以事件A 理解的区域其长度应为a －r,所以 四、小结 学生自主小结 老师总结今天我们通过观察分析发生在我们生活中的三个试验，得到了它们共同的本质的东西，定义了几何概型，，通过几何模型的建立，从而实现了无限和无限的对接，进而归纳出几何概型的概率公式，以此我们可以解决生活中的这类具体问题。

由此我们可以发现我们的数学本身来源于生活，而又服务于生活，我们的生活是多姿多彩的，我们的数学也同样的多姿多彩的，让我们在今后的生活中学会观察和分析，从我们的生活中去发现和提炼更多的真善美的东西。

五、作业1 、分别举出一个生活中的古典概型和几何概型的例子2 、 P115 1、2ar a a a r A P -==的长度的长度],0[],()(教学反思本节课让学生对几个试验亲历感受基本事件的个数为不可数的情形下，从而引起思维的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代关系，实现无限和无限之间的对应转化，从而解决了无限性无法计算的问题，让学生理解这样的对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理的，这是本节课的难点，也是学生容易引起误会的地方。

本节课在教学方法上通过让学生亲历实验、观察蕴含在生活当中的几个问题，从中体会几何概型特点及其概率计算公式的几何意义，让学生在动手操作中，经历概念数学化的过程，让学生在感性活动基础上，浓墨重彩的勾画概念的建构过程，激发思维的困惑、迷茫直至清晰、透彻，从而让学生的思维从感性上升到理性。

本节课以问题为载体，通过设计活动，让学生参与并让学生成为探索问题的主体。

让学生在讨论中明知，在争论中解惑，在思考中提升。

例如，在对教材例题建模时，着重让学生讨论思考实际问题的模型是一维、二维还是三维。

结果因过程而精彩，现象因方法而生动，在运用公式时，不仅停留在代入数字的层面上，重点是寻找实际问题中的数学模型，即寻找公式适用的条件是否满足，着力点在公式前。

在这个过程中学生的主体地位得到体现，学生的资源得以充分开发，数学素养在原有的基础上得以提高和发展。