第11讲概率统计模型数据拟合方法分解
Matlab第十一讲--数据的统计分析
输入：name——概率分布类型、P（概率）——数据向 量、A——分布参数 输出：Y——逆累积分布向量
name同前
计算均值为0，方差为1的正态分布， x = icdf(‘norm',0.1:0.2:0.9,0,1)
Matlab相关命令介绍
Matlab相关命令介绍
mle 系列函数：参数估计
[phat,pci]=mle(‘name’,X,alpha)
load 从matlab数据文件中载入数据
S=load('数据文件名') 如果数据格式是XXXX.mat ，可以直接 load XXXX; 如果文本格式XXXX.txt，也可以用load载入，load 'XXXX.txt'; 另外文本格式也可以通过Import data转换成.mat格式， matlab默认处理.mat格式数据！
name+stat 系列函数：均值与方差函数
数字特征的相关函数
var 方差
1 n 2 2 var( X ) s ( xi X ) n 1 i 1
%若X为向量，则返回向量的样本方差。A为矩阵，返回A的列向 量的样本方差构成的行向量。 std 标准差
n n
1 1 2 2 ( xi X ) 或者 n ( xi X ) n 1 i 1 i 1
Matlab相关命令介绍
name+rnd 系列函数：随机数发生函数 random(‘name’,A1,A2,A3,m,n) %(通用函数）
normrnd(1:6,1./(1:6)) normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵 normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2 行3列个正态随机数 y=random('norm',2,0.3,3,4) %产生12（3行4列） 个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数
拟合的原理
拟合的原理
拟合的原理是通过找到一个函数或者模型来描述数据集中的趋势和规律。
我们可以根据已知的数据点，利用数学方法找到最佳的拟合函数，以预测未知数据的值。
拟合的过程可以使用不同的数学方法，比如最小二乘法、最大似然估计等。
最常见的拟合方法是使用最小二乘法，它的原理是通过最小化观测值和拟合值之间的误差平方和来确定最佳拟合函数。
这意味着我们要找到那个函数，使得它到每一个数据点的距离的平方和最小。
在实际应用中，我们可以选择不同的函数来拟合数据集，如线性函数、多项式函数、指数函数等。
选择合适的函数形式是通过观察数据的趋势和规律，经验判断或者领域知识来确定的。
除了选择函数形式，我们还需要确定函数的参数。
这可以通过最小化误差平方和的方法来得到。
具体来说，我们可以对函数的参数进行调整，不断优化误差平方和，直到达到最小值。
这个过程可以使用数值优化算法来实现。
拟合完成后，我们可以使用拟合函数来进行预测。
根据函数的输入，我们可以得到对应的输出值，从而对未知的数据进行预测。
需要注意的是，拟合只是一种基于已有数据的预测方法，并不能保证对未知数据的预测完全准确。
因此，在应用拟合模型时，
我们需要谨慎选择合适的函数形式和参数，并且进行模型评估和验证，以确保模型的可靠性和预测的准确性。
拟合模型
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
2
10
c(t) c0ekt
1
10
c, k为待定系数
100
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
拟合模型的提法（以曲线拟合为例）
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
些误差是数学建模中不可回避的问题。 系统误差：偏差，来自于系统，有规律，可避免。 随机误差：无偏，来自随机因素，无规律，不可免
忽略性误差、截断误差、舍入误差、测量误差等
2：数据资料建模方法的适用范围
在科学研究中，人们经常遇到的有些问题具有以下特征：
● 能确定其中某些因素之间有因果关系，但不知道这 种因果关系的解析表达。
中 的 A (a1, a2, a3) 使得:
11
[ f (xi ) yi ]2 最小
i 1
解法1．用解超定方程的方法
此时
R
x12
x1
1
x121 x11 1
1）输入以下命令：
x=0:0.1:1;
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66
9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2)‘ x’ ones(11,1)];％第三列全是1
a (RT R)1 RT y
(5)
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取
概率论课件分布拟合检验
基因表达分析
通过分布拟合检验，可以 对基因表达数据进行统计 分析，了解基因表达模式 和功能。
临床试验数据分析
在临床试验中，分布拟合 检验可用于分析药物疗效、 疾病发病率等数据。
其他应用场景
环境监测
在环境监测领域，分布拟合检验可用 于分析空气质量、水质等环境指标的 分布特征。
社会调查
在社会调查中，分布拟合检验可用于 分析人口普查、民意调查等数据，了 解社会现象和趋势。
本研究还发现，不同分布拟合检验方法在拟合效 果上存在差异，其中QQ图和概率图在判断分布拟 合优劣方面表现较好，而直方图在可视化展示方 面更具优势。
研究展望
在未来的研究中，可以进一步 探讨其他理论分布与实际数据 的拟合程度，以寻找更合适的
分布模型。
可以结合机器学习和人工智能 算法，对数据进行更深入的挖 掘和分析，以提高分布拟合检
分析结果表明，所选理论分布与实际数据存在一 定的拟合程度，但也存在一定的偏差。其中，正 态分布和指数分布与实际数据的拟合效果较好， 而泊松分布和威布尔分布的拟合效果相对较差。
在本研究中，我们采用了多种分布拟合检验方法 ，包括直方图、QQ图、概率图和统计检验等方法 ，对实际数据进行了深入的分析和比较。
通过绘制直方图和QQ图，可 以直观地观察数据分布与理论 分布的拟合程度。同时，计算 峰度系数和偏度系数等统计指 标，可以量化地评估分布拟合 程度。
案例二：人口普查数据分布拟合检验
• 总结词：人口普查数据分布拟合检验是评估人口数据质量和预测人口发 展趋势的重要手段。
• 详细描述：通过对人口普查数据进行分布拟合检验，可以判断人口数据 是否符合预期的分布形态，如年龄、性别、地区分布等，从而评估数据 质量和预测未来人口发展趋势。
第讲概率统计模型数据拟合方法分解
第讲概率统计模型数据拟合方法分解在概率统计模型中，数据拟合是指通过已有的数据来估计未知的参数，以便建立模型并进行进一步的分析与预测。
数据拟合方法可以分为参数估计和非参数估计两种。
参数估计方法是假设数据服从其中一特定参数分布，通过最大似然估计或最小二乘估计等方法，估计出这些参数的值。
最大似然估计是基于参数的似然函数，通过寻找使得似然函数取最大值的参数值来进行估计。
最小二乘估计是通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来进行参数估计。
这两种方法都可以通过求导数等数学手段来获得估计值的闭式解，从而得到参数的估计结果。
非参数估计方法是不对数据分布做任何假设，直接通过样本来进行估计。
常见的非参数估计方法包括核密度估计、最近邻估计等。
核密度估计是基于核函数的方式，通过将每个样本点周围一定区域内的所有样本点都等权重地加权平均来估计该点的密度。
最近邻估计则是通过找到每个样本点周围一定区域内的最靠近的样本点，以及这些样本点与该点之间的距离，来估计该点的密度。
在数据拟合过程中，可以通过拟合优度检验来评估模型的拟合效果。
常见的拟合优度检验方法有卡方检验和残差分析。
卡方检验是通过计算观测频数和预期频数之间的差异来检验模型的拟合优度。
残差分析是通过分析观测值与预测值之间的差异，来评估模型的拟合效果。
数据拟合方法的选择应根据具体问题的性质和可用数据的特点来确定。
参数估计方法适用于已知数据分布的情况，且假设其中一特定参数分布是合理的。
非参数估计方法适用于数据分布未知或无法假设特定参数分布的情况。
总之，数据拟合是概率统计模型中的重要步骤，通过参数估计和非参数估计方法，可以对数据进行拟合，建立相应的模型，并进行进一步的分析与预测。
在选择拟合方法时，应根据具体问题的性质和数据的特点来确定适用的方法，并通过拟合优度检验来评估模型的拟合效果。
数据拟合的常用方法
数据拟合的常用方法
数据拟合是统计学中一种基本的分析方法，用来根据以前观测到的数据，推断未知数
据的未来趋势和分布情况。
它可以让研究者更好地了解存在于集合数据中的规律及其变化，并且提出有用的结论。
通常，可以使用以下五大常用拟合方法来进行拟合：
（1）普通最小二乘法：普通最小二乘法（OLS）是一种用于数据拟合的常见方法，即
求解一组数据的实际值和预测值的最小误差的方法。
它根据所给的参数和坐标点的坐标绘
制出一个模型，然后拟合出合适的模型，并计算坐标点的误差。
（2）逐步回归：逐步回归也称为自动回归，是一种特殊的最小二乘回归方法，其主
要思想是可以从一系列常量开始，一次一次加入变量，直到变量不再显著，然后停止。
一
般来说，它可以更快地找到数据拟合最佳模型。
（3）多项式拟合：多项式拟合是利用给定的数据点拟合适合的数学模型的方法，重
点在于选择最佳的模型参数使得拟合的模型更准确，而不是任意地估计一组模型参数。
（4）对数拟合：对数拟合是指将一组实际数据样本点连续地用一条它们之间的唯一
直线连接起来。
利用对数拟合回归方法，可以拟合出一条最佳拟合直线，从而得到数据的
准确分析模型。
（5）伽马调节：伽马调节是一种数据变换方法，目的是使得某些模型更好地适应数据，伽马调节也可以用来某些变量的数值标准化，并用于模型的拟合分析。
《概率统计模型》课件
在市场营销领域，回归分析可以用于预 测产品需求、销售量、市场份额等方面 。
通过回归分析，企业可以了解市场趋势 ，制定有针对性的营销策略，提高市场 竞争力。
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03
统计方法在医学领域的应用还包括疾病预测、诊断和治疗效果评估等 方面。
04
统计方法在医学领域的应用有助于提高医学研究的准确性和可靠性。
回归分析在市场预测中的应用
回归分析是一种常用的统计分析方法， 用于探索变量之间的关系，并对未来趋 势进行预测。
回归分析在市场预测中的应用有助于企 业做出科学合理的决策，提高市场占有 率和盈利能力。
详细描述
时间序列分析涉及对按时间顺序排列的数据 进行统计处理，以揭示其内在的规律和特性 。这种方法广泛应用于金融、气象、医学等 领域，用于预测未来趋势和进行决策分析。
06 案例研究
概率论在金融中的应用
概率论在金融领域中有着 广泛的应用，如风险评估 、投资组合优化、期权定 价等。
概率论在金融领域的应用 还包括信用评级、保险精 算、风险管理等方面。
描述随机变量取值的平均水平和分散程度。
常见的随机变量分布
二项分布、泊松分布、正态分布等。
02 统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是用样本信息来估计总体参 数的过程，是统计推断的重要内容之 一。
点估计
点估计是指用一个单一的数值来估计 总体参数，常用的方法有矩估计和极 大似然估计。
区间估计
区间估计是指用一个区间范围来估计 总体参数，常用的方法有置信区间和 预测区间。
假设检验的步骤
常见的拟合方法
常见的拟合方法
拟合方法那可真是超级重要哇！咱先说说线性拟合吧。
嘿，你想想，线性拟合就像是给一堆杂乱的数据找一条最顺溜的线。
步骤呢，先确定自变量和因变量，然后用最小二乘法来确定那条直线的参数。
这就好比在一堆乱七八糟的珠子里穿一根线，让珠子们变得整齐有序。
注意事项嘛，数据得有一定的线性关系才行，要是数据乱七八糟完全没规律，那可就没法线性拟合啦。
线性拟合的安全性和稳定性还不错，只要数据不是太离谱，一般都能给出比较靠谱的结果。
它的应用场景可多啦，比如预测房价、分析销售趋势。
优势就是简单易懂，计算也不复杂。
比如说预测股票走势，虽然不能完全准确，但也能给咱一个大致的方向呀。
再说说非线性拟合。
哇塞，这可就有点复杂啦。
非线性拟合就像给一群调皮的小精灵找一个合适的魔法阵。
步骤呢，先确定拟合函数的形式，然后通过优化算法来确定函数的参数。
这就跟解谜题似的，得不断尝试各种方法。
注意事项可不少呢，函数形式选不好，那就全白搭。
而且计算量也比较大。
安全性和稳定性相对来说就没那么高啦，毕竟非线性的东西比较难捉摸。
但是它的应用场景也很广泛呀，比如生物学里的生长曲线拟合。
优势就是能更好地适应复杂的数据。
就像给一幅绚丽多彩的画找到最贴切的描述，非线性拟合能让我们更深入地了解数据的本质。
总的来说，拟合方法各有各的特点和用途。
咱得根据实际情况选择合
适的拟合方法，才能让数据发挥出最大的价值。
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随机模型
确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型
随机性模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
随机变量的目标函数：期望值
航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，
需求量服从均值500份，均方差50份的正态
分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平
均收入最高，最高收入是多少？
n
0
p ( r ) dr
问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上
将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，
零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出
一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进
报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会 少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量， 以获得最大收入。
1.确定设计变量和目标变量
n
0
5 p (r )dr 0.625 8 ) ( 0 ) 0.625
n 500 ( ) 0.625 0.5 50 0.125
查概率积分表得
(
n
n 500 ( ) (10) 0.625 50
n 500 0.32 50
n 516
因为
0
pr dr 1
pr dr
n 0
n
pr dr 1
n
0
a b p ( r )dr ac
因为当购进 n 份报纸时，
售不完的 概率
n
0
p(r )d r
n
a b bc p(r )d r
P 1
售完的 概率
n
0
pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
若每天购进 2 份，
收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r
n
n
(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0 n
n
dG (b c) dn
n
0
n
p(r )dr (a b) p(r )dr
n
dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
使报童日平均收入达到最大的购进量 n应满足上式。
n
a b bc p ( r ) dr
n
0
p (r )dr
n 0
1
a b 0.25 5 p (r )dr b c 0.15 3
n 0
n
0
p ( r ) dr
n
a b bc p ( r ) dr
p (r )dr
n 0
1
a b 0.25 5 p (r )dr b c 0.15 3
退回n r 赔(b c)(n r )
r n 售出n 赚(a b)n
每天的收入函数记为U(n)，则
(a b)r (b c)(n r ) U (n, r ) (a b)n nr nr
收入函数的期望值为
G(n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
(i 1,2,, n)
则随机变量 X 的数学期望值为
E( X ) xi pi
(i 1,2,, n)
连续型随机变E ( X ) xf ( x)dx
期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！
报童的诀窍
r 0
n
r n 1
(a b)nf (r )
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r ) p(r ) (概率密度）
G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
dG (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
每天的总收入为目标变量 每天购进报纸的份数为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
若每天购进 0 份， 则收入为 0。 若每天购进 1 份，
售出，则收入为 a-b。
退回，则收入为 –(b-c)。 售出1份，则收入为 a-b –(b-c) 。 售出2份，则收入为 2(a-b) 。 退回，则收入为 –2(b-c)。
P a b 1 P2 b c
结论
O
P 1
P 2
n r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大 时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动 2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形 2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
1 问题的提出 航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业
务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰
等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘 客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降 低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订 好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外
是需求量 r 超过 n 的概率 P2 pr dr
n
上式意义为：购进的份数
n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c 之比。
n
0
p(r )d r
n
a b bc p(r )d r
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n 在图中用 P1 , P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则