插值与数据拟合模型

第二讲 插值与数据拟合模型

函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。

一、插值方法简介

插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。

求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。

1．拉格朗日多项式插值

插值多项式

从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(x f 是n 次多项式，记作

0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- （1）

对于节点),(j j y x 应有

n j y x L j j n ,,2,1,0,)( == （2）

为了确定插值多项式)(x L n 中的系数011,,,,a a a a n n -，将（1）代入（2），有

???????=++++=++++=++++---n n n n n n n

n n n n n n n n n y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 01110111110001010

（3） 记

T n T n n n n n n n n n n y y y Y a a a A x x x x x x X ),,,(,),,,(,11110011111

100

==??????

? ??=---- 方程组（3）简写成

Y XA = （4） 注意X det 是Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得

∏≤<≤-=

n k j j k x x X 0)(det

因j x 互不相同，故0det ≠X ，于是方程（4）中A 有唯一解，即根据1+n 个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。

拉格朗日插值多项式

实际上比较方便的做法不是解方程（4）求A ，而是先构造一组基函数：

n i x x x x x x x x x x x x x x x x x l n i i i i i i n i i i ,,2,1,0,)

())(()()())(()()(110110 =--------=+-+- （5） )(x l i 是n 次多项式，满足

n j i j

i j i x l j i ,,2,1,0,,0,1)( =???≠== （6）

令

∑==n i i i n x l y x L 0

)()( （7）

显然)(x L n 是满足（2）的n 次多项式，由方程（4）解的唯一性，（7）式表示的)(x L n 的解与（1）式相同。（5）、（7）称拉格朗日插值多项式，用)(x L n 计算插值称拉格朗日多项式插值。

误差估计

插值的误差通过插值多项式)(x L n 与产生节点),(j j y x 的)(x g 之差来估计，记作)(x R n 。虽然我们可能不知道)(x g 的解析表达式，但不妨设)(x g 充分光滑，具有1+n 阶导数。利用泰勒展开可以推出，对于任意],[b a x ∈。

),()()!1()()()()(0

)1(b a x x n g x L x g x R n

j j n n n ∈-+=-=∏=+ξξ （8） 若可以估计

1)1(|)(|++≤n n M g ξ （9）

则

),(,||)!1(|)(|0

1b a x x n M x R n

j j n n ∈-+=∏=+ξ （10） 实际上因为1+n M 常难以确定，所以（10）式并不能给出精确的误差估计。但是可能看出，n 增加，|)(|x R n 减少；g 越光滑，1+n M 越小，|)(|x R n 越小；x 越接近j x ，|)(|x R n 越小。

例 将区间??

????2,

0πn 等分，用x x g y cos )(==产生1+n 个节点，然后作拉格朗日插值多项式。用)(x L n 计算6

cos π（取4位有效数字）。估计|)(|x R n （取2,1=n ）。 解 若1=n ，则)1,0(),(00=y x , ??? ??=0,2),(11πy x 。由（5）、（7）式 ππ

x x x l y l y x L 2102

002021)(11001-=--?+--?=+= 6667.066cos 1=??

? ??=ππL 若2=n ，则)1,0(),(00=y x ，??

? ??=??? ??=0,2),(,7071.0,4),(2211ππy x y x ，由（5）、（7）式。 ??

? ??-??? ??---?+??? ??-??? ??-??? ??--?+??? ??-??? ??-??? ??-??? ??-?=++=4202)4)(0(024042)0(7071.02040241)(2211002ππππππππππππx x x x x x l y l y l y x L ??? ??-??-??? ??-??? ??-=27071.01624822πππππx x x x

8508.066cos 2=??

? ??=ππL 。 估计|)(|x R n ：对于x x g cos )(=可设11=+n M ，记节点间隔n

h 2π=。当()1,+∈j j x x x 时 4

||||2

1h x x x x j j <--+ nh h h h x x n j j ????<-∏= 324||2

于是（10）式给出

11

12)

2)(1(4)1(4324)!1(1|)(|++++=+=????+

6cos π

的精确值是0.8660（4位有效数字）??

? ????? ??6,621ππL L 的误差在|)(|x R n 范围内。 插值多项式的振荡

用拉格朗日插值多项式)(x L n 近似))((b x a x g ≤≤虽然随着节点个数的增加，)(x L n 的次数变大，多数情况下误差|)(|x R n 会变小，但n 增加时，)(x L n 的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当∞→n 时，在],[b a 内并不能保证)(x L n 处处收敛于)(x g 。Runge 给出了一个有名的例子：

]5,5[,11)(2-∈+=

x x x g 取n j n

j x j ,,2,1,0,105 =+-=。对于 ,6,4,2=n 作)(x L n ，会得到如下图所示的结果。可以看出，对于较大的||x ，随着n 的增加，)(x L n 的振荡越来越大，事实上可以证明，仅当63.3||≤x 时，才有)()(lim x g x L n n =∞

→，而在此区间外，)(x L n 是发散的。 高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次数多项式插值。

2. 分段线性插值

简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作)(x I n ，它满足j j n y x I =)(，且)(x I n 在每个小区间],[1+j j x x 上是线性函数),,1,0(n j =。 )(x I n 可以表示为

∑==n

j j j n x l y x I 0)()( （12）

?????

??????=≤≤--=≤≤--=+++---其它时舍去时舍去,0)(,)0(,)(11111

1n j x x x x x x x j x x x x x x x x l j j j j

j j j j j j j （13）

)(x I n 有良好的收敛性，即对于],[b a x ∈有，)()(lim x g x I n n =∞

→。 用)(x I n 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。但n 越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

3. 三次样条插值

样条函数的由来

分段线性插值虽然简单，n 足够大时精度也相当高。但是折线在节点处显然不光滑，即)(x I n 在节点处导数不连续。这影响了它在诸如机械加工等领域(希望插值曲线光滑)中的应用。

所谓样条(Spline)，来源于船舶、飞机等设计中描绘光滑外形曲线用的绘图工具。一根有弹性的细长木条用压铁固定在节点上，其它地方让它自然弯曲，如此画出的曲线称为样条曲线。因为这种曲线的曲率是处处连续的，所以要求样条函数的二阶导数连续。人们普遍使用的样条函数是分段三次多项式。 三次样条函数

三次样条函数 记作b x a x S ≤≤),(。要求它满足以下条件：

a) 在每个小区间),,1](,[1n i x x i i =-上是3次多项式；

b) 在b x a ≤≤上二阶导数连续；

c) n i y x S i i ,,1,0,)( ==。 (14) 由条件a ，不妨将)(x S 记为

{}n i x x x x S x S i i i ,,1],,[),()(1 =∈=-

i i i i i d x c x b x a x S +++=23)( （15）

其中i i i i d c b a ,,,为待定系数，共4n 个。由条件b ，

?????''=''-='='=+++)()(1,,2,1)

()()()(111i i i i i i i i i i i i x S x S n i x S x S x S x S （16）

容易看出，(14)、(16)式共含有4n -2个方程，为确定)(x S 的4n 个待定参数，尚需再给出2个条件。最常用的是所谓自然边界条件：

0)()(0=''=''n x S x S （17）

可以证明，4n 阶线性方程组(14)、(16)、(17)有唯一解，即)(x S 被唯一确定。但是，这种解法的工作量太大，方程组又常呈病态，所以实际上要设计简便的解法。

另外，像分段线性函数)(x I n 一样，三次样条函数)(x S 也有良好的收敛性，即在相当一般的条件下，)()(lim x g x S n =∞

→。 4. 用MATLAB 作插值计算

拉格朗日插值需先按照(5)、(7)式编写一个程序。

设n 个节点以数组x0,y0输入(注意：程序中用n 个节点，而不是(5)、(7)式中的n +1个节点)，m 个插值点以数组x 输入。输出数组y 为m 个插值。比如可以写一个名为lagr1.m 的M 文件。

分段线性插值有现成的程序

y=interp1(x0,y0,x)

其中输入x0,y0,x 和输出y 的意义同上，数组长度自定义(x0,y0同长度，x,y 同长度)。

三次样条插值也有现成的程序

y=interp1（x0,y0,x,'spline'）

或

y=spline(x0,y0,x)

其中输入x0,y0,x 和输出y 的意义同上，数组长度自定义(x0,y0同长度，x,y 同长度)。

例 对55,)

1(12≤≤-+=x x y ，用n (=11)个节点(等分)作上述三种插值，用m(=21)个插值点(等分)

作图，比较结果。

插值方法小结

拉格朗日插值是高次多项式插值(n +1个节点上用不超过n 次的多项式)，插值曲线光滑，误差估计有表达式。但有振荡现象，收敛性不能保证。这种插值主要用于理论分析，实际意义不大。

分段线性和三次样条插值是低次多项式插值，简单实用，收敛性有保证，但不光滑，三次样条插值的整体光滑性已大有提高，应用广泛，唯误差估计较困难。

二、最小二乘法简介

下面先看一个例子。

例1 “人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：

（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。

（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。

（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。

方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为：N = 14.088 t – 26915.842，代入t =1999,得N ≈12.46亿。

方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，再取其算数平值。

方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。

最小二乘法简介

设),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 是直角平面坐标系下给出的一组数据，设n x x x <<< 21，我们可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线b ax y +=，使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。

对个别观察值来说，用直线b ax y +=的值来近似代替其观察值时，所产生的误差可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，可用

∑=+-n i i i b ax y

1

|)(| 来表示用直线b ax y +=来近似代原来实验数据时所产生的误差。为了在数学上处理方便，又把上式改成

∑=+-=n i i i b ax y d 1

2)]([

也就是说，我们选取常数b a ,，使得总误差d 达到最小。这就是所谓的最小二乘法。

用微分法不难求出上面最小值问题的驻点，这里不列出其结果。事实上，在MATLAB 中已有现成的求最小二乘问题的函数polyfit ，称为多项式拟合函数，并且这个函数允许多项式的次数可以是任意次的。除外，还可以用解线性方程组中的除法运算（矩阵除法）来求解。这两个方法的区别在于：用polyfit 函数求拟合问题时，多项式的次数必须从0次到最高次数n 之间每个次数都要出现。而如果需要选择一些次数进行拟合时，就可用矩阵除法运算来进行。矩阵除法还可以求一般的线性拟合问题，例如拟合函数不是多项式的线性拟合问题。

上面例1中的问题就可以用polyfit 来求解。

例2 用最小二乘法求一个形如2

的经验公式，数据如下：

解 x=[19 25 31 38 44];

y=[19.0 32.3 49.0 73.3 98.8];

x1=x.^2;

x1=[ones(5,1),x1’];

ab=x1\y’

x0=[19:0.2:44];

y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;

clf

plot(x,y,’o’, x0,y0,’-r’);

多项式拟合是线性拟合问题（注意：无论拟合的多项式次是多少，多项式拟合都是线性拟合!）。但在实际应用中，有时还需要作非线性拟合问题。

所谓线性拟合问题是指：需要拟合的函数中的未知常数都线性的。如函数2bx a y +=中，常数b a ,是线性的。但bx e ax y +=、bx ae y =中的常数b a ,都是非线性。这种函数的拟合问题称为非线性拟合问题。 有的非线性拟合问题可以化为线性拟合问题。例如在函数bx ae y =中，两边取对数，得bx a y +=ln ln ，再令a a ln 1=，y z ln =，则要拟合的函数就成bx a z +=1，这样就变成线性拟合问题了。但也有不能化成线性拟合问题的情况，如函数bx

e ax y +=就是这样。

在MATLAB5.3中求非线性拟合问题的函数是lsqcurvefit 。

例3 在区间]3,1[-内拟合函数bx e ax y +=。

解 用非线性拟合函数lsqcurvefit 来拟合。

先建立拟合函数。

% 建立拟合函数，文件名是nxxyhhx.m ，必须与函数名相同。

% 要拟合的函数中参数用x 表示，即x(1)=a x(2)=b ；

% 而拟合函数中x 的值则用xdata 表示。

function v=nxxyhhx(x,xdata)

v=x(1)*xdata+exp(x(2)*xdata);

以下指令在命令窗中进行。

clf;

x=linspace(-1,3,10);

y1=2*x+exp(-0.1*x); %原型函数

plot(x,y1,'-k')

hold on

y=y1+1.2*(rand(size(x))-0.5); %将原型函数加一些扰动

plot(x,y,'*g')

x0=[2.5,-0.5];

a=lsqcurvefit('nxxyhhx',x0,x,y) %用原始实验数据拟合函数nxxyhhx (x),

vpa([a(1),a(2)],8) % nxxyhhx (t)表达式中各项的系数。

y2=nxxyhhx(a,x);

plot(x,y2,'-r')

legend('原型函数','原始数据','用原始数据拟合的结果',4);

三、血液流量问题

小哺乳动物与小鸟的心跳速度比大哺乳动物与大鸟的快。如果动物的进化为每种动物确定了最佳心跳速度，为什么各种动物的最佳心跳速度不一样呢？由于热血动物的热量通过身体表面散失，所以它们要用大量的能量维持体温，而冷血动物在休息时只需要极少的能量，所以正在休息的热血动物似乎在维持体温。可以认为，热血动物可用的能量与通过肺部的血液流量成正比。

（1）试建立一个模型，将体重与通过心脏的基础（即休息时的）血液流量联系起来，用下面的数据检验你的模型。

（2）有许多可得到脉搏数据但没有血液流量数据的动物，建立一个模型将体重与基础脉搏联系起来，用下面的数据检验你的模型。

（3）在检验你在（1）和（2）中的模型时会出现不一致，试进行分析。

表一

表三

表五

这里只对该问题作一些拟合方面的练习。其它问题读者可自己进行讨论。

符号

用w 表示动物的体重，单位：千克

用v 表示动物的基础血液流量，单位：公升/分

用t 表示动物的年龄，单位：岁

用n 表示动物的脉搏，单位：次/分

假设动物的基础血液流量与动物的体重之间存在一定的函数关系)(w f v =，可以用表一中的数据来拟合这个函数。

函数)(w f 是一个什么样的函数呢？由于我们对“动物的基础血液流量与动物的体重”之间的关系并不清楚，所以只有根据表一中的数据得出函数)(w f 一些性质。

先将表一中的数据用MATLAB 软件作出图形。从图上可以看出，这个函数关系)(w f v =应当是一个单调增加的函数。因此，拟合的函数如果不具有这一性质的话，就不能作为是好的选择。

一般地，可以假设函数)(w f 是一个多项式，通常，这个多项式的次数不要超过3、4次，具体可根据拟合的效果来定。当然也可以用其它函数来拟合。

为了提高拟合的效果，函数)(w f 还可以用分段函数来拟合。

以下是用分段函数拟合的结果：

??

???∈-+-∈-+-+-==]24,16[,6265.7431526.9204756.0]16,1.4[,0649.433418.219727.21706.00033.0)(2234w w w w w w w w w f v

拟合函数图形是：

问题1：写出拟合函数)(w f v =和作出上面图形的MATLAB 指令。 同样可以拟合人的基础血液流量与体重之间的函数关系)(w g v =，可以用表二中的数据来拟合这个函数。这里用4次多项式来拟合，拟合的结果是：

]72,18[,98.16340.41728.000351.0000025.0234∈-+-+-=w w w w w v

拟合函数图形是：

问题2：写出拟合函数)(w g v =和作出上面图形的MATLAB 指令。 将上面拟合出来的函数)(w f v =和)(w g v =在它们的公共定义域]24,18[上的图形画出来，如下图所示。从图形上可以看出人类与动物之间的差异。

问题3：写出作出上面图形的MATLAB 指令。

下面考虑动物、人类的体重与基础脉搏的函数关系。

假设人类的体重与基础脉搏之间的函数关系是)(1n H w =，利用表二中的数据来拟合这个函数。这里用3次多项式拟合。拟合的结果是： ]96,60[,216.4502450.16143347.00002566.0)(231∈-+-==n n n n n H w

其图形是：

问题4：写出拟合函数)(1n H w =和作出上面图形的MATLAB 指令。 假设哺乳动物的体重与基础脉搏之间的函数关系是)(2n H w =，利用表五中的数据来拟合这个函数。这里用分段函数来拟合。由于当100

??

???

2n n n n n H w 图形如下。

问题5：写出拟合函数)(2n H w =和作出上面图形的MATLAB 指令。

假设小鸟类、大鸟类的体重与基础脉搏之间的函数关系分别是)(31n H w =和)(32n H w =，利用表三、

四中的数据来拟合这两个函数。拟合的结果是： ]615,135[,685.29561275.10031454.00000021.0)(2331∈+-+-==n n n n n H w

]401,65[,1004631.2)(310

32∈?==n n

n H w 其图形如下。

问题6：写出拟合函数)(31n H w =和)(32n H w =和作出上面图形的MATLAB 指令。 下面考虑人类的基础血液流量与基础脉搏的函数关系。

假设人类的基础血液流量与基础脉搏之间的函数关系是)(n U v =，利用表二中的数据来拟合这个函数。拟合结果是：

]96,60[,322.9893316.37482394.000217132.0)(23∈+-+-==n n n n n U v

考虑复合函数

)]([1n H g v ==-.2489e-4*(.256557e-3*n^3-.143347*n^2+16.2450*n-450.216)^4+.3506e-2*(.256557e-3*n ^3-.143347*n^2+16.2450*n-450.216)^3-.1728*(.256557e-3*n^3-.143347*n^2+16.2450*n-450.216)^2+.1113457380e-2*n^3-.622125980*n^2+70.5033000*n-1970.917440;

用MATLAB 软件画出上面两个函数的图形：

由上图可以看出，两者有较大的差异。原因就是前面的假设不合理，或不够完善。

下面我们假设人类的的基础血液流量是体重和年龄的二元函数),(t w V v =，用表二中的数据来拟合该函数。用二元二次多项式来拟合。结果是： ),(t w V v =1606.1471439.484792.00171689.00896015.0025085

.022++---=t w t wt w 问题7：写出以上相应的MATLAB 程序和作出上面图形的MATLAB 指令。

四、冰山的运输

在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，淡水资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0.05英镑，有些专家提出从相距9600千米之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法。这个模型要从经济的角度研究冰山运输的可行性。为了计算用拖船运送冰山所获得的每立方米淡水所花的费用，我们需要关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速度等方面的数据，以此作为建模所必须的准备工作。

模型准备

1.

2.燃料消耗(

3.冰山在运输过程中的融化速率（米/天）。指在冰山与海水接触处每天融化的深度，融化速率除与船速有关外，

建立模型的目的

选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米淡水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。

根据建模的目的和搜集到的有限的资料，需要对问题作如下的简化和假设：

模型假设

1. 拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离为9600千米。

2. 山形状为球形，球面各点融化速率相同。

3. 冰山到达目的地后，每立方米冰可融化成0.85立方米水。

模型构成

首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况;

然后是计算航行过程中的燃料消耗；

由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费。

在计算过程中需要根据收集到的数据拟合出经验公式。

问题：1.理解建模过程中每一步的作用；

2.用MATLAB软件求解这个模型，写出相应的MATLAB指令。

五、水塔流量估计

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两个小时。

水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作。

下表是某一天的水位测量记录、试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天

六、加工工序的问题

设有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必须安排在另一些工件加工完后才能进行，第j 件工件加工时间j t 及先期必须完工的工件号由下表给出:

(1).足条件的加工顺序，使各个工件完工的时间之和最小。

(2).若第j 号工件紧接着第i 号工件完工后开工，机床需要准备时间是

???>-<+=j

i j i j i j i t ij ),(2, 试设计一个满足条件的加工顺序，使机床花费的总时间最小。

(3).若工件完工时间超过一定时限u ，则需支付一定的补尝费，其数额等于超过的时间与费用率i w 之积:

对于u = 100，ij 安排一个满足条件的加工顺序，使总的补尝费用最少。上面的三个问题，它们都有一定的实际意义。对于问题(1)可以看着是:如果在某个时刻同时有很多客户需要加工自己的工件，而你用来加工这些工件的机床只有一台，这里假设机床不能同时加工两个及其以上的工件，这样客户们就需要排队等待加工，这时对于客户们来说当然希望等待的时间越少越好。 对于问题(2)则可以看着是：客户对于加工费用方面的考虑，因为有很多的实际情况是加工的费用与租用机床的时间长短有关的，租用机床的时间越长，则费用越高，而机床花费的时间包括准备时间和加工工件的时间两部分。

优化模型与问题的求解

根据问题的要求，先作一个PERT 网络图，如图所示。

下图是经简化之后得到的PERT 图。其中从第i 号工件到第j 号工件之间的箭头上的数字表示完成加工第j 号工件所需的加工时间。 优化准则1.当两个工件的加工次序允许交换的话,为了使得总的完工时间最小,应先加工所需加工时间较短的工件。

可以推广到多个工件的情形。即若有n 个工件等待加工,且这n 个工件的加工次序允许交换,则可将这n 个工件加工所需的时间按从小到大的次序进行排序，然后再按加工所需时间最小的工件先加工的次序依次进行加工,就是最优的加工顺序。

优化准则2.设0,0==u t ij ，记i

i i t w v =，如果第j i ,号工件的加工次序可以交换的话，为了使补尝费用最少，应先加工j i v v ,值较大的工件。

七、截断切割

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费

用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间

是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e 。

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割

方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水

平工作台接触的长方体底面是事先指定的）

详细要求如下：1）需考虑的不同切割方式的总数。

2）给出上述问题的数学模型和求解方法。

3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一

个加工费用最少的待切割面进行切割。

4）对于e=0的情形有无简明的优化准则。

5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品

长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二

者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位

均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r 和e 的

数据有以下4组：

a. r=1, e = 0;

b. r =1.5, e =0;

c. r =8, e =0;

d. r =1.5; 2 <= e <= 15. 对最后一组数据应给出所有

最优解，并进行讨论。