数据拟合与模型选择
土木工程中拟合回归模型的模型选择与验证技术研究
土木工程中拟合回归模型的模型选择与验证技术研究随着社会的发展和经济的进步，土木工程建设已经成为了国家发展的重要支柱产业。
而在土木工程建设过程中，拟合回归模型是非常常见和重要的分析方法，因为它可以揭示变量之间的关系，有助于优化设计和提高工程效率。
但是，如何选择适当的模型和验证模型的实际表现成为了工程师们面临的重要问题。
本文将从模型选择与验证两个方面介绍土木工程中拟合回归模型的技术研究。
一、模型选择技术模型选择指的是从众多候选模型中进行选择，找到最适合数据集的模型。
在土木工程中，模型选择尤为重要，因为错误的模型选择可能导致错误的决策。
1.模型选择准则模型选择准则是在模型选择过程中用来衡量不同模型的相对有用性的标准，使用这些准则可以帮助工程师们从众多模型中选择最佳的一个。
常见的模型选择准则包括：（1）赤池信息准则（AIC）AIC从信息论的角度来刻画模型质量，对于同一数据集而言，AIC值越小，模型就越好。
（2）贝叶斯信息准则（BIC）BIC是AIC的一个变体，相对于AIC而言，BIC更容易惩罚过度拟合的模型。
（3）交叉验证交叉验证是对模型进行评估和调整的一种方法。
通过将数据集分成许多份用一部分来建模，另一部分来评估模型的性能，并重复这个程序几次，从而评估模型的性能。
2.模型选择算法模型选择算法可以帮助工程师们在众多模型中选择最佳的一个，常见的模型选择算法有：（1）前向算法前向算法从零起步，每次添加一个“最佳”的解释变量，并再次拟合模型。
重复此过程，在模型达到最大的显著性水平后停止。
（2）后向算法后向算法从包含所有解释变量的一个完整模型开始，逐步剔除最不显著的解释变量，直到所有的变量都被剔除，最后留下来的就是最佳模型。
（3）正交前向选择正交前向选择是一个专门为多重共线性设计的选择方法。
在此算法中，不仅挑选解释变量的最佳组合，而且保持组合内没有多重共线性。
二、模型验证技术模型验证是指检验所建立的模型对未知数据的适应能力的过程。
偏态分布模型的选择与拟合
偏态分布模型的选择与拟合统计学中的偏态分布模型被广泛应用于许多实际问题的建模与分析中。
对于给定的数据集，选择合适的偏态分布模型，并且拟合数据以估计模型的参数是统计学研究的重要一环。
本文将就偏态分布模型的选择与拟合进行探讨，并介绍几种常见的偏态分布模型。
一、偏态分布模型偏态分布模型即描述随机变量概率分布呈现偏斜形状的数学模型。
在实际问题中，出现偏斜分布的现象非常普遍，例如收入分布与财富分布等。
常见的偏态分布模型包括正态分布、指数分布、伽玛分布和贝塔分布等。
1. 正态分布正态分布是最为熟知的偏态分布模型之一，其概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
在实际应用中，许多数据集可以通过适当的变换使其近似服从正态分布，简化问题的处理过程。
2. 指数分布指数分布常用于描述事件之间的时间间隔，其概率密度函数以指数形式衰减。
指数分布具有单峰、右偏的特点，适用于诸如故障发生时间、服务时间等数据的建模与分析。
3. 伽玛分布伽玛分布是一类连续概率分布，常用于描述正数随机变量的概率分布特征。
伽玛分布具有多样的形状，可以既是左偏又是右偏。
在实际应用中，伽玛分布常被用于模拟和分析诸如等待时间、生命周期等随机变量。
4. 贝塔分布贝塔分布是一种定义在0到1之间的连续概率分布，常用于对分数或比例进行建模与分析。
贝塔分布可以呈现多样的形状，包括左偏、右偏和对称等形态，可广泛应用于财务分析、市场份额等方面。
二、选择合适的偏态分布模型在实际应用中，选择合适的偏态分布模型是非常重要的，它能够更好地描述数据的分布特征，提供准确的模型参数估计和推断。
以下是一些选择合适偏态分布模型的方法：1. 基于领域知识对于特定领域的问题，研究者通常会具备关于数据分布的一些先验知识。
这些先验知识可以帮助我们根据数据的特点选择合适的偏态分布模型。
2. 直方图与核密度估计直方图和核密度估计是常用的数据分布可视化方法，它们可以帮助我们初步了解数据的分布情况。
通过观察数据的分布形态，我们可以初步判断数据是否偏斜，并选择可能适用的偏态分布模型进行进一步的拟合。
统计师如何进行数据建模和模型验证
统计师如何进行数据建模和模型验证数据建模和模型验证是统计师在数据分析领域中的核心工作之一。
通过合理的数据建模和有效的模型验证过程，统计师能够准确地分析和预测数据，为决策和问题解决提供科学的支持。
本文将介绍统计师进行数据建模和模型验证的步骤和方法。
一、数据建模数据建模是统计师制定数据分析方案的第一步，它包括以下几个关键步骤：1. 确定建模目标：在进行数据建模前，统计师需要明确数据建模的目标，例如是进行描述性统计、预测分析还是其他类型的分析。
明确建模目标能够帮助统计师在后续的工作中更加具体和有针对性。
2. 数据收集和清洗：统计师需要收集相关的数据，并对数据进行清洗和处理。
这一步骤包括数据的去重、缺失值处理、异常值检测和处理等。
数据的质量和准确性对于后续的建模分析至关重要，统计师需要保证数据的完整性和可用性。
3. 变量选择和转换：在数据建模过程中，统计师需要选择合适的变量，并对变量进行转换，以满足建模的要求。
变量的选择和转换需要考虑变量之间的相关性、变量的分布情况等因素。
4. 模型选择和建立：根据建模目标和数据的特点，统计师可以选择合适的统计模型进行建模分析。
常用的统计模型包括线性回归模型、逻辑回归模型、时间序列模型等。
模型的建立需要考虑模型的可解释性、拟合程度和预测能力等。
二、模型验证模型验证是保证统计模型可靠性和准确性的关键一步。
通过模型验证，统计师可以评估模型的拟合效果，并对模型进行调整和优化。
以下是常用的模型验证方法：1. 拟合优度检验：拟合优度检验用于评估模型对数据的拟合效果。
常用的拟合优度指标包括R方（决定系数）、调整后的R方等。
统计师需要综合考虑拟合优度指标的大小和意义，评估模型的拟合程度。
2. 参数显著性检验：参数显著性检验用于评估模型中各个参数的显著性。
统计师需要通过假设检验等方法，判断模型中每个参数对目标变量的影响是否显著。
3. 预测检验：预测检验用于评估模型的预测能力。
统计师可以使用交叉验证、留一法等方法，将部分数据用于模型的训练，然后使用训练好的模型对剩余数据进行预测，并与真实值进行比较，评估模型的预测效果。
Matlab中的拟合优度检验与模型评估技巧
Matlab中的拟合优度检验与模型评估技巧引言Matlab是一种广泛应用于科学和工程领域的编程平台，它不仅提供了丰富的数值计算和数据分析函数，还具有直观易用的图形界面，让科研人员和工程师可以快速开展数据分析和建模工作。
在实际应用中，为了验证模型的准确性和可靠性，拟合优度检验和模型评估是必不可少的步骤。
本文将介绍在Matlab中进行拟合优度检验和模型评估的一些技巧和方法。
一、拟合优度检验拟合优度检验是用来评估模型拟合数据的程度，常见的方法有残差分析、偏差分析和决定系数检验等。
1. 残差分析残差分析是一种常见的拟合优度检验方法，它用来评估模型对数据的拟合程度。
在Matlab中，可以使用`residuals`函数来计算拟合模型的残差。
一般来说，如果残差服从正态分布，那么模型对数据的拟合效果较好。
在进行残差分析时，可以绘制残差图、正态概率图和残差散点图等来检验残差是否满足正态分布。
2. 偏差分析偏差分析是用于评估模型的拟合效果，特别是在线性回归分析中非常常见。
在Matlab中，可以使用`polyfit`函数来进行线性回归分析，并使用`polyval`函数来计算预测值。
通过比较预测值和实际观测值之间的偏差，可以判断模型对数据的拟合效果。
3. 决定系数检验决定系数是用于评估模型拟合效果的一个重要指标。
在Matlab中，可以使用`corrcoef`函数来计算观测值和预测值之间的相关系数，并使用`rsquare`函数来计算决定系数。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1代表模型对数据的拟合程度越好。
二、模型评估技巧除了拟合优度检验，模型评估也是建立可靠模型的关键步骤。
下面介绍一些在Matlab中常用的模型评估技巧。
1. 交叉验证交叉验证是一种常见的模型评估技巧，它可以用来评估模型的泛化能力。
在Matlab中，可以使用`cvpartition`函数将数据集划分为训练集和测试集。
然后，在训练集上建立模型，在测试集上进行预测，并计算预测误差。
如何进行毕业论文的实证研究的数据模型选择与验证
如何进行毕业论文的实证研究的数据模型选择与验证在进行毕业论文的实证研究时，选择合适的数据模型并对其进行验证是非常重要的。
本文将介绍在实证研究中如何进行数据模型选择与验证的具体步骤和方法。
1. 确定研究目的和研究问题在进行实证研究之前，首先需要明确研究的目的和问题。
研究目的指的是想要探究或解决的问题，研究问题则是明确需要回答的具体问题。
明确研究目的和问题有助于选择适合的数据模型。
2. 收集数据进行实证研究的第一步是收集相关的数据。
数据可以通过各种途径获得，包括问卷调查、实地观察、统计数据等。
根据研究目的和问题，确定需要收集的数据类型和来源。
3. 数据预处理在进行实证研究之前，需要对收集到的数据进行预处理。
数据预处理包括数据清洗、数据转换和数据缺失值处理等步骤。
数据清洗是指删除异常值或错误数据，数据转换指将数据按照需求进行归一化或标准化处理，数据缺失值处理是指对有缺失数据的样本进行合理填充或剔除。
4. 选择数据模型选择合适的数据模型是进行实证研究的关键一步。
数据模型可以根据研究问题的特点，选择合适的统计模型或机器学习算法。
常用的数据模型包括回归分析、时间序列分析、人工神经网络等。
选择数据模型时要考虑模型的适用性、解释性和可靠性等因素。
5. 数据模型验证选择完数据模型后，需要对其进行验证。
验证数据模型的步骤包括模型拟合和模型评价。
模型拟合是指将数据输入模型，通过计算求得模型的参数估计值。
模型评价是指通过各种指标或方法对模型的拟合效果进行评估，比如残差分析、平均绝对百分比误差、均方根误差等。
6. 结果解释和讨论在对数据模型进行验证之后，需要对结果进行解释和讨论。
解释结果时要结合研究问题和背景进行分析，解释模型的显著性和可解释性。
在讨论中可以对研究假设进行验证，探究结果的合理性和一致性，并提出可能的解释和改进方法。
7. 结论和展望最后，根据实证研究的结果，总结出结论，并对未来的研究方向提出展望。
结论应该简明扼要地回答研究问题，展望部分可以提出一些未来研究的方向和问题。
sfit方法
sfit方法是一种统计分析方法，主要用于定量研究中的数据拟合和模型选择。
它通过构建多个模型并对数据进行拟合，比较模型的拟合优度，最终选择最适合数据的模型。
具体来说，sfit方法包括以下几个步骤：
1. 构建多个模型：根据研究问题和数据特点，构建多个不同的模型，如线性回归模型、逻辑回归模型、决策树模型等。
2. 对数据进行拟合：使用构建的模型对数据进行拟合，得到每个模型对应的参数估计值。
3. 比较模型的拟合优度：通过比较各个模型的拟合优度指标，如R方、调整R方、交叉验证指数等，选择拟合优度最好的模型。
4. 确定最终模型：根据研究目的和数据特点，综合考虑各个模型的优缺点，选择最适合数据的模型作为最终模型。
sfit方法的优点包括：
1. 适用于多种数据类型和不同的问题领域，具有广泛的适用性。
2. 可以使用多种拟合优度指标进行比较，选择最适合数据的模型。
3. 可以对多个变量进行建模，提高了模型的解释性和准确性。
sfit方法的缺点包括：
1. 需要构建多个模型并进行拟合，工作量较大，可能需要耗费较多时间和精力。
2. 在选择最佳模型时，可能存在主观性，需要研究者和数据分析师具备一定的专业知识和经验。
总之，sfit方法是一种有效的统计分析方法，可以用于定量研究中数据拟合和模型选择。
在使用该方法时，需要根据研究问题和数据特点，合理构建模型并进行拟合，选择最适合数据的模型。
回归建模的过程和评价方法
回归建模的过程和评价方法
回归建模是一种统计分析方法，用于探索和建立自变量和因变
量之间的关系。
回归建模的过程通常包括以下几个步骤，数据收集、数据预处理、模型选择、模型拟合、模型诊断和模型评价。
首先是数据收集，这是回归建模的第一步。
在这一阶段，我们
需要收集与研究对象相关的数据，包括自变量和因变量。
接下来是数据预处理，这一步是清洗和准备数据以便进行建模
分析。
这包括处理缺失数据、异常值和数据转换等。
然后是模型选择，这一步是选择适当的回归模型来描述自变量
和因变量之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归、岭回归等。
接着是模型拟合，这一步是利用选定的回归模型对数据进行拟合，估计模型参数。
模型诊断是接下来的步骤，用于检验所建立的回归模型是否符
合统计假设，包括检验残差的独立性、常态性和异方差性等。
最后是模型评价，这一步是评估所建立的回归模型的拟合优度
和预测能力。
常用的评价方法包括R方值、均方误差、残差分析等。
除了以上步骤外，还有一些常见的评价方法，如AIC（赤池信
息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）等，用于比较不同模型的拟合优
度和复杂度。
总的来说，回归建模的过程包括数据收集、数据预处理、模型
选择、模型拟合、模型诊断和模型评价。
评价方法包括R方值、均
方误差、残差分析、AIC、BIC等，这些方法可以帮助我们评估回归
模型的拟合优度和预测能力，从而选择最合适的模型来描述自变量
和因变量之间的关系。
北理工_数据分析_实验5_数据拟合
北理工_数据分析_实验5_数据拟合实验目的：本实验旨在通过数据拟合方法，对给定的实验数据进行拟合，从而得到合适的数学模型，并分析模型的适合性和拟合效果。
实验步骤：1. 采集实验数据：根据实验要求，采集相应的数据，并记录下各个变量的取值。
2. 数据预处理：对采集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
确保数据的准确性和完整性。
3. 数据拟合方法选择：根据实验要求和数据特点，选择合适的数据拟合方法。
常见的数据拟合方法包括线性回归、非线性回归、多项式拟合等。
4. 模型建立：根据选择的数据拟合方法，建立数学模型。
例如，如果选择线性回归，可以建立线性方程模型 y = ax + b。
5. 模型拟合：使用选定的数据拟合方法，将实验数据带入数学模型中进行拟合。
根据拟合结果，得到模型的参数估计值。
6. 拟合效果评估：对拟合结果进行评估，判断模型的拟合效果。
常用的评估指标包括均方误差（MSE）、决定系数（R²）等。
7. 结果分析：根据拟合结果和评估指标，分析模型的适合性和拟合效果。
可以通过可视化图形展示拟合结果，比较实验数据与拟合曲线的吻合程度。
8. 结论总结：根据实验结果和分析，总结数据拟合的过程和结果，得出结论。
可以讨论模型的优缺点，提出改进意见。
实验数据示例：假设我们进行了一次实验，测量了一系列温度（x）和对应的压力（y）数据。
数据如下：温度（x）：20, 25, 30, 35, 40, 45, 50压力（y）：10, 12, 15, 18, 22, 27, 32根据这组数据，我们希翼找到一个数学模型，能够描述温度和压力之间的关系。
选择线性回归作为数据拟合方法，建立线性方程模型：y = ax + b。
将实验数据带入模型进行拟合，得到参数估计值：a = 0.6b = 4.5通过评估指标，我们可以对拟合效果进行评估。
计算均方误差（MSE）和决定系数（R²）：MSE = 4.3R² = 0.92根据评估结果，我们可以得出结论：线性回归模型能够较好地拟合实验数据，拟合效果较好。
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m
b
i 1
xi
m
i 1 m
xi yi
a xi mb yi
i 1
i 1
（正规方程）
正规方程组解的矩阵表示：
记
1 x1
A 1
x2
,
M M
1
xm
y1
y
y2
,
M
ym
则正规方程组为 ( AAT ) AT y.
若 AAT 可逆，正规方程的解为
( AAT )1 AT y.
b a
从图上看，存在两个以上点时，不能期望它们精确地处 于一直线上。数据点和直线间总存在一些纵向差异。称这 些纵向差异为绝对偏差 。
最佳拟合的准则：
（1）极小化这些绝对偏差的和.
偏差
即极小化
m
yi f 须用数值最优化方法
解出模型参数a, b的估计.
图2 极小化绝对偏差的和
i 1
i 1
等价于下述线性方程组的最小二乘解：
ax1 b y1
ax2
b M
y2
axm b ym
根据多元函数的极值理论，最优的必要条件是两个偏导数 等于0.
S a
m
2
i 1
xi
(
yi
axi
b)2
0
S b
m
2
(
i 1
yi
axi
b)2
0
整理得正规方程：
a
m i 1
xi2
.
解得
m
m
m
m xi yi xi yi
a
i 1
i1 i1
m
m
xi2
m
xi
2
,
i 1
i1
m
m
m
m
b
xi2 yi xi yi xi
i 1
i 1
i 1
i 1
m
m
xi2
m
xi
2
,
i 1
i1
可以编写计算机程序解 a 和 b. 用Matlab编程，只要输入数据， 再输入 regress命令即可得到系数的最小二乘估计。
x
5.
y
1 a be x
,y
1 ,v ex u
u a bv,
一般地，变换以后再进行最小二乘拟合与直接进行最小 二乘拟合的结果是不一样的。
在原始问题中，寻找曲线时，是极小化原始数据的偏差 平方和，而在变换后的问题中，极小化变换后的变量的偏差 平方和。
非线性拟合的Matlab指令为：lsqcurvefit 其调用格式为 p= lsqcurvefit(‘Fun’, p0 , xdata, ydata)
由log y取指数得
y 5.2857(1.4635)x
数据拟合效果图：
例3. 估计蓝蟹.
作出散点图： 散点图中数据的倾向是增的、上凸的。
对于一个向上凸的正值函数，y = f ( x )，x > 1.
这次尝试改变 y 的值成为 y2、y3 等来拉伸右侧 尾部向上而线性化。另一种可能是尝试改变x的
小结：构造一个预测模型时，细心分析收集到的数据，看 数据存在什么样的倾向？是否有明显处于倾向外的数据点？ 如果这样的异常值存在，是否抛弃它？如果是实验观察到 的，重复该实验以检查数据。当某一种倾向确实清楚存在 时，找到一个将数据变换成一直线（近似地）的函数。
人口 (×106)
表1 美国人口统计数据
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850
3.9 1860 31.4 1930
5.3 1870 38.6 1940
7.2 1880 50.2 1950
9.6 1890 62.9 1960
12.9 1900 76.0 1970
17.1 1910 92.0 1980
当实际问题中不能根据一些假定提出某种模型时，就要基 于数据建立经验模型。
1. 单项模型的选择
例2. Chesapeake 海湾的收成.
作出散点图：
任务是预测蓝鱼的产量。 策略是变换数据，使得所产生的图形近似一条直线。 怎样确定这一变换呢？
散点图中数据的倾向是增的、下凸的。 对于一个向上凹的正值函数，y = f ( x )，x > 1.
4. 利用拟合函数估计出2010年的美国人口.
曲线拟合问题的提法
——什么是曲线拟合
已知一组二元数据，(xi , yi ), i 1, 2,..., n,这组数据形成
平面上的一组散点. 在某一类函数中寻找一个函数 f (x)
使得函数曲线在某种准则下与所有数据点最为接近，
这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，f (x) 称为拟合函数.
其中 Fun—表示拟合函数的M文件或内联函数. xdata, ydate—拟合的数据，以数组方式输入. p0 –拟合参数的初值. p—拟合的参数.
若要求在 x处的取值y可用如下命令格式计算： y=Fun(p, x)
在分析一个数据集合时，有四个可能需要解决的任务： 1. 模型选择 , 线性模型, 多项式模型, 指数模型或是其它模型. 2. 按照一个或一些选出的模型类型对数据进行拟合 (确定模型中的最佳参数). 3. 对拟合模型的评价 (不同模型之间的优劣). 4. 根据收集的数据做出预报, 评价预报的效果.
m
m
yi f (xi ) 2 yi f (xi )2
i 1
i 1
最小二乘准则
给定某一函数类型 y = f (x) , 以及m个数据点（xi, yi）的集 合，极小化绝对偏差 | yi - f(xi)| 的平方和，即确定函数 y = f (x)中的参数，极小化
m
m
yi f (xi ) 2 yi f (xi )2
23.2 1920 105.8 1990
122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7
一、数据拟合的方法
1. 平面上绘出已知数据的分布图 (散点图，Scatter Plot). 2. 通过直观观察或经验公式猜测人口随时间的变化规律
(函数关系). 3. 利用函数拟合的方法确定拟合函数中的未知参数.
统计上利用最小二乘准则估计拟合直线的参数称为线性回归。
例1：弹簧的弹性系数的测定.
已知弹簧的弹力与弹簧长度有线性关系： y=ax+b 其中常数 a与b需要根据数据测定.
下表给出了悬挂不同重量的物体时弹簧的长度，试由这 组数据推测弹簧的弹性系数.
5
10
15
20
25
30
长度(cm) 7.25 8.12
数据拟合与模型选择
Curve Fit and Model Selecting
Jie Fei
MPTC June 20, 2012
引例 美国人口预测
给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为 一个间隔），请估计出美国2010年的人口。
年份
人口 (×106) 年份
人口 (×106) 年份
多项式在 x处的取值y可用如下命令格式计算： y=polyval(a, x)
三、经变换的最小二乘拟合
理论上最小二乘准则可用于其它模型，方法都是对参数求
导，令其等于零，解得到的方程，求出模型的参数。但在
实践上可能有困难。
例如要拟合模型 y aebx ,作最小二乘估计时需要极小化
m
S
m
yi f (xi ) 2
对于蓝鱼的产量数据，将 x 的值改为阶梯向上的几种值 （x2，x3 等），不能产生有关线性图形；因此将y的值改 为阶梯向下的值 y 或 ln y 的值。经比较，选取 ln y 对 x 的模型，用最小二乘拟合下面模型：
log y ax b
找出拟合的曲线
log y 0.7231 0.1654x
其中x是基底年，log y 是以10为底的对数，y 的单位是104磅。
（2）极小化所有点的最大偏差.
即极小化
偏差
Max| yi – f (xi) |， i =1,2, ,m
解这个问题可能需要高级的数学 方法，或者需要计算机的数值算 法。简单情形，会转化成一个线 性规划问题。
图3 极小化最大绝对偏差
（3） 极小化这些绝对偏差的平方和（最小二乘原则）
即极小化
（Least-Squares Criterion）
曲线拟合的图示
y
O
x
最佳拟合准则
设有 m 个数据点（xi, yi）i=1, 2, …, m. 作散点图如下： Scatter Plot
图1 数据散点图 要想对图1所示的数据拟合模型 f (x) = a x + b. 应如何选 择 a 和 b ，使直线最好地拟合数据？即最佳拟合的原则与方 法是什么？
2
(
i 1
yi
a0
a1xi
a2 xi2 )2
0
S
a1
m
2
i 1
xi
(
yi
a0
a1xi
a2 xi2 )2
0
S
a0
m
2
i 1
xi2
(
yi
a0
a1xi
a2 xi2 )2
0
正规方程组解的矩阵表示：
记
1
A
1 M
x1 x2 M
x12 x22
M
,
1
xm
xm2
y1
y
y2
,
i 1
i 1
函数中的参数作为自变量，绝对偏差的平方和作为目标函 数，利用多元函数的极值理论就可以解决。
用最小二乘准则来估计各种类型曲线参数的数学过程如下： 一、拟合直线
设预期模型的形式为 y =Ax+B，用a、b记A、B的最小二乘