matlab人口预测与数据曲线拟合
matlab对一定范围内的数据拟合曲线
Matlab对一定范围内的数据拟合曲线一、引言在科学研究和实际工程应用中，经常需要对一定范围内的数据进行拟合，以找出数据间的规律和趋势。
而Matlab作为一种强大的数学分析软件，具有丰富的拟合曲线工具，可以对数据进行多种拟合方法的优化和应用。
本文将重点讨论Matlab对一定范围内的数据拟合曲线的方法和应用。
二、数据准备在进行数据拟合曲线之前，首先我们需要准备一定范围内的数据。
数据可以来源于实验测量、模拟计算或者观测记录，包括自变量和因变量。
在Matlab中，我们可以将数据存储在数组或矩阵中，并通过plot函数将数据可视化，以便分析和拟合。
三、拟合模型选择在进行数据拟合曲线之前，我们需要选择适当的拟合模型。
对于一定范围内的数据，常用的拟合模型包括线性拟合、多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
在Matlab中，可以使用polyfit、fittype和cftool 等函数来选择和创建拟合模型，并评估拟合效果。
四、线性拟合线性拟合是最简单和常见的拟合方法之一。
对于一定范围内的数据，线性拟合可以用一条直线来拟合数据的整体趋势。
在Matlab中，可以使用polyfit函数来进行线性拟合，并使用polyval函数来计算拟合线的值。
通过计算斜率和截距，可以得到拟合直线的方程，从而分析数据间的线性关系。
五、多项式拟合除了线性拟合，多项式拟合也是常用的拟合方法之一。
对于一定范围内的数据，多项式拟合可以使用多项式函数来拟合数据的曲线趋势。
在Matlab中，可以使用polyfit函数来进行多项式拟合，并使用polyval函数来计算拟合曲线的值。
通过选择合适的多项式阶数，可以得到拟合曲线的方程，从而分析数据间的非线性关系。
六、指数拟合和对数拟合在一定范围内的数据中，有时候数据呈现指数增长或者对数增长的趋势。
在这种情况下，可以使用指数拟合和对数拟合来分析数据的增长规律。
在Matlab中，可以使用fit函数来进行指数拟合和对数拟合，并得到拟合曲线的方程。
matlab曲线拟合函数
matlab曲线拟合函数
MATLAB曲线拟合是一种数学工具，用于将实际数据拟合到一个曲线上。
它用于拟合曲线和曲面，可以用来分析数据和模拟实际情况。
MATLAB曲线拟合的功能可以帮助研究人员更好地理解实际数据，以及快速建立模型和模拟实际情况。
MATLAB曲线拟合的基本原理是使用拟合算法来拟合所提供的数据点，以获得最佳拟合结果。
MATLAB拟合算法可以根据所提供的数据点进行自适应拟合，以达到最佳拟合效果。
MATLAB曲线拟合还可以提供有关拟合曲线的详细信息，如曲线类型、拟合类型等，这些信息可以帮助研究人员更好地分析实际数据，从而更好地模拟实际情况。
MATLAB曲线拟合的另一个优势是可以通过使用该工具的可视化功能，快速绘制出拟合曲线，以便更好地分析实际数据。
MATLAB曲线拟合的可视化功能使研究人员能够快速检查拟合曲线的效果，以便快速修改曲线的参数。
MATLAB曲线拟合的功能强大，有助于加快研究人员分析数据和模拟实际情况的过程。
它可以帮助研究人员更快更好地理解实际数据，以及快速建立模型和模拟实际情况。
matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测
实验目的[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模型；[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。
应用实验（或综合实验）一、实验内容从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：表综2.1年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106)3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106)31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 193019401950196019701980人口(×106)123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。
二、问题分析1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。
记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rxtx2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d xx x x rx t xm三、数学模型的建立与求解根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic 模型，我们可以分别求得微分方程的解析解，y1=x0*exp(r*x);y2= xm/(1+x0*exp(-r*x))对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab 工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。
数据的曲线拟合
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
%多项式求值函数
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’)
legend(‘原始数据’，’6阶曲线’)
十阶多项式：
x=1:20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,10)
xi=linspace(1,20,100);
实验5
数据的曲线拟合 （Matlab）
一、问题 人口预测问题。 下面给出的美国1900到到2000年的人口数。 我们的目标是预测未来的人口数。
t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 y 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150．697 t 1960 1970 1980 1990 2000 y 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422
2、本实验中所用Matlab命令提示： ★ yi=interp1(x1,y1,xi,’linear’)；%一元插值函数 interpl,其中x1,y1为节点，命令对应函数yi=g(xi)； ★ zi=interp1(x1,y1,xi,’cubic’)： %三次多项式插值；
★ p=polyfit(x1,y1,n)： %多项式拟合函数polyfit( ), [p,s]=polyfit(x1,y1,n)：x1,y1为节点,n为多项式阶 数， 矩阵s为生成预测值 的误差估计；
3、 下表为某保险公司100个赔款样本的赔款状况， 求出：（1）画直方图、散点图；（2）若分布适 合对数正态分布模型,求参数μ,σ;(3)画对数 正态分布密度图形。
赔款额（元） 0—400
Matlab中的曲线拟合方法
Matlab中的曲线拟合方法引言在科学与工程领域，数据拟合是一个重要的技术，可用于分析实验数据、预测未知的对应关系，并量化观察到的现象。
其中，曲线拟合是一种常见的数据拟合方法，而Matlab作为一种功能强大的科学计算软件，提供了多种曲线拟合工具和函数，方便用户进行数据分析和模型建立。
本文将对Matlab中的曲线拟合方法进行详细介绍和讨论。
一、线性拟合线性拟合是最简单且常见的曲线拟合方法，其基本思想是通过一条直线拟合数据点，找到最佳拟合直线的参数。
在Matlab中，可以使用polyfit函数实现线性拟合。
该函数接受两个输入参数，第一个参数为数据点的x坐标，第二个参数为数据点的y坐标。
返回结果为一个一次多项式拟合模型的参数。
例如，我们有一组实验测量数据如下：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [3, 5, 7, 9, 11];通过polyfit函数进行线性拟合：coeff = polyfit(x, y, 1);其中，1表示要拟合的多项式的次数，这里我们选择了一次多项式（直线）。
coeff即为拟合得到的直线的参数，可以通过polyval函数将参数代入直线方程，得到对应x的y值。
y_fit = polyval(coeff, x);接下来，我们可以使用plot函数将原始数据点和拟合曲线都绘制在同一张图上：figure;plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10); % 绘制原始数据点hold on;plot(x, y_fit); % 绘制拟合曲线xlabel('x');ylabel('y');legend('原始数据点', '拟合曲线');通过观察图像，我们可以初步判断拟合的效果如何。
如果数据点较为分散，直线拟合效果可能较差。
在此情况下，可以考虑使用更高次的多项式进行拟合。
二、多项式拟合多项式拟合是一种常见的曲线拟合方法，其基本思想是通过一个一定次数的多项式函数来拟合数据点。
Matlab中的数据拟合与曲线拟合技巧
Matlab中的数据拟合与曲线拟合技巧在科学研究和工程应用中，数据拟合和曲线拟合是常见的任务。
Matlab作为一种强大的数值计算和数据分析工具，提供了丰富的函数和工具箱来进行数据拟合和曲线拟合。
本文将介绍一些常用的数据拟合和曲线拟合技巧，让读者能够更好地利用Matlab来处理自己的数据。
首先，我们来看一下最常用的数据拟合技术之一——多项式拟合。
Matlab提供了polyfit函数来进行多项式拟合。
这个函数接受两个输入参数：x和y，分别为要拟合的数据点的横坐标和纵坐标。
我们可以根据实际需求选择合适的多项式阶数，然后调用polyfit函数，即可得到拟合后的多项式系数。
可以使用polyval函数来根据多项式系数计算拟合后的y值。
这样，我们就可以在Matlab中方便地进行数据拟合和预测了。
除了多项式拟合，Matlab还提供了其他常见的数据拟合方法，如指数拟合、对数拟合和幂函数拟合等。
这些方法在Matlab中的实现也非常简单，大部分都可以通过调用相关函数实现。
对于指数拟合，可以使用fit函数和exp2fit函数来进行拟合。
对于对数拟合，可以使用fit函数和log2fit函数来进行拟合。
对于幂函数拟合，可以使用fit函数和powerfit函数来进行拟合。
这些函数的使用方法大体相同，都需要提供拟合的数据点x和y，然后调用相应的函数即可得到拟合后的结果。
另外，Matlab还提供了一些高级的数据拟合和曲线拟合方法，如非线性最小二乘拟合和样条插值拟合。
非线性最小二乘拟合是一种非常灵活的拟合方法，可以拟合各种非线性函数。
Matlab提供了lsqcurvefit函数来实现非线性最小二乘拟合。
这个函数需要提供一个函数句柄，表示要拟合的函数模型，然后根据拟合的数据点进行拟合。
通过修改函数模型和参数的初始值，可以得到不同的拟合结果。
样条插值拟合是一种光滑曲线的拟合方法，可以更好地拟合离散数据点。
Matlab提供了spline函数来进行样条插值拟合。
人口问题数据拟合的MATLAB程序
人口问题数据拟合的MATLAB程序拟合%拟合数据人口问题x=[1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994];y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8];% 1 线性模型%用一阶多项式b=polyfit(x,y,1)z=b(2)+b(1).*x;plot(x,y,'r*',x,z),xlabel('x')%用矩阵运算A=[ones(size(x))', x'];b=A\y'z=b(1)+b(2).*x;plot(x,y,'r*',x,z),xlabel('x')%用线性回归A=[ones(size(x))', x'];[b,c,r,j,R] =regress(y',A)% b 回归系数 c 回归系数的置信区间r 残差j 拟合数据的置信区间R 相关系数F值、p值z=b(1)+b(2).*x;z1=z+j(:,1)';z2=z+j(:,2)';plot(x,y,'r*',x,z,x,z1,x,z2),xlabel('x')e=sqrt(sum((y-z).^2)/8)zz1=z-1.96*e; zz2=z+1.96*e;plot(x,y,'r*',x,z,x,zz1,x,zz2)% 2 非线性模型y=b(2)exp(b(1)x)%转化为线性函数A=[ones(size(x))', x'];y1=log(y);[b1,r,j,R]=regress(y1',A)b=[exp(b1(1)) b1(2)]z=b(1).*exp(b(2).*x);e=sqrt(sum((y-z).^2)/8)z1=z-1.96*e; z2=z+1.96*eplot(x,y,'r*',x,z,x,z1,x,z2)%用非线性函数拟合（缺点初值不合适，就得不到解）x=[49 54 59 64 69 74 79 84 89 94];y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8];fun=inline('b(1).*exp(b(2).*x)','b','x');b0=[2 0.01];[b,r,j]=nlinfit(x,y,fun,b0)z=b(1).*exp(b(2).*x);plot(x,y,'r*',x,z)nlintool(x,y,fun,b0) %拟合曲线图。
matlab 数据 曲线拟合
matlab 数据曲线拟合
在MATLAB中，曲线拟合是通过拟合函数来找到一条曲线，使其
最好地逼近给定的数据点。
曲线拟合在数据分析和模型建立中非常
常见，可以用于预测、趋势分析和模式识别等领域。
在MATLAB中，
有多种方法可以进行曲线拟合，包括多项式拟合、指数拟合、对数
拟合、幂函数拟合等。
首先，要进行曲线拟合，需要准备好要拟合的数据。
在MATLAB 中，可以使用plot函数将数据点绘制成散点图，然后再用拟合函数
拟合这些数据点。
拟合函数的选择取决于数据的特点和拟合的要求。
例如，如果数据的变化趋势与指数函数相似，可以选择使用fit函
数进行指数拟合；如果数据呈现多项式的变化规律，可以使用
polyfit函数进行多项式拟合。
另外，在MATLAB中，也可以使用cftool命令来进行曲线拟合。
cftool是MATLAB提供的一个交互式工具，可以通过图形界面直观
地进行曲线拟合操作。
用户可以导入数据，选择拟合类型，调整拟
合参数，实时观察拟合效果，并且可以导出拟合结果供后续分析使用。
除了以上提到的方法，MATLAB还提供了丰富的工具箱和函数，如curve fitting toolbox、lsqcurvefit等，用于更复杂和高级的曲线拟合需求。
这些工具可以帮助用户处理各种不同类型的数据，并进行更精确的曲线拟合。
总之，MATLAB提供了多种方法和工具用于数据的曲线拟合，用户可以根据自己的需求和数据的特点选择合适的方法进行曲线拟合分析。
希望这些信息能够帮助你更好地理解在MATLAB中进行曲线拟合的方法和技巧。
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a1 双曲线（一支): y a2 x 指数曲线： y a1e a2 x
例如
f ( x ) a1 x m a2e x a3 sin( x )
1, x , x 2 ,L x m
多项式拟合 指数函数拟合 三角函数拟合
e
1 x
,Le
m x
sin( x ), cos( x ), sin( 2 x ), cos(2 x ),Lsin( mx ), cos(mx )
仿真结果表明： 线性模型在短 期内基本上能 比较准确地反 映人口自然增 长的规律，但 长期预测误差 较大。
三、人口预测的Malthus模型
英国统计学家Malthus于1798年提出了一种关于 生物种群繁殖的指数增长模型：假设种群数量的增 长率与该时刻种群的个体数量成正比。 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t 的人口, t=0时人口数为x0 dx rx , rt x ( t ) x e dt 指数增长模型 0 x ( 0 ) x0 实际中，常用
2 2 [ f ( x ) y ] i i i i 1 i 1 n n
达到最小。
最小二乘准则
数据插值
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点( xi , yi ) ，
y f ( x) i 1,2, L, n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）
使f ( x )在观察点x1 ,L, xn 处满足f ( xi ) yi , i 1,L, n,
计算得
a -27.9047, b 0.0176
从而得到人口数与年份的函数关系为
ye
27.9047 0.0176* x
指数预测模型
并预测2000,2005,2010年的人口
年份 预测（百万） 真实值（百万） 2000 1363.6 1295.33 2005 1488.8 1306.28 2010 1625.4 1370.5
xt e a bt ln x t a bt
解：
设
x t e
a bt
ln( x ) a bt
问题转化为求参数 a, b 使得
J (a , b) (a bti ln xi )2
10 i 1
取得最小值.其中, t i 表示年份,xi x t i 表示人口数量。
数学实验
Experiments in Mathematics Laboratory Mathematics
阮小娥博士 赵小艳
办公地址：理科楼214
实验13 人口预测与数据拟合
实验目的
1、学会用MATLAB软件进行数 据拟合。 2、了解利用最小二乘法进行 数据拟合的基本思想，掌握 用数据拟合法寻找最佳拟合 曲线的方法。 3、了解多元函数的极值在 数据拟合法中的应用。
或者调用M函数
function f=nihe(a,x) f=a(1)+a(2)*x; 保存成nihe.m,在新窗口编写程序 x=1949:5:1994; y=[541.67,602.66,672.09,704.99,806.71, 908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.7 4]; a0=[10 10]; [a,resnorm]=lsqcurvefit(@nihe,a0,x,y)
也可以用inline命令定义函数
x=0:0.1:1; y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.1 7]; f=inline('a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3','a','x'); a0=[0 0 0]; [a,resnorm]=lsqcurvefit(f,a0,x,y) plot(x,y,'*') hold on g=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3; plot(x,g,'r-')
(2) polyfit命令---多项式曲线拟合 a = polyfit(xdata,ydata,n) 其中n表示多项式的最高阶数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向 量的方式输入。 输出参数a为拟合多项式 y = anxn + … + a1x + a0的系数a = [an, …, a1, a0]。 多项式在x处的值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x)
注意：该命令与初值有关系。
也可以直接编写程序如下：
clc;clf; x=1949:5:1994; y=[541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106. 76,1176.74]; plot(x,y,'r*','linewidth',2) grid a11=10;a12=sum(x); a21=a12;a22=sum(x.^2); d1=sum(y);d2=sum(x.*y); A=[a11,a12;a21,a22]; D=[d1;d2]; ab=inv(A)*D plot(x,g,'b-','linewidth',2) t=1949:5:2010; g=ab(1)+ab(2)*t; hold on plot(t,g,'b-','linewidth',2) y2000=ab(1)+ab(2)*2000 y2005=ab(1)+ab(2)*2005 y2010=ab(1)+ab(2)*2010 axis([1945 2012 500 1450]) plot(2000,1295.3,'g*','linewidth',2) plot(2005,1306.28,'g*','linewidth',2) plot(2010,1370.5,'g*','linewidth',2)
4、通过对实际问题进行分 析研究，初步掌握建立数 据拟合数学模型的方法。
实验问题
据人口统计年鉴，知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
1954 1959 1964 1969 602.66 672.09 704.99 806.71 1979 1984 1989 1994 975.42 1034.75 1106.76 1176.74
仿真结果表明： 人口增加的指 数模型在较短 期内基本上能 比较准确地反 映人口自然增 长的规律，但 长期预测误差 很大。
四、人口预测的Logistic模型
如果人口的增长符合Malthus模型，则当 t , x( t ) 即最终导致地球上人口爆炸，这与实际是不相符的。
1838年，荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型作 了进一步分析后指出：导致上述不符合实际情况的 主要原因是未能考虑“密度制约”因素。
年份 人口数 年份 人口数
1949 541.67 1974 908.59
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年 的人口数。
y ax b
线性模型
如何确定a,b?
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点( xi , yi ) ， 使 f ( x) 在观测点x处所取得值f(x)分别与观察值y在某种 准则下最为接近，即曲线拟合得最好，如图
数据插值
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
１）画图观察 ２）理论分析
f ( x ) a1 r1 ( x ) a 2 r2 ( x ) L a m rm ( x )
常用的曲线函数系ri(x)类型：
直线： 多项式：
y a1 x a0
y am x m L a1 x a0
10 1 J 10 10a t i b ln xi 0 2 a i 1 i 1 解方程组: 10 10 10 1 J t i a t i2 b ln xi t i 0 i 1 2 b i 1 i 1 即得参数a, b 的值.
y
y f ( x) i 1,2, L, n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线） ，
+ ( xi , yi ) i + + +
+
0
y f ( x)
+
+
+
x
从几何上讲，并不要求曲线严格通过已知点，但 要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误 差最小，通常称为数据拟合。
而我们经常是确定f(x)使得偏差平方和Fra bibliotek计算得
a 15, b 27754
y 15 x 27754
从而得到人口数与年份的函数关系为 线性预测模型
并预测2000,2005,2010年的人口
年份 预测（百万） 真实值（百万） 2000 1266.6 1295.33 2005 1339.1 1306.28 2010 1411.7 1370.5
例
首先编写函数文件 function y=f(a,x) f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3
保存为f.m，其次调用该函数
x=0:0.1:1; y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17]; a0=[0 0 0]; [x,resnorm]=lsqcurvefit(@f,a0,x,y)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数