24.3正多边形和圆
∴ ⊿AOB、⊿AOD、 ⊿BOC 、⊿COD 是等 腰三角形
∵ AB=BC=CD=DA B
O
C
∴⊿AOB ≌ ⊿BOC ≌ ⊿COD ≌ ⊿AOD （SSS） ∴正四边形的4条半径分正四边形为4个 全等的等腰三角形
A
思考：
1、正五边形的边和半 径形成了怎样的三角 形？ 2、这些三角形间有怎 样的关系？ B
中心
8.下列说法中正确的是( D ) A.平行四边形是正多边形 B. 矩形是正四边 形 C. 菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形 A 9. 下列命题中,真命题的个数是( ) ①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角 都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一 定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形 一定相似. A.1 B.2 C. 3 D. 4
轴 5.正多边形一定是----------对称图形,一个正 n n边形共有------------条对称轴,每条对称轴
都通过----------;如果一个正n边形是中心对 偶数 称图形,n一定是----------. 6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要 72 旋转-------度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12 2﹕3 和18,则它们的周长之比为-------,面积之比 4﹕9 为------------.
正多边形和圆
24.3
Hale Waihona Puke 1.我们已学过哪些正多边形?
2.这些正多边形的边与角有什么 特点? 各边相等,各角也相等
日常生活中你还看 到哪些具有这两个 性质的多边形?
你还能举出更多例子吗？
怎样判断一个三角 形是正三角形?
正多边形：
怎样判断一个四边形 是正方形?
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
1.正四边形
2正六边形
找出圆的四等分点，得圆的内接四边形，
分析：此内接四边形为什么四边形？
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等— 圆周角相等（多边形的角相等） —多边形是正多边形
A 找出圆的五等分点， 得圆的内接五边形， B 分析：此内接五 边形为什么五边形？ E
C 弦相等（多边形的边相等）
1、指出图中的边心距； 2、观察三条边心距长度 间的关系，并说明理由。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角。
3：
数一数正多边形有几个中心角？ 它们有什么特征？
A A D
O
O
B
C
B
C
正多边形的半径与边形成了怎样的图形?这 些图形间有怎样的关系？
A ∵ OA=OB=OC
1、教材页，练习题。 2、教材页，练习。
O
E
C
D
正五边形5条半径分正 五边形为5个全等的等腰三 角形。
A
F
易证：
B
O
E
C
D
观察： 1、正n边形有几条半径？它们 之间有怎样的关系？ 2、正多边形的半径与边形成 了怎样的图形？这些图形间有怎样 的关系？
A
A
B
O
D
O
E
C A
D
F
B
C
观察：正四边形、正五 边形、正六边形的边心距有 什么特征呢？为什么？ E
弧相等— 圆周角相等（多边形的角相等）
D
—多边形是正多边形
A
F
B
E
C
D
弦相等（多边形的边相等） 弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
1、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中 心； 2、正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半 径； 3、中心到圆内接正多边形各边的距离叫做正 多边形的边心距； 4、正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等， 这个圆心角叫做正多边形的中心角。
1：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径. A A D
O
O
B A B
O
C
B A E B
C
F
E
O
C
D
C
D
2： 中心到圆内接正多边形各边的距离叫做正多
边形的边心距；
A
答：相等。 证明： F O
E
∵ ⊿ABC是圆内接 正三 角形
∴AB=AC=BC
B
D
C
∵ OD⊥BC于D
OE ⊥AC于E OF ⊥AB于F ∴ OD=OE=OF
10.已知正n边形的一个外角与一个内角 的比为1﹕3,则n等于( C ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11. 如果一个正多边形绕它的中心旋转 90°就和原来的图形重合,那么这个正 多边形是( ) B A.正三角形B.正方形 C.正五边形 D.正 六边形
１、正多边形的概念：正多边形中 心；半径；边心距；中心角。 ２、重要结论： （１）正n边形有n条半径且都相等； （２）正多边形的n 条半径分正多 边形为n个全等的等腰三角形； （３）正n边形的n条边心距相等； （４）正n边 形 的n条 边心 距 又把 n 个全等 的三角形 分成了2n个全等 的 直角三角形。
⑴我们可以借助量角器将一个 圆n(n≥3)等分,依次连接各等分 点所得的多边形是这个圆的内 接正多边形. ⑵这个圆是这个正多边形的外 接圆.正多边形的外接圆的圆心 叫做正多边形的中心
正多边形是否是轴对 称或中心对称图形？ 正多边形的性质: 1.正多边形的各边相等,各角相等. 2.正n边形是轴对称图形,有n对称轴;但 不一定是中心对称,除非n是偶数 3.边数相同的正多边形相似
B
O
C
D
仔细观察，认真思考：
正n边形的n条边心距又把n 个全等的三角形分成了怎样的 图形？它们之间又有什么样的 关系？ 正n边 形 的n条 边心 距 又把 n个全等 的三角形 分成了2n个全等 的直 角三角形。
A
A’ O
A
C’
A’
D’
D
C’
O
B
B’
C
E’
B A E B
A’
B’ F’
C
F E’
A
A’
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
为什么？
练一练
下列命题是真命题吗？如果不是，举出 一个反例。 （1）正多边形的各边相等。( √ )
（2）各边相等的多边形是正多边形。( × )
（3）正多边形的各角相等。( √ )
（4）各角相等的多边形是正多边形。( × )
能否省去各边相等或各 角相等？举例说明！ 1.正多边形的概念 各边相等,各角也相等的多边形叫做正 多边形 2.正多边形与圆的关系
___________。 圆心角
3
练习
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫 中心 做正方形ABCD的______． 2、正方形ABCD的内切圆⊙O的 边心距 半径OE叫做正方形ABCD的______． 3、若正六边形的边长为1，那么 正六边形的中心角是______度，半径 60 3 1 是______，边心距是______，它的每 2 120° 一个内角是______． 4、正n边形的一个外角度数与它 中心 的______角的度数相等．
B
O B’ D’ C’
O B’ D’
E
C
D
C
C’
D
A
1、正多边形的两个特征是： 相等 （1）各边__________;（２） 各角 相等 ___________; B
O
Ｄ
C
2、如图， ⊿ABC是 正三角形，⊙Ｏ是⊿ABC
的外接圆，指出图中各部分的名称：⊙Ｏ的圆心 中心 Ｏ是正三角形___________，ＯＤ是 正三角 形的___________，ＯＣ是 正三角形的 边心距 ___________， ∠BOC是 正三角形的 半径
∴ ⊿AOB、 ⊿AOC、 ⊿BOC是等腰三角形
O ⌒ ⌒ ⌒ ∵ AB=BC=CA ∴ ∠AOB= ∠BOC= ∠COA
B
C
∴ ⊿AOB≌ ⊿BOC ≌ ⊿AOC （ASA）
∴正三边形的3条半径分正三边形为3 个全等的等腰三角形
正多边形的半径与边形成了怎样的图形?
这些图形间有怎样的关系？
∵ OA=OB=OC=OD A D
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第24章 圆 24.3 正多边形和圆
3
4
5
6
6.已知正n边形的边长为a,边心距为r,求正n边形的半径R,周长P和
关闭
如图,因为 OM⊥AB,
面积S.
1
1
所以 AM=BM=2AB=2a.
在 Rt△AOM 中,
R= 2 + 2
=
2
+
2
1
2
=
2
+
1 2
.
4
因为正 n 边形的边长为 a,
所以正 n 边形的周长 P=na.
1
1
①作圆的内接正五边形;②分别以正五边形的边长为直径在圆内
作半圆,所得的图形就是符合要求的图形.
互动课堂理解
点拨:许多美丽的图案可以通过先作圆的内接正多边形,然后作
圆或弧而形成.
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
1.下列说法不正确的是(
)
360°
A.圆内接正 n 边形的中心角为
B.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
互动课堂理解
2.利用正多边形与圆的性质画图
【例2】 用等分圆周的方法给出如图的图案的画法.
(1)
(2)
分析:图中虚线提示我们把圆等分的份数,然后作出相应的圆或
半圆,即可得到美丽的图案.
解:图(1)作法:
①作圆的内接正方形;②分别以正方形的边长为直径作圆,所得
的图形就是符合要求的图形.
图(2)的作法:
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的多边形是正多边形
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正多边形和圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
我注意到，在讲解正多边形对称轴和中心对称的概念时，部分学生理解起来有些吃力。我及时调整了教学方法，通过让学生动手折叠和旋转正多边形纸片，他们更直观地感受到了对称轴的存在和作用。这种动手实践的方式，不仅加深了他们对概念的理解，也激发了他们的学习兴趣。
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，而不是知识的传递者。我鼓励学生们提出问题，并引导他们通过小组合作解决问题。这种教学方式让学生们更加主动地参与到学习中，也促进了他们的思维发展和团队合作能力的提升。
五、教学反思
在今天的课堂中，我带领学生们探索了正多边形和圆的世界。我发现，对于正多边形的性质和与圆的关系，学生们一开始接触时感到有些困惑，但在逐步引导和实际操作中，他们开始逐渐领悟到了这些几何图形的独特魅力。让我印象深刻的是，在分组讨论和实验操作环节，学生们展现出了极大的兴趣和热情，积极投入到问题的探索和解决中。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解正多边形的定义及其性质，如对称轴、中心对称等；
-掌握正多边形与圆的关系，包括内接正多边形和外切正多边形的特点；
-学会计算正多边形的周长和面积，并能应用于解决实际问题；
-通过实际操作和观察，理解正多边形的构造过程和特点。
举例解释：重点之一是正多边形的性质，如正五边形具有五条对称轴，每条对称轴都将图形分为两个相等的部分。教师应通过具体的图形演示和实例计算，强调这一性质。
24.3 正多边形和圆教案
课题24.3 正多边形和圆授课人 安远县濂江中学 刘志超教学目标知识技能 使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系． 数学思考使学生丰富对正多边形的认识，发展学生的形象思维．问题解决 教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题，发展学生的实践能力和创新精神.情感态度通过认识与探究正多边形到实际应用等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．教学重点理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边相关概念及其中的关系．教学难点 探索正多边形和圆的关系.授课类型 新授课课 时第一课时教具多媒体教 学 活 动教学步骤师生活动设计意图 回顾与思考（（积木展示） 问题： 1. 在这个摩天轮上你找到了哪几种形状的积木？. 2. 什么样的多边形是正多边形？ 3．你对正多边形有多少了解？4．学生思考：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？ 师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解．回顾以前学习过的且对本节课的学习有基础作用的知识，为学习新知打下基础．活动一： 创设情境 导入新课（1）请再观察摩天轮，你还能找出正多边形吗？ （2）把正多边形的边数增多，它的形状有何特点？师生活动：教师实物展示及几何画板软件演示，引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解．教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从动画中发现正多边形和圆的关系．创设情境，激发学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，调动学生学习积极性． 活动二： 1．探究新知问题1：将一个圆分为五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论． 师生活动：教师演示作图并引导学生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程． 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程．问题2：如果将圆n 等分，依次连接各顶点得到一个n 边形，这个n 边形一定是正n 边形吗？师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回1．将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法． 2.教学中，实践探究交流新知答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接正多边形呢？如果是为什么？请说明，不是，举出反例．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解．教师重点关注：学生能否利用正多边形的定义进行判断；学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等，及弦所对的弧相等；学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．2.应用新知活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角等概念.教师提出问题：（1）正五边形的5条半径把它分割成几个三角形？它们有什么关系？（2）正n边形的n条半径有什么关系？（3）正多边形的中心角怎么计算？（4）正多边形的中心角、内角、外角有什么关系？师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论．活动二：举手抢答（1）圆内接正十边形的中心角是_____度．（2）如果一个圆内接正多边形的中心角是120°，那么这是个正____边形．师生活动：学生应用定义进行角度计算抢答，训练中心角的计算能力．活动三：边心距定义的生成教师提出问题：（1）正三边形半径R=2，请求出边BC．（引出边心距定义）（2）画出正三边形的所有边心距，这些边心距相等吗？有几个直角三角形？正n边形呢？（3）正多边形的边长a与边心距r、半径R有什么等量关系？师生活动：由学生计算作图引出边心距定义，学生在教师的引导下，结合图形，得到结论．活动四：正多边形相关线段、角度的综合（1）圆内接正四边形ABCD，∠BOC=________度；（2）若半径为R，①求边BC（用含R的式子表示）；②求边心距OE（用含R的式子表示）．（3）圆内接正六边形ABCDEF，∠BOC=________度，你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？师生活动：学生思考，动手验证，教师引导，得出结论．使学生明确圆内正多边形必须满足各边相等，各角相等，培养学生严谨的态度和思维批判性．3．学生通过对半径的探究了解正多边形，进而对正多边形问题中各类角的关系知其所以然，为角度计算问题立好根基．4．通过对边心距的探究，让学生进一步得到正多边形内外心重合，以及解决正多边形问题转化为解直角三角形问题．活动三：开放训练体现应用【应用举例】（课件展示）例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长．活动一：正多边形的周长问题探究（1）教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答．（2）提出问题：边长为a的正n边形的周长又怎么求？师生活动：小组讨论探究，成果展示，得出一般性的结论．活动二：正边形的面积探究（1）要求地基的面积，你又有什么办法？（2）解决正多边形计算的关键你认为在于什么？师生活动：小组讨论，进行面积求法开放探究，教师参与学生交流后小组成果展示，师生共同归纳计算办法．【拓展提升】1．正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠BEC的度数是_______．题1图题2图题3图2．将正六边形ABCDEF补成如图所示的矩形MNPQ，已知矩形的边NP=8，求BC．3．如图，M，N分别是正六边形AB，BC上的点，且BM=CN．（1）求∠MON的度数；（2）试说明四边形OMBN的面积与正六边形面积之间的关系．师生活动：学生讨论，成果展示，教师引导体会其中的数形结合、方程、化归思想．1．将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等一些量集中在一个三角形中研究，可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的所有量．2．教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题．3通过对面积开放性探究，将正六边形与正三边形结合，了解正多边形的对称性．活动四：课堂总结反思1．课堂总结：（1）谈一谈这节课中，你有哪些收获？解决问题的方法是什么？（2）解决问题的方法是什么？2．布置作业：教科书第108---109页1，6题．巩固、梳理所学知识，对学生进行鼓励、进行思想教育．【板书设计】24.3正多边形和圆各边相等一、圆等弧各角相等提纲挈领，重点突出正多边形内角 半径R, 边心距四、周长l= na 【教学反思】 )180.n ︒22()2a R+=。
九年级数学人教版(上册)24.3正多边形和圆
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长 边心距 周长
2 23
22 22
1 23
1
8
3
12
面积
33
4Hale Waihona Puke 632. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这 个多边形的边数是 3 .
侵权必究
当堂练习
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为 128 4 ___度.
(1)求图①中∠MON=___1_2_0_°_;图②中∠MON= 90 °;
图③中∠MON= 72 °;
MON 360
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
n
E
A
A
D
M .O
O M
A
D
O
M
B
NC B
图① 侵权必究
NC
图②
N
B
C
图③
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
正多边形 的对称性
侵权必究
新课导入
观察下列图形他们有什么特点？
侵权必究
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
侵权必究
讲授新课
知识点 1 正多边形的概念
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 （60度）.
正方形
四条边相等， 四个角相等 （900）.
侵权必究
讲授新课
定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边 形叫做正n边形.
九年级数学： 24.3 正多边形和圆教案
24.3正多边形和圆教案一、【教材分析】1.通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；2.通过正多边形有关概念的教学培养学生的阅读理解能力．二、【教学流程】边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．自主探究问题一、如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．问题二、我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．问题三总结和归纳问题1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径．3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．教师提出问题学生相互讨论思考1.如何画这个图形的外接圆？2.圆与正多边形顶点以及位置关系是怎么样的？3.如何利用圆画正多形：作相等的弧外接圆与内接圆的区别和联系？在教师和和学生的探讨中解决问题：在动手操作与实践中认识问题对问题的一种升华认识对问题的梳理认识尝试应用1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．2.利用正多边形的概念和性质来画正多边形，利用手中的工具画一个边长为3cm的正五边形（1）画法（2）步骤3. 巩固训练教材P106 练习1、2、3 P108 探究题、练习．教师提出问题学生独立思考解答并板书师生探讨分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径可选做，学生独立完成一种成果的展示探讨正多边形的画法补偿提高1．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且h DN NFh AB-=，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．让学生课堂讨论分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题对不同能力学生的升华认识_h_F_D_E_C_B_A_N_GFDECBAOM解：（1）由AB ·CG =AC ·BC 得h=8610AC BC AB ⨯=g =4.8（2）当x =2.4时，S DEFN 最大（3）当S DEFN 最大时，x =2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF =2.4，BF =3． ∴BE =22223 2.4DE EF -=-=1.8 ∵BM =1.85，∴BM >EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x =2.4时，DE =5∴AD =3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:小结:三、【板书设计】24.3 正多边形和圆1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径．3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．四、【教后反思】《正多边形与圆》这一节的教学目标是：让学生能将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决；会用量角器或尺规等分圆、画出正多边形.通过学习使学生能认识到事物之间是普遍联系的，事物之间是可以相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识能力和解决实际问题的能力，渗透数形结合的思想和方法.。
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
24.3正多边形和圆
24.3正多边形和圆一．【知识要点】1.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.【经典例题】1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积(直接写出结果).2.下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为______________.5.如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长、边心距、周长和面积.6.如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则的值是（）A.B. C.D. 27.如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在⊙O 上（P 不与A ，B 重合），则∠APB 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°8．(2023绵阳期末第7题)如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是4，则它的内切圆圆心M 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．（2，4）EFGH26239．(2021绵阳期末第14题)如图，要拧开一个边长a＝2cm的正六角形螺帽，则扳手张开的开口b至少要cm．10.如图，正五边形ABCDE中(1)求证：EB=EC;(2)若BE=2，CF⊥BE交AB于F，求AE+AF.11.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，点P为CD的中点，则PAPB的值为三．【题库】【A】1.下列多边形中，是正多边形的是( ).A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).A.正三角形B.正方形C.正五边形D.平行四边形3.下列正多边形中，对称轴条数是6条的是( ).A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正五边形4.正五边形的中心角是______________度.5.一个正多边形的中心角为90°,则它的边数为____________.6.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是()A.36°B.60°C.72°D.108°7.小明画出一个圆内接正三角形,如图所示,若在小明画的图形上再画出一个正六边形,试填写完整下面的步骤:(1)分别用圆规把AB⏜,BC ⏜,AC ⏜两等分,得出等分点____________. (2)顺次连接AD,BD,_____,EC,CF,______,六边形ADBECF 为所画的正六边形.8.如图,A,P,B,C 是☉O 上的四点,∠APC=∠CPB=60°.(1)求证:△ABC 是等边三角形;(2)已知△ABC 的边长为4 cm,求☉O 的半径.9．边长为a 的正六边形的面积等于（ ）A ．243a B.2a C.2233a D.233a10.如图，正八边形ABCDEFGH 中，∠EAG 大小为（ ） A ．30° B ．40° C ．45° D ．50°11.已知圆内接正六边形的半径为2，则正六边形的边长为( ).12.已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OH 的长为( ).A.2B. D.13.已知⊙O 的内接正方形的边长为4，则半径为( ).A.4B.2C.14.半径为1的圆内接正三角形的边心距为___________.15.边长为1的正六边形的半径为,中心角等于度,面积为.16.半径为4的正六边形的边心距为,中心角等于,面积为.17.如图,正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的面积为.18.半径为3的圆内接正方形的边心距等于.19.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个20.(上海中考)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.721.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A. C.6,3 D.22.如图，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为.23.如图，圆内接正△ABC的半径为R，试分别计算△ABC的边长，边心距及面积.【B】1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是()A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.AC⏜=BC⏜C.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D.∠BAC=30°2.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为()A.3√3B.3√6C.32√3 D.32√63.△OAB是以正多边形相邻的两个定点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为_____________.4.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为________________.5.如图,正六边形ABCDEF中,点M在AB边上,∠FMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ交于点H.(1)当点M不与点A,B重合时,求证:∠AFM=∠BMH;(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.6.若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（）A．2B．3C．3D．27．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．(2022绵阳期末第11题)如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（）A．2B．3C．D．9.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长比为.10.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H,则EF=（）GH2A.211.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36°;②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP.其中正确的结论是( ).A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④12.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm.13.如图,正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP,求APAB的值.14.如图，⊙O的半径为2，求圆内接正十二边形的边长.【C】20cm，则正八边形的面积为1.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2cm。
人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆教案
教学过程
1.导入新课
“同学们，我们今天要学习的内容是关于正多边形和圆的相关知识。在正式开始学习之前，我想请大家观察一下我们周围的物体，看看是否有圆和正多边形的影子。”
（4）让学生利用教具模型进行观察和操作，加深对正多边形和圆的理解。
（5）鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高学生的数学素养。
（6）建议学生在课后进行小组讨论，共同探讨正多边形和圆在现实生活中的应用，提高合作能力。
教学反思
今天讲授的是人教版数学九年级上册第24章《正多边形和圆》，这节课是九年级数学的重要内容，也是学生对几何图形认识的一次质的飞跃。在课后，我对本节课的教学进行了深刻的反思，有以下几点体会：
然而，我也发现了一些不足之处。在教学过程中，我发现部分学生在理解圆的定义和性质时存在一定的困难。对于这部分学生，我需要采取更加直观的教学方法，如利用实物模型、几何画板等教学媒体，帮助他们更好地理解圆的相关概念。此外，在课堂互动环节，我也要注意调动每一个学生的积极性，让每一个学生都能参与到课堂讨论中来，提高他们的合作能力。
5.课堂小结
“通过本节课的学习，我们了解了正多边形和圆的定义、性质和关系。希望大家能够将这些知识运用到实际生活中，不断提高自己的数学素养。”
（教师引导学生总结本节课6.课后作业
“请大家完成课后练习第2、3题，并预习下一节课的内容。”
（教师布置课后作业，为下一节课的学习做好铺垫。）
教学方法与策略
1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课的教学方法主要包括讲授法、直观演示法、小组合作探究法和实践活动法。通过讲授法向学生传授圆和正多边形的基本性质，直观演示法帮助学生形成清晰的表象，小组合作探究法鼓励学生共同探讨问题，实践活动法让学生动手操作，加深对知识的理解。
24.3 正多边形和圆 教材详解及典例分析
24.3 正多边形和圆【重点难点点拨】重点：（1）理解正多边形和圆的关系；（2）能利用所学的知识进行正多边形的有关计算。
难点与关键：利用所学的有关知识进行正多边形的有关计算．【规律方法指津】1、正多边形和圆的关系非常密切，把圆分成（是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；2、正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.3、正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.4、正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等来解直角三角形即可.图24.3-1【知识详细解读】1、正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.注意：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形（这些直角三角形的斜边是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距，另一条直角边是正n边形边长的一半，一个锐角是正n边形中心角的一半，即.2、正多边形的画法要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。
【典型例题感悟】例1、正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．分析：正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．解：8，轴，中心．金钥匙：对于正n边形，它们都是轴对称图形，当n为偶数时，它还是中心对称图形.例2、边长为2 a的正六边形的面积为______．分析：把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为·（2 a）2＝a2，所以正六边形的面积为6a2．解：6a2例3、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______．分析：设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．解：4︰9．金钥匙：本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系．注意：正多边形的面积通常化为n个三角形的面积和．。
人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》教学设计
人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了圆的概念和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解正多边形的定义、性质及其与圆的关系。
通过本节内容的学习，学生能够理解正多边形的对称性，掌握正多边形的计算方法，并为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，逐步理解正多边形的性质，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握正多边形的定义、性质及其与圆的关系，能够运用正多边形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质及其与圆的关系。
2.难点：正多边形的计算方法及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现正多边形的性质及其与圆的关系。
2.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会运用正多边形的性质解决实际问题。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。
2.教学素材：准备一些关于正多边形的实际问题，用于巩固和拓展。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中常见的正多边形，如正方形、正三角形等，引导学生关注正多边形，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，引导学生通过观察、思考，发现正多边形的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析一些实际问题，运用正多边形的性质解决问题。