【期末试卷】-2019学年浙江省杭州市拱墅区九年级(上)期末数学试卷
2018-2019 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3 分）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A ．B ．C．D．2．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则（）A ．B ．C．D．3．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A ．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5B ．任意画一个三角形，它的内角和是178°C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行4．（3 分）如图，点A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝40°，则（）A ．∠AOB＝80°，的度数为80°B ．∠AOB＝80°，的度数为40°C．∠AOB＝40°，的度数为80°D ．∠AOB＝40°，的度数为40°25．（3 分）关于二次函数y＝3x ﹣6，下列叙述正确的是（）A ．当x＝3 时，y 有最大值﹣ 6 B．当x＝3 时，y 有最小值﹣ 6C．当x＝0 时，y 有最大值﹣6 D．当x＝0 时，y 有最小值﹣ 66．（3 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 交l 1、l 2、l 3 于点A、B、C，直线DF 交l 1、l 2、l3 于点D、E、F ，已知，若DE ＝3，则DF 的长是（）A ．B ．4 C．D．77．（3 分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A ．18πB ．27πC．36πD．54π8．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，DE ∥BC，DF ∥AC，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C．D．29．（3 分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB 只有一个交点，则（）A ．a 的值可以是B．a 的值可以是C．a 的值不可能是﹣ 1.2 D．a 的值不可能是 110．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上任意一点，点 D 是AC 中点，OD 交AC 于点E，BD 交AC 于点F ，若BF＝1.25DF ，则tan∠ABD 的值为（）A ．B ．C．D．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分）11．（4 分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被 3 整除的概率是．212．（4 分）计算：cos 45°﹣tan30°sin60°＝．13．（4 分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5 米，CO＝1.25 米，当栏杆 C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5 米时，栏杆 A 端上升的垂直距离（AB）为米．214．（4 分）函数y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：①当y＜0 时，x 的取值范围是；2②方程ax +bx+c＝3 的解是．15．（4 分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为 3.5 米，路面宽AB 为4.2 米，则该隧道最高点距离地面米．16．（4 分）如图在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F 分别在边AB、AC 上，将△AEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在边BC 上．若△BDE 是直角三角形，则CF 的长为．三、解答题217．（6 分）已知二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；2（2）若点P（m，m +1 ）也在该二次函数的图象上，求点P 的坐标．18．（8 分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00 在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛O 在船的北偏东30°方向36 海里处．（1）求轮船从 A 处到B 处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？19．（8 分）把9 个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有 3 个红球，1 个白球；乙布袋里有 1 个红球，2 个白球；丙布袋里有 1 个红球，1 个白球．（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：①从甲、乙两个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6．点D 在边AB 上，AD＝4.5．△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACD ∽△ABC；（2）求的值．21．（10 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD ．（1）求∠BOD 的度数；（2）求证：四边形OBCD 是菱形；（3）若⊙O 的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD 的面积（用含r 的代数式表示）．22．（12 分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用20 米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25 平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连结EB，交OD 于点F ．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE ＝，AB＝6，求AE 的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．2018-2019 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3 分）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A ．B ．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：A、由得：2a＝3b，故选项A 不正确；B、由得：3a＝2b，故选项 B 正确；C、由得：2a＝3b，故选项 C 不正确；D 、由得：ab＝6，故选项D 不正确；故选：B．【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．2．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则（）A ．B ．C．D．【分析】根据三角函数的定义解答即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，∴sinA＝，cosA＝，sinB＝，tanB＝，故选：C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA．锐角A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA．锐角A 的对边a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA．3．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A ．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5B ．任意画一个三角形，它的内角和是178°C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解．【解答】解：A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5 是随机事件；B．任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件；C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1 是随机事件；D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；故选：B．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件，理解定义是关键．4．（3 分）如图，点A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝40°，则（）A ．∠AOB＝80°，的度数为80°B ．∠AOB＝80°，的度数为40°C．∠AOB＝40°，的度数为80°D ．∠AOB＝40°，的度数为40°【分析】利用圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB ＝40°，∴∠AOB＝80°，∴的度数为80°，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考掌考题型．25．（3 分）关于二次函数y＝3x ﹣6，下列叙述正确的是（）A ．当x＝3 时，y 有最大值﹣ 6 B．当x＝3 时，y 有最小值﹣ 6C．当x＝0 时，y 有最大值﹣6 D．当x＝0 时，y 有最小值﹣ 6【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【解答】解：∵y＝3x2﹣6，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，﹣6），∴当x＝0 时，y 有最小值﹣6；∴D 正确，故选：D ．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y2＝a（x﹣h）+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．6．（3 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 交l 1、l 2、l 3 于点A、B、C，直线DF 交l 1、l 2、l3 于点D、E、F ，已知，若DE ＝3，则DF 的长是（）A ．B ．4 C．D．7【分析】由直线l1∥l2∥l3 可得出＝，结合＝，AC＝AB+BC 可得出的值，进而可得出EF＝DE ＝，再将其代入DF ＝DE +EF 中即可求出结论．【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l3 ，∴＝．∵＝，AC＝AB+BC，∴＝＝，∴EF＝DE＝，第8 页（共25 页）∴DF ＝DE+EF ＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．7．（3 分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A ．18πB ．27πC．36πD．54π【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r ，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r＝9，∴S 扇形＝＝27π，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，DE ∥BC，DF ∥AC，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C．D．【分析】根据矩形的性质得到DE ＝CF，根据相似三角形的性质得到＝（） 2 ＝，求得＝，设DE＝k，BC＝2k，得到BF ＝2k﹣k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，DF ∥AC，∴四边形DFCE 是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE ＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF ∥AC，∴△BDF ∽△BAC，∴△DBF ∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝3﹣2 ，故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2 9．（3 分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax ﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB 只有一个交点，则（）A ．a 的值可以是B．a 的值可以是C．a 的值不可能是﹣ 1.2 D．a 的值不可能是 1【分析】先把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得a＝﹣，此时抛物线与线段AB 有两个公共点，所以当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a＜﹣；把A（﹣2，4）代入y ＝ax2﹣2ax﹣3a 得a＝，则当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a≥，然后利用 a 的范围对各选项解析式判断．【解答】解：把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得4a﹣4a﹣3a＝4，解得a＝﹣，则第10 页（共25 页）当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a＜﹣；把A（﹣2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得4a+4a﹣3a＝4，解得a＝，则当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a≥．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2 +bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上任意一点，点 D 是AC 中点，OD 交AC 于点E，BD 交AC 于点F ，若BF＝1.25DF ，则tan∠ABD 的值为（）A ．B ．C．D．【分析】由△ADF ∽△BDA，推出AD 2＝DF ?DB ，由BF＝1.25DF ，可以假设DF ＝4m，则BF ＝5m，BD ＝9m，可得AD ＝6m，根据tan∠ABD ＝计算即可解决问题．【解答】解：∵＝，∴∠DAF ＝∠DBA，∵∠ADF ＝∠ADB，∴△ADF ∽△BDA，∴＝，∴AD2＝DF ?DB ，∵BF＝1.25DF ，∴可以假设DF ＝4m，则BF ＝5m，BD＝9m，∴AD2＝36m2，∵AD＞0，∴AD＝6m，∵AB 是直径，第11 页（共25 页）∴∠ADB＝90°，∴tan∠ABD ＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分）11．（4 分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被 3 整除的概率是．【分析】根据概率公式可得．【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6 种可能，其中所得的点数能被 3 整除的有3、6 这两种，∴所得的点数能被 3 整除的概率为＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件 A 的概率P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．212．（4 分）计算：cos 45°﹣tan30°sin60°＝0 ．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos2 45°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（4 分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5 米，CO＝1.25 米，当栏杆 C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5 米时，栏杆 A 端上升的垂直距离（AB）为 6.6 米．【分析】由∠ABO＝∠CDO ＝90°、∠AOB＝∠COD 知△ABO∽△CDO ，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB⊥BD ，CD ⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO ＝90°，又∵∠AOB＝∠COD ，∴△ABO∽△CDO ，则，即，解得：AB ＝6.6 米，故答案为： 6.6【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．214．（4 分）函数y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：①当y＜0 时，x 的取值范围是x＜﹣5 或x＞1 ；2②方程ax +bx+c＝3 的解是x1 ＝﹣4，x2＝0 ．【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可；②抛物线与y 轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（﹣4，0），从而2得到方程ax +bx+c＝3 的解．【解答】解：①∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），∴当y＜0 时，x 的取值范围是x＜﹣5 或x＞1；2②方程ax +bx+c＝3 的解为x1＝﹣4，x2＝0．故答案为x＜﹣5 或x＞1；x1＝﹣4，x2＝0．2【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax +bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15．（4 分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为 3.5 米，路面宽AB 为4.2 米，则该隧道最高点距离地面 6.3 米．【分析】连接OA．由垂径定理可知AD ＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD 即可解决问题．【解答】解：连接OA．∵OD ⊥AB，∴AD＝DB＝2.1 米，在Rt△AOD 中，OD ＝＝＝2.8（米），∴CD ＝OC+OD ＝6.3（米）故答案为6.3．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直2 2 角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r ＝d +（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．16．（4 分）如图在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F 分别在边AB、AC 上，将△AEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在边BC 上．若△BDE 是直角三角形，则CF 的长为或．【分析】分两种情况：①∠BED ＝90°，过点F 作FM ⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF ＝∠DEF ＝45°，设FC ＝a，则AF ＝3﹣a，在Rt△AMF 中用a 表示出AE，从而得到BE＝5﹣AE，在Rt△BED 中，根据三角函数用a 表示BE，则构造出关于a 的方程；②∠BDE＝90°，证明∠A＝∠DFC ，根据三角函数找到FC 和DF 关系即可．【解答】解：①当∠BED ＝90°时，过点 F 作FM ⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF ＝∠DEF ＝45°，设FC ＝a，则AF＝3﹣a，在Rt △AMF 中，sinA＝，∴MF ＝＝ME ．cosA＝，∴AM ＝．∴AE＝AM +MF＝＝DE ．则BE＝AB﹣AE＝5﹣．在Rt△BED 中，tanB＝，∴BE＝．∴5﹣＝，解得a＝；②当∠EDB ＝90°时，根据折叠性质可知AF ＝FD ，∠A＝∠EDF ，∵ED∥AC，∴∠EDF ＝∠DFC ．∴∠A＝∠DFC ．∴cosA＝cos∠DFC ＝，设FC ＝x，则AF＝3﹣x＝DF ，∴，解得x＝．综上所述CF 长为或．【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，同时还考查了分类讨论的数学思想．三、解答题217．（6 分）已知二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；2（2）若点P（m，m +1）也在该二次函数的图象上，求点P 的坐标．【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；2（2）把点P（m，m +1 ）代入函数解析式，解方程即可得到结论．2【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3），∴3＝8+2b+1，∴b＝﹣3，∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x+1；2（2）∵点P（m，m +1 ）也在该二次函数的图象上，2 2∴m +1═2m ﹣3m+1，解得：m1＝0，m2 ＝3，∴点P 的坐标为（0，1）或（3，10）．【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键．18．（8 分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00 在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛O 在船的北偏东30°方向36 海里处．（1）求轮船从 A 处到B 处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【分析】（1）过O 作OC⊥AB 交AB 的延长线于C，解直角三角形即可得到结论；（2）设还需经过x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，∠DOC ＝45°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过O 作OC⊥AB 交AB 的延长线于C，根据题意得，∠OAB＝60°，∠OBC＝30°，OB＝36 海里，∴∠AOB＝∠BOC﹣∠OAB＝30°，∴∠OAB＝∠AOB，∴AB＝OB＝36，∴＝24 海里/ 小时；答：轮船从 A 处到B 处的航速是24 海里/小时；（2）设还需经过x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，∠DOC ＝45°，在Rt△OBC 中，∵∠OBC＝60°，OB ＝36，∴BC＝18，OC＝18 ，在Rt△DOC 中，∵∠OCD ＝45°，OC＝18 ，∴DC ＝OC＝18 ，∴BD＝18+18 ，∴＝（小时），答：还需经过小时轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．19．（8 分）把9 个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有 3 个红球，1 个白球；乙布袋里有 1 个红球，2 个白球；丙布袋里有 1 个红球，1 个白球．（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：①从甲、乙两个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是；（2）①画树状图如下：由树状图知，共有12 种等可能结果，其中摸出的两个小球都是红球的有 3 种结果，∴摸出的两个小球都是红球的概率为＝；②画树状图如下：由树状图知，共有24 种等可能结果，其中摸出的三个小球是一红二白的有9 种结果，∴摸出的三个小球是一红二白的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6．点D 在边AB 上，AD＝4.5．△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACD ∽△ABC；（2）求的值．【分析】（1）由AB，AC，AD 的长可得出＝，结合∠CAD＝∠BAC 即可证出△ACD ∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质可得出∠ACD＝∠B，由AE 平分∠BAC 可得出∠CAF＝BAE，进而可得出△ACF∽△BAE，再利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】（1）证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝4.5，∴＝＝．又∵∠CAD ＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD ∽△ABC，∴∠ACD＝∠B．∵AE 平分∠BAC，∴∠CAF＝BAE ，∴△ACF∽△BAE，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”找出△ACD∽△ABC；（2）利用“两角对应相等，两个三角形相似”找出△ACF∽△BAE．21．（10 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD ．（1）求∠BOD 的度数；（2）求证：四边形OBCD 是菱形；（3）若⊙O 的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD 的面积（用含r 的代数式表示）．【分析】（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；（2）连接OC，证明△BOC 和△DOC 都是等边三角形，进而即可证明结论；（3）分别计算△BOD ，△AOD 和△AOB 的面积，再求和即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠C+∠BAD＝180°，∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD ＝120°；（2）如图1 连接OC，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC ＝60°，∵OB＝OC＝OD ，∴△BOC 和△DOC 都是等边三角形，∴OB＝OC＝OD ＝BC＝DC，∴四边形OBCD 是菱形，（3）如图2，连接OA，过点 A 作BO 的垂线交BO 的延长线于点N，∵∠BOD＝120°，OB＝OD，∴∠ODM ＝30°，∵∠BOM ＝∠DOM ，∴OM ⊥BD，∴OM ＝r，DM ＝r ，∴BD＝2DM ＝，∴，∵∠ODA＝45°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA ＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，∴∠AOB＝150°，∴∠AON＝30°，∴AN＝OA＝r ，2 ，∴S△AOB＝r2 2 2 2∴△ABD 的面积为r + r + r ＝（+ ）r ．【点评】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判定，会计算三角形的面积是解题的关键．22．（12 分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用20 米的第21 页（共25 页）篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25 平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【分析】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程；②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD＝20﹣3x，根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2＝，当x＝时，AD ＝15＞6，∴x＝5，∴AD＝5，答：AD 的长是 5 米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB＝[20 ﹣x﹣（x﹣6）] ＝，根据题意得，y＝x（）＝﹣x2+ x＝﹣（x＞6），∴当x＝时，y 有最大值为．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；第22 页（共25 页）（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，按图甲的方案，S＝x×＝﹣x＝﹣，∴在x＝a＜10 时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S ；按图乙方案，S＝[20 ﹣x﹣（x﹣a）]x＝，∴当x＝时，S 的值最大为S＝，此时 a 取最大值n 时，S 的值最大为S ＝；∵，∴，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连结EB，交OD 于点F ．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE ＝，AB＝6，求AE 的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．【分析】（1）连接AD ．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及圆的有关性质即可证明；（2）先证△CDE∽△CAB 得＝，据此求得CE 的长，依据AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE 可得答案；第23 页（共25 页）2＝，据此（3）由BD ＝CD 知S△CDE＝S△BDE，证△OBF ∽△ABE 得＝（）知S△ABE＝4S△OBF，结合＝知S△ABE＝6S△CDE，S△CAB＝8S△CDE，由△CDE∽△CAB 知＝（）2＝，据此得出＝，结合BD＝CD，AB ＝AC 知＝，从而得出答案．【解答】解：（1）连接AD，∵AB 是直径，∴∠AEB＝∠ADB ＝90°，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD，BD ＝CD，∴＝，∴OD ⊥BE；（2）∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵BD＝CD，∴BC＝2DE ＝2 ，∵四边形ABDE 内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE ＝180°，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，∵∠C＝∠C，第24 页（共25 页）∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4；（3）∵BD＝CD ，∴S△CDE＝S△BDE，∵BD＝CD，AO＝BO，∴OD ∥AC，∵△OBF∽△ABE，∴＝（）2＝，∴S△ABE＝4S△OBF，∵＝，∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴＝，∵BD＝CD，AB＝AC，∴＝，即AC＝BC．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．第25 页（共25 页）。
浙江省杭州市某区2019九年级上学期期末教学质量检测数
（1） CH 的长为__________. （2）若 O 的半径长为 10 ，则 AB ________. 16.对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a ，则称 a 是这个函数的不动点. 已知二次函数 y x2 2x m . （1）若 3 是此函数的不动点，则 m 的值为__________. （2）若此函数有两个相异的不动点 a ， b ，且 a 1 b ，则 m 的取值范围为__________. 三、解答题:本题有 7 个小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
实验者
德·摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
2
出现“正面朝上”的次数 3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为___________.
13.如图，在 △ABC 中，点 D 是 AB 上一点，ACD B .已知 AD 2 ，BD 1，则 AC _________.
14.四边形具有不稳定性.如图，将面积为 5 的矩形“推”成面积为 4 的平行四边形，则 cos 的值为
________.
15.如图， O 经过矩形 ABCD 的顶点 C ，且与 AD ， BC 相交于点 E ， F ， H ， AD ， BC 在圆心 O 同 侧.已知 AE EF 4 ， BH 3 .
B.2
C.1
D.
2
9.已知点 x1, y1 ， x2 , y2 是某函数图象上的相异两点，给出下列函数:① y x2 4x 2 x 1 ；
拱墅区初三期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. πD. 0.1010010001……2. 已知a=3，b=-2，那么a² - b²的值为（）A. 5B. -5C. 7D. -73. 下列各图中，能表示y=kx+b（k≠0）的是（）4. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-3，-1），那么AB的中点坐标是（）A. (-1, 1)B. (-1, 2)C. (1, 2)D. (1, 1)5. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，那么第10项an的值为（）A. 19B. 22C. 25D. 286. 若a，b，c是等比数列，且a+b+c=12，ab+bc+ca=36，则abc的值为（）A. 6B. 8C. 12D. 247. 已知函数f(x)=x²-2x+1，那么f(2x)的值为（）A. 4x²-4x+1B. 4x²-8x+1C. 4x²-4xD. 4x²-8x8. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，那么∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°9. 已知等腰三角形ABC中，底边BC=8，腰AB=AC=10，那么三角形ABC的面积是（）A. 40B. 50C. 60D. 8010. 下列各数中，无理数是（）A. √16B. √-25C. πD. 0.3333……二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a=3，b=-2，那么a² + b²的值为________。
12. 已知等差数列{an}的第4项为10，第7项为18，那么该数列的首项a₁为________。
13. 在直角坐标系中，点P（-2，3），点Q（4，-1），那么PQ的长度是________。
14. 已知等比数列{an}的第3项为8，第6项为32，那么该数列的公比q为________。
拱墅区九年级期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. √9D. 2√32. 已知函数y=2x-1，当x=3时，y的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 113. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠B=40°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0，则该方程的解为（）A. x=2，x=3B. x=1，x=6C. x=2，x=4D. x=3，x=55. 下列各图中，函数y=2x-1的图象是（）A. ①B. ②C. ③D. ④6. 若x^2+4x+3=0，则x^2-4x-3的值为（）A. -5B. -6C. -7D. -87. 在直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴的对称点为（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，-3）8. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1，3，5，7，9B. 1，2，4，8，16C. 1，4，7，10，13D. 1，3，6，10，159. 下列各图中，平行四边形ABCD的面积是正方形A'B'C'D'面积的（）A. 1/2B. 1C. 2D. 410. 已知等边三角形ABC的边长为a，则其外接圆的半径R为（）A. a/2B. √3/2 aC. √3/3 aD. √3/2 a/2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+2（n≥2），则数列的前10项之和为______。
12. 若函数y=3x-2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A的坐标为______。
13. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则AC的长度为______。
14. 若x^2-2x+1=0，则x的值为______。
2019-2020学年浙江省杭州市九年级上册期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州市九年级上册期末数学试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知x=y，则下面变形错误的是()A. x+a=y+aB. 2x=2yC. x+y=0D. 2x−1=2y−12.抛物线y=5x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是()A. (2,3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)3.由6个大小相同的小正方体组合成一个几何体，其俯视图如图所示，其中正方形中的数据表示该位置的小正方体的个数，则该几何体的左视图为()A. B. C. D.4.如图，□ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE：BC=2：3，那么下列各式错误的是()A. BEEC =2 B. ECAD=13C. EFAE=23D. BFDF=235.若二次函数y=2x2的图象经过点P(1,a)，则a的值为()A. 12B. 1C. 2D. 46.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是()A.B.C.D.7.如图，已知点A的坐标为(3,6)，点B的坐标为(0,n)(0<n≤6)，作AC⊥AB，交x轴于点C，M,0)，则PM的最小为BC的中点.若点P的坐标为(32值为()A. 3B. 3√178C. 4√55D. 6√558.如图，BC是⊙O的直径，若AC⏜度数是50°，则∠ACB的度数是()A. 25°B. 40°C. 65°D. 130°9.如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E，△PCD的周长为20，sin∠APB=45，则⊙O的半径()A. 4B. 5C. 6D. 710.在直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B是y轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的最小值是()A. 1B. √52C. √5D. √3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是______ cm．12.已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则把此圆锥沿母线剪开，平展后得到的扇形的圆心角为________度．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，连接BD。
九年级上册杭州数学期末试卷测试卷 (word版,含解析)
九年级上册杭州数学期末试卷测试卷 （word 版，含解析）一、选择题1．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定 2．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－1 3．已知⊙O 的半径是4，圆心O 到直线l 的距离d ＝6．则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断 4．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ）A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线.B ．其最小值为1.C ．其图象与x 轴没有交点.D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.5．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13a >.其中正确的有（ ）A ．②③⑤B ．②③C ．②④D ．①④⑤6．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =7．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大．A ．2x <B ．2x >C ．0x <D ．0x >8．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．349．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法判断10．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．16k ≤ B ．116k ≤ C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 11．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( )A ．y =32x −2B ．y =32x +2C ．y =3()22x -D ．y =3()22x + 12．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣2二、填空题13．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．14．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．15．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面展开图的面积为_____cm 2．16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．17．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若5∠EAF=45°，则AF 的长为_____．18．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________19．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．20．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.21．已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）22．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则1212x x x x +-•=__________．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．24．若函数y ＝（m +1）x 2﹣x +m （m +1）的图象经过原点，则m 的值为_____．三、解答题25．如图，AC 为圆O 的直径，弦AD 的延长线与过点C 的切线交于点B ，E 为BC 中点，AC= 3BC=4.（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积.26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．27．某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽取样本容量为，扇形统计图中A类所对的圆心角是度；（2）请补全统计图；（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名？28．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：数量/条平均每条鱼的质量/kg第1次捕捞20 1.6第2次捕捞15 2.0第3次捕捞15 1.8（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x （kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．29．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）30．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.31．如图，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).(1)将△ABC 先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C'，请直接画出平移后的△A'B'C'；(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，得到△A''B''C'，请直接画出旋转后的△A''B''C'；(3)在(2)的旋转过程中，求点A'所经过的路线长(结果保留π).32．某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍，设B 产品生产数量的增长率为x （0x ），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙故选：A【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 2．C解析：C【解析】【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．【详解】解：∵函数的对称轴为x=222b m m a -=-=-， 又∵二次函数开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴-m≤1，即m ≥-1故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．A解析：A【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.【详解】解：∵圆心O 到直线l 的距离d=6，⊙O 的半径R=4，∴d>R ，∴直线和圆相离．故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．4．D解析：D【解析】【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.【详解】解：()2261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）；A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.5．A解析：A【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用对称轴位置得到b ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c ＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线1x =∴b=-2a ＞0∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜-1，∴abc ＞0，所以①错误；∵110x -<<，对称轴为直线1x = ∴1212x x +=故223x <<，②正确； ∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y 值相等，故当x=0时，y=c ＜0，∴当x=2时，y=421a b c ++<-，③正确；如图，作y=2，与二次函数有两个交点，故方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根，故④错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c ＞0，当x=0时，y=c ＜-1∴3a ＞1， 故13a >，⑤正确； 故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．6．D解析：D【解析】【分析】先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．【详解】x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．7．C解析：C【解析】【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.【详解】22=-+=--+，y x x x2(1)1<，∵图像的对称轴为x=1，a=-10<时，y随着x的增大而增大，∴当x1故选：C.【点睛】<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增.此题考查二次函数的性质，当a0a08．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB222268BC AC+=+10，∴sin B=84105 ACAB==．故选：A．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．9．B解析：B【解析】【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．【详解】∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵圆心O到直线l的距离是2，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．10．C解析：C【解析】【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式∆≥0，且k≠0，据此列不等式求解．【详解】根据题意，得：∆=1-16k≥0且k≠0，解得：116k≤且k≠0．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k≠0．11．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．D解析：D【解析】x2=4，x=±2.故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.二、填空题13．6；【解析】解：设圆的半径为x，由题意得：=5π，解得：x=6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．解析：6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：150180x π =5π，解得：x =6，故答案为6． 点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 14．【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有： ，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n °，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n ，解得360πn = 所以22360S ==16360360扇形π4πr π=n 15．15【解析】【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.【详解】∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm∴圆锥的母线长∴圆锥的侧面展开图的面积故填：.【点睛】解析：15π【解析】【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.【详解】∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm∴圆锥的母线长5()cm ==∴圆锥的侧面展开图的面积()23515cmππ=⨯⨯=故填：15π.【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 16．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 17．【解析】分析：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，则NF=x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的解析：410【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE+=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，242xx=-，解得：x=4 3∴22410AD DF+=故答案为4103．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，18．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．19．.【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△AB解析：10 3.【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE∴AC：AE=BC：DE∴DE=83∴103AD=考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.20．【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是，解析：4 9【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是49，故答案为：49．【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则.21．15π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．故答案为：15π．【点睛】本题考解析：15π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝12×6π×5＝15πcm2．故答案为：15π．【点睛】本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．22．2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．【详解】解：∵∴=-3, =-5∴-3-(-5)=2故答案为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠解析：2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．【详解】解：∵2350x x +-=∴12x x +=-3, 12x x •=-5∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2故答案为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a•=是解答本题的关键． 23．【解析】【分析】先在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，【解析】【分析】先在CB 上取一点F ，使得CF=12，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=12，再连接PF 、AF ， ∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE ，∴PC=12DE=2，∵14CFCP=，14CPCB=∴CF CP CP CB=又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴14 PF CFPB CP==∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=22221145622 CF AC⎛⎫+=+=⎪⎝⎭∴PA+14PB ≥.1452∴PA+14PB的最小值为145，故答案为145．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．24．0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m的方程，然后解方程即可．【详解】∵函数经过原点，∴m（m+1）＝0，∴m＝0或m＝﹣1，故答案为0或﹣1．【点解析：0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m的方程，然后解方程即可．【详解】∵函数经过原点，∴m（m+1）＝0，∴m＝0或m＝﹣1，故答案为0或﹣1．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．三、解答题25．（1）证明见解析；（2）S阴影=43-2π【解析】【分析】（1）根据斜边中线等于斜边一半得到DE=CE,再利用切线的性质得到∠BCO=90°,最后利用等量代换即可证明,（2）根据S阴影=2S△ECO-S扇形COD即可求解.【详解】（1）连接DC、DO.因为AC为圆O直径，所以∠ADC=90°，则∠BDC=90°，因为E为Rt△BDC斜边BC中点，所以DE=CE=BE=12 BC，所以∠DCE=∠EDC,因为OD=OC，所以∠DCO=∠CDO.因为BC为圆O 切线，所以BC⊥AC，即∠BCO=90°，所以∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠DCE=∠BCO=90°，所以ED⊥OD，所以DE为圆O的切线.（2）S阴影=2S△ECO-S扇形COD=-2π【点睛】本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线的判定定理及扇形的面积公式是解题的关键．26．（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1【解析】【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．【详解】解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x2 +1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值为﹣3或1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．27．（1）50，72；（2）作图见解析；（3）90．【解析】【分析】（1）用A类学生的人数除以A类学生的人数所占的百分比即可得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；（2）根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；（3）用该校九年级男生的人数乘以该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的的学生所占得百分比即可得答案．【详解】（1）由题意可得，抽取的学生数为：10÷20%=50，扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%=72°，（2）C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，补全的统计图如所示，（3）300×30%=90（名）即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名．【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．28．（1）1.78kg；（2）8900kg；（3）y＝14x，0≤x≤8900．【解析】【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.81.78201515⨯+⨯+⨯=++（kg）．（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg，∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg）．（3）∵每千克的售价为14元，∴所求函数表达式为y ＝14x ，∵该种鱼的总质量约为8900kg ，∴估计自变量x 的取值范围为0≤x≤8900．【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．29．301)米【解析】【分析】设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，根据正切的概念用x 表示出CD ，在Rt △ABD 中，根据正切的概念列出方程求出x 的值即可．【详解】由题意得，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝45°，BC ＝60m ，设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD CD ， ∴CD ＝AD ＝x ，∴BD ＝BC +CD ＝x +60，在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD，∴60)x x =+，∴1)x =米，答：山高AD 为301)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．30．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．【详解】（1）由题意得：4030055150k bk b+=⎧⎨+=⎩10700kb=-⎧⇒⎨=⎩．故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．31．（1）见解析，（2）见解析，（3）13 2π【解析】【分析】（1）将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A′，B′绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；（3）根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）如图所示，△A ′B ′C ′即为所求．（2）如图所示，△A ″B ″C ′即为所求．（3）∵A ′C 2223+13A ′C ′A ″＝90°，∴点A ′所经过的路线长为90?·13180π＝132π， 13π． 【点睛】 本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式．32．5%【解析】【分析】根据题意，列出方程即可求出x 的值．【详解】根据题意，得2(12)200(12)(14)100(1)(22001100)(1 4.4)x x x x x +⨯+++⨯+=⨯+⨯+整理，得2200x x -=解这个方程，得15%x =，20x =（不合题意，舍去）所以x 的值是5%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．。
杭州市拱墅区九年级上期末考试数学试题及答案
九年级(上)数学(Z)杭州市拱墅区期末统考卷满分：120分 考试时间：100分钟一 选择题：每小题3分，共10小题，共30分。
1.超市有4个入口和2个出口，小方从进人超市到走出超市，一共有（ ）种不同的出入路线的可能.A.2B.4C.6D.82.在Rt △ABC 中，已知∠C=90°,AC=1，BC=2,则sin B 的值是（ ） A.55 B.552 C.21 D.33 3.已知二次函致y=ax2 (a ≠o)的图象经过(2,-3),则a 的值是( )A.43B.43-C.32-D.92- 4.已知一个扇形的半径为R,圆心是n °，当这个扇形的面积与一个直径为R 的圆面积相等时，这个扇形的圆心角的度数是（ ）A.180°B.120°C.90°D.60°5.如图，线段AB//CD ，连结AD ，BC 交于点O ，若CD=2AB.则下列选项中错误的是（ ）A.△AOB ∽△DOCB.21=OC AOC.41=∆∆的面积的面积DOC AOBD.21=∆∆的周长的周长DOC AOB6.下列有关圆的一些结论:①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中同弦所对的圆周角相等；④圆内接四边形对角互补.其中正确结论的个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AC=3 cm ，BC=4 cm ，判断下列结论：①圆心在∠B 的平分线上，且与BC ，BA 都相切的圆只有一个；②以C 为圆心，2.4 cm 为半径作⊙C ，则⊙C 与直线AB 相切；③以B 为圆心，3 cm 为半径作⊙B ，则⊙B 与直线CD 相交；④BC 是△ACD 的外接圆的切线.则以上结论正确的是（ ）A.①②B.②③C.②④D.①③④8.有长度分别为1cm ，3cm ，5cm ，7cm ，9cm 的五条线段，从中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A.52 B.92 C.31 D.103 9.已知关于x 的函致y=(x-1)[(k-1)x+(k-2)](k 是常数).设k 分别取0,1.2时，所对应的函教为y 0,y 1,y 2，某学习小组通过画图、探索，得到以下结论：①函教y 0,y 1,y 2的用象郁经过点(1，0)；②满足y 1>y 2的取值范围是-1 <x<1； ③不论k 取何实数，y=(x-1)[(k-1)x+(k-2)]的图象都经过点（1,0）和点（-1,2）.则以上结论正确的是（ ）A.①B.②③C.①②D.①②③10.如图，在⊙0中，AB 是直径，点C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作⊙O 的切线CE ，过点B 作BD//CE ，交⊙O 于点D ，交AC 于点F ，连结DC.以下结论:①弧CD=弧BC ；②AC=BD ；③∠CAB=∠DBA ；.④当AB=8,AC=7时,8157 BF .其中正确结论的个数是（ ）二 填空题：每小题4分， 共6小题，共24分。
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2018-2019 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3 分）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A ．B ．C．D．2．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则（）A ．B ．C．D．3．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A ．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5B ．任意画一个三角形，它的内角和是178°C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行4．（3 分）如图，点A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝40°，则（）A ．∠AOB＝80°，的度数为80°B ．∠AOB＝80°，的度数为40°C．∠AOB＝40°，的度数为80°D ．∠AOB＝40°，的度数为40°25．（3 分）关于二次函数y＝3x ﹣6，下列叙述正确的是（）A ．当x＝3 时，y 有最大值﹣ 6 B．当x＝3 时，y 有最小值﹣ 6C．当x＝0 时，y 有最大值﹣6 D．当x＝0 时，y 有最小值﹣ 66．（3 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 交l 1、l 2、l 3 于点A、B、C，直线DF 交l 1、l 2、l3 于点D、E、F ，已知，若DE ＝3，则DF 的长是（）A ．B ．4 C．D．77．（3 分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A ．18πB ．27πC．36πD．54π8．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，DE ∥BC，DF ∥AC，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C．D．29．（3 分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB 只有一个交点，则（）A ．a 的值可以是B．a 的值可以是C．a 的值不可能是﹣ 1.2 D．a 的值不可能是 110．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上任意一点，点 D 是AC 中点，OD 交AC 于点E，BD 交AC 于点F ，若BF＝1.25DF ，则tan∠ABD 的值为（）A ．B ．C．D．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分）11．（4 分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被 3 整除的概率是．212．（4 分）计算：cos 45°﹣tan30°sin60°＝．13．（4 分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5 米，CO＝1.25 米，当栏杆 C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5 米时，栏杆 A 端上升的垂直距离（AB）为米．214．（4 分）函数y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：①当y＜0 时，x 的取值范围是；2②方程ax +bx+c＝3 的解是．15．（4 分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为 3.5 米，路面宽AB 为4.2 米，则该隧道最高点距离地面米．16．（4 分）如图在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F 分别在边AB、AC 上，将△AEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在边BC 上．若△BDE 是直角三角形，则CF 的长为．三、解答题217．（6 分）已知二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；2（2）若点P（m，m +1 ）也在该二次函数的图象上，求点P 的坐标．18．（8 分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00 在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛O 在船的北偏东30°方向36 海里处．（1）求轮船从 A 处到B 处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？19．（8 分）把9 个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有 3 个红球，1 个白球；乙布袋里有 1 个红球，2 个白球；丙布袋里有 1 个红球，1 个白球．（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：①从甲、乙两个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6．点D 在边AB 上，AD＝4.5．△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACD ∽△ABC；（2）求的值．21．（10 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD ．（1）求∠BOD 的度数；（2）求证：四边形OBCD 是菱形；（3）若⊙O 的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD 的面积（用含r 的代数式表示）．22．（12 分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用20 米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25 平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连结EB，交OD 于点F ．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE ＝，AB＝6，求AE 的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．2018-2019 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3 分）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A ．B ．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：A、由得：2a＝3b，故选项A 不正确；B、由得：3a＝2b，故选项 B 正确；C、由得：2a＝3b，故选项 C 不正确；D 、由得：ab＝6，故选项D 不正确；故选：B．【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．2．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则（）A ．B ．C．D．【分析】根据三角函数的定义解答即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，∴sinA＝，cosA＝，sinB＝，tanB＝，故选：C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA．锐角A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA．锐角A 的对边a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA．3．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A ．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5B ．任意画一个三角形，它的内角和是178°C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解．【解答】解：A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5 是随机事件；B．任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件；C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1 是随机事件；D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；故选：B．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件，理解定义是关键．4．（3 分）如图，点A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝40°，则（）A ．∠AOB＝80°，的度数为80°B ．∠AOB＝80°，的度数为40°C．∠AOB＝40°，的度数为80°D ．∠AOB＝40°，的度数为40°【分析】利用圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB ＝40°，∴∠AOB＝80°，∴的度数为80°，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考掌考题型．25．（3 分）关于二次函数y＝3x ﹣6，下列叙述正确的是（）A ．当x＝3 时，y 有最大值﹣ 6 B．当x＝3 时，y 有最小值﹣ 6C．当x＝0 时，y 有最大值﹣6 D．当x＝0 时，y 有最小值﹣ 6【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【解答】解：∵y＝3x2﹣6，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，﹣6），∴当x＝0 时，y 有最小值﹣6；∴D 正确，故选：D ．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y2＝a（x﹣h）+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．6．（3 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 交l 1、l 2、l 3 于点A、B、C，直线DF 交l 1、l 2、l3 于点D、E、F ，已知，若DE ＝3，则DF 的长是（）A ．B ．4 C．D．7【分析】由直线l1∥l2∥l3 可得出＝，结合＝，AC＝AB+BC 可得出的值，进而可得出EF＝DE ＝，再将其代入DF ＝DE +EF 中即可求出结论．【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l3 ，∴＝．∵＝，AC＝AB+BC，∴＝＝，∴EF＝DE＝，第8 页（共25 页）∴DF ＝DE+EF ＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．7．（3 分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A ．18πB ．27πC．36πD．54π【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r ，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r＝9，∴S 扇形＝＝27π，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，DE ∥BC，DF ∥AC，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C．D．【分析】根据矩形的性质得到DE ＝CF，根据相似三角形的性质得到＝（） 2 ＝，求得＝，设DE＝k，BC＝2k，得到BF ＝2k﹣k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，DF ∥AC，∴四边形DFCE 是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE ＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF ∥AC，∴△BDF ∽△BAC，∴△DBF ∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝3﹣2 ，故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2 9．（3 分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax ﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB 只有一个交点，则（）A ．a 的值可以是B．a 的值可以是C．a 的值不可能是﹣ 1.2 D．a 的值不可能是 1【分析】先把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得a＝﹣，此时抛物线与线段AB 有两个公共点，所以当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a＜﹣；把A（﹣2，4）代入y ＝ax2﹣2ax﹣3a 得a＝，则当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a≥，然后利用 a 的范围对各选项解析式判断．【解答】解：把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得4a﹣4a﹣3a＝4，解得a＝﹣，则第10 页（共25 页）当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a＜﹣；把A（﹣2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得4a+4a﹣3a＝4，解得a＝，则当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a≥．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2 +bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上任意一点，点 D 是AC 中点，OD 交AC 于点E，BD 交AC 于点F ，若BF＝1.25DF ，则tan∠ABD 的值为（）A ．B ．C．D．【分析】由△ADF ∽△BDA，推出AD 2＝DF ?DB ，由BF＝1.25DF ，可以假设DF ＝4m，则BF ＝5m，BD ＝9m，可得AD ＝6m，根据tan∠ABD ＝计算即可解决问题．【解答】解：∵＝，∴∠DAF ＝∠DBA，∵∠ADF ＝∠ADB，∴△ADF ∽△BDA，∴＝，∴AD2＝DF ?DB ，∵BF＝1.25DF ，∴可以假设DF ＝4m，则BF ＝5m，BD＝9m，∴AD2＝36m2，∵AD＞0，∴AD＝6m，∵AB 是直径，第11 页（共25 页）∴∠ADB＝90°，∴tan∠ABD ＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分）11．（4 分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被 3 整除的概率是．【分析】根据概率公式可得．【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6 种可能，其中所得的点数能被 3 整除的有3、6 这两种，∴所得的点数能被 3 整除的概率为＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件 A 的概率P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．212．（4 分）计算：cos 45°﹣tan30°sin60°＝0 ．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos2 45°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（4 分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5 米，CO＝1.25 米，当栏杆 C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5 米时，栏杆 A 端上升的垂直距离（AB）为 6.6 米．【分析】由∠ABO＝∠CDO ＝90°、∠AOB＝∠COD 知△ABO∽△CDO ，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB⊥BD ，CD ⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO ＝90°，又∵∠AOB＝∠COD ，∴△ABO∽△CDO ，则，即，解得：AB ＝6.6 米，故答案为： 6.6【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．214．（4 分）函数y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：①当y＜0 时，x 的取值范围是x＜﹣5 或x＞1 ；2②方程ax +bx+c＝3 的解是x1 ＝﹣4，x2＝0 ．【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可；②抛物线与y 轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（﹣4，0），从而2得到方程ax +bx+c＝3 的解．【解答】解：①∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），∴当y＜0 时，x 的取值范围是x＜﹣5 或x＞1；2②方程ax +bx+c＝3 的解为x1＝﹣4，x2＝0．故答案为x＜﹣5 或x＞1；x1＝﹣4，x2＝0．2【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax +bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15．（4 分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为 3.5 米，路面宽AB 为4.2 米，则该隧道最高点距离地面 6.3 米．【分析】连接OA．由垂径定理可知AD ＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD 即可解决问题．【解答】解：连接OA．∵OD ⊥AB，∴AD＝DB＝2.1 米，在Rt△AOD 中，OD ＝＝＝2.8（米），∴CD ＝OC+OD ＝6.3（米）故答案为6.3．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直2 2 角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r ＝d +（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．16．（4 分）如图在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F 分别在边AB、AC 上，将△AEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在边BC 上．若△BDE 是直角三角形，则CF 的长为或．【分析】分两种情况：①∠BED ＝90°，过点F 作FM ⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF ＝∠DEF ＝45°，设FC ＝a，则AF ＝3﹣a，在Rt△AMF 中用a 表示出AE，从而得到BE＝5﹣AE，在Rt△BED 中，根据三角函数用a 表示BE，则构造出关于a 的方程；②∠BDE＝90°，证明∠A＝∠DFC ，根据三角函数找到FC 和DF 关系即可．【解答】解：①当∠BED ＝90°时，过点 F 作FM ⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF ＝∠DEF ＝45°，设FC ＝a，则AF＝3﹣a，在Rt △AMF 中，sinA＝，∴MF ＝＝ME ．cosA＝，∴AM ＝．∴AE＝AM +MF＝＝DE ．则BE＝AB﹣AE＝5﹣．在Rt△BED 中，tanB＝，∴BE＝．∴5﹣＝，解得a＝；②当∠EDB ＝90°时，根据折叠性质可知AF ＝FD ，∠A＝∠EDF ，∵ED∥AC，∴∠EDF ＝∠DFC ．∴∠A＝∠DFC ．∴cosA＝cos∠DFC ＝，设FC ＝x，则AF＝3﹣x＝DF ，∴，解得x＝．综上所述CF 长为或．【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，同时还考查了分类讨论的数学思想．三、解答题217．（6 分）已知二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；2（2）若点P（m，m +1）也在该二次函数的图象上，求点P 的坐标．【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；2（2）把点P（m，m +1 ）代入函数解析式，解方程即可得到结论．2【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3），∴3＝8+2b+1，∴b＝﹣3，∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x+1；2（2）∵点P（m，m +1 ）也在该二次函数的图象上，2 2∴m +1═2m ﹣3m+1，解得：m1＝0，m2 ＝3，∴点P 的坐标为（0，1）或（3，10）．【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键．18．（8 分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00 在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛O 在船的北偏东30°方向36 海里处．（1）求轮船从 A 处到B 处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【分析】（1）过O 作OC⊥AB 交AB 的延长线于C，解直角三角形即可得到结论；（2）设还需经过x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，∠DOC ＝45°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过O 作OC⊥AB 交AB 的延长线于C，根据题意得，∠OAB＝60°，∠OBC＝30°，OB＝36 海里，∴∠AOB＝∠BOC﹣∠OAB＝30°，∴∠OAB＝∠AOB，∴AB＝OB＝36，∴＝24 海里/ 小时；答：轮船从 A 处到B 处的航速是24 海里/小时；（2）设还需经过x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，∠DOC ＝45°，在Rt△OBC 中，∵∠OBC＝60°，OB ＝36，∴BC＝18，OC＝18 ，在Rt△DOC 中，∵∠OCD ＝45°，OC＝18 ，∴DC ＝OC＝18 ，∴BD＝18+18 ，∴＝（小时），答：还需经过小时轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．19．（8 分）把9 个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有 3 个红球，1 个白球；乙布袋里有 1 个红球，2 个白球；丙布袋里有 1 个红球，1 个白球．（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：①从甲、乙两个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是；（2）①画树状图如下：由树状图知，共有12 种等可能结果，其中摸出的两个小球都是红球的有 3 种结果，∴摸出的两个小球都是红球的概率为＝；②画树状图如下：由树状图知，共有24 种等可能结果，其中摸出的三个小球是一红二白的有9 种结果，∴摸出的三个小球是一红二白的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6．点D 在边AB 上，AD＝4.5．△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACD ∽△ABC；（2）求的值．【分析】（1）由AB，AC，AD 的长可得出＝，结合∠CAD＝∠BAC 即可证出△ACD ∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质可得出∠ACD＝∠B，由AE 平分∠BAC 可得出∠CAF＝BAE，进而可得出△ACF∽△BAE，再利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】（1）证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝4.5，∴＝＝．又∵∠CAD ＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD ∽△ABC，∴∠ACD＝∠B．∵AE 平分∠BAC，∴∠CAF＝BAE ，∴△ACF∽△BAE，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”找出△ACD∽△ABC；（2）利用“两角对应相等，两个三角形相似”找出△ACF∽△BAE．21．（10 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD ．（1）求∠BOD 的度数；（2）求证：四边形OBCD 是菱形；（3）若⊙O 的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD 的面积（用含r 的代数式表示）．【分析】（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；（2）连接OC，证明△BOC 和△DOC 都是等边三角形，进而即可证明结论；（3）分别计算△BOD ，△AOD 和△AOB 的面积，再求和即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠C+∠BAD＝180°，∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD ＝120°；（2）如图1 连接OC，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC ＝60°，∵OB＝OC＝OD ，∴△BOC 和△DOC 都是等边三角形，∴OB＝OC＝OD ＝BC＝DC，∴四边形OBCD 是菱形，（3）如图2，连接OA，过点 A 作BO 的垂线交BO 的延长线于点N，∵∠BOD＝120°，OB＝OD，∴∠ODM ＝30°，∵∠BOM ＝∠DOM ，∴OM ⊥BD，∴OM ＝r，DM ＝r ，∴BD＝2DM ＝，∴，∵∠ODA＝45°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA ＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，∴∠AOB＝150°，∴∠AON＝30°，∴AN＝OA＝r ，2 ，∴S△AOB＝r2 2 2 2∴△ABD 的面积为r + r + r ＝（+ ）r ．【点评】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判定，会计算三角形的面积是解题的关键．22．（12 分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用20 米的第21 页（共25 页）篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25 平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【分析】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程；②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD＝20﹣3x，根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2＝，当x＝时，AD ＝15＞6，∴x＝5，∴AD＝5，答：AD 的长是 5 米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB＝[20 ﹣x﹣（x﹣6）] ＝，根据题意得，y＝x（）＝﹣x2+ x＝﹣（x＞6），∴当x＝时，y 有最大值为．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；第22 页（共25 页）（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，按图甲的方案，S＝x×＝﹣x＝﹣，∴在x＝a＜10 时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S ；按图乙方案，S＝[20 ﹣x﹣（x﹣a）]x＝，∴当x＝时，S 的值最大为S＝，此时 a 取最大值n 时，S 的值最大为S ＝；∵，∴，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连结EB，交OD 于点F ．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE ＝，AB＝6，求AE 的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．【分析】（1）连接AD ．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及圆的有关性质即可证明；（2）先证△CDE∽△CAB 得＝，据此求得CE 的长，依据AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE 可得答案；第23 页（共25 页）2＝，据此（3）由BD ＝CD 知S△CDE＝S△BDE，证△OBF ∽△ABE 得＝（）知S△ABE＝4S△OBF，结合＝知S△ABE＝6S△CDE，S△CAB＝8S△CDE，由△CDE∽△CAB 知＝（）2＝，据此得出＝，结合BD＝CD，AB ＝AC 知＝，从而得出答案．【解答】解：（1）连接AD，∵AB 是直径，∴∠AEB＝∠ADB ＝90°，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD，BD ＝CD，∴＝，∴OD ⊥BE；（2）∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵BD＝CD，∴BC＝2DE ＝2 ，∵四边形ABDE 内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE ＝180°，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，∵∠C＝∠C，第24 页（共25 页）∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4；（3）∵BD＝CD ，∴S△CDE＝S△BDE，∵BD＝CD，AO＝BO，∴OD ∥AC，∵△OBF∽△ABE，∴＝（）2＝，∴S△ABE＝4S△OBF，∵＝，∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴＝，∵BD＝CD，AB＝AC，∴＝，即AC＝BC．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．第25 页（共25 页）。
[已校验]2019学年杭州市拱墅区、余杭区第一学期九年级上册期末教学质量调研数学试题卷
2019学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试题卷一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．cos60°=（）A ．12B ．22C ．32D ．332．若2a=3b ，则下列比列式正确的是（）A ．23a b =B ．23a b=C ．23b a =D ．23a b=3．下列各组图形中，一定相似的是（）A ．所有平行四边形B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形4．如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连结BD ，则∠ABD 的度数是（）A ．60°B ．70°C ．72°D ．144°5．对一批村衣进行抽检，统计合格村衣的件数，得到合格衣的频数表如下：若出售1500件村衣，则其中的次品最接近（）件A ．100B ．150C ．200D ．2406．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，则∠D 的度数是（）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125°7．已知点A （﹣3，m ），B （3，m ），C （-1，m +n 2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A ．y ＝x+2B ．y ＝﹣C ．y ＝x 2+2D ．y ＝﹣x 2﹣28．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥D B，若BE=5，BF=3，AE=BC，则DE CE的值为（）A．23B．12C．35D．259．二位学在研究函数y=a（x+3）（x-2a）（a为实数，且a≠0）、甲发现当0<a<1时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程a（x+3）（x-2a）+5=0必有两个不相等的实数根，则（）A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正D．甲的结论，乙的结论正确10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点D为AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是（）A．3637<AD≤98B．158≤AD<7537C．53≤AD<7537D．53≤AD≤158二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．11．一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是．12．如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC=130°，∠ACB=40°，∠AOB=，弧BC=．13．已知二次函数y=-2x2+4x+6，用配方法化为y=a（x-m）2+k的形式为，这个二次函数图象的顶点坐标为．14．在Rt△ABC中，AC：BC=1：2，则sinB=．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC=2BC，则DECF的值为．16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且弧DF=弧CD，BE=2，CD=8，CF交AB于点G，则弦CF的长度为，AG的长为．三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．17．（本小题6分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A测得河北岸的树C在点A的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B点，测得树C在点B的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数都计算河宽．如图，某科技馆展大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．（1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率．（2）求小购选择从入口A进入，从出口E离开的概率，（请用列表或画树状图求解）19．（本小题8分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD=CD．（2）若弧DE=50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC=8，AF=3BF，求弧BD的长．21．（本小题10分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE·AB=AO·AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE=6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．已知二次函数y=ax 2+bx-4（a ，b 是常数，且a ≠0）的图象过点（3，-1）．（1）试判断点（2，2-2a ）是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知二次函数的图象过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点且当x 1<x 2≤23时，始终都有y 1>y 2，求a 的取值范围．23．（本小题12分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F ．（1）若点E 为CD 中点，AB =25，求AF 的长．（2）若tan ∠AFB=2，求DFBF的值．（3）若点G 在线段BF 上，且GF=2BG ，连结AG ，CG ，设DEDC=x ，四边形AGCE 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，求12S S 的最大值．。
浙江省杭州市拱墅区公益中学2019-2020学年九年级上期末数学试题(word无答案)
浙江省杭州市拱墅区公益中学2019-2020学年九年级上期末数学试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（）A．2：3B．：C．4：9D．9：4(★) 2 . 将二次函数 y＝5 x 2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣3(★) 3 . 一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（）A．B．C．D．(★★) 4 . 若抛物线y=ax 2+2ax+4（a＜0）上有A（- ，y 1），B（- ，y 2），C（，y 3）三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1(★) 5 . 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（）A．70°B．60°C．50°D．30°(★) 6 . 下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A ．①②B ．②③C ．②④D ．④(★★) 7 . 如图，AB 是⊙O 的直径，OC 是⊙O 的半径，点D 是半圆AB 上一动点（不与A 、B 重合）,连结DC 交直径AB 与点E,若∠AOC=60°，则∠AED 的范围为（）A ．0°< ∠AED <180°B ．30°< ∠AED <120°C ．60°< ∠AED <120°D ．60°< ∠AED <150°(★★) 8 . 如图，已知矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE 相交于I ，与BD 相交于H ，则四边形BEIH 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9(★★★★) 9 . 已知二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a≠0）图象上部分点的坐标（ x ， y ）的对应值如下表所示：x … 0 4… y … 0.37 -1 0.37 …则方程ax2＋ bx ＋ 1.37＝0的根是（）A ．0或4B ．或C ．1或5D ．无实根(★★) 10 . 如图，△ ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E 、 F 分别是边 AB 、 AC 上两点，且 EF∥ BC，若 AE ： EB ＝m ， BD ： DC ＝n ，则（）A．若 m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B．若 m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD C．若 m＜1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D．若 m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD 二、填空题(★) 11 . 已知线段 a＝4 cm， b＝9 cm，则线段 a， b的比例中项为_________ cm．(★) 12 . 小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面概率为_____．(★) 13 . 如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝_____．(★★) 14 . 若实数a、b满足a+b 2=2，则a 2+5b 2的最小值为 _____ ．(★) 15 . 在△ABC中，AB＝10，AC＝8，B为锐角且，则BC＝_____．三、解答题(★★) 16 . 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM 为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于_____．(★) 17 . 求下列各式的值：（1）2sin30°﹣3cos60°（2）16cos 245°﹣．(★) 18 . 一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足h＝ax 2+bx ﹣2a（其中a≠0）．已知当x＝0时，h＝2；当x＝10时，h＝2．（1）求h关于x的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．(★★) 19 . 某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，分别用、、表示；田赛项目：跳远，跳高分别用、表示．该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．(★★) 20 . 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB= ，tanA= ，AC= ，（1）求∠B 的度数和 AB 的长．（2）求tan∠CDB 的值．(★★) 21 . 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．(★) 22 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．(★★) 23 . 如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．。
浙江省杭州市拱墅区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(含答案及解析)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1.cos60°的值等于（ ）A.12B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：因为cos60°=12，所以选：A ． 考点：特殊角的三角比值．2.若2a ＝3b ，则下列比列式正确的是（ ） A.23a b = B.23a b= C.23b a = D.23a b= 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【详解】解：∵2a ＝3b ， ∴23b a = 故选：C ．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知其变形. 3.下列图形中，是相似形的是（ ） A. 所有平行四边形 B. 所有矩形C. 所有菱形D. 所有正方形【答案】D 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断.【详解】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形，而所有的正方形都是相似多边形，故选D.【点睛】本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成.4.如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A. 60︒B. 70︒C. 72︒D. 144︒【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒ 故选C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．5.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数(件) 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 4288141176445724901若出售1500件衬衣，则其中次品最接近( )件. A. 100B. 150C. 200D. 240【答案】B 【解析】根据频数表计算出每次的合格频率，然后估计出任抽一件衬衣的合格频率，从而可得任抽一件衬衣的次品频率，再乘以1500即可得. 【详解】由=合格频数合格频率抽取件数依次算得各个频率为：0.84,0.88,0.94,0.88,0.89,0.905,0.901则任抽一件衬衣的合格频率约为0.9 因此任抽一件衬衣次品频率为10.90.1-= 所求的次品大概有15000.1150⨯=（件） 故选：B.【点睛】本题考查了概率估计的方法，理解频数和频率的定义是解题关键. 6.如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，则∠D 的度数为( )A. 140°B. 135°C. 130°D. 125°【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知90ACB ∠=︒，再由三角形的内角和可得50B ∠=︒，最后根据圆内接四边形的性质即可得. 【详解】AB 是半圆O 的直径90ACB ∴∠=︒（圆周角定理）9050B BAC ∴∠=︒-∠=︒180130D B ∴∠=︒-∠=︒（圆内接四边形的对角互补）故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质，掌握灵活运用各定理和性质是解题关键.7.若点A (-3，m )，B (3,m )，C (-1，m +n ²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是( ) A. y ＝x +2B. -2y x=C. y ＝x ²+2D. y ＝-x ²-2【解析】 【分析】先根据点A 、B 的坐标可知函数图象关于y 轴对称，排除A 、B 选项；再根据点C 的纵坐标大于点A 的纵坐标，结合C 、D 选项，根据y 随x 的增减变化即可判断. 【详解】(),3,3(,)A m B m -∴函数图象关于y 轴对称，因此A 、B 选项错误又231,1m m n -<-<++再看C 选项，22y x =+的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而减小，因此错误 D 选项，22y x =--的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而增大，正确 故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.8.如图， AB 与CD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，且AC // EF // DB ，若BE ＝5， BF ＝3，AE ＝BC ，则DECE的值为( )A.23B.12C.35D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得BE BFAB BC=可求出BC 的长，从而可得CF 的长，再根据平行线分线段成比例定理得DE BFCE CF=，求解即可得. 【详解】//AC EFBE BFAB BC∴=又5,3,BE BF AE BC ===5AB AE BE BC ∴=+=+ 535BC BC ∴=+，解得152BC =92CF BC BF ∴=-=又//EF DB32932DE BF CE CF ∴===故选：A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出BC 的长是解题关键.9.二位同学在研究函数2(3)()y a x x a =+-(a 为实数，且0a ≠)时，甲发现当 0<a <1时，函数图像的顶点在第四象限；乙发现方程2(3)()50a x x a+-+=必有两个不相等的实数根，则( )A. 甲、乙的结论都错误B. 甲的结论正确，乙的结论错误C. 甲、乙的结论都正确D. 甲的结论错误，乙的结论正确【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合01a <<判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法. 【详解】0a ≠，∴原函数定为二次函数甲：顶点横坐标为122323132222x x a a a a -+-===-01a <<，13122a ∴->-，所以甲不正确乙：原方程为2(3)()50a x x a+-+=，化简得：2(32)10ax a x +--=22420(32)4(3)039a a a ∆=-+=-+>∴必有两个不相等的实数根，所以乙正确故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）当240b ac ∆=->，方程有两个不相等的实数根；（2）当240b ac ∆=-=，方程有两个相等的实数根；（3）当240b ac ∆=-<，方程没有实数根.10.如图，在ABC ∆中，90C =∠，AB ＝5，BC ＝4，点D 为边AC 上的动点，作菱形DEFG ，使点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.若这样的菱形能作出两个，则AD 的取值范围是()A. 369378AD <≤ B. 1575837AD ≤< C.575337AD ≤< D.51538AD ≤≤ 【答案】B 【解析】 【分析】因为在ABC ∆中只能作出一个正方形，所以要作两个菱形则AD 必须小于此时的AD ，也即这是AD 的最大临界值；当AD 等于菱形边长时，这时恰好可以作两个菱形，这是AD 最小临界值.然后分别在这2种情形下，利用相似三角形的性质求出AD 即可. 【详解】过C 作CN AB ⊥交DG 于M由三角形的面积公式得1122ABC S AC BC AB CN ∆=⋅=⋅ 即1134522CN ⨯⨯=⨯⋅，解得125CN = ①当菱形DEFG 为正方形时，则只能作出一个菱形 设：DE x =，DG x ∴= DEFG 为菱形，//DG AB ∴CDG CAB ∴∆~∆，DG CMAB CN ∴=，即1251255x x -=，得6037x =75sin 37DE AD A ∴==（4sin 5BC A AB ==） 若要作两个菱形，则7537AD <；②当DE DA =时，则恰好作出两个菱形 设：DE y =，DE DA DG y ∴=== 过D 作DH AB ⊥于H ，4sin 5DH DA A y =⋅= 45MN y ∴=由①知，DG CMAB CN =，124551255yy -∴=，得158y =158AD ∴≥综上，1575837AD ≤< 故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数，依据图形的特点判断出两个临界值是解题关键.二．填空题（共6小题）11.一个布袋里放有5个红球，3个黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是____________. 【答案】0.2 【解析】 【分析】利用列举法求解即可.【详解】将布袋里10个球按颜色分别记为1234512312红,红,红,红,红,黄,黄,黄,黑,黑，所有可能结果的总数为10种，并且它们出现的可能性相等任意摸出一个球是黑球的结果有2种，即12黑,黑因此其概率为：20.210P ==. 【点睛】本题考查了用列举法求概率，根据题意列出所有可能的结果是解题关键.12.如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上∠AOC ＝130°，∠ACB ＝40°，∠AOB ＝_____，弧BC ＝_____．【答案】 (1). 80° (2). 50° 【解析】 【分析】直接利用圆周角定理得到∠AOB ＝80°，再计算出∠BOC ＝50°，从得到弧BC 的度数． 【详解】解：∵∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°， ∴∠BOC ＝∠AOC ﹣∠AOB ＝130°﹣80°＝50°， ∴弧BC 的度数为50°． 故答案为80°，50°．【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的内容.13.已知二次函数2246y x x =-++， 用配方法化为2()y a x m k =-+的形式为_________________，这个二次函数图像的顶点坐标为____________. 【答案】 (1). 22(1)8y x =--+ (2). (1,8) 【解析】 【分析】先利用配方法提出二次项的系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再根据顶点式即可得到顶点的坐标.【详解】222462()218y x x x x =-++=-++- 利用完全平方公式得：22(1)8y x =--+ 由此可得顶点坐标为(1,8).【点睛】本题考查了用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式、以及二次函数顶点坐标，熟练运用配方法是解题关键.14.在Rt △ABC 中，AC ：BC ＝1：2，则sinB ＝______. 【答案】12或5 【解析】 【分析】根据:1:2AC BC =可知90B ∠≠︒，因此分90A ∠=︒和90C ∠=︒两种情况讨论，当90A ∠=︒时，sin AC B BC=；当90C ∠=︒时，利用勾股定理求出斜边AB ，再由sin AC B AB =即可得.【详解】:1:2AC BC =90B ∴∠≠︒（1）当90A ∠=︒时，BC 为斜边，AC 为B 所对的直角边 则1sin 2AC B BC == （2）当90C ∠=︒时，AB 为斜边，AC 为B 所对的直角边 设AC x =，则22BC AC x == 由勾股定理得：225AB AC BC x =+=则5sin 55AC B BC x===综上，答案为12或5. 【点睛】本题考查了直角三角形中锐角三角函数，熟记锐角三角函数的计算方法是解题关键.15.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠,点C 恰好落在AB 边上的点F 处，若AC ＝2BC ，则DECF的值为____.【答案】54【解析】 【分析】由折叠的性质可知，DE 是CF 的中垂线，根据互余角，易证CDE B BCF ∠=∠=∠；如图（见解析），分别在Rt CDO Rt ABC Rt COE ∆∆∆、、中，利用他们的正切函数值即可求解.【详解】如图，设DE 、CF 的交点为O 由折叠可知，DE 是CF 的中垂线 1,2CF DE CO CF ∴⊥=，90COD ∴∠=︒90CDE DCF ∴∠+∠=︒又90ACB ∠=︒90BCF DCF ∴∠+∠=︒ BCF CDE ∴∠=∠ CDE B ∠=∠ CDE B BCF ∴∠=∠=∠tan tan tan 2ACB CDE BCF BC∴∠=∠=∠== 设DO k =tan 2CO DO CDE k ∴=⋅∠=24,tan 4CF CO k OE CO BCF k ∴===⋅∠= 5DE DO OE k ∴=+=5544DE k CF k ∴==.【点睛】本题考查了图形折叠的性质、直角三角形中的正切函数，巧妙利用三个角的正切函数值相等是解题关键.16.如图，AB 为O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在圆上，且DF ＝CD ，BE ＝2，CD ＝8，CF 交AB 于点G ，则弦CF 的长度为__________，AG 的长为____________.【答案】 (1). 485； (2). 83【解析】 【分析】如图（见解析），连接CO 、DO ，并延长DO 交CF 于H ，由垂径定理可知CE ，在Rt COE △中，可以求出半径CO 的长；又由DF ＝CD 和垂径定理得1,2OH CF FH CF ⊥=，根据圆周角定理可得CFD COB ∠=∠，从而可知cos CFD ∠，在Rt DHF ∆中可求出FG ，也就可求得CF 的长度；在Rt DHF ∆中利用勾股定理求出DH ，再求出OH DH OD =-，同样地，在Rt OGH ∆中利用余弦函数求出OG ，从而可求得AG OA OG =-.【详解】2BE =，8CD =，CD AB ⊥4CE DE ∴==，CB BD =（垂径定理）连接CO ，设CO r =，则2OE r =-在Rt COE ∆中，222CE OE CO +=解得=5r5CO ∴=，3OE =连接DO 并延长交CF 于HDF ＝CD ，由垂径定理可知，1,2OH CF FH CF ⊥=CFD ∠是CD 所对圆周角，COB ∠是BC 所对圆心角，且CD =2BC CFD COB ∴∠=∠，3cos cos 5CFD COB ∴∠=∠= 8DF CD ==，24cos 5FH DF CFD ∴=⋅∠= 485CF ∴= 由勾股定理得：325DH = 75OH DH OD ∴=-= HOG BOD COB ∠=∠=∠3cos cos 5HOG COB ∴∠=∠=，7cos 3OH OG HOG ∴==∠ 83AG OA OG ∴=-=.【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线，利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.三．解答题（共7小题）17.如图，为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点A 测得河北岸的树C 在点A 的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B 点，测得树C 在点B 的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽.【答案】53米 【解析】 【分析】 如图（见解析），过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，设河宽为x 米，则AE BF x ==，在Rt ACE ∆和Rt BCF ∆中分别利用tan 60︒和tan 30︒建立x 的等式，求解即可.【详解】过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F设河宽为x 米，则AE BF x ==依题意得10,60,30EF AB CAE CBF ==∠=︒∠=︒在Rt ACE ∆中，tan CE CAE AE∠=，即tan 60CE x ︒= 解得：tan 603CE x x =︒=则310CF CE EF x =-=-在Rt BCF ∆中，tan CF CBF BF ∠=，即310tan 30x -︒= 解得：53x =（米）答：根据学习小组的测量数据计算出河宽为53米. 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的正切的实际应用，依据题意构造出直角三角形是解题关键.18.如图，某科技物展览大厅有A 、B 两个入口，C 、D 、E 三个出口.小昀任选一个入口进入展览大厅， 参观结束后任选一个出口离开.(1)若小昀已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率.(2)求小昀选择从入口A进入，从出口E离开的概率.(请用列表或画树状图求解)【答案】(1)13; (2)16【解析】【分析】（1）用列举法即可求得；（2）画树状图（见解析）得出所有可能的结果，再分析求解即可.【详解】（1）小昀选择出口离开时的所有可能有3种：C、D、E，每一种可能出现的可能性都相等，因此他选择从出口C离开的概率为：1 ()3P C=；（2）根据题意画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，即（AC）、（AD）、（AE）、（BC）、（BD）、（BE），这些结果出现的可能性相等所以小昀选择从入口A进入，出口E离开（即AE）的概率为1 ()6 P AE=.【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出事件所有可能的结果是解题关键.19.如图一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.、（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；（2）若水面上升1m ，水面宽度将减少多少？【答案】(1)图见解析，抛物线的函数表达式为2149y x =-+（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；(2)1263-【解析】【分析】（1）以AB 的中点为平面直角坐标系的原点O ，AB 所在线为x 轴，过点O 作AB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系（图见解析）；因此，抛物线的顶点坐标为(0,4)，可设抛物线的函数表达式为24y ax =+，再将B 点的坐标(6,0)代入即可求解；（2）根据题（1）的结果，令1y =求出x 的两个值，从而可得水面上升1m 后的水面宽度，再与12m 作差即可得出答案.【详解】（1）以AB 的中点为平面直角坐标系的原点O ，AB 所在线为x 轴，过点O 作AB 的垂线为y 轴，建立的平面直角坐标系如下：根据所建立的平面直角坐标系可知，B 点的坐标为(6,0)，抛物线的顶点坐标为(0,4)因此设抛物线的函数表达式为24y ax =+将(6,0)B 代入得：2640a +=解得：19a =- 则所求的抛物线的函数表达式为2149y x =-+（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；（2）由题意，令1y =得21419x -+=解得：1233,33x x ==-则水面上升1m 后的水面宽度为：1263x x -=（米）故水面上升1m ，水面宽度将减少(1263)-米.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键. 20.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：BD ＝CD ．（2）若弧DE ＝50°，求∠C 的度数．（3）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BC ＝8，AF ＝3BF ，求弧BD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）65°；（3）43π． 【解析】【分析】 （1）连接AD ，利用圆周角定理推知AD ⊥BD ，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到∠EOD ＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC ＝25°，所以根据三角形内角和定理求得∠ABD 的度数，则∠C ＝∠ABD ，得解；（3）设半径OD ＝x ．则AB ＝2x ．由AF ＝3BF 可得AF ＝34AB ＝32x ，BF ＝14AB ＝12x ，根据射影定理知：BD 2＝BF •AB ，据此列出方程求得x 的值，最后代入弧长公式求解．【详解】（1）证明：如图，连接AD ．∵AB 是圆O 的直径，∴AD ⊥BD ．又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ．（2）解：∵弧DE ＝50°，∴∠EOD ＝50°．∴∠DAE＝12∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝34AB＝32x，BF＝14AB＝12x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝12x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：604180π⨯＝43π．【点睛】此题主要考查圆的综合，解题的关键是熟知圆周角定理、三角形内角和及射影定理的运用.21.如图，在∆ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.（1）求证：∆ADE~∆ABC.（2）若点E 为AB 为中点，AD ：AE ＝6：5，∆ABC 的面积为50，求∆BCD 面积.【答案】(1)详见解析； (2)14【解析】【分析】（1）根据AE AB AD AC ⋅=⋅可得AE AD AC AB=，又因DAE BAC ∠=∠，由相似三角形的判定定理即可证； （2）设5AE x =，根据:6:5AD AE =得6AD x =，由点E 是AB 的中点得10AB x ，可求出AD AB的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得ADE ∆的面积，因等底等高得，BDE ∆的面积等于ADE ∆的面积，从而可得答案.【详解】（1）AE AB AD AC ⋅=⋅AE AD AC AB∴= 在ADE ∆和ABC ∆中，AE AD AC AB DAE BAC⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩ ADE ABC （两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）（2）设5AE x =:6:5AD AE =6AD x ∴= 又点E 是AB 的中点210AB AE x ∴==63105AD x AB x ∴== 由题（1）知ADE ABC ∆∆29()25ADE ABC S AD AB S ∆∆==∴又50ABC S ∆=92518ADE ABC S S ∆∆⋅∴==又BDE ∆和ADE ∆的边BE AE =，且边上对应的高是同一条高18BDE ADE S S ∆∆∴==50181814BCD ABC BDE ADE S S S S ∆∆∆∆∴=--=--=答：BCD ∆的面积为14.【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.22.已知二次函数y ＝ax ²＋bx －4(a ，b 是常数.且a ≠0)的图象过点(3，－1).(1)试判断点(2，2－2a )是否也在该函数的图象上，并说明理由.(2)若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数表达式.(3)已知二次函数的图像过(1x ，1y )和(2x ，2y )两点，且当1x ＜2x ≤23时，始终都有1y ＞2y ，求a 的取值范围.【答案】（1）不在；（2）214493y x x =-+-；244y x x =-+-；（3）35a ≥ 【解析】【分析】（1）将点(3,1)-代入函数解析式，求出a 和b 的等式，将函数解析式改写成只含有a 的形式，再将点(2,22)a -代入验证即可；（2）令0y =，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a 的值，从而可得函数表达式；（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.【详解】（1）二次函数图像过点(3,1)-∴代入得9341a b +-=-，933a b ∴+=13b a ∴=-，代入得2(13)4y ax a x =+--将(2,22)a -代入得42(13)422a a a +--=-，得22-=，不成立，所以点(2,22)a -不在该函数图像上； （2）由（1）知，2(13)4y ax a x =+--与x 轴只有一个交点2(13)40ax a x ∴+--=只有一个实数根2(13)160a a ∴∆=-+=，19a ∴=-或1a =- 当19a =-时，4133b a =-=，所以表达式为：214493y x x =-+- 当1a =-时，134b a =-=，所以表达式为：244y x x =-+-；（3）2(13)4y ax a x =+--∴对称轴为3131222a x a a -==- 当0a >时，函数图象如下：若要满足1223x x <≤时，1y 恒大于2y ，则1x 、2x 均在对称轴左侧 231322a ∴≤-，35a ∴≥ 当0a <时，函数图象如下：312223a ->，此时12x x <，1y 必小于2y 综上，所求的a 的取值范围是：35a ≥. 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质（与x 的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键. 23.如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上(不与点C ，D 重合)，连接AE ，BD 交于点F .（1）若点E 为CD 中点，AB ＝5AF 长.（2）若tan ∠AFB ＝2，求DF BF的值.（3）若点G 在线段BF 上，且GF ＝2BG ，连接AG ，CG ，设DE DC＝x ，四边形AGCE 的面积为1S ，∆ABG 的面积为2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）103AF =；（2）13DF BF =；（3）194. 【解析】【分析】 （1）由AB =DE 的长，利用勾股定理可得AE 的长，又易证AFB EFD ∆~∆，由相似三角形的性质可得AF AB EF ED=，求解即可得； （2）如图（见解析），连接AC 与BD 交于点O ，由正方形的性质可知，AO BO CO DO ===，AC BD ⊥，设OF k =，在Rt AOF ∆中，tan tan 2AFO AFB ∠=∠=可求出2AO k =，从而可得DF 和BF 的长，即可得出答案；（3）设正方形的边长AB CD AD y ===，可得DE 、AO 、BO 、BD 的长，由AFB EFD ∆~∆可得BF 的长，又根据2GF BG =可得BG 的长，从而可得ABG ∆的面积2S ，用正方形的面积减去三个三角形的面积可得四边形AGCE 的面积1S ，再利用二次函数的性质求解12S S 的最大值. 【详解】（1）E 为CD中点，AB =DE CE ∴=5AE ∴=45ABF EDF ∠=∠=︒，AFB DFE ∠=∠AFB EFD ∴∆~∆2AF AB FE DE ∴==，即2AE EF = 又5AF EF AE +== 21033AF AE ∴==； （2）如图，连接AC 与BD 交于点O由正方形的性质得AC BD ⊥，AO BO CO DO ===设OF k =在Rt AOF ∆中，tan tan 2AFO AFB ∠=∠=tan 2A F F k O O A O ∠==∴⋅2DF DO OF k k k ∴=-=-=，23BF BO OF k k k =+=+=13DF BF ∴=； （3）设正方形的边长AB CD AD y ===，则BD =12AO BO BD y ∴=== DE x DC= DE x DC xy ∴=⋅=由（1）知AFB EFD ∆~∆，DF DE xy x FB AB y ∴===又DF BF BD +=11BF BD x ∴==+又2GF BG =13BG BF ∴==2211226(1)y S BG AO y x ∴=⋅==+ 2211226(1)BCG y S BG CO BG AO S x ∆∴=⋅=⋅==+ 又21122ADE S DE AD xy ∆=⋅= ABG BCG ADE ABCD AGCE S S S S S ∆∆∆=---正方形四边形22222213346(1)6(1)26(1)y y xy x x S y y x x x -++∴=---=+++ 212334S x x S ∴=-++ 由二次函数图象的性质得：当122b x a =-=时，12S S 有最大值，最大值为194.【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质、正切三角函数、二次函数图象的性质，难度较大的是题（3），利用相似三角形的性质求出BG的长是解题关键.。