巧用等量代换求面积
小升初数学专项题-第十三讲 等量代换(二)通用版
第十三讲等量代换（二）【知识梳理】把一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差（差不变性质），可以使问题更加简洁。
【典例精讲1】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
思路分析：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
解答：直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
小结：解决这类问题的关键是将阴影部分的面积转化成可求的梯形面积。
【举一反三】1. 右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
2. 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
3. 下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
【典例精讲2】在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。
求ED的长。
思路分析：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18平方厘米。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
解答：梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（平方厘米），三角形ECB面积=36-18=18（平方厘米），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。
答：ED的长是2厘米。
小结：解决这类问题关键是巧妙的转化，加上两个图形的公共部分把不容易解决的问题变成容易解决的问题。
小升初数学专项题--等量代换(一)(二)
第十二讲等量代换（一）【知识梳理】等量代换-—用一种量（或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分)，是指一个量用与它相等的量去代替。
【典例精讲1】1只小狗与3只小兔子一样重：1只小兔子和3只小鸡一样重：1只小狗和几只小鸡一样重？思路分析:由于1只小兔子和3只小鸡一样重,1只小狗与3只小兔子一样重，所以把每1只兔子都用3只小鸡代换，就得到1只小狗与3×3只小鸡一样重。
解答：3×3=9(只）答:1只小狗和9只小鸡一样重。
小结：解决这类为题关键是把每一只兔子都用小鸡换下来，就容易解决了. 【举一反三】1. 1只猴子重量=2只兔子重量,1只兔子重量=3只小鸡重量，已知1只小鸡重200克，1只猴子重多少克?2.根据图，想一想，一个圆等于几个三角形?3。
根据图,想一想，问号处该放什么？？【典例精讲2】学校要买足球和排球．买3个足球和4个排球共需190元，如果买6个足球和2个排球需要230元．一个足球和一个排球各需要多少元？思路分析：先看条件中的数量关系：3个足球的钱+4个排球的钱= 190元（1), 6个足球的钱+2个排球的钱=230元(2)，可得6个足球的钱+8个排球的钱= 380元（3）,通过（2)可得6个足球的钱= 230元－2个排球的钱（4）,把（4）代入（3），可得1个排球的排球的价钱，进而可得一个足球的价钱。
解答：3个足球的钱+4个排球的钱= 190元（1）,6个足球的钱+2个排球的钱=230元（2），(1)×2得6个足球的钱+8个排球的钱= 380元（3）由（2）得6个足球的钱= 230元－2个排球的钱（4)把（4）代入（3)得230元－2个排球的钱+8个排球的钱= 380元所以1个排球的钱=25(元）通过（1）得1个足球的钱=30（元）答：一个足球需要30元，一个排球需要25元。
小结:解决这类问题的关键是把条件变形，然后进行等量代换.【举一反三】4.6头牛和16只羊每天共吃青草186千克,10头牛和30只羊每天共吃青草330千克．问一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克?5.【巩固】6米绵绸的价格与12米花布的价格相等．李阿姨买了12米绵绸和36米花布，共花费了240元．棉绸和花布的单价各是多少?答案及解析：1.【解析】由于1只猴子重量=2只兔子重量，1只兔子重量=3只小鸡重量，所以1只猴子重量=（2×3）只小鸡的重量，所以直接代入计算即可。
等量代换解题技巧
等量代换解题技巧在各类数学题目中，有一种通用解题方法，即等量代换。
它是通过将未知量使用等值替代的方法，将题目中的式子变形求解，达到解题的目的。
这种方法可以适用于各种数学问题的解题中，有很高的实用价值。
本文将讲解等量代换解题技巧。
一、定义等量代换是指用等式中一个量的代换，把式子变为新的形式，但式子的值不变。
等量代换的前提条件是等式的两边经过变形后，它们仍然相等。
例如，若有一个等式: 2x+1=5，则这个等式可以进行等量代换。
我们将2x+1中的2x替换成y，则方程变为：y+1=5, 其中，y=2x。
这样将原有的未知量进行了等值替代，达到了解题的目的。
二、等量代换的基本步骤等量代换需要涉及到一些基本的代数运算，下面将简要介绍等量代换的基本步骤：1. 确定要代换的未知量。
2. 根据代入值进行等式变形。
3. 将新的等式带入原题，验证是否符合要求。
举个例子，若要解方程式6x+10=28，则可以使用等量代换法进行解题。
首先，确定要代入的未知量为y，则 y=3x+5(将6x替换成y）。
进一步变形：3x+5=9,则3x=4, x=4/3.将这个值代入原式，6x+10=28，若x=4/3，则6(4/3)+10= 28，符合要求。
因此，我们得到解:x=4/3。
三、应用等量代换法是一种基础的解题方法，可以应用到各种数学问题的解决中。
例如，在有关几何问题中，常使用等量代换法来解决各种求解面积和周长的问题。
比如，求解一个三角形的面积，我们可以计算出其底边和高，并代入求解公式，最终解出面积值。
在一些实际应用问题中，等量代换也有着广泛的应用。
比如，我们要在一段规定长度的绳子中切割出多段相同长度的绳子，我们就可以使用等量代换法来解决问题。
总之，等量代换法是一种简单而实用的解决问题的方法，在学习和研究数学的过程中，我们应该注意学习和掌握这种方法。
第十二讲 代换问题-小学奥数
第十二讲代换问题告诉你本讲的重点、难点“等量代换”是解数学题时常用的一种方法，即两个相等的量，可以互相代换，等量代换思想用等式的性质来体现，就是等式的传递性：如果a=b，b=c．那么a=c．这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础．看老师画龙点睛，教给你解题诀窍【例l】在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米2，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积．分析与解因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50(厘米2)．答：平行四边形ABCD的面积是50厘米．【例2】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米．小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？分析与解根据“小水泵的5小时的抽水量一大水泵2小时的抽水量’可以知道小水泵的20小时的抽水量一大水泵8小时的抽水量小水泵抽6小时十大水泵抽8小时= 312立方米于是可以把大水泵抽8小时代换成小水泵的20小时的抽水量．312÷(6+5×4)=12（立方米）……小水泵的抽水量12×5÷2=30(立方米)……大水泵的抽水量答：小水泵每小时抽水12立方米，大水泵每小时抽水30立方米．【例3】张师傅带了2个徒弟小李和小王，已知张师傅1小时的工作量小李要做2小时，而小李4小时的工作量小王要做5小时．现在张师傅做了8小时，小李做了12小时，小王做了10小时，师徒三人一共加工了1080个零件，他们每小时的工作量各是多少？分析与解由张师傅1小时的工作量小李要做2小时，而小李4小时的工作量小王要做5小时可知：张师傅2小时做的=小李4小时做的=小王5小时做的．张师傅8小时做的，小王要做5×(8÷2)=20（小时），小李12小时做的，小王要做5×(12÷4)=15（小时），如果1080个零件由小王一个人加工，需要单独做20+15+10=45(小时)，那么小王每小时的工作量是1080÷45=24(个)，这样就能求出其他人的工作量了．1080÷[ 10+5×(8÷2)+5×(12÷4)]=24（个）……小王24×5÷4=30(个)……小李24×5÷2=60(个)……张师傅答：小王每小时做24个，小李每小时做30个，张师傅每小时做60个．【例4】右图中正方形的面积是50平方厘米．求阴影部分的面积，分析与解 要求阴影部分的面积，必须知道正方形的面积和扇形的面积，然后用正方形的面积减去扇形的面积求得阴影部分的面积．正方形的面积已知道，扇形的面积还不知道．要求出扇形面积必须知道扇形的半径，而扇形的半径就是正方形的边长，从正方形的面积求正方形边长，小学阶段没有学过，怎么办呢（ 注意图中扇形的面积正好是圆面积的41,即.42÷=r s π不难发现这里的2r 恰好是正方形边长的平方，就等于正方形的面积50平方厘米．所以，计算扇形面积只要用“50”代换算式中的2r 就可以了，没有必要再求出半径r 的长度．因此，这道题可列式解答如下：50-3.14-X50÷4=10.75(平方厘米)答：阴影部分的面积是10.75平方厘米．快来试一试你的身手吧！1．学校买来5张桌子和9把椅子，一共用去672元．已知每张桌子的价钱相当于3把椅子的价钱，那么，每把椅子多少元？每张桌子多少元？2．在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB 的面积比三角形EFD 的面积大18厘 米2．求ED 的长．3．一笔奖金分二等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍，如果评一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖奖金是308元，如果评一个一等奖、两个二等奖、三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？4．如右图，阴影部分的面积是40平方厘米，求环形的面积．做题也有小窍门噢当知道两冷基的确定关系后，就可以用一个量代替另一个量，从而使等量关系式中只含有一个要求的量 .通往初中名校的班车1．如右图，阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长．2.2只红球与4只黑球的重量相等，3只黑球的重量等于1只红球的重量加1只篮球的重量，那么几只篮球的重量等于3只红球的重量加4只黑球的重量？3．有一条鱼，鱼尾重21千克，鱼头的重量等于鱼尾重量与鱼身重量的21的和，而鱼身的重量等于鱼头和鱼尾重量的和．这条鱼有多重？4．李老师买了3个足球，张老师买了4个篮球，王老师买了1个足球、1个篮球、3个皮球．他们每人所用的钱数都相等.5个足球的价钱相当于几个皮球的价钱？答 案。
小学奥数第九讲-图形的面积(二)
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】第九讲图形的面积（二）阅读与思考上讲里我们学习了几何图形中一些面积计算的相关知识和方法。
本讲我们继续探讨平面几何图形面积的计算问题。
对于较为复杂的组合图形的面积问题，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，灵活运用典型的数学思想方法、技巧解题。
1、利用弦图分割拼补求面积：如图1 弦图是由四个相同的长方形拼成一个大正方形，大正方形的边长等于长方形的长和宽的和，小正方形的边长等于长方形的长和宽的差。
根据大小正方形的边长和长方形的长与宽之间的关系可以巧妙地解决许多面积问题。
2、利用等量代换的思想计算有部分图形重叠的组合图形面积计算问题。
这类问题需要我们认真观察图形的特点，从组合图形中重叠的部分出发，寻找图形中的内在联系，巧妙地利用已知图形面积的和与差之间的关系建立等式，等量代换。
从而巧妙地求出组合图形的面积。
3、添加合适的辅助线构造成特殊图形如平行四边形、正方形、等腰直角三角形或等积形等。
添加辅助线的一般技巧有“见中点连中线，见中线延长一半”；“四十五度旁边想直角，分割拼补成等腰”等等。
典型例题|例①|如图2 从一个正方形木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为5平方米。
问锯下的长方形木条面积是多少？分析与解这类题可以巧妙地运用弦图来求面积。
如图2 可以看出剩下的长方形的长是原正方形的边长，它的宽比长少0.5米。
根据弦图的启发，我们可以假设有四个与剩下的长方形一样的长方形，把它们拼成如图 3 的大正方形，这个大正方形的边长是长方形的长和宽的和，阴影小正方形的边长是长方形长和宽的差，正好等于0.5米，问题迎刃而解了。
大正方形的面积=0.5×0.5+4×5=20.25，大正方形的边长为4.5米，于是剩下的长方形中长+宽=4.5，长-宽=0.5，长=（4.5+0.5）÷2=2.5（米）。
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 利用等量代换求解
给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.（如右图）
解：连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.
在△DEC和△PEB中
∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.
∴△DEC≌△PEB（SAS）.
∴CD=BP. S△DEC=S△PEB.
又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.
∴EP平行且等于1/2AC.
即EP平行且等于AF.
∴四边形AEPF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）
∴AE=FP. S△EFP=S△AEF.
这样△ABC的三条中线CD,BF,EF就构成了△BFP.
∵BF为中线，平分△ABC面积.
∴S△BAF=S△BFC.
又∵EF为△BFC中线，平分△BFC面积.
∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.
又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积.
∴S△ADC=S△BDC.
又∵DE平分△BDC面积.
∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.
∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.
∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积.
∴S△BAE=S△AEC.
又∵EF平分△AEC.
∴S△AEF=S△EFC.
∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC
∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP
=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC
=3/4 S△ABC。
《等量代换》 知识清单
《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种基本的思想方法，指的是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
简单来说，就是在等式中，如果两个量相等，那么可以用其中一个量去替换另一个量。
例如，如果我们知道 2 个苹果的重量等于 1 个西瓜的重量，那么当需要计算 4 个苹果的重量时，就可以通过等量代换，得出 4 个苹果的重量等于 2 个西瓜的重量。
等量代换的核心在于找到两个相等的量，并明确它们之间的替换关系。
二、等量代换的应用场景1、解决数学运算问题在加减法运算中，等量代换可以帮助我们简化计算。
比如，已知 A ＋ B ＝ 10，B ＝ 3，那么我们可以通过等量代换，将 B 的值代入第一个式子，得出 A ＋ 3 ＝ 10，从而计算出 A ＝ 7。
在乘法运算中，也经常用到等量代换。
例如，若 3×C ＝ 18，那么通过等量代换，可以得出 C ＝ 6。
2、几何图形中的应用在几何图形中，等量代换常用于求图形的面积、周长等。
比如，两个三角形等底等高，那么它们的面积相等。
如果已知一个三角形的面积和相关条件，就可以通过等量代换求出另一个与之等底等高三角形的面积。
3、实际生活中的运用在购物时，如果知道不同商品之间的价格等价关系，就可以通过等量代换来比较不同组合商品的价值。
在工程测量中，当无法直接测量某个长度或距离时，可以通过与已知长度或距离建立等量关系，从而间接得出所需测量的值。
三、等量代换的原则1、相等性原则进行等量代换的两个量必须是相等的，这是最基本的前提。
2、可替换性原则等量的量必须是在相同的条件和环境下可以相互替换的。
3、等量传递原则如果 A ＝ B，B ＝ C，那么 A ＝ C。
通过这种传递关系，可以进行多次等量代换。
四、等量代换的步骤1、观察与分析首先要仔细观察题目中给出的条件和关系，确定哪些量是相等的，以及它们之间的联系。
2、确定替换量根据观察和分析的结果，明确要进行替换的量。
小升初数学专项题-第十三讲 等量代换(二)通用版
第十三讲等量代换（二）【知识梳理】把一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差（差不变性质），可以使问题更加简洁。
【典例精讲1】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
思路分析：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
解答：直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
小结：解决这类问题的关键是将阴影部分的面积转化成可求的梯形面积。
【举一反三】1. 右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
2. 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
3. 下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
【典例精讲2】在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。
求ED的长。
思路分析：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18平方厘米。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
解答：梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（平方厘米），三角形ECB面积=36-18=18（平方厘米），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。
答：ED的长是2厘米。
小结：解决这类问题关键是巧妙的转化，加上两个图形的公共部分把不容易解决的问题变成容易解决的问题。
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S
S
BDE
CD P
S
BD P
2
S ADE 6.36 2 3.18 cmΒιβλιοθήκη 即 S 阴影 3.18 cm
2
例５.在下图的直角三角形中有一个长方形，求 长方形的面积。 4 Ａ′ ６ 乙 Ａ Ｂ′ Ｂ ４ 6 由图可知： A=A′ , B=B′
甲
S
6 4 24 S 甲 乙
例1 如下图，两个完全相同的直角三角形重叠在 一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米)
S A
B 3
? 17 梯形 梯形ABOD ABOD
D O 7 2 E 10
C
S S S F
根据差不变性质
ΔABC = ΔOCD
S S
ΔDEF ΔOCD
梯形ABOD =
（10+7）×2÷2=17
- =
S
- =
梯形OEFC
例2
A
如下图，ABCD是7×4长方形，DEFG是 10×2长方形，求三角形BCO与三角形 EFO的面积之差。 B 延长BC交FG于点H.
D G
6
C O H
E
SBHF 3 6 2 9
3
F
S
长方形 CEFH
3 2 6
即 S BCO S EFO 3 cm
2
例3 下图是由大、小两个正方形组成的，小正 方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。 A
B 等量代换法
E
D
4
C
2） =4 × 4 ÷ 2=8 （ cm S ABC S BCD
例4.下图中ABCD是个直角梯形，以AD向外为 边作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。连 接BE交AD于P，连接PC。求图中阴影部分的 面积。 面积转化法 连结BD、连接AE