巧求面积平移旋转
解析
观察上图，以O为圆心的两个同心圆中间的环形被正方形ABCD的四条 边分成了12小块，阴影部分和空白部分各占6小块。 如下图：线段EF右边的3块阴影部分绕圆心O各旋转90度，正好填补在线 段EF左边的3小块空白处，与左边原有的3块阴影部分正好拼成半个环 形。。
• 解法：如上图，AC、DB两条对角线把正方形ABCD分成了4个直角三角 形，每两个直角三角形斜边重合可以拼成一个小的正方形，4个三角 形可以拼成2个相同的小正方形。这样的小正方形的边长就是大圆的 半径R，小正方形的面积正好等于正方形ABCD面积的一半。即：R2＝ 16÷2＝8。
例3.图中三个圆的周长都是25.12厘米，不用测量，
计算出图中阴影部分的总面积。
解析
上图中3个圆的周长相等，即阴影部分是3个半径相等的扇形，半径 为：25.12÷ 3.14÷ 2＝4（厘米） 这3个扇形半径相等，沿着梯形的边平移，再旋转后可以拼成一个大 的扇形。任意四边形的内角和都是360度，则阴影部分3个扇形拼成 的大扇形的圆心角为：360－90＝270（度） 所求阴影部分面积为：3.14× 42× 270/360＝37.68（平方厘米）
• 上图中EF、OG所在的直线把正方形ABCD分割成4个相同的小正方形， 这样的小正方形的边长就是小圆的半径r，小正方形的面积正好等于 正方形ABCD面积的1/4。即：r2＝16÷4＝4。
• 则所求阴影部分面积为：
• 3.14×（R2－r2）÷2
• ＝3.14×（8－4）÷2
• ＝3.14×4÷2
• ＝6.28（平方厘米）
例4. 如图，已知大圆半径是6厘米，小圆半径是3厘米，求阴影 部分面积
解析
大圆小圆是同心圆，将最左边的半径6厘米的小扇形绕圆心旋转90度，将①号阴 影部分拼到②号空白处，可以把阴影部分割补成一个1/4环形。所以图中阴影部 分面积为：3.14×（62－32）×1/4＝21.195（平方厘米）
例5. 正方形ABCD面积为16平方厘米，求阴影部分面积。
解析
如下图，将①号弓形绕P点旋转对折 后拼到②号空白处，拼成的阴影部 分正好与三角形POB重合。 所求 阴影部分总面积就等于三角形POB的 面积：4×4÷2÷2＝4（平方厘米）
例2.求图中阴影部分的面积
解析
在图中分割的两个正方形中，右边正方形的 阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左 边正方形中空白部分是半径为5的四分之一 个圆。 如右图所示，将右边的阴影部分平移到左边 正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正 好等于一个正方形的面积，5× 5=25。
例6.图中正方形边长为8米，求阴影部分面积。
解析
如下图，画出正方形的两条对角线，把正方形分成4个相同的三角形。 再将①号②号阴影部分分别绕正方形中心点旋转90度，拼A空白处 和B空白处，阴影部分被割补成2个三角形，其面积正好等于长方形 面积的一半。所求阴影部分面积为：82÷ 2＝32（平方米）
例7.已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是 由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成.求图中阴影 部分的面积（结果保留π）
解析
将弓形CE绕点C旋转1800，则阴影部分的面积=弓形BE的面积.
巧求面积---平移旋转Fra bibliotek 知识梳理相加法
相减法
割补法
平移法 旋转法
巧求 面积
放大法 等量代换法
直接求法 重叠法 引辅助线法
平移：沿着直线运动
特点：大小、形状、方向不变，位置变化
旋转：绕固定点圆周运动
特点：大小、形状不变，方向和位置变化 绕着一个点或一条线旋转
典型例题精讲
例1. 计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）。
四年级秋季班第2讲 巧求面积
（2）依次连接正方形四边的中点得到的新正方形是原正方形面积的一半。
（3）平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形（但是这四 个三角形不一定相同） 。
四年级秋季班第二讲——巧求面积
李拉娜
lilana927@hotmail .com
（4） 下图中两个正方形重叠部分面积是正方形 ABCD 面积的 的中心。
平移、旋转：主要通过移动的方法把分散的块集 中到一个规则的图形中。
一、 长方形的性质
（ 1）交叉相乘，乘积相等。
四年级秋季班第二讲——巧求面积
李拉娜
lilana927@hotmail .com
如上图， S 1 S 4
S 2 S 3 ，也就是说，对角的两个长方形面积相乘，乘积相等。
练习 1 如图，长方形 ABCD 被分成 9 个小长方形，其中 5 个小长方形的面积如 图中所标注，求长方形 ABCD 的面积。
把阴影部分做如下的分割：
其中 C 是长为 5 厘米、宽为 2 厘米的长方形，面积为 2 5 10 平方厘米。 A 与 B 的面积之和为 66 10 56 平方厘米。 B 的面积=2×正方形边长，A 的面积=5×正方形边长。 如果把 B 的面积看成 2 份，则 A 的面积就是 5 份，A 与 B 的面积之和是 7 份，1 份就是 56 7 8 平方厘米。 那么 B 的面积就是 2 8 16 平方厘米，正方形的边长为 16 2 8 厘米。原长方形 的长为 8 5 13 厘米，宽为 8 2 10 厘米。 原长方形的面积为 13 10 130 平方厘米。 练习 3 （第 12 届“迎春杯”刊赛试题）街心花园里有一个正方形的花坛，四 周有一条宽为 1 米的甬道（如图） ，如果甬道的面积是 12 平方米，那么中间的 花坛面积是多少平方米？
巧求面积
【知识梳理】本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力。
1、面积公式：长方形的面积=长⨯宽正方形的面积=边长⨯边长2、把不规则图形转化为规则图形的几种方法。
分割：把不规则图形分割成一些可求面积的规则图形。
添补：添上一个规则图形或者与所求图形有数量关系的图形，使原图形变为可求面积的规则图形。
平移、旋转:主要通过移动的方法把分散的块集中到一个规则的图形中。
【例题讲解】例1、你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)4993例2、这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？例3、有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？例4、下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.例5、一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？例6、一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？【课堂巩固】1、求图中五边形的面积。
64532、如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？3、两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA4、 一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形 的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？65、 如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是 ．第6题【课后练习】1、 如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)302030402、 如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．3、四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？164、有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？。
妙用图形变换巧求面积
妙用图形变换巧求面积武鸣县民族中学韦秋华进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。
由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。
但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。
因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。
而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。
因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面积问题，还能很好的完成新课标的要求。
下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。
例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积30°每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。
次为1，2，3，4.过这些点分别作x轴和y轴的垂线，则图中所构成的阴影部分的面积从在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k这个量。
但是学生通过观察，发现要单独求S1、S2、S3、S4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。
如果将S2、S3、S4向左平移到S1的正下方，可以发现S1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P1的横坐标和纵坐标，所以这个矩形的面积就是又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题。
例3：如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？学生在做这道题的时候，感觉比较困难。
小学数学优质课：巧求面积 2
1平方厘米
1平方厘米
1平方厘米
ห้องสมุดไป่ตู้ 同桌讨论
1、我们刚刚是怎么求风筝和三角 形的面积的？ 2、在平移、旋转和割补的过程中， 什么变了，什么又没变？
割、补
转化
形状变了 面积不变
1.用今天学习的方法求箭头的面积？
2.如图，小正方形边长为4cm，你 知道阴影部分的面积是多少吗？
1平方厘米
1、想一想：这个图形可以转化成什 么图形？
2、画一画：将变化的部分圈出来用 箭头指向变化后的位置。
3、列一列：将图形面积的算式列在 学习单上。
1平方厘米
为什么要旋转和平移？
1平方厘米
计算三角形的面积 你有什么方法？
合作要求
1、想一想：这个图 形可以转化成哪种图 形？
2、画一画：有几种 不同的方法？
3.两张正方形的纸，一部分叠在一起 放在桌子上，如图，桌子被盖住部分 的面积？（单位：分米）
4
2
4
2
6
6
奥数-巧求面积
第一讲：巧求面积一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了（如图）。
二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可（如图）。
例.一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了（如图）。
例.如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD ，长方形 ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了（如图）。
例.已知大正方形边长是7厘米，小正方形边长5厘米，求阴影部分的面积。
五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如图）。
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半（如图）.例.求阴影部分的面积。
四年级下册数学试题-寒假讲义 第13讲巧求面积_北师大版(2014秋)
第十三讲巧求面积知识点睛：长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出所求面积的题目，这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”“平移”“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
例1:下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
练习1：1、右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
2、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？例2:下图是一块水稻田，请计算它的面积（单位：米）练习2：1、求下图的面积。
（单位：分米）2、求下面图形的面积（单位：米）8471040302020151020155020例3：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？练习3：1、一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？2、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？例4：如图所示，一块长方形草地。
长方形长16米，宽10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，另一条是平行四边形。
求有草部分（阴影部分）的周长。
练习4：1、求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、如图所示，公园里有一个长方形湖泊，湖上有一座景观桥（桥墩忽略不计）。
已知湖泊长30米，宽20米，桥面的宽度为2米，这座桥的面积是多少？210例5：街心花园有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的通道（如图），如果通道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？练习5：1、有一个正方形水池，在它的周围修一条宽4米的路，这条路的面积是240平方米，这个水池的面积是多少？2、下图中阴影部分是边长为5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求这个图形的面积。
巧用平移妙求面积
巧用平移妙求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解.例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）.想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）.想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）.想一想：直接求小路的面积是无法求解的， 那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下.一、计算三角形的面积例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.图3-（1）图3-（2）yB CA O 11 图1解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以三角形ABC 的面积是：21AB ·h=21×4×4=8. 评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.因为三角形AEB 的面积是：21×AE ·EB=21×2×1=1，三角形BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：21×AC ·AD=21×3×1=23，所以三角形ABC 的面积是：9-1-3-23=27.点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差.二、计算四边形的面积E FD图2例3 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A（-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积.分析：四边形ABCD 不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算.解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则四边形ABCD 的面积=三角形ABE 的面积+梯形AEFD 的面积+三角形DFC 的面积，因为三角形ABE 的面积为：21BE ·AE=21×1×5=25，梯形AEFD 的面积为：21（DF+AE ）·EF=21×（4+5）×4=18，三角形DFC 的面积为：21FC ·DF=21×1×4=2，所以四边形ABCD 的面积为：25+18+2=2221. 点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.。
小学六年级奥数课件：巧求面积
例7. 如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘
米，BE=2AE，CF=2BF，则四边形ACFE的面
积是多少平方厘米？
A
E
B
F
D
C
解析
S△ABC=54÷ 2=27
连接CE。因为AE:EB=1：2，所以：S△ACE:S△BCE=1：2，
S△ACE=27÷ 3=9(平方厘米),S△BCE=27-9=18(平方厘米)
S△BPC的=S△BCE÷ 2=16（平方厘米） S△CDE=8× 4÷ 2=16（平方厘米） S△PDC 的面积=S△CDE÷ 2=8（平方厘米）
S阴=S正÷2-16-8=8（平方厘米）
例6.如图△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴 影部分的面积。（单位：分米）
解析
我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正 方形ABCE。 S半圆=5× 5× 3.14÷ 2=39.25（平方厘米） S正=10× 10=100（平方厘米） S△ADE=10× 15÷ 2=75（平方厘米） S阴=（39.25+100-75）÷2=32.125（平方厘米）
D
F
E
G
C
例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO面积 是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？
解析
连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO 设ECO面积为x，DCO面积为y 由条件知，EO：OB＝1：2， AO：OD＝2：3
A E
则（AEO+ECO）:DCO＝2 :3
O
ECO：（DCO+BOD）＝1:2
即： x：(y+3)=1：2
B
C
初中数学《巧求周长与面积》讲义及练习
1、 巩固三四年级学习的几何图形并深化构造思想2、 将等量代换等解题方法用到解题中本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、旋转平移变换【例 1】 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1) (2)【解析】 方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们可以把图⑴经过旋转后变成图⑵这样我们就可以根据我们学过的知识来解决这道题了．八条虚线的长度正好是大小两个正方形的周长差，空白处即为两个正方形的面积差，所以虚线长为：1682÷=(厘米)从图中可以看出上、下、左、右四个长方形的面积相等为：(96224-⨯⨯)420÷=(平方厘米)，所以小正方的边长为：20210÷=(厘米)，即小正方形的面积为：1010100⨯=(平方厘米)方法二：本题还可以将里面的正方形移到一角上来计算，由右图可知虚线长度为：1644÷=(厘米)所以小正方形的面积为：4416⨯=(平方厘米)白色长方形的面积为：(9616-)240÷=(平方厘米)，所以小正方形的边长为：40410÷=(厘米)，正方形的面积为：1010100⨯=(平方厘米)．【巩固】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？知识点拨教学目标例题精讲第二讲：巧求周长与面积c b ca图a图b【解析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图a )，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图b )．由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410÷=米，即图b 中的长方形的宽是10米．又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：2201022÷=(米)．由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(2210)26-÷=(米)．所以小正方形的面积为：6636⨯=(平方米)．【例 2】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【解析】 从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1BC 为边能构成大正方形111A BC E (如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=(平方厘米)．长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等．所以，长方形ABCD 的面积为：(225145)240-÷=(平方厘米)．【例 3】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【解析】 方法一：由于手帕边长是18厘米，所以手帕的面积是1818324⨯=(平方厘米)．要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了．红色部分是四个长为18厘米，宽为2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：4182144⨯⨯=(平方厘米)，但每个横红条与每个竖红条在交叉处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了224⨯=(平方厘米)，因此两个横红条与两个竖红条共重叠4416⨯=(平方厘米)，所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为14416128-=(平方厘米)，所以这块白手帕白色部分的面积是324128196-=(平方厘米)方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示．这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分的面积不变．这时白色部分面积一目了然，它等于变成为14厘米的正方形面积，即1414196⨯=(平方厘米)【例 4】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】 由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分的面积是44232⨯⨯=(平方厘米)．【巩固】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B【解析】 由图中可以看出小长方形的长3+⨯小长方形的宽14=，小长方形的长-小长方形的宽6=． 第二式乘以3再与第一式相加得 4⨯小长方形的长146332=+⨯=．所以小长方形的长8=，小长方形的宽2=，小长方形的面积8216⨯=，大长方形的面积14(622)140=⨯+⨯=， 阴影面积14061644=-⨯=．模块二、完美长方形【例 5】 （第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．A BCDE F 488【解析】 根据题意，有48AD AF ⨯=且8AF AD +=，又AD 、AF 都是整数，于是根据尝试可得，12AD =厘米，4AF =厘米．所以1212144ABCDS=⨯=（平方厘米）．【例 6】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【解析】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。
巧求面积-平移旋转
旋转是指图形绕某一固定点转动一定 的角度，旋转过程中图形的每一点都 绕该固定点做圆周运动。
02 图形平移与旋转后的面积 变化
图形平移后的面积变化
图形平移不改变面积
图形在平面内沿某一方向进行 平移时，其形状和大小不会发 生变化，因此面积也不会改变
。
平行四边形平移
平行四边形沿其一边进行平移 时，面积保持不变。
巧求面积-平移旋转
contents
目录
• 平移与旋转的基本概念 • 图形平移与旋转后的面积变化 • 利用平移与旋转求面积的策略 • 经典例题解析 • 练习题与答案
01 平移与旋转的基本概念
平移的定义与性质
定义
平移是将图形沿某一方向移动一 定的距离，而不改变其形状和大 小。
性质
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变图形的位置。平移 后，图形与原图形是全等的。
02
例如：求圆心角为90度的扇形所 夹的弓形面积。可以将扇形旋转 90度，将弓形变为等腰直角三角 形，再利用三角形面积公式计算 。
平移与旋转结合例题解析
平移与旋转结合法求面积的原理是通过将图形进行平移和旋 转，使其成为规则图形，从而利用公式计算面积。
例如：求一个正方形内部被切去一个角后所形成的图形的面 积。可以将切去的角向下平移并旋转90度，将不规则图形变 为等腰梯形，再利用梯形面积公式计算。
05 练习题与答案
平移练习题与答案
题目：一个平行四边形经 过平移后，它的一个顶点A 移动到点A'，其对应点之 间的距离是2cm，那么原 平行四边形的一个边长增 加了多少cm。
答案：2cm
题目：一个三角形经过平 移后，它的一个顶点P移动 到点P'，其对应点之间的 距离是3cm，那么原三角 形的一个边长增加了多少 cm。