等量代换代求面积和差不变原理练习题
巧用等量代换求面积
S
S
BDE
CD P
S
BD P
2
S ADE 6.36 2 3.18 cmΒιβλιοθήκη 即 S 阴影 3.18 cm
2
例５.在下图的直角三角形中有一个长方形，求 长方形的面积。 4 Ａ′ ６ 乙 Ａ Ｂ′ Ｂ ４ 6 由图可知： A=A′ , B=B′
甲
S
6 4 24 S 甲 乙
例1 如下图，两个完全相同的直角三角形重叠在 一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米)
S A
B 3
? 17 梯形 梯形ABOD ABOD
D O 7 2 E 10
C
S S S F
根据差不变性质
ΔABC = ΔOCD
S S
ΔDEF ΔOCD
梯形ABOD =
（10+7）×2÷2=17
- =
S
- =
梯形OEFC
例2
A
如下图，ABCD是7×4长方形，DEFG是 10×2长方形，求三角形BCO与三角形 EFO的面积之差。 B 延长BC交FG于点H.
D G
6
C O H
E
SBHF 3 6 2 9
3
F
S
长方形 CEFH
3 2 6
即 S BCO S EFO 3 cm
2
例3 下图是由大、小两个正方形组成的，小正 方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。 A
B 等量代换法
E
D
4
C
2） =4 × 4 ÷ 2=8 （ cm S ABC S BCD
例4.下图中ABCD是个直角梯形，以AD向外为 边作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。连 接BE交AD于P，连接PC。求图中阴影部分的 面积。 面积转化法 连结BD、连接AE
【小升初手册】30道小升初几何问题(答案)
【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的541.25倍．每个小长方形的面积为4595平方厘米，所以1.25宽宽5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米．大长方形的周长为(2.5422.5)229厘米．
积为：4461146120平方厘米．
16．【共高模型】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?
【解析】如下图，连接BD，ED，BG，
有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有S
EA
S
2S
．
EAD
ABD
ABD
AB
5 05 02 5 0(0块)．
8. 【化整为零】正方形ABCD与等腰直角三角形BEF放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是 14cm2，三角形 BEF 的面积是多少平方厘米？
【解析】因为M、N是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
F
F
A
M
D
A
M
D
N
N
B
E
B
E
C
C
图形中的三角形面积都相等，阴影部分由7个三角形组成，且其面积为14平方厘米，故一个三角形的面积为2平方厘米，那么三角形BEF的面积是18平方厘米。
123(22212)(322212)(322212)39141440(平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：23440194(平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52322238平方厘米,从左右两个面观察到的面积为523234平方厘米，从上下能观察到的面积为5225平方厘米．
小学奥数 等量代换 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
等量代换教学目标1、利用生活的相等关系进行推理，并进行等量代换2、通过等量代换思想学习图文算式，培养学生的逆向思维和发散思维3、在代换中锻炼学生的分析问题能力和推理判断能力知识精讲生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案.这一节课我们就引导学生来学习等量代换中推理的方法，让学生能对较复杂的物体进行代换，在代换的过程中培养学生的思维能力.模块一、看的见的等量代换【例1】看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡.【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】1只小兔的重量等于6只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡.【答案】6【巩固】下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡?【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】1个香蕉的重量=3个方块的重量，右边要放3个方块天平才能保持平衡.【答案】3【巩固】下图中0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个兄弟玩跷跷板，8和6先坐在一头，让哪两个兄弟坐在另一头，才能使跷跷板平衡？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】右边8+6=14，左边只能放9和5，9+5=14.【答案】14【巩固】一个苹果等于（）个草莓.【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】一个苹果等于4个草莓.【答案】4【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡．【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】第三个盘子应放6个玻璃球才能保持平衡．【答案】6个【巩固】巳知＝60克，求＝？克．【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量，也就是等于6060＝120（克），120340（克），所以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量，一个白球的重量等于40克，1个正方体的重量就是：404160（克）．【答案】160克【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】⑴4个，【答案】⑴4个，⑵15个．⑵15个【巩固】观察下图，看看谁最重．【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】从第一个图中可以看出2只兔子的重量=1只兔子+2只鸡的重量．从这个等式可推出1只兔子=2只鸡的重量．说明兔子比鸡重；而第二个图可以看出3只鸡=2只鸭的重量，从而可推出鸭的重量大于鸡的重量．那么兔子和鸭哪一个更重呢？我们不妨把兔和鸭都转化成相当于几只鸡来比较．刚才我们由第2个图看出：2只鸭=3只鸡，那么2只兔等于几只鸡的重量呢？因为1只兔=2只鸡，所以2只兔的重量=4只鸡的重量，而2只鸭的重量=3只鸡的重量．兔和鸭同样都是2只，但前者相当于4只鸡重，后者相当于3只鸡重．显然，这里兔子的重量最重．一旦遇到不好比较的情况，我们可以将它们转化成相当于几个同一种事物，这样就便于比较了．【答案】兔子最重【例2】水果兄弟们也组成了各种不同的图文算式，它们各代表一个数，你能猜出它们各代表几吗？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】这是一个很基础的题，通过这个题的练习，可让学生初步掌握代换的方法，为后面的学习打下基础.（1）因为，所以，又因为3+3+3=9，所以=3.（2）根据，想12+8=20，那么可以推出，因为4+4=8，所以可以得出一个=4.（3）因为（4）根据得，，这样我们可以得出，观察算式=5+5+5+5=20.，就相当于没加也没减还得0，这样我们就可以得出=25.【答案】=3=4=20=25【巩固】下面的花朵各表示什么数？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】【答案】=9，=9，=3.=3【巩固】下面的符号各代表一个数，相同的符号代表相同的数，它们各代表几呢？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】根据两个算式来进行推理，通常我们要先根据一个算式的得数推理出其中一个符号表示的数，然后再把这个得数代换到另一个算式里，求出另外一个符号表示的数.具体分析如下：（1）根据●+●=6，想3+3=6，可推出●=3，把●=3替换▲+●=8，可得到新的算式▲+3=8，这样我们就可得出▲=5.（2）根据第二个算式12-■=5，可得■=7；把■=7替换第一个算式◆+■=15的◆+7=15，可以得出◆=8.【答案】●=3▲=5■=7◆=8【巩固】下面的图形各表示什么数？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】（1○）=11，□；=2（2○）=4△，△=5；（3）△=6□，=2.【答案】（1）○，=11□；=2（2）○，=4△=5；（3△）△=6□，=2【巩固】你能根据下面的三个算式，算出●、▲、■各代表什么数吗？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】根据第一个算式11-4=●，我们可以得出●=7；把●=7代入到第二个算式●-5=▲，可得7-5=▲，这样可以得出▲=2，最后根据第三个算式我们就能得出■=7+2=9.【答案】●=7▲=2■=9【巩固】1个足球等于几个皮球的价钱？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】1个足球等于5个皮球的价钱．【答案】5个【例3】有一天，小狗老师要在动物学校挑选队员参加数学竞赛，小松鼠很高兴也跑来了.小狗老师说：“那我就来考考你！你把下面的题做对了就可以参加了.”小松鼠看了半天说：“老师，你写的这是什么？”小狗老师说：“哈哈！看来你要好好学一学图文算式了，欢迎你下次再来.”小朋友们，上面的题你会吗？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】通过这个故事引入新课，在这里不要求学生能马上做出来，可放在最后来解决.如果学生的能力较强，也可把这两个题作为引入新课的切入点进行讲解.（1）因为，所以，这样我们就可以得出=5，又因为=10.，把=5替换，就变成（2）我们把上下两个算式进行比较，我们发现下面比上面多了一个，得数多了18-14=4，所以我们可以推断出=4，，根据第一个算式我们可以得出；那么=5.【答案】=5=10=4=5【巩固】求下面图形所表示的数.【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】（1△）△=(9)，○=(6 )，☆=(7)；（2）△=(3) □，=(4).【答案】（1）△=(9)，○=(6 )，☆=(7)；（2△）△=(3)，□=(4)【例4】和是一对好朋友，它们各代表一个数，你知道它们是几吗？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】从第一个算式可以看出西瓜比菠萝大6，而菠萝加上西瓜又得12，我们把10以内符合要求的数分组列举：10和4，9和3，8和2，7 和1，发现只有9+3=12符合要求，所以西瓜=9，菠萝=3.【答案】西瓜=9，菠萝=3【巩固】根据下面算式，算△出△、○、○□各□表示几？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】根据三个算式的等量关系通过等量代换，分别算△出△、○、○□的□得数△，△=2、○、=3□=1.【答案△】△=2、○、=3□=1【巩固】根据下面的算式，你知道、、各代表数字几？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】根据第三个算式：圆柱体+圆柱体=球，我们可以替换第一个算式中的球可得：正方体+圆柱体+圆柱体=10，我们把这个算式和第二个算式：圆柱体+正方体=8进行比较，发现多了一个圆柱体，而得数多了10-8=2，这样我们就可以得出：圆柱体=2，根据第三个算式就得：球=2+2=4，根据第一个算式得：正方体+4=10，于是可推出：正方体=6.【答案】正方体=6，球=4，圆柱体=2【例5】下面的天平是不平衡的，但除了天平上的砝码，周围已找不到别的砝码了．你能通过移动天平上的砝码，使天平平衡吗？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】我们可先看看天平两边各有多少克：天平左边：5510 20(克)．天平右边：10421118 (克)．显然，天平左边如果减少1克，放到天平右边，20119(克)，18+1=19(克)，天平两边就都平衡了，但天平左边没有l克的砝码，怎么办？可以用天平左边5克的砝码和天平右边4克的砝码交换一下，就可以达到要求了．这样天平左边是541019(克)．右边是10521119(克)．【答案】左边5克的砝码和天平右边4克的砝码交换一下【巩固】你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】可引用线段图帮助学生理解多的部分给少的部分多少，可达到一样多，然后再讲解此题.左边=10208 38克，右边=1016430克，左边比右边多8克．只有从左边拿4克到右边，两边的重量才一样多．这样可以把左边8克的砝码和右边4克的砝码互换一下，左右两边重量都是34克，天平平衡．【答案】左边8克的砝码和右边4克的砝码互换一下【巩固】你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】把左边的3克和右边的6克对换．或把左边的4克和右边的7克对换．【答案】左边的4克和右边的7克对换模块二、简单的等量代换【例6】1头大象的重量等于4头牛的重量，l头牛的重量等于3匹马的重量，则1头大象的重量等于多少匹马的重量？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】因为1头大象的重量=4头牛的重量，1头牛的重量=3匹马的重量，那么4头牛的重量=12匹马的重量，所以1头大象的重量等于12匹马的重量．【答案】1头大象的重量等于12匹马的重量【巩固】1头猪的重量等于8只兔的重量，而1只兔的重量又等于2只公鸡的重量，那么1只猪的重量是几只公鸡的重量？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】1头猪的重量等于8只兔子的重量，而1只兔子的重量又等于2只公鸡的重量．那么8只兔子的重量就等于2816(只)公鸡的重量，而1头猪的重量等于8只兔子也就是16只公鸡的重量．所以l 头猪的重量等于16只公鸡的重量．【答案】l头猪的重量等于16只公鸡的重量【巩固】3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】抓住突破口，利用倒推逐步推理．3只猫等于1只狗的重量，1只狗重9千克，3只猫也就重9千克，933（千克），所以1只猫就等于3千克．1只猫等于3只鸭的重量，1只猫重3千克，3只鸭也就重3千克．331（千克），所以1只鸭等于1千克．【答案】1只猫重3千克1只鸭等于1千克【巩固】1个苹果和1个香蕉的重量是7个小铁块的重量，而1个苹果的重量是4个小铁块的重量，1个香蕉的重量是多少个小铁块的重量？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】简单的代换，可通过画图对学生进行讲解，利用拓展加强学生的认识．题中告诉我们一个苹果和一个香蕉的重量等于7个小正方体的重量．且一个苹果的重量等于4个小正方体的重量，通过比较，我们知道一个香蕉的重量就应该是3个小正方体的重量．【答案】一个香蕉的重量就应该是3个小正方体的重量【巩固】1只猴子的体重等于3只猫的体重，3只狗的体重等于9只猫的体重．如果1只猴子重3千克，请问1只狗重多少千克？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】由3只狗的体重=9只猫的体重，得1只狗的体重=3只猫的体重．又1只猴子的体重=3只猫的体重，1只狗的体重=1只猴子的体重．1只猴子重3千克，1只狗重3千克．【答案】1只猴子重3千克，1只狗重3千克【巩固】1串葡萄的重量等于3个梨的重量，2个梨的重量等于80克，1串葡萄重多少克？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】2个梨的重量是80克，那么1个梨的重量就是40克，1串葡萄的重量等于3个梨的重量，1串葡萄就是403120克．【答案】120克【例7】1个西瓜的重量等于2个哈密瓜的重量，1个哈密瓜的重量等于8个苹果的重量，2个苹果的重量等于3个柿子的重量，那么1个西瓜的重量等于几个柿子的重量？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】因为2个苹果的重量等于3个柿子的重量，所以8个苹果的重量等于12个柿子的重量．又因为1个哈密瓜的重量等于8个苹果的重量，所以1个哈密瓜的重量等于12个柿子的重量．而1个西瓜的重量等于2个哈密瓜的重量，因此1个西瓜的重量=12224个柿子的重量．【答案】24个柿子【巩固】2只兔子的重量等于6只小鸡的重量，3只袋鼠的重量相当于4只兔子的重量，那么1只袋鼠的重量相当于多少只小鸡的重量？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】2只兔相当于6只小鸡的重量，那么4只兔相当于12只小鸡的重量．3只袋鼠的重量相当于4只兔子的重量，所以3只袋鼠相当于12只小鸡的重量．1234，即1只袋鼠相当于4只小鸡的重量．【答案】4只【巩固】一只小猴重4千克，一只小猴的重量等于两只小兔的重量，两只小兔的重量等于4只小猫的重量．一只小兔和一只小猫的重量共多少千克？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】一只小猴的重量等于两只兔子的重量，这样可以求出一只兔子的重量．而两只兔子的重量等于4只小猫的重量，可以求出一只小猫的重量．最后一只小兔和一只小猫的总重量就求出来了．一只兔子的重量：422(千克，)一只小猫的重量：441(千克)，一只小兔和一只小猫的总重量：213(千克)【答案】3千克【例8】1瓶可乐等于1杯茶和1杯奶的重量，2杯奶的重量等于1杯茶的重量，1瓶可乐相当于多少杯牛奶的重量？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】因为1瓶可乐=1杯茶+1杯牛奶，且1杯茶=2杯牛奶，两式联合起来：1瓶可乐=2杯牛奶+1杯牛奶=3杯牛奶．【答案】3杯【巩固】1个的重量等于3个小的重量，2个的重量等于2个大和2个小的重量和，1个大等于几个小的重量？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】因为1个=3个小，那么2个=6个小，又因为2个=2个大+2个小，所以2个大=6个小－2个小=4个小，1个大=2个小．【答案】2个【巩固】1只鸡的重量等于2只小鸭的重量，3只鸡的重量等于1只小鸭和1只小猪的重量，1只小熊等于2只小猪的重量，算一算1只小熊的重量与几只小鸭的重量一样重？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】引导学生，根据条件适当扩大鸡的倍数，使前后数目一致，进行计算．因为1只鸡的重量等于2只小鸭的重量，所以可以变成6只鸭的重量等于1只小鸭和1头小猪的重量；这样我们就可以算出1头小猪的重量等于5只小鸭的重量．我们又知道1只小熊的重量等于2头小猪的重量，因为2头小猪的重量等于10只小鸭的重量，所以1只小熊的重量等于10只小鸭的重量．【答案】10只【巩固】1个桃子等于5个玻璃球的重量，1个桃子和1个梨的重量等于11个玻璃球的重量，1个梨等于几个玻璃球？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】1个桃子=5个玻璃球的重量，1个桃子+1个梨=11个玻璃球的重量，那么1个梨=1156个玻璃球的重量．【答案】6个【例9】如果20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那用1头牛可换多少只兔子？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】把题目条件列出来：20只兔=2只羊，9只羊=3头猪，8头猪=2头牛，1头牛=几只兔．从这几个式子可得出：1头牛=4头猪，1头猪=3只羊，1只羊=10只兔．因为1头牛可换4头猪，1头猪换3只羊，4头猪就换4312(只)羊，1只羊可换10只兔，12只羊可换1012120(只)兔．说明1头牛可换120只兔．【答案】120只【巩固】10只兔子可以换3只鹅，6只鹅可以换1只羊，1只兔子重1千克，1只羊重几千克？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】1只羊重20千克．【答案】20千克【巩固】1只鹅可以换8千克鱼，而4千克鱼可以换50个鸡蛋，10个鸡蛋可以换3个鹅蛋．一只鹅可以换多少个鹅蛋？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】一只鹅可以换30个鹅蛋．【答案】30个【例10】已知买1个汉堡包的钱可以买2个冰激凌，买1个冰激凌的钱可以买3杯牛奶：求：（1）买60杯牛奶的钱可以买几个汉堡包？（2）买60个汉堡包的钱可以买多少杯牛奶？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】可引导学生读题、审题，找三者之间的数量关系，再通过倍数关系进行求解．可得出：236(杯)，即买1个汉堡包的钱和买6杯牛奶的钱一样多．由此可以进行推算．⑴60杯牛奶是6杯牛奶的10倍．所以60杯牛奶的钱可以买10个汉堡包．⑵60个汉堡包相当于6个60杯牛奶的钱．60+60+60+60+60+60=360(杯)或660 360（杯），所以买60个汉堡包的钱可以买360杯牛奶．【答案】⑴可以买10个汉堡包⑵可以买360杯牛奶【巩固】如果1个笔记本的价钱等于5块橡皮的价钱，4个文具盒的价钱等于40块橡皮的价钱．已知1个笔记本的价钱是3元，那么1个文具盒的价钱是多少？【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答【解析】由4个文具盒等于40块橡皮知：1个文具盒=10块橡皮，又由1个笔记本=5块橡皮知2个笔记本=10块橡皮，所以，1个文具盒=2个笔记本．1个笔记本的价钱是3元，那么1个文具盒的价钱是326（元）．【答案】6元模块三、利用对比分析、和差倍分、整体看问题的思想解题【例11】★+■=24，■+●=30，●+★=36．■=_________●=________★=_______.【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，初赛【解析】(243036)245，所以■表示的数为：45369，●表示的数为：452421，★表示的数为：453015．【答案】■9 ，●21，★15【巩固】已知1个排球和1个足球共重5千克．1个排球和1个篮球共重6千克．1个足球和1个篮球共重7千克．求每一种球各重多少千克？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】由5+6+7=18(千克)知：2个排球+2个足球+2个篮球=18千克，那么有1个排球+1个足球+1个篮球=9千克．9 5 4(千克)……篮球的重量,972(千克)……排球的重量963(千克)……足球的重量【答案】篮球重4千克，足球重3千克，排球重2千克【巩固】甲、乙两人共储蓄32元，乙、丙两人共储蓄30元，甲、丙两人共储蓄22元．三人各储蓄多少元？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】可先让学生自己去思考，教师巡视指正．此题要求三个未知数，甲储蓄多少元？乙储蓄多少元？丙储蓄多少元？关系较为复杂，为了化繁为简，采用消去法来解．首先用加减消去法消去乙和丙，只剩下甲，然后求出甲储蓄多少元，再求乙、丙各储蓄多少元．解法1：甲+甲乙→32元乙→22元（2甲）乙丙→54元-乙丙→30元2甲→24元由2倍甲储蓄为24元，可求出甲储蓄多少元．列表：(322230)224 2 12(元)……甲储蓄款．321 230 202(元0)……乙储蓄款，1(元0)……丙储蓄款．此题也可用另一种方法求解．解法2：甲乙乙丙+甲丙32223084(元)，即2倍的(甲乙丙)等于84元．甲乙丙84242(元)．423210(元)……丙储蓄款，423012(元)……甲储蓄款，422220(元)……乙储蓄款．【答案】甲储蓄12元，乙储蓄20元，丙储蓄10元，【例12】图书室里的故事书与科技书共有720本，又知故事书比科技书多160本，这两种图书各有多少本？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】题目中给出了两个未知量“故事书”和“科技书”的数量关系，即已知故事书与科技书共有720 本和故事书与科技书本数之差，属于典型应用题中的“和差问题”，一般用消去法来解．故事书本数科技书本数故事书本数科技书本数2倍故事书本数消去科技书本数后，可先求出故事书的本数．列式：(720160)2440(本)……故事书，720本160本880本4401602(本8)……科技书．也可以先求出科技书的本数．【答案】故事书440本，科技书280本【例13】学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3 个水瓶和16个茶杯，共用去118元．问水瓶和茶杯的单价各是多少元？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】引导学生学会审题，找出两次购买的相同点及差异，让学生思考解决．我们用数量关系式来比较对应的未知数量的情况：3个水瓶的价钱20个茶杯的价钱134元-3个水瓶的价钱16个茶杯的价钱118元4个茶杯的价钱16元比较上面两个等式，我们可以看出，134元和118元的差正好是4个茶杯的价钱．利用这一条件，把3个水瓶的价钱消去，先求出每个茶杯的价钱，再求出每个水瓶的价钱．每个茶杯的价钱：(134118)(2016)1644(元)每个水瓶的价钱：(134420)318(元)或(118416)318(元)【答案】每个茶杯的价钱：4元；每个水瓶的价钱：18元【巩固】奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需要花掉58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，需要花掉62元．问1千克梨和1千克荔枝各多少元？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】我们可以把两次的情况进行比较：4千克梨的价钱5千克荔枝的价钱58(元) 6千克梨的价钱5千克荔枝的价钱62(元)⑴⑵比较⑴和⑵式，发现两式中荔枝的千克数相等．⑵式比⑴式多了642千克梨，也就是62584元，说明1千克梨的价钱为4 2 2元．那么1千克荔枝的价钱也就好求了．(6258)(64)2(元)，(5824)510(元)或(6226) 5 10(元)【答案】1千克梨的价钱为2元；1千克荔枝的价钱10元【巩固】小芳在文具店买了5枝彩色铅笔和6个练习本，共用去17元．小花买了同样的铅笔8枝和6个练习本，共用去20元．一枝彩色铅笔和一个练习本的价格各是多少？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】从题设条件进行比较，小芳和小花都买了6个练习本(同样多)，只是买的彩色铅笔枝数不同，引起付款多少不同．因此我们可以采用消去法先消去购买练习本的钱数而只剩下买彩色铅笔的钱数，从而先求出彩笔的单价．8枝彩色铅笔5枝彩色铅笔3枝彩色铅笔6个练习本6个练习本0个练习本共价20元共价17元共价3元列式：(2017) (85)1(元)……一枝彩笔价格，(2018)62(元)……一个练习本的价格．【答案】一枝彩笔价格1元；一个练习本的价格2元【巩固】李老师第一次买回5个篮球和3个排球，用去318元．第二次又买回7个篮球和6个排球，用去510元．问：一个篮球和一个排球的价格各是多少元？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】可引导学生读题、审题，找出此题与例7的不同之处,并转化成例7的模型．此题有篮球单价与排球单价两个未知数量，而从题里所给条件分析，两次购买篮球与排球的数量各不相同，不能直接用消去法消去哪一个未知数，所以解题关键是使篮球或排球中的某一对未知数变换得相同，则可消去其中一个．通过比较，第一次购买的排球为3个；第二次购买的排球为6 个，恰为第一次的2 倍．若将第一次购买的排球、篮球各扩大2倍，付的钱也扩大2倍，则能使购买的排球个数与第二次购买的排球个数相同，从而设法消去排球这个未知数量，先求出每个篮球的价格，再求每一个排球的价格．5个篮球3个排球318元10个篮球6个排球636元2 10个篮球6个排球636元7个篮球3个篮球6个排球510元126元列式：(3182510)(527)126342(元)……篮球的单价．(318425)10833(元6)……排球的单价．【答案】篮球的单价42元；排球的单价36元【巩固】学校要买足球和排球．买3个足球和4个排球共需190元，如果买6个足球和2个排球需要230元．一个足球和一个排球各需要多少元？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】我们可以把两次情况进行比较；3个足球的价钱4个排球的价钱190(元) 6个足球的价钱2个排球的价钱230(元)⑴⑵我们发现两组条件不管相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去．再观察，我们发现，如果把⑴式扩大2倍，可以得到6个足球和8 个排球共380元，即⑴2：6个足球的价钱8个排球的价钱380元⑶⑶⑵，可知6个排球的价钱150元．容易得出排球和足球的价钱各是多少．排球：150625(元)，足球：(190254)330(元)【答案】排球为25元，足球为30元【巩固】3头牛和8只羊每天共吃青草93千克，5头牛和15只羊每天共吃青草165千克．问一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】3头牛吃草的重量8只羊吃草的重量93千克⑴5头牛吃草的重量15只羊吃草的重量165千克⑵如果把⑴式扩大5倍，⑵式扩大3倍，那么两个式子中牛的数量就一样多了．这样就得到：⑴5：15头牛吃草的重量40只羊吃草的重量465千克⑵3：15头牛吃草的重量45只羊吃草的重量495千克⑷⑶：5只羊吃草的重量30千克⑶⑷1只羊吃草的重量6千克1头牛每天吃草的重量：(9368)345315(千克)【答案】1只羊吃草6千克；1头牛每天吃草15千克【例14】李宁的妈妈去菜市场买菜，买了6斤土豆和5斤柿子椒，共花了13元5角．己知3斤土豆的价钱与2斤柿子椒的价钱相等．那么1斤土豆和1斤柿子椒各多少钱？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】可引导学生读题、审题，让学生自己思考解答．老师可以画图进行分析，已知条件为：6斤土豆+5斤柿子椒=13元5角．3斤土豆=2斤柿子椒．从第一个式子不能算出1斤土豆、1斤柿子椒的价钱．若把土豆转化成柿子椒或把柿子椒转化成土豆的价钱就可求该种菜的价钱了．由第二个式子知3斤土豆=2斤柿子椒，则6斤土豆应等于4斤柿子椒的价钱．即：6斤土豆+5斤柿子椒=13元5角，6斤土豆=4斤柿子椒．4斤柿子椒+5斤柿子椒=13元5角，9斤柿子椒=13元5角．13元5角等于135角，135角买了9斤柿子椒，所以1斤柿子椒的价钱为：135915(角)=1元5角．4斤柿子椒的价钱为：15460(角)=6(元)．1斤土豆的价钱为：661(元)．所以1斤土豆的价钱为1元，1斤柿子椒的价钱为1元5角．【答案】1斤土豆的价钱为1元，1斤柿子椒的价钱为1元5角【巩固】3米绵绸的价格与6米花布的价格相等．王云买了6 米绵绸和18 米花布，共花费了120元．棉绸和花布的单价各是多少？【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答【解析】由题意可知3米棉绸与6米花布的价格相等，由此可推知1米棉绸与2米花布的价格相等．因此。
(完整)求面积(超多题)
=48-（S1+S2+S3）=18（平方厘米）
【题目】正方形ABCD边长4厘米，E、F分别是BC、AD的中点，P是中方形任意一点，求阴影部分的面积。
【解析】
如下图，
△APF面积×4=矩形MNDA面积，
△PEC面积×4=矩形MBCN面积，
（△APE面积+△PEC面积）×4=正方形ABCD面积=16（平方厘米）
【题目】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？
【解析】
因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.
按公式便有：
a×c＝15，c×d＝18，b×d＝30，
因为三角形ABE、ADF是直角三角形，面积都是18平方厘米。而根据面积公式有
18=1/2×AB×BE,18=1/2×AD×DE,
AB＝6厘米，AD＝9厘米，即得两个简易方程：1/2×6×BE=18，1/2×9×DF=18，
BE＝6厘米，DF＝4厘米。
EC＝BC－BE＝9－6＝3（厘米）
CF＝CD－DF＝6－4＝2（厘米）
因为三角形BDC与CDE共顶点D，且CE=2BC，所以三角形CDE面积=2×三角形BDC面积=2×1=2
所以，三角形DEF面积=1+2+2+6+6+1=18。
【题目】平行四边形的面积是48平方厘米，E、F分别是BC、CD的中点，求阴影部分面积。
【解析】
如下图，
S1=48÷2÷2=12(平方厘米)
S2=48÷2÷2=12（平方厘米）
小学奥数割补法、差不变原理求面积
分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。
例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
例题5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？练习1如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？例题2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。
小学数学《常规应用题的解题思路——等量代换法》练习题(含答案)
小学数学《常规应用题的解题思路——等量代换法》练习题（含答案）知识要点所谓“等量代换法”，是指一个量用与它相等的量去代替，也就是针对算式中的某一个未知数，用与它相等的量去代换它，从而“消去”这个未知数，使这个算式中只含有一个未知数，使算式变得简单，很快算出答案。
例如，一道有余数的除法，商是14，余数是6，已知被除数和除数的和为126，那么，被除数和除数分别是多少？根据题意，我们列出算式：除数+被除数=126，这个算式中含有“除数”和“被除数”两个未知数，根据被除数=除数×商+余数，按题中的已知条件，商14，余数6，所以，被除数=14×除数+6，我们应用等量代换法，把“14×除数+6”去代换掉“除数+被除数=126”这个算式中的“被除数”，得算式：除数+14×除数+6=126。
这样，这个算式中就只有“除数”这个未知数了。
除数+14×除数+6=12615×除数+6=12615×除数=126-6除数=120÷15除数=8，被除数=8×14+6=118。
通过用除数与被除数的关系代换掉被除数，只在计算式中保留除数，先求出除数，再求被除数。
解题指导1在日常生活中，我们经常遇到这类问题，所有这些问题的解决，需要我们认真的审题，仔细的观察、分析，弄清两组物品之间的相等关系，将这种关系代入另一组当中，就可明白问题中两个物品之间的关系了。
【例1】小明买薯条、仙贝各一袋，共付27元，如果用一袋仙贝换2袋薯条，还要付给售货员3元，问薯条、仙贝每袋各多少元？【思路点拨】因为解答：1袋薯条+1袋仙贝=27元（已知）用一袋仙贝换2袋薯条，还要付给售货员3元，说明：2袋薯条+1袋薯条=27元+3元即：3袋薯条是30元。
可求一袋薯条的价钱。
列式：（27+3）÷（2+1）=10（元）一袋仙贝是：27-10=17（元）答：一袋薯条10元，一袋仙贝17元。
30道小升初数学几何问题(附答案)
图１
图2
【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的
处理，移到两条边上(如图 2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没
有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放 (1011) 2 51(块)，白
色 瓷 砖 组 成 的 正 方 形 的 边 长 上 能 放 ： 511 50 ( 块 ) ， 所 以 白 色 瓷 砖 共 用 了 ：
60 的扇形面积 60 π 32 3 π 4.5(cm2 ) ．
360
2
2．【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计 算)：
3
⑴
4
⑵
1
2
1
⑶
1
⑷
【解析】⑴ 4.5 ⑵ 4 ⑶1 ⑷ 2
3．【差不变】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ， AB 8cm ，求 BC 的长度．
5
【解析】根据题意可知，挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖 去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面 积为： 4 4 6 11 4 6 120 平方厘米． 16．【共高模型】如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米?
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成．
该图形的表面积等于 (9 7 7) 2 46 个小正方形的面积，所以该图形表面积 为 46 平方厘米．
21．【取特殊点】长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？
等量代换常见题型
等量代换常见题型等量代换，即根据已知条件进行推理，将题目中的量词符号替换成具体的数量，从而解决问题。
在数学中，等量代换是一种常见的解题方法，可以在不改变题目本意的情况下，简化问题的复杂度，使计算更加方便和准确。
下面将通过一系列常见题型来介绍等量代换的应用。
一、代数方程求解例如，求解方程2x-5=7的解。
我们可以对方程进行等量代换，将x的系数和常数项替换成具体的数值，得到等效的方程2a-5=7，其中a代表x的值。
然后解得a=6，再将a的值代回原方程可得x=3。
等量代换简化了求解过程，使得问题变得更加清晰和易于理解。
二、几何题解法例如，一个正方形的面积是16平方厘米，求其边长。
我们可以用等量代换的方法解决这个问题。
设正方形的边长为a，则根据已知条件可得a^2=16，即a=4。
通过等量代换，我们将未知量边长a替换成具体的数值4，从而得到答案。
三、函数求值例如，求函数f(x)=2x^2-3x+1在x=2时的取值。
我们可以用等量代换的方法计算出f(x)在x=2时的值。
将x替换成具体的数值2，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=9。
等量代换使得函数求值变得更加简单和直观。
四、逻辑推理例如，对于命题“若小明考试及格，则小明有奖品”，我们可以进行等量代换，将命题中的变量替换成具体的事实，从而判断命题的真假。
假设小明考试及格，我们可以代换成小明考试得了80分。
如果小明确实得了80分，并且我们知道考试及格的分数线是60分，则根据已知条件，我们可以得出结论：“小明考试及格，小明有奖品”。
等量代换帮助我们从复杂的命题中抽象出具体的事实，从而进行合理的推理和判断。
综上所述，等量代换是一种常见的解题方法，在各个学科中都有广泛的应用。
通过将未知量替换成具体的数值，等量代换能够简化问题的复杂度，使计算更加简单和准确。
无论是代数方程求解、几何题解法、函数求值还是逻辑推理，等量代换都是解决问题的有力工具。
因此，掌握等量代换的技巧对于提高解题能力和应对各种考试都是非常重要的。
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等量代换代求面积和差不变原理练习题
1.左以下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。
假如图中甲、乙两局部的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
3.左以下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD的面积。
（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
影局部的面积和。
用割补法求面积练习题
1.求以下各图中阴影局部的面积：
（1）（2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见以下图），直角边长4厘米，求图中阴影局部的面积。
3.在左以下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的局部是一个直角梯形（阴影局部）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
5.以下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
6.求以下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。