_用等量代换求面积的方法
六年级下册奥数试题-几何专题 全国通用(含答案) (1)
小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思 路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．． 即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。
3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。
已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。
解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
《等量代换的思想方法》数学教案设计
《等量代换的思想方法》数学教案设计第一章：等量代换的概念介绍1.1 等量代换的定义介绍等量代换的概念，解释在数学中用一个数量来代替另一个数量的过程。
通过实际例子展示等量代换的应用，如在计算中用一个已知数值来代替一个未知数值。
1.2 等量代换的性质与规则讲解等量代换的基本性质，如等量代换的单向性、无损性等。
引导学生理解等量代换的规则，如在进行代换时需要保持等式的平衡。
第二章：等量代换在几何中的应用2.1 等量代换在几何图形面积计算中的应用讲解等量代换在几何图形面积计算中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来简化几何图形的面积计算问题。
2.2 等量代换在几何体积计算中的应用介绍等量代换在几何体积计算中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来简化几何体积的计算问题。
第三章：等量代换在代数中的应用3.1 等量代换在方程求解中的应用讲解等量代换在方程求解中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来解决方程求解问题。
3.2 等量代换在不等式中的应用介绍等量代换在不等式中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来解决不等式问题。
第四章：等量代换在概率论中的应用4.1 等量代换在概率计算中的应用讲解等量代换在概率计算中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来简化概率计算问题。
4.2 等量代换在条件概率中的应用介绍等量代换在条件概率中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来解决条件概率问题。
第五章：等量代换在实际问题中的应用5.1 等量代换在商业问题中的应用讲解等量代换在商业问题中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来解决商业问题，如利润计算、成本分析等。
5.2 等量代换在科学实验中的应用介绍等量代换在科学实验中的应用方法。
通过实际例子引导学生运用等量代换来解决科学实验中的问题，如浓度计算、反应计量等。
第六章：等量代换在数据分析中的应用6.1 等量代换在统计数据处理中的应用讲解等量代换在统计数据处理中的应用方法。
初中数学常用的10种解题方法及业务学习材料
初中数学常用的 10 种解题方法第一次数学的解题方法是跟着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
教师研究习题、精晓解题方法，能够促使教师进一步娴熟地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提升解题技巧，累积教课资料，提升业务水平易教课能力。
下边介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教课大纲领求掌握的。
1、换元法换元法是数学中一个特别重要并且应用十分宽泛的解题方法。
我们往常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去取代原式的一个部分或改造本来的式子，使它简化，使问题易于解决。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起侧重要的作用。
因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还犹如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不单可用于计算面积，并且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的成效。
运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用概括法或剖析法证明平面几何题，其困难在添置协助线。
面积法的特色是把已知和未知各量用面积公式联系起来，经过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变为数目之间的关系，只需要计算，有时能够不添置补贴线，即便需要添置协助线，也很简单考虑到。
4、鉴别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a、b、 c 属于 R，a≠0）根的鉴别，△=b2-4ac ，不单用来判断根的性质，并且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程 ( 组 ) ，解不等式，研究函数以致几何、三角运算中都有特别宽泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有特别宽泛的应用。
青岛版三年级上册数学教案：智慧广场(等量代换)
智慧广场（等量代换）教案一、教学内容本节课是青岛版三年级上册数学《智慧广场》单元中的“等量代换”部分。
教学内容主要包括等量代换的概念、应用以及相关的数学问题。
通过学习，学生能够理解等量代换的意义，掌握等量代换的方法，并能够运用等量代换解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能目标：理解等量代换的概念，掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决实际问题。
2. 过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力、观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的求知欲和探索精神，培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学难点1. 理解等量代换的概念和意义。
2. 掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决实际问题。
四、教具学具准备1. 教具：等量代换的教具模型、PPT课件。
2. 学具：学生自备等量代换的学具模型、练习本、笔。
五、教学过程1. 导入新课- 通过PPT课件展示等量代换的图片和问题，引导学生观察和思考，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 讲解概念- 通过PPT课件和教具模型，讲解等量代换的概念和意义，引导学生理解和掌握等量代换的基本概念。
3. 演示方法- 通过PPT课件和教具模型，演示等量代换的方法，引导学生观察和思考，帮助学生掌握等量代换的方法。
4. 练习巩固- 通过PPT课件和练习本，提供相关的练习题，让学生进行练习和巩固，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
5. 小组合作- 将学生分成小组，每组使用等量代换的学具模型，合作解决实际问题，培养学生的合作意识和团队精神。
6. 总结归纳- 对本节课所学内容进行总结和归纳，引导学生回顾和巩固等量代换的概念、方法和应用。
六、板书设计1. 智慧广场（等量代换）2. 正文内容：- 等量代换的概念和意义- 等量代换的方法- 等量代换的应用七、作业设计1. 练习题：提供相关的练习题，让学生进行练习和巩固。
三年级数学《等量代换》的说课稿
三年级数学《等量代换》的说课稿尊敬的各位领导、同事们，大家好！今天我要向大家介绍的是三年级数学课程中的一个重要概念——等量代换。
这个概念对于学生们建立数学基础，培养逻辑思维和解决问题的能力非常重要。
一、教学内容与目标等量代换是三年级数学中的一个重要概念，它是指将一个量用另一个与其等价的量来代替。
通过这个概念，学生们可以学习到如何用等价的方式表示两个量之间的关系，进一步理解数学中的等量关系。
本节课的教学目标包括：1. 理解等量代换的概念，掌握等量代换的方法。
2. 能够运用等量代换解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 通过观察、比较、分析、归纳等过程，培养逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学方法与手段为了帮助学生们更好地理解和掌握等量代换的概念，我将采用以下教学方法和手段：1. 实物演示：通过实物演示的方式，让学生们直观地感受等量代换的概念。
例如，用苹果和梨的例子来解释等量代换，一个苹果等于一个梨，那么两个苹果等于两个梨。
2. 图片展示：通过展示图片的方式，引导学生们观察和分析图片中的等量关系，进一步理解等量代换的概念。
3. 数学游戏：通过数学游戏的方式，让学生们在轻松愉快的氛围中掌握等量代换的概念和方法。
例如，可以设计一个购物游戏，学生们扮演不同的角色，通过交易和交换商品来体验等量代换的过程。
4. 小组讨论：通过小组讨论的方式，引导学生们互相交流和学习，促进他们对等量代换的理解和应用。
5. 案例分析：通过案例分析的方式，让学生们运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
例如，可以设计一个关于测量体重的案例，学生们需要使用等量代换的方法来计算总体重。
三、教学过程与步骤为了更好地实现教学目标，我将按照以下步骤进行教学：1. 导入新课：首先，我会向学生们介绍等量代换的概念和意义，帮助他们初步了解这个概念。
2. 讲解例题：接下来，我会通过讲解例题的方式，让学生们进一步理解等量代换的概念和方法。
例如，可以设计一个关于货币兑换的例题，让学生们通过计算汇率来体验等量代换的过程。
北师大版数学五年级上册4.1《比较图形的面积》说课稿2
北师大版数学五年级上册4.1《比较图形的面积》说课稿2一. 教材分析北师大版数学五年级上册4.1《比较图形的面积》这一节的内容，是在学生已经掌握了平面图形的面积计算方法的基础上进行教学的。
通过这一节课的学习，让学生能够理解并掌握比较不同图形面积大小的方法，培养学生的空间观念和抽象思维能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，对于平面图形的面积计算方法已经有了一定的了解。
但是，学生在比较图形面积大小的方法上可能还存在着一些困惑，需要通过实例和操作活动来帮助学生理解和掌握。
三. 说教学目标1.让学生能够理解并掌握比较不同图形面积大小的方法。
2.培养学生的空间观念和抽象思维能力。
3.培养学生合作交流的能力和解决问题的能力。
四. 说教学重难点教学重点：让学生能够理解并掌握比较不同图形面积大小的方法。
教学难点：如何帮助学生理解和掌握如何比较不同图形面积的大小。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、谈话法、操作活动法、小组合作交流法等多种教学方法，帮助学生理解和掌握比较不同图形面积大小的方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出比较不同图形面积大小的方法。
2.讲解演示：通过讲解和演示，让学生理解和掌握比较不同图形面积大小的方法。
3.实践操作：让学生进行实际操作，巩固和加深对比较不同图形面积大小的方法的理解和掌握。
4.小组合作交流：让学生通过小组合作交流，共同解决问题，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
5.总结提升：对所学内容进行总结提升，让学生明确比较不同图形面积大小的方法。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的主要内容和知识点。
可以通过图示和文字的结合，让学生一目了然地看出比较不同图形面积大小的方法。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况、小组合作交流的情况等多方面进行。
通过评价，了解学生对比较不同图形面积大小的方法的掌握情况，为下一步的教学提供参考。
小学数学应用题《等量代换思路》解题方法
【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求出要求的数量。
那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。
这种思路叫等量代换思路。
例1 如图2.15的正方形边长是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大6平方厘米，求CE长多少厘米？分析（用等量代换思路思考）：按一般思路，要求CE的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。
用等量代换思路，我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：已知乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面积等于42平方厘米，这样，再来求CE的长就简单了。
例2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。
第一这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？分析（用等量代换的思路来探讨）：这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。
出现了下面这个等式。
第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（这里指的棋子数）份，则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份，3堆棋子的总份数自然就出来了。
而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。
第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。
最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。
为什么要规定“先乘除后加减”？对于这个问题，我们分两层来谈。
第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。
（1）规定运算顺序的必要性。
先举两个例子予以说明。
例1 小勇买了一块橡皮，价18分，又买了3支铅笔，每支12分，一共多少钱？综合算式18＋12×3=18＋36=54（分）=5角4分根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。
圆的组合图形面积及答案
圆的组合图形面积姓名：【知识与方法】要解决与圆有关的题目，需要注意以下几点:1、熟练掌握有关圆的概念和面试公式：圆的面积＝圆的周长=扇形的面积= 扇形的弧长=（ｎ是圆心角的度数）2、掌握解题技巧和解题方法：加减法、分割重组法、旋转平移法、对折法、抵消法、等积变形法、等量代换法、添辅助线法。
例1.求阴影部分的面积。
（单位:厘米)ﻫ解:这是最基本的方法:圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×１＝1.14(平方厘米）ﻫﻫﻫ例２．正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。
(单位：厘米)ﻫ解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
ﻫ设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米,所以=７,所以阴影部分的面积为:7-＝7－×7＝1.50５平方厘米ﻫﻫ例3．求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆,用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2－π＝0.8６平方厘米。
ﻫ例4.求阴影部分的面积。
(单位：厘米)ﻫ解：同上，正方形面积减去圆面积,16-π()＝16-4π=３.44平方厘米ﻫﻫ例5.求阴影部分的面积。
（单位:厘米）ﻫ解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见,ﻫ我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形, π()×2－16=8π-１6=９.1２平方厘米另外：此题还可以看成是１题中阴影部分的8倍。
ﻫ例6.如图:已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问:空白部分甲比乙的面积多多少厘米?ﻫ解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加上阴影部分)π-π(）=1０0.4８平方厘米ﻫ（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关)例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米）ﻫ解:正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求）ﻫ正方形面积为:5×５÷2=12.5所以阴影面积为:π÷4-12.５=７.1２5平方厘米ﻫ(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形）ﻫ例8．求阴影部分的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用等量代换求面积的方法
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD 的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO
与三角形EFO的面积之差。
分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。
如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
解法一：连结B，E（见左下图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法二：连结C，F（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。
解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）。
练习21
1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD 的面积。
（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
影部
分的面积和。