北大版高数第十章习题解答

Ù ∞
1 n
,
Ù ∞ un .
n=1
n=1
þ ∞ u2n
î n=1 un > 0. þ ∞ u2n n=1
­ Ù ∞
,
un .
n=1
un > 0.
Ǒ .
lim
n→∞
un
/
1 n
=
l,
ËÃ10.3
1. § ¯ ð þ ? þ ð þ ?
(1)
∞
. (−1)n−1
(2n)2
Ǒ þ ∞
| (−1)n−1
(2n)2
∈
[−1, 1)
þ,
∞
¨ î (3)
1 xn
sin
π 3n
.
n=1
|x|
≤
1 3
1
î ³ §Çß 3
,
|
1 xn
sin
π 3n
|
≤
1 |x|n
π 3n
,
Ǒ(−∞,
−
1 3
)
∪
(
1 3
,
+∞).
,
lim
n→∞
1 xn
sin
π 3n
= 0,
,
2. ¯ø ˯¿ ÑË èçþ .
Ǒ(e−1, e). þ Ǒ(0, +∞). Ù ¨. |x| > þ. þ
n+p
,
ak ≤
uk ≤
k=n+1
k=n+1
k=n+1
k=n+1
n+p
bk .
n+p
|
uk| < ε.
þ ∞ un .
k=n+1
k=n+1
n=1
2.
þ Õ ∞ an ,
Ù ∞ bn ,
ð þ ∞
(an ± bn)
?
n=1
n=1
n=1
: èùÙ . 3. § ¯
à Ǒþ ∞
∞
∞
bn = ± an ± (an ± bn)
)
=
1 2
(1
−
1 2n+1
),
þ k=1 .
k=1
Ǒ ∞
(4)
cos2
π n
.
n=1
lim cos2
n→∞
π n
=
1,
Ù.
1
Ǒ ∞ √
(7) n 0.0001.
√ lim n 0.0001 = 1,
n=1
n→∞
Ù.
∞
4.
un
˯Ǒ î þ þ {Sn}. n → ∞ {S2n} {S2n+1}
n=1
n→∞
√ n2
π +1+n
/
1 n
=
π 2
,
.
2.
þ Ý ∞ un ,
∞
un np
(p > 0)
þ ∞
n n+1
un
.
n=1
n=1
n=1
Ý ¯ Æ º Õ Ǒ .
{
1 np
}
{
n n+1
}
,
∞ un np
n=1
∞
n n+1
un
n=1
þ.
þ ∞ un ,
n=1
§Çß,
3. Ý
.
¨ î þ ¨ î þ ∞
n=1
5.
þ Ý ∞ un
n=1
, un ≥ un+1 ≥ 0 (n = 1, 2, . . . ),
:
lim
n→∞
nun
=
0.
Ý.
û Ǒ þ ε > 0,
∞
un ,
þ ¦Ò, ¿N,
n=1
¨ î Ùð¨ î n+p
n>N ,
un
<
ε 2
.
2n
n > N , (2n)u2n ≤ 2
uk < ε.
.
Ǒ lim n→∞
√1 2n3
+1
/
√1 n3
=
√1 2
,
þ ∞
√1 n=1 n3
,
¦þ
∞
(3)
√n1n .
n=1
Ǒ lim n→∞
√n1n
= 1,
Ù.
∞
(4)
n2
4n +4n−3
.
n=1
Ǒ lim n→∞
n2
4n +4n−3
/
1 n
=
4,
Ù ∞
1 n
,
n=1
¦ Ù.
∞
(5)
. nn n+2
n=1 (n2+3n+1) 2
µ Ù (1)
fn(x)
=
2n
1 +x2
,
−∞
<
x
<
+∞.
.
lim
n→∞
fn(x)
=
0.
|fn(x)
−
0|
≤
1 2n
,
lim
n→∞
1 2n
= 0,
Ǒ¢n=1
Æ Ù ,
|
tan
ϕ n
|
0,
þ.
þ ¢ð .
lim | tan
n→∞
ϕ n
|/
1 n
=
|ϕ|,
∞
√
√
√
Ì Ǒþ ¢ ¢ð þ (10) sin(π n=1
n2 + 1). sin(π
n2 + 1) = (−1)n sin π(
n2
+
1−n)
=
(−1)n
sin
√π n2+1+n
.
.
lim sin
<
1,
§Çß, þ .
¨ î ∞
(10)
1 n(ln n)p
(p > 0).
p>1 ,
þ +∞ 1
2 x(ln x)p
=
(ln x)1−p 1−p
|+2 ∞
,
n=2
þ ¨ î Ù . ¨ î Ù 0 < p < 1 ,
p=1 ,
+∞ 1 2 x(ln x)p
=
ln ln x|+2 ∞
+∞ 2
1 x(ln x)p
n>N ,|
cos k k(k+1)
|
<
1 n
<
ε.
k=n+1
þ ¦Ò,
þ ∞
cos n n(n+1)
.
n=1
(2)
Ù ∞
√1 n=1 n
.
Ý n+p
.
|
√1 | ≥
k=n+1 k
√np+p .
N
N +1 2
≥
√1 2
.
þ ¦Ò,
Ó î n+p
, n = p = N +1 , |
√1 | ≥
k=n+1 k
.
n=1
n=1
bn
=
1 n
,
Ý á þ ¯ ð 5. :
∞
∞
un
vn
,
n=1
n=1
∞
∞
∞
(1) (un + vn); (2) (un − vn); (3) unvn.
n=1
n=1
n=1
èùÙ Ǒ ³ §Çß . (1)
,
un + vn ≥ un,
,
èù ³ î (2)
,
un
=
vn
=
1 n
,
î un
=
un
n=1
n=1
Ý.
|
2n−1 n
un|
≤
2|un|,
þ ûë ∞ |un|
n=1
þ.
Ǒþ ∞
2n−1 n
|un|
.
n=1
ËÃ10.4
5
1. ¯ þ .
¨ ¨ î þ þ ∞
(1) (ln x)n.
| ln x| < 1
,
n=1
¨ ∞
(2)
1 2n−1
(
1−x 1+x
)n.
n=1
¨ î 1−x 1+x
è A. Ý
þ ∞ un .
Ý û Ǒ ¿ . ¨ î Ùð¨ î n > N
n=1
ε > 0,
lim
n→∞
S2n
=
lim
n→∞
S2n+1
=
A,
, |S2n − A| < ε, |S2n+1 − A| < ε.
n>N
N > 0, , |Sn − A| < ε.
lim
n→∞
Sn
=
A,
þ ∞ un .
.
n=1
n=1
n=1
ðþ.
Ǒ ∞ √
√
(1) ( n + 1 − n).
¿ î n √
√√
( k + 1− k) = n + 1−1, n → ∞
Ú n=1 ,
Ù.
k=1
∞