广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数，（）． 若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．2、（佛山市2015届高三）已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围;323y x x =-+1x =()ln f x x a x =-()1ag x x+=-R a ∈()11a =()f x ()2()()()h x f x g x =-()h x ()3[]1,e 2.718e =⋅⋅⋅0x ()()00f x g x <a（3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tf x x x x=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．5、（江门市2015届高三）已知函数32()1f x x ax =+-恒谦网（R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）6、（揭阳市2015届高三）若实数、、满足||||-≤-x m y m ，则称比更接近.（1）若23-x 比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. (1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；x y m x y m x a b（2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=8、（汕头市2015届高三）已知函数，（1）求函数的定义域（用区间表示）， （2）当时，求函数的单调递增区间。

9、（汕尾市2015届高三）已知函数2()()x f x x bx b e =++的极值点为23x =-和1x = （1）当1b =时，求函数()f x 的增区间（2）当02b <≤时，求函数()f x 在[2,]b b -上的最大值。

10、（韶关市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，1()g x x=-，a R ∈； （1）设()()()h x f x g x =+，若()h x 在定义域内存在极值，求a 的取值范围； （2）设'()f x 是()f x 的导函数，若120x x <<，0a ≠，2121()()()f x f x f t x x -'=-12()x t x <<，求证：122x x t +<.11、（深圳市2015届高三）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．（1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）．12、（珠海市2015届高三）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+． (1) 求函数()f x 的单调区间；R k k x x k x x x f ∈-+++++=]2)()[(log )(2222)(x f D 2-<k )(x f(2) 证明：m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+．参考答案一、填空题 1、 2、y x =- 3、24、6160x y --= 二、解答题 1、解：（1）的定义域为． …………………1分当时，， ． ………………2分由，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数取得极小值，极小值为；……..4分（2），其定义域为．又．…………..5分①当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.…………6分 ②当，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；……………..……7分 综上所述：当时，的递减区间为；递增区间为．当时，只有递增区间为．…………………………….8分（3）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．则函数在上的最小值小于零．…………………9分①当，即时，由（2）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．因为．所以； …………………………………10分②当，即时，由（2）可知在上单调递增．故在上最小值为，由，可得（满足）；……………………………………………………..…11分③当，即时，由（2）可知可得在上最小值为．因为，所以，．，即不满足题意，舍去．…..…………13分综上所述得，或．实数的取值范围为．……………………….……14分2、【解析】(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x-++'=,………………………………………………2分令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分 所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. ………………………………………6分 (Ⅱ)由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分 令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a aa '=+>--,……………………9分 故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为()ln e 11ln ee 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1x xx x -++>-,………11分 由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1xh x x =--,则()e 10xh x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,……………13分所以()()00h x h >=,即e 1xx <-,故()()1e x f x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx x x x x -++>=--…………………………………………………………14分3、 (1)解: 函数()2ln af x x x x=--的定义域为()0,+∞, ()222221a x x af x x x x -+'=+-=, ………………………………………………1分令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ∆=-,① 当0∆≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;………………………2分② 当0∆>, 即1a <时, 方程220x x a -+=的两根为11x =211x =>,………………………3分若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; ………………………4分 若0a >,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. ……5分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; 当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根, 故01a <<. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得01a <<, 21x =且212x <<, 2222a x x =-+. ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分令()2ln 1g t t t =--, 12t <<, 则()221t g t t t-'=-=, ………………………………………………10分 由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减. ………………………11分 故()()112ln110g t g <=--=. ………………………………………………12分 ∴()()22210f x x g x -+=<. ………………………………………………13分 ∴()221f x x <-. ………………………………………………14分4、【解】（1）当2t =时，2(),f x x x =+22222()10x f x x x-'=-=> --------1分解得(,(2,)x ∈-∞+∞.------------------------------------------2分因为0x >所以函数()f x 有单调递增区间为)+∞--------------3分（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，2()1tf x x '=-所以切线PM 的方程为：11211()(1)().t ty x x x x x -+=-----------------4分 所以切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).ttx x x x -+=--即21120.x tx t +-=……①同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得22220.x tx t +-=…… ②---------------5分由（1）、（2），可得212,20x x x tx t +-=是方程的两根，12122.x x t x x t +=-⎧∴⎨⋅=-⎩…… ③ -------------------------------------------------------------7分||MN ===分把③式代入，得||MN = 因此，函数()g t的表达式为()g t =----------------9分（3）易知()g t 在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ⋅≤+++121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n ∀恒成立，所以不等式64(2)()m g g n n⋅<+n ∀恒成立，即m <n ∀恒成立，--------------------------------12分6416,n n +≥=m ∴<m 为正整数，6m ∴≤. --------------------------------------13 分 又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件因此，m 的最大值为6. --------------------------------------------------------14分5、证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432xx a x x -≤≤+-……8分 作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分x )0 , 1 [- )4 , 0( 4] 5 , 4( )(/1x g － ＋ 0 － )(1x g↘ ↗ 极大值 ↘ )(/2x g ＋ － － － )(2x g↗↘↘……12分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(x x x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(xx x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 （方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分 当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a ……12分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a ……13分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 6、解：（1）依题意可得2|3|1x -≤ ------------------------------------------------1分2131x ⇔-≤-≤2x ⇔-≤≤2≤≤x∴的取值范围为[2,-⋃---------------------------------------------3分（2）解法一：∵222|()|||22a b a b ab ab ++---22()()||||42a b a b --=----------------5分 22()()42a b a b --=-2()0,4a b -=-≤---------------------------------------------6分即222|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ∴2()2+a b 比222+a b 更接近ab ；--------------------------------------------------7分 【解法二：∵对任意两个正数a 、b ，有2(),2+≥a b ab 222+≥a b ab ，------------------4分 ∴2222222()|()|||()0,22224++++----=-=-≤a b a b a b a b a b ab ab x即222|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ------------------------------------------------6分 ∴2()2+a b 比222+a b 更接近ab ；-------------------------------------------------7分】 （3）令()ln ,()ln ,=-=+-ep x x q x x a x x则()p x 在区间[1,)+∞上单调递减，且()0,=p e 由11()1,-'=-=x q x x x得当1x ≥时，()0,q x '≥ ∴()q x 在[1,)+∞上单调递增，且当1x ≥时，有()(1)0.q x q ≥=-----------------------8分 ①当1≤≤x e 时，∵()p x ≥0，2a ≥， ∴|()||()|ln (ln )120.e ep x q x x x a x x a e x x-=--+-=--≤--< ∴ex比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------10分 ②当>x e 时，解法一：∵()p x <0，()0.q x >,∴|()||()|ln (ln )2ln 2ln 2.-=--+-=---<--e ep x q x x x a x x x a x x x x----------12分 令()2ln 2,=--f x x x 则22()1.-'=-=xf x x x当>x e 时，()0.'<f x ∴()f x 在区间(,)+∞e 单调递减，当>x e 时，()()0.<=-<f x f e e ------------------13分 综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-ex x a x x∴ex比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------14分 【解法二：当>x e 时，∵()p x <0，()0.q x > ∴|()||()|ln (ln )2ln .-=--+-=---e ep x q x x x a x x x a x x-----------------------11分 令()2ln =---ef x x x a x ，则22222()1.--'=-+=-e x x e f x x x x令'()0f x =，解得1211x x ==∵>x e ∴21x =-------------------------------------------12分∵2(1)1,e e -<+ ∴1e -< ∴1x e > ∵当1e x x <<时，()0.'>f x 当1x x >时，()0.'<f x∴()f x 在区间1(,)e x 单调递增，在1(,)x +∞单调递减，又13e x << ∴当>x e 时，1111()()2ln 2ln 320.ef x f x x x a e x ≤=---<--<------------------13分 综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-ex x a x x∴ex比+x a 更接近ln x .-------------------------------------------------------14分】 7、解：（1）由已知得：()21()11a f x xx '=-++， ………1分又∵函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010af '=-=++，即1a = ……2分 ∴()ln(1),1x f x x x =-++ ()()2211()111x f x x x x -'=-=+++ ………3分 ∴,当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；………4分（或者列表） ∴函数()f x 的最大值为(0)0f =………5分（2）①由已知得：1()1g x b x'=-+………6分 (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； ………7分 (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；…8分(iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数，此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；9分综上所述，b 的取值范围是[)+∞,1. ………10分②由以上得：ln(1)(0)1xx x x x <+<>+, ………11分 取1x n=得：111ln(1)1n n n <+<+ ………12分 令21ln 1nn k kx n k ==-+∑， ………13分 则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. ∴)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑= ………14分 8、解：（Ⅰ）由题意可知：令，则原不等式可以化为：，解得：或即原不等式可以化为不等式① 或 不等式②……1分对于不等式①、②分别有:与 现做如下分类讨论： （1） 当时，，，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根： 与；与；不难证明：所以不等式①的解集为 …………2分R k k x x k x x ∈>-+++++02)()(222k x x t ++=2022>-+t t 2-<t 1>t 022<+++k x x 012>-++k x x 741--=∆k 542+-=∆k 47-<k 01>∆02>∆27411----=k x 27412--+-=k x 25413+---=k x 25414+-+-=k x 4213x x x x <<<(,2741----∈k x )2741--+-k所以不等式②的解集为…..3分所以当时，函数的定义域 ………….4分（2）当时，，，结合（1）可知：不等式①的解集为分 …………..5分 不等式②的解集为所以当时，函数的定义域 …………..6分（3）当时，，，结合（1）可知： 不等式①的解集为；不等式②的解集为 所以当时，函数的定义域 …………..7分 综上所述： （1）当时，函数的定义域（2）当时，函数的定义域（3）当时，函数的定义域 …………..8分 ()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k 47-<k )(x f D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k 4547≤≤-k 01≤∆02≥∆Φ∈x ()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k 4547≤≤-k )(x f D =()2541,+---∞-k()∞++-+-,2541k 45>k 01<∆02<∆Φ∈x R x ∈45>k )(x f D =R 47-<k )(x f D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k()∞++-+-,2541k 4547≤≤-k )(x f D =()2541,+---∞-k()∞++-+-,2541k 45>k )(x f D =R（Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当时，函数的定义域………….9分令（）,则函数，显然函数在对应的定义域区间为单调递增函数，要求的单调递增区间，我们只需要求出函数在上的单调递增区间。