高考理78练

训练目标会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题.训练题型(1)求曲线方程；(2)求参数范围；(3)长度、面积问题；(4)与向量知识交汇应用问题.解题策略联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题.1.已知椭圆E ：x 2＋y 2＝1(a >b >0)，其焦点为F ，F ，离心率为2，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围．2．(2015·重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y2＝－4x 的焦点相同，且椭圆C 上一点与椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2构成的三角形的周长为22＋2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G满足：F 1G →F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．3．(2016·眉山联考)已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且满足O M →O N →＝－3. (1)求抛物线Ω的方程；(2)若直线y ＝x 与抛物线Ω交于A ，B 两点，在抛物线Ω上是否存在异于A ，B 的点C ，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2015·浙江新阵地教育研究联盟联考)已知中心在原点的椭圆Γ1的右焦点和抛物线Γ2的焦点相同，为(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，抛物线Γ2的顶点为原点，如图所示．(1)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；(2)设点P 为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ2的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆Γ1于C ，D 两点，S △PAB ，S △PCD 分别是△PAB ，△PCD 的面积，试问：S △PABS △PCD是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．5．(2015·贵州七校联盟上学期第一次联考)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |. (1)求椭圆C 1的方程；(2)若椭圆C 1的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆，已知椭圆C 2是椭圆C 1的3倍相似椭圆，若直线y ＝kx ＋b与两椭圆C 1，C 2交于四点(依次为Q ，R ，P ，S )，且P S →＋R S →＝2QS →，如图所示，试求动点E (k ，b )的轨迹方程．答案解析1．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， ∵直线l 与x 轴交于A 点，∴A (2,0)，∴a ＝2，c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是233≤a ≤2.2．解 (1)依题意得⎩⎨⎧c ＝1，2a ＋2c ＝22＋2，a 2＝b 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒1＋2k 2>m 2(*)，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2， ①x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，设△AOB 的重心为G (x ，y )， 由F 1G →F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.②由重心公式可得G (x 1＋x 23，y 1＋y 23)，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4⇒(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝(1＋2k 2)21＋4k2，代入(*)得k ≠0，则m 2＝(1＋2k 2)21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k4.∵k ≠0，∴t ＝1k2>0，∴t 2＋4t >0，∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．解 (1)依题意，设抛物线Ω的方程为x 2＝2py (p >0)， 则F (0，p2)．由直线l 的斜率存在，设为k ，得l 的方程为y ＝kx ＋p2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p2，消去y 并整理，得x 2－2pkx －p 2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－p 2， 又y 1y 2＝(kx 1＋p 2)(kx 2＋p2)＝k 2x 1x 2＋12kp (x 1＋x 2)＋p24＝k 2·(－p 2)＋12kp ·2kp ＋p 24＝p24.所以OM →ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝－p 2＋p 24＝－3，因为p >0，解得p ＝2，故所求抛物线Ω的方程为x 2＝4y .(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ，可求得A (0,0)，B (4,4)，假设抛物线Ω上存在异于A ，B 的点C ， 且设C 的坐标为(t ，t 24)(t ≠0，t ≠4)，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线． 令圆心为E (a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧|EA |＝|EB |，|EA |＝|EC |，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝(a －4)2＋(b －4)2，a 2＋b 2＝(a －t )2＋(b －t 24)2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，4a ＋tb ＝2t ＋t 38，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－t 2＋4t8，b ＝t 2＋4t ＋328. ①因为抛物线Ω在点C 处的切线斜率k ′＝y ′|x ＝t ＝t2(t ≠0，t ≠4)，又该切线与EC 垂直，所以b －t 24a －t t2＝－1，即2a ＋bt －2t －t 34＝0，②将①代入②得2(－t 2＋4t8)＋tt 2＋4t ＋328－2t －t 34＝0，即t 3－2t 2－8t ＝0，因为t ≠0，t ≠4，解得t ＝－2， 故存在点C ，且坐标为(－2,1)．4．(1)解 设椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程分别为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，y 2＝2px (p >0)， 由题意得c a ＝12，c ＝1，p2＝1，即a ＝2，c ＝1，p ＝2，所以椭圆Γ1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线Γ2的方程为y 2＝4x .(2)①证明 设P (－1，t )，过点P 与抛物线y 2＝4x 相切的直线方程为y －t ＝k (x ＋1)．由2(1)4y t k x y x-=+⎧⎨=⎩消去x 整理得y 2－4k y ＋4t k＋4＝0， 由Δ＝0得21k－tk －1＝0， 即k 2＋tk －1＝0，则k 1k 2＝－1，为定值． ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得y 1＝2k 1，y 2＝2k 2，则x 1＝1k 21，x 2＝1k 22，直线AB 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y ＝－2k 1＋k 2(x －1)， 即直线AB 过定点(1,0)， 设P 到直线AB 的距离为d ， S △PAB S △PCD ＝12d ·|AB |12d ·|CD |＝|AB ||CD |. a ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 并整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，k ≠0时，Δ>0恒成立． |AB |＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)16＋16k 2k 4＝4(1＋k 2)k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ>0恒成立．|CD |＝(1＋k 2)(x 3－x 4)2＝(1＋k 2)144＋144k 2(3＋4k 2)2＝12(1＋k 2)3＋4k2.所以S △PAB S △PCD ＝4(1＋k 2)k 212(1＋k 2)3＋4k2＝3＋4k 23k 2＝1k 2＋43>43.b ．当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝1，此时，|AB |＝4，|CD |＝3，S △PAB S △PCD ＝43， 综上可知，S △PAB S △PCD 的最小值为43. 5．解 (1)设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离为d ＝|－b ＋ab |a 2＋b 2＝77b ，∴a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 1的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，设Q ，R ，P ，S 各点坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 1的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， ∴Δ1＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)>0，(*) 此时，x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43(4k 2＋3－b 2)3＋4k2， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， ∴x 3＋x 4＝－8kb 3＋4k 2，x 3x 4＝4b 2－363＋4k 2，|x 3－x 4|＝43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2， ∵x 1＋x 2＝x 3＋x 4， ∴线段PS ，QR 中点相同， ∴|PQ |＝|RS |，由P S →＋R S →＝2Q S →，R S →＝Q R →， ∴|PS |＝3|QR |，解得|x 3－x 4|＝3|x 1－x 2|，∴43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2＝3×43(4k 2＋3－b 2)3＋4k 2， 12k 2＋9＝4b 2，满足(*)式，∴动点E (k ，b )的轨迹方程为4b 29－4k23＝1.。