《现代控制理论》复习资料
现代控制理论复习要点
现代控制理论复习要点第二章控制系统的状态空间描述小结一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。
2、模型形式（状态空间表达式）：① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；③ 系统方框图；④ 状态变量图。
3.方法（途径）：①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；方块图→无零点惯性环节有零点惯性环节二阶振荡环节状态变量图→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式))a b 无零点实现：能控标准型、能观标准型直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点二、状态变量的线性变换1、系统状态空间表达式的非唯一性2、系统的不变性① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；② 传递函数矩阵不变性；③ 系统的能控性与能观性不变性。
3、状态空间表达式→约旦标准型三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+= ＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I AC I A BD I A四、组合系统1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵第三章状态方程的解小结一、求状态方程的解1、对象：线性系统① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）2、解的形式如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：000()(,)()(,)()()t t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ?3、求解的关键求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）；① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求；② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
现代控制理论基础知识资料
最优估计理论的内容
参数估计法；（最小方差、最小二乘法） 状态估计法（卡尔曼滤波）
§ 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异
庞特里亚金 L.S.Pontryagin
4. 罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens） 和麦克法仑（G.J.MacFarlane）研究了用于计算机辅助设计的 现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变 量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关 系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。
赫尔维茨（Hurwitz）
3.由于两次世界大战中军事 工业需要控制系统具有准确 跟踪与补偿能力，1932年奈 奎斯特（H.Nyquist）提出 了复数域内研究系统的频率 响应法，为具有高质量动态 品质和静态准确度的军用控 制系统提供了急需的分析工 具。
奈奎斯特
4.1948年伊文思（W.R.Ewans）提出了用图解方式研 究系统的根轨迹法。
1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态空间法； 在1957年提出了基于动态规划的最优控制理论。
2.1959年匈牙利数学家卡尔曼（Kalman） 和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年 在控制系统的研究中成功地应用了状态 空间法，并提出了可控性和可观测性的 新概念。
卡尔曼
3. 1961年庞特里亚金（俄国人）提出 了极小（大）值原理。
现代控制理论基础
Modern Control Theory
绪论
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展 § 1.2 现代控制理论的内容 § 1.3 现代控制理论与经典控制理论的差异 § 1.4 现代控制理论的应用
§ 1.1 现代控制理论的产生与发展
同学们，我们都知道：控制理论作为一门科 学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方 方面面。
现代控制理论复习大纲
《现代控制理论》课程回顾第一部分 系统数学模型的建立1．系统数学模型的种类：A 、输入输出描述：输入输出微分方程、输入输出差分方程：)()()()()()()()()(1)2(2)1(11)2(2)1(1)(t u b t ub t u b t u b t y a t ya t y a t y a t y n n n n n n n n n ++++=+++++------][]1[]2[]1[][]1[]2[]1[][121121n k u b n k b k u b k u b n k y a n k a k y a k y a k y n n n n -++-++-+-=-++-++-+-+--传递函数(s 域)、脉冲传递函数(z 域)nn n n nn n n n a s a s a s a s b s b s b s b s u s y s g +++++++++==------1221112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ n n n n n n n n n a z a z a z a z b z b z b z b z uz yz g +++++++++==------1221112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ 传递矩阵(s 域)、脉冲传递矩阵(z 域))(ˆ)()(ˆ:)(s s s s u G yG = )(ˆ)()(ˆ:)(z z z z u G yG = 脉冲响应函数、脉冲相应矩阵：（因果、t 0时刻松弛）⎰⎰⎰⎰ττ-τ=τττ-=τττ-=τττ-=∞-∞+∞-tt tt td t u g d u t g d u t g d u t g t y 0)()()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰ττ-τ=τττ-=τττ-=τττ-=∞-∞+∞-tt t t t d t d t d t d t t 0)()()()()()()()()(u G u G u G u G yB 、状态空间描述基本概念：状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态轨线、状态方程、输出方程、动态方程（状态空间表达式、状态空间方程、状态方程）线性系统的结构图2．线性系统动态方程的建立A 、由系统机理出发建立系统的状态空间表达式这是最基本的方法实践中这也是主要的甚至是唯一的方法。
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制理论复习资料
一卷一、选择题：1.非奇异状态变换不改变系统的：A.极点B.控制矩阵C.系统矩阵D.输出矩阵 2.两个系统()()12,W s W s 并联后，系统的传递函数为： A.()()()()1121W s W s I W s -+ B.()()12W s W s C.()()21W s W s D.()()12W s W s ± 3.()0,t t Φ为线性时变系统的状态转移矩阵，则：A.()()00,t t t t Φ=Φ-B.()()()211020,,,t t t t t t ΦΦ=ΦC.()()()211020,,t t t t t t ΦΦ=Φ-D.()()()211021,,,t t t t t t ΦΦ=Φ 4.线性系统,x Ax Bu y Cx =+=的完全能观性：A.与u 有关B.与B 有关C.与B 和u 都无关D.与B 和u 都有关5.()()1W s C sI A b -=-，一个单输入单输出系统(),,A B C 完全能控能观的充分必要条件是：A.()()1W s C sI A b -=-的分子分母不能相消B.()W s 只有稳定的零极点相消C.()W s 只有不稳定的零极点相消D.与()W s 零极点相消没关系 6.若系统x Ax =是渐近稳定的，则： A.存在()0V x >使()0V x >B.不一定存在二次型Lyapunov 函数C.一定存在二次型Lyapunov 函数()V x 使()V x 正定，()V x 负定D.存在()0V x < 使 ()0V x <7.若传递函数()W s 的分母的根都在左半复平面，则： A.()W s 的所有实现都是稳定的系统 B.最小实现可能是稳定的也可能是不稳定的系统 C.()W s 的所有实现都是不稳定的系统 D.()W s 的实现不一定是稳定的系统 8.若使系统的闭环极点能任意配置，则：A.(),,A b c 完全能控B.(),,A b c 完全能观C.(),,A b c 反馈能镇定D.(),,A b c 必须同时能控能观 9.被控系统(),,A B C 的状态反馈：A.不改变极点B.不改变零点C.极点和零点都改变D.极点和零点都不改变 10.若()1111,,A B C ∑=与()2222,,A B C ∑=互为对偶的，则：A.若1∑能观，则2∑能观B.若1∑能控，则2∑能控C.1∑与2∑的特征根相同D.1∑与2∑的传递函数矩阵相同二、计算题 1.已知系统[]001110310130102x x uy x-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=- 判断系统是否是完全能控的，若不完全能控，将系统进行能控性结构分解，并判断这个系统是否可反馈镇定.2.已知系统[]10100111x x u y x⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- ① 设计状态观测器使其极点为-3,-2.② 取反馈控制律为()[]12ˆcos 11ˆxu t x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，求整个闭环系统方程.三、证明题1.对线性时不变系统,n x Ax Bu x R =+∈，若1,,...n M b Ab A b -⎡⎤=⎣⎦且rankM n =试证明系统是完全能控的.2.试证明系统 31211221x x x x x x x ⎧=-+⎨=--⎩的平衡点()0,0是渐近稳定的.一卷答案一、选择题：1.A,2.D,3.B,4.C,5.A,6.C,7.D,8.A,9.B, 10.C.二．计算题 1. 解：1)2101113012M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，()23rank M =< 系统是不完全能控的。
现代控制理论
1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵,特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数.互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答:系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造,一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；(2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；(3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4)有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答:基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1)如果系统受扰后,其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时,能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定:(2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定.方法步骤：定义一个正定的标量函数V(x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x)/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x）的选取需要一定的经验和技巧.4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定,但输出稳定不一定状态稳定;（2)系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值=—1 =1 所以状态不是渐进稳点的,W（s)的极点S=—1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题？什么是最小实现？说明实现存在的条件.答:（1）由系统的运动方程或传递函数建立SS表达式的问题叫做实现问题;（2）维数最小的实现方式时最小实现;(3）存在条件是m小于等于n.6、从反馈属性、功能和工程实现说明状态反馈和输出反馈的优缺点。
现代控制理论课程复习要点
现代控制理论课程复习要点现代控制理论课程复习要点第一章1.已知系统的状态方程和输出方程（以线性方程组的形式给出），如何写出其向量-矩阵方程并画出状态变量图。
2. 已知系统的状态空间模型表达式，如何将其转换为对角线规范型。
（注意复习3*3矩阵的求逆、行列式计算的方法，切记）该类题目具体做法有两种：（1）方法一：求出该系统特征值，特征向量，利用特征向量构成非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
（2）方法二：求出该系统特征值，利用特征值，构成范德蒙德矩阵，并将该矩阵作为非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
第二章1. 已知系统状态转移矩阵()t Φ，如何求出该系统状态方程中的系统矩阵A 的值；该题的主要考点在于：()t Φ的一阶导数在t=0时的值为A ，即t 0()|A t ==Φ。
2.已知状态空间模型，如何求输入()u t 为单位阶跃函数时，该状态空间表达式的解；（利用非齐次状态空间模型的解公式求就可以了）3. 已知线性定常系统齐次状态方程，试利用特征值规范型方法求出状态转移矩阵()t Φ。
具体解法：（1）先求出该系统的特征值：s -0I A = ，特征值分别为123λλλ，， ;（2）根据特征值123λλλ，，求对应的特征向量123,,p p p ，并以此构成非奇异转换矩阵[]123=P p p p ；（3）根据特征值规范型的特性可知，特征值规范型系统的状态转移矩阵为12300(t)000tt t e e e λλλΦ=?? （4）最后将该状态转移矩阵转换回普通形式的状态转移矩阵1(t)P (t)P -Φ=Φ .第三章1. 已知线性定常系统的状态方程（该方程中含未定参数），试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定时，这些未定参数应满足的条件。
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《现代控制理论》复习资料
题型一：已知系统传函，求①能控标准型、能观标准型
②约旦标准型
例题：P155 3-4、3-9
解题步骤：
1）根据传函→能控能观标准型 传函：01221110
12211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=--------- ββββ
① 根据传函有无零极点对消判断是否能观能控
② 写出能控标准Ⅰ型(以三阶为例)
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=210100
010
a a a A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100b ][210βββ=c
③ 写出能观标准Ⅱ型(以三阶为例)
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡---=210100100a a a A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210βββb ]100[=c
2）根据能控标准型→约旦标准型
① 求λi ，Pi
0||=-A I λ，求得λi
λi 互异时，λiPi=APi
λi 有重根时，
λ1P 1-AP 1=0
λ2P 2-AP 2=-P 1
λ3P 3-AP 3=-P 2
② 求T,T -1
T=(P 1，P 2...P n )
③ 求T -1AT,T -1B,CT
Bu T ATz T Z 11--•+=
Du CTz y +=
题型二：已知状态空间表达式，求①画模拟结构图
②判断能控性、能观性
③系统传函
例题：P56 1-7
解题步骤：
1）状态空间表达式→模拟结构图
P15
2）状态空间表达式→判断能控、能观性
见 题型四
3）状态空间表达式→传函
方法一：
根据 模拟结构图 直接写出传函 (见P23 图)
方法二：
① 先求1
)()(---A sI A sI 、
② D b A sI C s W +-=-1)()(
题型三：已知状态空间表达式，①求At e t =)(φ ②u(t),求x(t)
例题：P69 例2-8 P87 例2-6,2-4
解题步骤：
1)求)(t φ
方法一：化为约旦标准型1-=T Te e At At
① 求λi ，Pi
② 求T,T -1
③ 1-=T Te e At At
方法二：拉氏反变换])[(11---=A sI L e At
① 求1)()(---A sI A sI 、
② ])[(11---=A sI L e At
方法三：用凯莱-哈密顿定理
① 求λi
② 求αi (t)
③ 两个特征值：I t A t e At )()(01αα+=
三个特征值：I t A t A t e At )()()(012ααα++=
2)求x(t)
τττφφd Bu t x t t x t )()()0()()(0
⎰-+=
题型四：
已知状态空间表达式(含参数)，判断能控性、能观性(三阶)
例题：P154 3-1
解题步骤：
方法一：化为约旦表达式
A 的特征值互异部分，
B 中各行不全为0，则能控；
C 中各列不全为0，则能观；
A 的特征值相同部分，
B 中每个约旦块最后一行不全为0，则能控；
C 中每个约旦块第一行不全为0 ，则能观。
方法二：判断是否满秩(以三阶为例)
① ()
b A Ab b M 2= 若3=rankM 则系统能控，否则不可控
② ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2CA CA C N
若3=rankN 则系统能观，否则不可观
题型五：判断可否可以化为能控、能观标准型
例题：P154 3-2
解题步骤：
1) 若已知传函，则判断有无零极点对消
2) 若已知状态空间表达式，方法同 题型四
题型六：已知状态空间表达式，判断状态稳定性、输出稳定性
例题：P161 4-1
解题步骤：
① 求出A 特征值，若特征值均有负实部，则平衡状态渐进稳定
② 求出系统的传函，若传函的极点全部位于s 的左半平面，则系统输出稳定
题型七：极点配置，求闭环模拟结构图
例题：P195 例5-2
解题步骤：
① 若无零极点对消，则写出 能控标准Ⅰ型
② 加入状态反馈阵K=(k0,k1,k2),写出闭环系统特征多项式|)(|)(K b A I f +-=λλ ③ 根据给定极点，得期望特征多项式)()(**i f λλλ-∏=
④ 比较)(λf 和)(*λf ，联立方程求得K
⑤ 闭环模拟结构图根据P195图5.5绘制。