数据结构第6章2

• 兄弟(sibling)结点 具有同一双亲的所有结点 • 祖先(ancestor)结点 从根到该结点所经分支上的 所有结点。 • 子孙(descendant)结点 以某一结点 为根的子树中的 任一结点。 • 结点所处层次(level) 根结点的层数为1，其余结点 的层数为双亲结点的层数加1 • 树的深度(depth) 树中结点的最大层数
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二叉树 (Binary Tree)
二叉树的定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称 为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。
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二叉树的五种不同形态
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二叉树的性质
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i-1 个结点。(i 0) 证明：i = 1 时，有2i-1 = 20 =1，成立
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• 2、求二叉树的深度(后序遍历) • int Depth (BiTree T ) • • • • • • • • • { if ( !T ) depthval = 0; else { depthLeft = Depth( T->lchild ); depthRight= Depth( T->rchild ); depthval = 1 + (depthLeft>depthRight?depthLeft:depthRight);
6.5 线索二叉树 • 何谓线索二叉树？ • 遍历二叉树的结果是，求得结点的一个线性 序列。 • 指向该线性序列中的“前驱”和“后继”的 指针，称作“线索” • 包含“线索”的存储结构，称作“线索链 表”； • 与其相应的二叉树，称作“线索二叉树”
有序树 无序树 森林

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子树的次序不能互换 子树的次序可以互换 互不相交的树的集合
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树的基本操作
1、初始化 2、求指定结点所在树的根结点 3、求指定结点的双亲结点 4、求指定结点的某一孩子结点 5、求指定结点的最右边兄弟结点 6、将一棵树插入到另一树的指定结点下作为它 的子树 7、删除指定结点的某一子树 8、树的遍历
至多为：
20 + 21 + 22 + 23 + … + 2k-1 = 2k － 1
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性质3 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2, 则有 n0＝n2＋1
证明： 1、结点总数为度为0的结点加上度为1的结点再加上度 为2的结点： n = n0 + n1 + n2 2、另一方面，二叉树中一度结点有一个孩子，二 度结 点有二个孩子，根结点不是任何结点的孩子，因此， 结点总数为： n = n1 + 2n2 + 1 3、两式相减，得到：
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中序遍历
中序遍历二叉树算法的框架是： • 若二叉树为空，则空操作； • 否则 – 中序遍历左子树 (L)； – 访问根结点 (V)； – 中序遍历右子树 (R)。 遍历结果 a+b*c-d-e/f
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表达式语法树29
中序遍历算法
INORDER(bitree *cnt) { if (cnt) { INORDER(t->lch); printf(“\t%c\n”,t->data);
• • • • • • • • •
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遍历算法的应用举例: 1、统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历) void CountLeaf (BiTree T, int& count) { if ( T ) { if ((!T->lchild)&& (!T->rchild)) count++; CountLeaf( T->lchild, count); // 统计左子树中 叶子结点个数 • CountLeaf( T->rchild, count); // 统计右子树中 叶子结点个数 • } • }
lchild
data
rchild
parent
其中，data、lchild以及rchild三个域的意义同二叉 链表结构；parent域为指向该结点双亲结点的指针。 既便于查找孩子结点，又便于查找双亲结点； 相对于二叉链表存储结构而言，它增加了空间开销。
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链表表示
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单支树
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• •
2．链式存储结构 用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示着元素的 逻辑关系。通常有两种形式。 • （1）二叉链表存储 • 链表中每个结点由三个域组成，除了数据域外，还有 两个指针域，分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址。当左孩子或右孩子不存在时， 相应指针域值为空（用符号∧或NULL表示）。 •
Ø Ø F G
A B
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C
D E
Ø Ø Ø Ø F
G
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由于一般二叉树必须仿照完全二叉树那样存 储，可能会浪费很多存储空间，单支树就是 一个极端情况。
•
A B C D
A
B C
D
A ∧B ∧∧∧C ∧∧∧∧∧∧∧D
• (a) 一棵右单支二叉树 (b) 改造后的右单支树对应的完全二叉树
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凹入表表示
a
b d e
i j f c g h
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嵌套集合表示
a
b
d i
e
j f g
c
h
广义表表示
(a ( b ( d, e ( i, j ),f), c ( g, h ) ) )
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1 2
4
3
4
• 结点(node)： • 结点的度(degree)： • 树的度(degree)： • 分支(branch)结点： • 叶(leaf)结点： • 孩子(child)结点： 2013-6-27 • 双亲(parent)结点： 数据元素 + 若干指向子树的分支 结点的子树个数 树中所有结点的度的最大值 度不为0的结点 度为0的结点 某结点子树的根结点 6 某个结点是其子树之根的双亲
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•
D 1 L 2 R 3
• 若以D、L、R分别表示访问根结点、遍历根结点的左子 树、遍历根结点的右子树，则二叉树的遍历方式有六 种：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL和RLD。 • 限定先左后右，则有三种方式，即DLR（称为先序遍 历）、LDR（称为中序遍历）和LRD（称为后序遍历）。
• } • return depthval;
• }
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• 3、建立二叉树的存储结构
• 按给定的先序序列建立二叉链表 • Status CreateBiTree(BiTree &T) { • // 按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符）， 空格字符 表示空树，构造二叉链表表示的二叉树T。 • scanf(&ch); • if (ch==' ') T = NULL; • else { • if (!(T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode)))) • exit(OVERFLOW); • T->data = ch; // 生成根结点 • CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树 • CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树 • } 2013-6-27 return OK; } // CreateBiTree 35 •
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• 二叉树的链式存储表示
• • • •
typedef struct BiTNode { TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针 • } BiTNode, *BiTree;
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• （2）三叉链表存储 • 每个结点由四个域组成，具体结构为： •
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n0 = n2 + 1
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定义1 满二叉树(Full Binary Tree) 一棵深度为k 且有2k-1个结点的二叉树。 定义2 完全二叉树(Complete Binary Tree) 若设二叉树的高度为h，则共有h层。除 第h层外，其它各层(1h-1)的结点数都达到 最大个数，第h层从右向左连续缺若干结点， 这就是完全二叉树。
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1 2 4 5 3 6 7
满二叉树
1
2 3 2
1
3 2
1
3 6 7
4
5
6
4
5
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(a)完全二叉树
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(b)非完全二叉树
( c)非完全二叉树
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性质4 具有n个结点的完全二叉树的高度
为 log2n +1
证明：设完全二叉树的高度为h，则有
2h-1 - 1 < n 2h - 1 2h-1 <= n < 2h

若i == 1, 则 i 无双亲 若i > 1, 则 i 的双亲为i /2

若2*i <= n, 则 i 的左子女为2*i；否则，i无左子女，必 若2*i+1 <= n, 则 i 的右子女为2*i+1，否则，i无右子
定是页结点，二叉树中i> n/2 的结点必定是页结点 女

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二叉树链表表示的示例
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6.3 遍历二叉树和线索二叉树