平均数和变异数
1-2常用特征数
平均数的计算。
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、 xn， 则样本平均数可通过下式计算：
x1 x 2 x n x n
n
n
x
i 1
n
i
（3-1）
n
xi 其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值x1累 i 1
加到第n个观测值xn。当 xi 在意义上已明确时，可简写
所以上式可改写为：
2 (
S
x n
n 1
x)2
（四）变异系数
若比较两个样本的变异度，则因单位不同或平 均数不同，不能用标准差直接比较。
这时要构造一个不带单位，不受平均数大小影 响的变异数，这就是变异系数(coefficient of variation)，用CV 表示。
S CV 100% x
所以，在估计其他统计数时，如果该统计数受K个条件 限制，则其自由度应该为n－K。 在应用上，小样本一定要用自由度来估算标准差；若为 大样本，因n和n－1相差较小，可直接用n作除数，但大样本
的界限没有统一规定，一般以30以上为大样本。
（三）标准差
标准差是方差的正根值，可以很好的表示 资料的变异度，其单位与观察值的度量单 位相同。 样本标准差（S）
例如：两个小麦品种主茎高度的测量结果分析如下表。
品种 甲 乙
平均数 95.0 75.0ຫໍສະໝຸດ 标准差 9.02 8.50
变异系数 9.5 11.3
在采用变异系数表示样本的变异程度时，宜同时列举平 均数和标准差，否则可能引起误解。
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变
异程度，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，
均值和变异系数标准差的关系
均值和变异系数标准差的关系
均值和变异系数是两个不同的概念。
均值是一组数据的平均值，而变异系数是标准差与平均数的比值，用于消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
在统计学中，标准差是衡量数据分散程度的一种方法，而均值则是反映数据集中程度的一种方法。
当数据分布不均匀时，标准差较大，而均值较小；当数据分布较均匀时，标准差较小，而均值较大。
因此，标准差和均值之间存在着一定的关系。
变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
它是一种无量纲的指标，可以用来比较不同数据集之间的波动大小。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
第三章平均数标准差与变异系数
-2 0 -3 2 2 1
x 48 x 8
6
( x x) 0 (x x) 0
6
2 x x 22 x x 10 2 x x x x
2 0 3 2 2 1
4 0 9 4 4 1
6
1.67
6
3.67
第二节 标准差
1 90 89 Q 之差，其 即上四分位数 QU和下四分位数 L
间包括了50% 位次居中的个体观测值 4 86
7 84 箱式图：处理 50%的数据，受极端值影响小 9 10 12 80 75 71 69 66
13
88
远离 群值 外篱值
节
3
近离群值 5
8
上 四 中 分 位 位 数
67.5
80
下 四 分 位
测值以计算平均数，其公式为：
第一节 平均数
例2 200头奶牛血镁含量次数分布表
第一节 平均数
一．算术平均数
加权法
计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数
时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。
第一节 平均数
例3 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重 为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平 均体重为725 kg，如果将这两个牛群混合在一起， 其混合后平均体重为多少？
第一节 平均数
算术平均数的重要特性
样本各观察值与其平均数的差数平方的总和，
较各个观察值与任意其他数值的差数平方的总
和为最小，即对任意实数 a,均有下式成立，当
且仅当a取样本均值时，等号成立。
第一节 平均数
总体平均数 总体平均数用 来代表，它同样具有算术
平均数、标准差与变异系数的意义
平均数、标准差与变异系数的意义
• 自由度 (degree of freedom) ：统计学借此 来反映一批变量的约束条件。
“权”，加权法也由此而得名。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算离散型频数资料的平均数时，
k
( fx )i
x i1 N
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f）， k为组数。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算连续型频数资料的平均数时，
k
( fm )i
x i1 N
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
• 例如一个有 5 个观察值的样本，因为受 到统计数的约束，在5个离均差中，只有4 个数值可以在一定范围内自由变动取值， 而第五个离均差必须满足这一限制条件。
• 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于观
察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k ) ，
即 DF ＝ n － k 。
平均数、标准差与变异系数的意义
平均数、标准差与变异系数的意义
（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常 数，标准差的值不变；
(三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标 准差是原来标准差的a倍．
平均数、标准差与变异系数的意义
样本的方差为 总体的方差为
平均数、标准差与变异系数的意义
• 变异系数是标准差与平均数的比， 记为CV。
cvsx100%
• 两个小麦品种株高变异的比较
平均数、变异数
组
140行水稻产量的次数布表
限 组中点值(y) 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 225 次数(f) 2 7 7 13 17 20 25 21 13 9 3 2 1 140 67.5-82.5 82.5-97.5 97.5-112.5 112.5-127.5 127.5-142.5 142.5-157.5 157.5-172.5 172.5-187.5 187.5-202.5 202.5-217.5 217.5-232.5 232.5-247.5 247.5-262.5 合计
2 2
n
计算公式：
S 2 SS /(n 1)
df=n-1=5-1=4 注意：样本方差不用 n 来除，而用 n-1来除，n-1称为样本方差的自由
度（degree of freedom，df or DF or ） 因为大多数情况下 y 根据平均数的第二个重要特性： ( y )2 ( y y )2
个性质知道：
为了解决资料中所有观测值的离均差正负抵消的问题，采用先平方 数多。
后再相加的办法。
离均差平方和：
( y y ) 0 这不公平，因为II班人
SS ( y y )
2
I班
上例中：第一组数据的平方和为：SS1 = (24-25)2 + (25-25)2 +(26-25)2 = 2 第二组数据的平方和为：SS2 = (1-25)2 + (25-25)2 +(49-25)2 = 1152
白非 17% 白糯 8% 红糯 54% 红非 21%
18个 25%
17个 32%
质量性状变数资料
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i iki i i k k k 11212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i的“权”，加权法也由此而得名。
【生物统计】第三章 次数分布和平均数、变异数
3. 条形图； 74
„
4. 饼图； 1 0 9
104
109
1. 方柱形图 适用于表示连续性变数的次数分布； 2. 多边形图 适用于表示连续性变数的次数分布；
以课本p.17的表1.6的分布为例说明。
图1 表.1.6 100 株小麦的次数分布 豫农202不同播期下灌浆速率 Fig 1 Filling rate under different sowing 35 date 中 值 次 数
米粒性状
质量性状的变数资料
红糯
红非
白糯
白非
1. 方柱形图
属性分组
表 1.8 玉米 F2 代两对性状的分离 水稻F2代植株米粒性状分离图
次数(f)
100个麦穗每穗小穗数分布图 Æ « Ç ð » É ·Ì
Æ « ð £ » É Ì Á
适用于表示连续性变数的次数分布； 20个 15个 ·Ì ׫ °É Ç ð 19% 850 56.11 黄色非甜 × °« ð £ 白非 19个 5% 6%É Ì Á16 17% 282 18.61 黄色甜粒 17% 15% 2. 多边形图
100个麦穗每穗小穗数的次数分布表(P37) 每穗小穗数(y) 15 16 17 18 19 20 总次数(n) 次数(f) 6 15 32 25 17 5 100
因为取值个数只有15 、16、17、18、19和20六种， 所以以自然单位分组。
2、若变数可取值个数太多，则可按取值大小，从小 到大相邻若干个值合为一组的方法进行整理（一般 要求组距相等）。
第三章 次数分布和平均数、变异数
第一节 总体及其样本 第二节 次数分布 第三节 平均数 第四节 变异数
第一节 总体与样本 1.数据的变异和趋中性
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329.5
组中值
331.0
次数
1
组限
344.5
组中值
346.0
次数
17
332.5
335.5
334.0
337.0
3
10
347.5
350.5
349.0
352.0
8
2
338.5
341.5
340.0
343.0
26
31
353.5
356.5
355.0
358.0
1
1
第三章
次数分布图
１．柱形图 ２．多边形图(包括饼图、曲线图、 折线图、直方图等）
郭平毅（1956.10—），男，山西省寿阳县人。中共党 员，博士，山西农业大学作物学学科（博士后流动站） 教授，博士生导师，实验设备管理处处长。1979年毕 业于山西农业大学农学系，后留校任教，一直从事农 学专业教学科研与科技开发工作。先后定职助教、讲 师、副教授、教授及博士生导师。在职攻读，获山西 农业大学硕士学位和浙江大学博士学位。多次到美国、 澳大利亚等大学做访问学者和高级访问学者。 曾 任山西农业大学学位委员，农学院副院长，院系党总 支委员，农业化学调控中心（研究所）主任。先后兼 任山西省九届、十届政协委员，山西省委联系的高级 专家，中国作物学会理事，全国作物栽培专业委员会 委员，中国杂草学会常务委员，中国耕作制度研究会 理事，山西省作物学会副理事长，山西省农学会理事， 山西省统计学会常务理事。[1]
四、数字资料的类型 1. 数量性状资料(1)连续性变数资料(2)间断性变数资料 2. 质量性状资料
五、总体与样本 总体:是指研究对象的全部个体.
样本:从总体中抽出的一部分个体叫样本.
六、参数和统计数 参数：描述总体的特征数叫参数。一般用希腊字母表示。 统计数：反映样本的特征数叫统计数。一般用拉丁字母表示。 如样本平均数。
三、随机变数的类型 1. 连续性变数： 具有可量性的随机变数称为连续性变数。 在连续性变数中，各个观察值由整数和小数构成。如测 定玉米叶面积系数，在3.14和3.15之间，可以有3.1405、 3.1468等数值。 2. 间断性变数：具有可数性的随机变数称为间断性变数。 间断性变数必须由整数表示。在两个相邻的整数间不允 许带有小数的数值存在。如计数玉米每穗穗粒数时，只 能得到整数，不可能出现小数。
2
2
2
2
n 1
三、变异系数：反映不同资料的整齐度。比较两个样本， 单位不同，均数不同，不能用标准差直接比较。这时可 计算样本的标准差对均数的百分数，称之为变异系数。
CV
y s
100 %
由于变异系数是一个不带单位的纯数， 故可用以比较两个事物的变异度大小，例如
例 题
赞皇大枣果皮厚、角质层厚测量结果
第三章
第二节 平均数
☺平均数的意义
☺平均数的种类
☺算术平均数的计算方法
☺算术平均数的重要特性
一、平均数的意义：
平均数是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置。
二、平均数的种类
n
算术平均数
y
y1 y
2
y
nห้องสมุดไป่ตู้
y
i
i 1
n
y
中数：又名中位数，是指将所得资料从大到小排序，居中间位 置的观察值称为中数，记作Md。 众数 ：M0 。在一个变数的观察值中，出现资料最多的观察值称 为众数。
在农业试验中，往往很难得到总体参数，大多是通过样本的观察来研 究总体的。样本是总体的缩影，能反映总体的一定情况，因此常用统计数作 为总体相应参数的估计值。但样本毕竟是总体的一部分个体，随着个体的数 目不同而不同，因此和总体的真实情况不同。统计分析为我们提供了解决这 一问题的科学方法。因此获得样本只是一种手段，推断总体才是真正目的。
343.5 348.6
347.2 339.8 344.4 347.2 341.0
R=358.2-331.2=27.0
样本容量大小与组数的关系
样本容量 50-100 100-500 500-1000 1000 分组时的组数 8-10 12-18 15-25 20
第三章
100听罐头净重的次数分布表
340.7 346.0
344.0 345.8 353.3 339.7 338.2 347.1
348.4 340.3
342.6 331.2 340.2 342.3 345.5
346.0 344.2
343.7 342.1 336.3 352.8 345.6
343.4 342.2
345.5 342.4 348.9 342.6 349.0
第三章
50 40
次数
30 20 10 0 1 一批苹果中不同等级果实的比例 等级
特级 一级 二级 三级
柱形图示例
练 习
某罐头厂生产肉类罐头，某日随机抽查了10 瓶罐头，测其净重，得结果如下：50，51，49， 49，50，51，50，49，49，51。 请写出中数、众数、计算出平均数，标准差、 极差和变异系数。
n
n
几何平均数
1
G
n
y1 y 2 y n ( y1 y 2 y n ) n
三、算术平均数的计算方法
n
直接法 加权法
y
y1 y
2
y
n
y
i
i 1
n
y
n
n
y
fi yi /
fi
四、算术平均数的重要特性
离均差的总和等于0
y ) ( y a )]
2
[( y
y ) 2 ( y y )( y a ) ( y a ) ]
2 2 2
( y y ) 2( y a ) ( y y ) n ( y a )
( y a)
2
(y y)
2
n( y a)
生物统计学
主讲教师：郭平毅
第三章 平均数和变异数
第一节 统计分析的基本要素
第二节 平 均 数
第三节 变 异 数
第四节 次 数 分 布
第三章
第一节 统计分析的基本要素
一、变数和观测值 变数：在统计上将这种具有变异的某一性状或特征的一群 数据叫做变数或随机变数。 观测值：变数中每一个体的测定数值叫做观测值。 二、随机变数的性质： 1. 可量性：指能够以测量、度量、称量等量测方法表现 出来的性质。如测定玉米不同时期的叶面积、株高等。 相对于可量性状的试验资料叫可量资料。 2. 可数性：指不能用量测方法表示性状，而只能用计数 方法表示出来的性质。如冬前小麦单位叶面积内的总 茎数、每穗小麦的小穗数、穗粒数等。可数性状相对 的资料叫可数资料。
348.0 344.0
358.2 340.2 346.2 335.1 343.7
344.2 341.1
341.0 343.3 342.3 339.5 343.0
342.5 345.6
346.8 350.2 339.9 346.6 339.9
350.0 345.0
344.3 346.2 338.0 341.1 347.3
342.7 344.1
339.3 340.5 340.2 350.3 336.7
346.0 345.0
350.2 350.0 356.1 348.5 342.0
341.1 340.5
337.3 343.2 346.0 344.0 338.4
344.0 344.2
345.3 347.0 345.6 350.0 343.9
2
第三章
第三节 变 异数
变异数：用来反映平均数代表性的优劣。常用 的有极差、方差、标准差和变异系数。
一、极差：极差又称全距。是资料中最大观察值与最小 观察值的差数。用“R”来表示。我们举个例子来说明。 例如调查两个不同品种的富士苹果的维生素含量，每 品种计10个数，经过整理其数字为
品种 名称 甲 乙 13 16 14 16 15 17 17 18
维生素含量(mg/个) 18 18 18 18 19 18 21 19 22 20 23 20
总和 180 180
平均 18 18
Ｒ甲＝２３－１３＝１０
Ｒ乙＝２０－１６＝４
二、方差与标准差 样本平方和 总体平方和
SS
(y
i
y)
2
SS
(y
i
)
2
用观察值数目来除平方和,得到平均平方和,简 称均方或方差,样本均方用s2来表示，定义为
性状
y (m )
s(m )
CV%
果皮厚
49.6
4.9
9.9
角质层厚
6.2
0.8
12.9
第三章
第四节 次数分布
次数分布表的制作次序： １．数据排序
２．求极差
３．确定组数和组距 ４．确定组限与组中值 ５．确定各组次数
100听罐头样品的净重
342.1 346.3
343.5 344.2 344.0 340.6 340.3 341.1
(y y) (y
1
y ) ( y2 y ) ( yn y )
( y1 y 2 y n ) n y
2
y ny y ny 0
y ny
(y y)
离均差的平方和最小
(y a)
2
[( y
n
s