多个样本均数比较的方差分析2010.3.29

i=1 g 2
组内离均差平方和(随机误差 组内离均差平方和 随机误差) 随机误差
SS组内 = ∑∑(Xij − Xi )
i=1 j=1 g ni 2
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SS总 = SS组间 + SS组内 ν总 = ν组间 + ν组内 ν总 = N − 1 ν组间 = g − 1 ν组内 = N − g
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mean square ，MS
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试验效应： 试验效应：小鼠体重增加量
二、方差分析的基本思想(单因素) 方差分析的基本思想(单因素) 组间变异 总变异 组内变异
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三组战士行军后体温增加数(℃ 三组战士行军后体温增加数 ℃) 不饮水 定量饮水 不限量饮水 1.9 1.4 0.9 1.8 1.2 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.4 1.1 1.5 1.1 0.9 1.6 1.3 0.9 1.3 1.1 0.8 1.4 1.0 1.0 Xi 1.6 X总 = 1.23 1.2 0.9 i=1, 2, ··· , g j=1, 2, ··· , n
F0.01(3,116) = 3.98
结论: 水平， 结论:按α=0.05水平，拒绝 0，接受 1，认为 水平 拒绝H 接受H 四组均数的差异有统计学意义 ，不同剂量药 物对血脂中低密度脂蛋白降低有影响。 物对血脂中低密度脂蛋白降低有影响。 低密度脂蛋白降低有影响
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注意: 注意 当拒绝H 接受H 当拒绝 0，接受 1，不能说明各组总体均 数两两间都有差别， 数两两间都有差别，要进行多个均数间多 重比较。 重比较。
ν1 = ν组间 ν2 = ν组内
单侧
F > F .05,ν1 ,ν2， < 0.05 P 。 0
说明处理因素对实验结果有影响
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三、应用条件
1.各样本是相互独立的随机样本； 各样本是相互独立的随机样本； 各样本是相互独立的随机样本 2.各样本数据均服从正态分布； 各样本数据均服从正态分布； 各样本数据均服从正态分布 3.相互比较的各样本的总体方差相等， 相互比较的各样本的总体方差相等， 相互比较的各样本的总体方差相等 即方差齐性(homogeneity of variance)。 即方差齐性 。
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不同药物作用后小白鼠肉瘤重量(g) 不同药物作用后小白鼠肉瘤重量
区组 1 2 3 4 5
n
A药 药 0.82 0.73 0.43 0.41 0.68 3.07 0.614 2.0207
B药 药 0.65 0.54 0.34 0.21 0.43 2.17 0.434 1.0587
C药 药 0.51 0.23 0.28 0.31 0.24 1.57 0.314 0.5451
MS组间 = SS组间 / ν组间 MS组内 = SS组内 / ν组内
组间变异 MS组间 F= = ≥１ １ 组内变异 MS组内
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如果处理因素无作用： 如果处理因素无作用： 组间变异＝ 组间变异＝组内变异 F =１ １ 如果处理因素有作用： 如果处理因素有作用： 组间变异＞ 组间变异＞组内变异 F ＞１ F界值表 (附表 界值表 附表 附表3)
编 号 随机数 序 号 结果
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … 119 120 220 634 16 甲 75 丙 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 24 甲 106 丁 39 乙 15 甲 3 甲 114 丁 13 甲 109 108 117 丁 丁 丁
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单因素实验 研究一种降血脂新药的临床疗效 研究对象：高血脂病人 研究对象：高血脂病人(120例) 例 处理因素： 处理因素：降血脂药物 服降血脂新药2.4g组 水 平：服降血脂新药 组 服降血脂新药4.8g组 服降血脂新药 组 服降血脂新药7.2g组 服降血脂新药 组 安慰剂组 试验效应：低密度脂蛋白测量值(mmol/L) 试验效应：低密度脂蛋白测量值
1~30 甲
31~60 乙
61~90 丙
91~120 丁
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4个处理组低密度脂蛋白测量值
低密度脂蛋白测量值(mmol/L) 分 组 低密度脂蛋白测量值
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 降血脂新 药2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 组 降血脂新 2.86 2.28 2.39 2.28 药4.8g组 组 降血脂新 0.89 1.06 1.08 1.27 药7.2g组 组
84Biblioteka 处理组低密度脂蛋白测量值低密度脂蛋白测量值(mmol/L) 分 组 低密度脂蛋白测量值
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 降血脂新 药2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 组 降血脂新 2.86 2.28 2.39 2.28 药4.8g组 组 降血脂新 0.89 1.06 1.08 1.27 药7.2g组 组
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例：比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果 处理因素：抗癌药物（ 、 、 ） 处理因素：抗癌药物（A、B、C） 实验对象及例数：染肉瘤小白鼠15只 实验对象及例数：染肉瘤小白鼠 只 实验效应： 实验效应：肉瘤重量 控制因素： 控制因素：小白鼠体重 实验设计： 实验设计：随机区组设计 方法：将体重相近的3只小白鼠配为一个区 方法：将体重相近的 只小白鼠配为一个区 个区组； 组，共5个区组；在区组内随机分配 个区组 处理因素。 处理因素。
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第一节 方差分析的基本思想和应用条件
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一、名词解释
处理因素和 处理因素和水平 研究者对研究对象人为地施加某种干预措施， 研究者对研究对象人为地施加某种干预措施， 称为处理因素(factor)或实验因素； 或实验因素； 称为处理因素 或实验因素 处理因素所处的不同状态称为水平(level)。 处理因素所处的不同状态称为水平 。 处理因素的水平数≥2，即实验的组数。 处理因素的水平数 ，即实验的组数。
2
Ronald Aylmer Fisher 爵士（ 爵士（1890～1962）是 ～ ） 现代统计学的奠基人之 一。 他年青时在剑桥大 学主修数学，研究误差 学主修数学， 理论、 理论、统计力学和量子 理论。 理论。 他对统计理论与方法的 主要贡献： 主要贡献：相关系数的 抽样分布、方差分析、 抽样分布、方差分析、 实验设计原则。 实验设计原则。
SS总 = ∑∑x − c = 958.52 − 876.42 = 82.10
i =1 j=1 2 ij
g
ni
ν = n − 1 = 120 − 1 = 119
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SS组间 = ∑
i=1 2
g
(∑xij )
j=1
ni
2
ni
2
−C
2 2
102.91 + 81.46 + 80.94 + 58.99 = − 876.42 = 32.16 30 ν组间 = g −1 = 4 −1 = 3
多个样本均数比较的 方差分析
Analysis of Variance
1
方差分析由R.A.Fisher(英)首创，又称F检验 英 首创 又称F 首创， 方差分析由 缩写： 缩写：ANOVA 用途 比较某实验(处理)因素不同水平样本均 数间差别有无统计学意义， 数间差别有无统计学意义，从而说明该实验 因素某水平是否有作用的方法。 因素某水平是否有作用的方法。 种类 根据实验因素的数量分为： 根据实验因素的数量分为： 单因素方差分析 单因素方差分析 多因素(两因素及以上 两因素及以上)方差分析 多因素 两因素及以上 方差分析
SS组内 = SS总 − SS组间 = 82.10 − 32.16 = 49.94 ν组内 = N − g = 120 − 4 = 116
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方差分析表 MS F P 变异来源 SS ν 82.10 119 总 32.16 3 10.72 24.93 ＜0.01 组间 组内 49.94 116 0.43 附表4 附表
n Xi
2.72 2.70 1.97
ΣX
81.46 80.94 58.99
Σ X2
367.85 233.00 225.54 132.13
958.52
… … … …
2.59 30 2.31 30 1.68 30 3.71 30
3.43 102.91
合 计
120 2.70 324.30
Xij=µ+Ti+eij
0.9
处理因素： 处理因素：饮水方式
水平数=3 水平数
6
单因素实验 实验中的处理因素只有一个， 实验中的处理因素只有一个，这个处理因素 包括g(g≥2)个水平，分析不同水平实验结果的 个水平， 包括 个水平 差别是否有统计学意义。 差别是否有统计学意义。 多因素实验 实验中的处理因素≥2，各处理因素的水平≥2 实验中的处理因素 ，各处理因素的水平 ，分析各处理因素各水平的实验结果有无差 有无交互作用。 别、有无交互作用。
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第二节 完全随机设计资料的方差分析
20
一、完全随机设计 completely random design
甲处理（ 甲处理（n1） 试验对象 （N） ） 随机化分组 乙处理 （n2） 丙处理（ 丙处理（n3） M 各组例数可以相等或不等
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为了研究一种降血脂新药的临床疗效, 例 为了研究一种降血脂新药的临床疗效 按 统一纳入标准选择120名患者 名患者, 统一纳入标准选择 名患者 采用完全随机 设计方法将患者等分为4组进行双盲试验 组进行双盲试验。 设计方法将患者等分为 组进行双盲试验。 完全随机设计分组结果
SS组间 ν组间
SS组内 ν组内
MS组间 MS组内
组 内
SS总 − SS组间
g ni
C = (∑∑Xij )2 / N 校正数:
i =1 j=1