两样本均值比较共21页
两样本均数的比较可用
两样本均数的比较可用在统计学中，比较两个样本的均数是一项常见且重要的任务。
这种比较能够帮助我们了解两组数据之间的差异，从而为决策提供依据。
首先，让我们来理解一下什么是样本均数。
简单来说，均数就是一组数据的平均值。
比如，我们有一组数字 10、20、30、40、50，那么这组数据的均数就是（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30 。
而样本均数呢，就是从总体中抽取的一部分样本数据的平均值。
那为什么要比较两样本均数呢？想象一下，我们想要研究两种不同药物对治疗某种疾病的效果。
我们给一组患者使用药物 A ，给另一组患者使用药物 B ，然后分别测量他们的康复时间。
通过比较这两组患者康复时间的样本均数，我们就能初步判断哪种药物可能更有效。
比较两样本均数的方法有很多，其中比较常用的是t 检验和z 检验。
t 检验适用于样本量较小（通常 n ＜ 30 ）且总体方差未知的情况。
它通过计算 t 值来判断两个样本均数之间的差异是否具有统计学意义。
比如说，我们想比较两组学生的数学考试成绩，每组只有 20 个学生。
我们先计算出两组成绩的均数和标准差，然后代入 t 检验的公式，得到t 值。
再根据自由度和预先设定的显著性水平（比如 005 ），查 t 分布表，就能确定这个 t 值是否达到了显著差异。
z 检验则适用于样本量较大（通常n ≥ 30 ）或者总体方差已知的情况。
它的原理和 t 检验类似，但是计算过程相对简单一些，因为不需要考虑自由度的问题。
不过，在进行两样本均数比较之前，还有一些重要的前提条件需要满足。
一是独立性。
也就是说，两组样本中的数据应该是相互独立的，一个样本中的数据不会影响到另一个样本的数据。
二是正态性。
通常要求样本数据来自于正态分布的总体。
虽然在样本量较大的情况下，这个条件可以适当放宽，但对于小样本，正态性的要求就比较严格了。
三是方差齐性。
即两组样本的总体方差应该相等。
如果方差不齐，可能需要对数据进行转换或者使用其他特殊的检验方法。
连续变量的两样本课件平均水平比较
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我们这个世界，从不会给一个伤心的 落伍者 颁发奖 牌。。2 0.8.112 0.8.110 7:51:08 07:51:0 8Augus t 11, 2020
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没有承受困难的能力，就没有希望了 。
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在漫长的人生旅途中，有时要苦苦撑 持暗无 天日的 境遇； 有时却 风光绝 项，无 人能比 。。202 0年8月 11日上 午7时5 1分20. 8.1120. 8.11
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一个成功的决策，等于90%的信息加 上10%的 直觉。 。2020 年8月1 1日星 期二7时 51分8 秒Tuesday, August 11, 2020
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幸运之神会光顾世界上的每一个人， 但如果 她发现 这个人 并没有 准备好 要迎接 她时， 她就会 从大门 里走进 来，然 后从窗 子里飞 出去。 。20.8.1 12020 年8月11 日星期 二7时5 1分8秒 20.8.11
n1 n2 2
n1 n1
两样本进行t检验举例
❖ 两样本标准误
s X1 X2
与H0是否为真无关
❖ X1 X2 是两个总体均数之差的点估计，因此当
H0： µ1=µ2成立时，X1 X2 在大多数情况下非常小 或较小，故t检验统计量较小或比较小。
反之，当H1：µ1µ2，在大多数情况下 X1 X2 较大或很大，所以t检验统计量比较大或很大。
❖两样本 t 检验，其假设一般为：
H0：µ1=µ2，即两样本来自的总体均数相等， H1：µ1µ2，即两样本来自的总体均数不相等，
检验水准为0.05。
两样本进行t检验举例
❖ 两样本t检验统计量
2021年全国企业员工全面质量管理知识竞赛题库(试题及答案)
B.绩效矩阵
C.重要度-绩效分析
D.矩阵数据分析法
正确答案：C
质量方针是一个组织总的质量宗旨和方向，应由组织的（）批准发布。
A.上级机关
B.最高管理者
C.质量管理办公室主任
D.总工程师
正确答案：B
设10个数据的均值为9.26，如今又得第11个数据为9.92，则此11个数的均值为（）
A.9.23
D.定点、定人、定方法
正确答案：B
在DMAIC方法论中，通常要用实验设计DOE的阶段是（）
A.测量阶段
B.分析阶段
C.改进阶段
D.控制阶段
正确答案：C
“利用输入实现预期结果的相互关联或相互作用的一组活动’描述的是（）
A.产品
B.过程
C.程序
D.体系
正确答案：B
关于品牌的描述，正确的是（）
A.品牌是指产品品牌
A.以顾客为关注焦点
B.领导作用
C.全员积极参与
D.过程方法
正确答案：C
选定标杆项目时，以下能体现所选项目本身可实现的要素是（）
A.具有战略价值
B.行业最佳实践
C.高层领导参与
D.具有改进潜力
正确答案：D
在选择质量改进项时，需要综合考虑质量绩效水平和重要度两方面因素，以确定改进的优先顺序，以下（）工具可帮助我们解决此问题。
B.LeTCI（水平－趋势－对比－整合）
C.SWOT（优势－劣势－机会－威胁）
D.PDCA（策划－实施－检查处置）
正确答案：D
优秀的质量文化能够把员工个人的价值观和目标引导到组织的价值观和总体目标上来，引导全体人员自觉地为实现目标质量、提升组织质量竞争力作出努力。这体现了质量文化的（）
两均数比较
n1 n2
• 两组例数相同，可用下列公式
t
X1 X2 0.642 S12 S22
n1 n2 2
n
38
检验步骤3-确定P 值，下结论
t0.05/ 2,38 2.024 | t |
P 0.05
• 结论：在α＝0.05水准处，不拒绝H0，两 组总体均数的差异无统计学意义，尚不能 认为两组药物治疗后降糖效果不同。
• 检验统计量的计算公式：
t X 0
S/ n
n1
t 130.83 140 2.138 36 1 35
25.74 / 36
检验步骤3-确定P 值，下结论
• P 值的含义： 从H0规定的总体随机抽样，其检验统计量等
于及大于现有样本获得的检验统计量值的概率。 • P值与α的关系：
P≤α，则拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义 P>α，则不拒绝H0，差异无统计学意义
60.99
11
S X1 X2
60.99 ( ) 2.0023 29 32
29 32 2 59
t0.05/ 2,60 2.000
(20.10 16.89) 2.000 2.0023 (0.79,7.21)
可信区间的确切含义
如果能够进行重复抽样试验，平均有1-α的
可信区间包含了总体参数，而不是总体参数落在
统计结论专业结论有意义无意义有意义符合客观的结论设计存在问题样本含量过大无意义设计存在问题样本含量不足符合客观的结论统计结论与专业结论一致性问题考虑可信区间不仅能回答差别有无统计学意义还能提供更多的的量化信息
表3-1 100个随机样本的均数和标准差
样本号 1 2 3
…… 98 99 100
均数 167.41 165.56 168.20
R的两均值比较检验（非参数检验）
R的两均值⽐较检验（⾮参数检验）1.两独样本参数的⾮参数检验1.1.Welcoxon秩和检验先将两样本看成是单⼀样本（混合样本）然后由⼩到⼤排列观察值统⼀编秩。
如果原假设两个独⽴样本来⾃相同的总体为真，那么秩将⼤约均匀分布在两个样本中，即⼩的、中等的、⼤的秩值应该⼤约被均匀分在两个样本中。
如果备选假设两个独⽴样本来⾃不相同的总体为真，那么其中⼀个样本将会有更多的⼩秩值，这样就会得到⼀个较⼩的秩和；另⼀个样本将会有更多的⼤秩值，因此就会得到⼀个较⼤的秩和。
R：wilcox.test##################独⽴样本的曼-惠特尼U检验Forest<-read.table(file="ForestData.txt",header=TRUE,sep=" ")Forest$month<-factor(Forest$month,levels=c("jan","feb","mar","apr","may","jun","jul","aug","sep","oct","nov","dec"))Tmp<-subset(Forest,Forest$month=="jan" | Forest$month=="aug")wilcox.test(temp~month,data=Tmp)Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: temp by monthW = 2, p-value = 0.01653alternative hypothesis: true location shift is not equal to 01.2.K-S检验##################独⽴样本的K-S检验x1<-subset(Forest,Forest$month=="jan")x2<-subset(Forest,Forest$month=="aug")ks.test(x1$temp,x2$temp)Two-sample Kolmogorov-Smirnov testdata: x1$temp and x2$tempD = 0.99457, p-value = 0.03992alternative hypothesis: two-sided1.3.两配对样本分布###############配对样本的Wilcoxon符号秩检验ReportCard<-read.table(file="ReportCard.txt",header=TRUE,sep=" ")ReportCard<-na.omit(ReportCard)wilcox.test(ReportCard$chi,ReportCard$math,paired=TRUE)sum(outer(ReportCard$chi,ReportCard$math,"-")<0)sum(outer(ReportCard$math,ReportCard$chi,"-")<0)Wilcoxon signed rank test with continuity correctiondata: ReportCard$chi and ReportCard$mathV = 1695.5, p-value = 8.021e-11alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0>> sum(outer(ReportCard$chi,ReportCard$math,"-")<0)[1] 332> sum(outer(ReportCard$math,ReportCard$chi,"-")<0)[1] 30262.两样本均值置换检验我们在实验中经常会因为各种问题（时间、经费、⼈⼒、物⼒）得到⼀些⼩样本结果，如果我们想知道这些⼩样本结果的总体是什么样⼦的，就需要⽤到置换检验。
第五章均值比较与检验详解演示文稿
第二十二页，共48页。
H0
5.3 单样本T检验
1、单样本T检验目的和步骤
（1）单样本T检验的目的 单样本T检验的目的是利用来自某总体的样本数据，推断该总 体的均值是否与指定的检验值之间存在显著性差异。它是对 总体均值的假设检验。
例如，从新生的入学成绩的抽样数据推断平均成绩是否为75分； 在人口普查中，某地区职工今年的平均收入是否和往年的平均收 入有显著差异。
H0
5.3单样本T检验
2、单样本T检验的操作界面
从候选变量框中选择要进行T检验的变 量移入此框中，可同时选择多个变量， 此时，SPSS就将分别产生多个变量的 T检验分析结果。
在此框中输入检验值，即检验与什么 值有无显著性差异。
第二十七页，共48页。
图5-3
单击该按钮 弹出Option对话框，该对话框用 于指定置信水平和缺失值的处理方法
p 0.5
H1
5
第五页，共48页。
H0
5.1 统计推断与假设检验
2、假设检验的几个概念 (2)假设检验的两类错误
➢ 第一类错误：在假设检验中拒绝了本来是正确的零 假设，称为“弃真”错误 。
➢ 第二类错误：在假设检验中没有拒绝本来是错误的零
假设，称为“取伪”错误 。
6
第六页，共48页。
H0
5.1 统计推断与假设检验
18
第十八页，共48页。
H0
5.2 Means过程
3、实例分析
➢结果分析
19
第十九页，共48页。
H0
5.2 Means过程
3、实例分析
➢结果分析
表5.4是性别的单因素方差分析，在下一章会详细介绍方差分析，此处不再详细 讲述。表中的Sig.值远大于0.05，说明不同性别受教育的人口数量没有显著性差 异。
两种不同抽样方式下样本均值的数学期望和方差的比较
Ｅ ）Ｅ１ ＝ 毫（） （ ： （ ＝ － ）１Ｅ ＝ （ ｉ Ｅ ） ， 砉
但 ，差 没 这 好 结 了 ＝ 砉 的 差 以 过 下 方 来 是方 就 有 么 的 果 ， 置 方 可 通 如 的 法 求
（ ６ ） （ ７ ）
Ｄ ） （砉）ｌＤ ） 吾ｖ ， ， （ ＝ １ ＝ （ ＋ ｃ ） ｉ Ｄ 。 ｇ 砉 （
这 些统 计量 的数 字特征 的计 算又 是非 常必要 的。特别 是 样本 均 值 的数学 期 望 和方 差 的计 算 。一 般来 说 ， 从 总体 中抽样 的方式 不 同 ， 会影 响到 样本 均值 的数学 期望 和方 差 ， 了在 一种 特殊 的抽样 方式 之下也 能求 出样 为 本 均值 的数 学期 望和方 差 ， 我们先 来证 明一 个 引理 。
２
＝
一
２
：
（０， － ２ ）
即 有
Ｄ Ｄ ） ｃ （ ＝ ＝
４ 结 论
（） 。
（ ８ ）
通讨 将 （ ） ７ 的 比较 ． ５ 与（ ） 我们 看到 ， 当抽样 方 式 为无 放 回 的时候 ， 本 均 值 的期 望 不 变 ， 方 差 发生 了 样 但
第 ８期
。
为样 本 均值 ， 由于 Ｘ ， ｚ … ， 相 互 独 立 ， －Ｘ ， ￣ｇ Ｎ ， ｔ Ｎ＃ Ｎ ， 而 ， ＋ Ｃｌ ， 从 样
本均值 的数学 期望 和方差 分别 为
Ｅ ） Ｅ ÷ ） ＿２ （。＝ （ ＝ｔ （ ： （ ｉ ＝＝ ， Ｘ） Ｅ ） Ｉ １ Ｅ ＿ ，
：ｌ 。 ｉ ｌ ＝
参考文献 ：
［ ］ 李 贤平．概率论基础 ［ ． １ Ｍ］ 北京 ： 高等教育 出版社 ，９７ １８． ［ ］ 同济大学应用数学系．工程数学概率统计 简明教程 ［ ．北京 ： ２ Ｍ］ 高等教育 出版社 ，０ ３ ２０ ．
第二章两组样本平均值比较
1-1. 資料描述－PROC UNIIVARIATE 的應用：
以腎臟科的資料庫為例，我們想要了解不同洗腎型態病人其生化值的描述性 統計量，可以藉由【程式 01-1】PROC UNIVARIATE 語法獲得各組別病人在各種生化 值上詳細的統計量。其中腹膜透析(treat=0)病人的白蛋白數值(Albumin)的描述性統 計量如圖 01-1 所示。
1-2. 資料描述－PROC MEANS 應用：
另一種呈現描述性統計量的方式，是使用【程式 01-2】PROC MEANS 語法獲得 比較精簡的摘要描述性統計量，輸出結果如圖 01-2 所示。在報表中，可以一目瞭 然地得知不同洗腎型態病人各種生化值的摘要統計量，例如平均值(mean)、標準差 (std deviation)、中位數(median)、四分位距(interquartile range)。
Median (25 pctl - 75th pctl)
th
p-value 0.261T 0.519W 0.889T 0.250W
2.60 (2.10 - 2.90) 4.30 (3.60 - 4.90) 8.50 (7.95 - 9.25) 4.45 (3.60 - 6.10)
2.70 (2.10 - 3.10) 4.30 (3.50 - 5.50) 8.80 (7.95 - 9.35) 4.40 (2.90 - 5.75)
T
HD N 67 67 64 56 Mean ± SD 2.63 ± 0.67 4.66 ± 1.46 8.70 ± 1.01 4.43 ± 2.11 Median (25 pctl - 75th pctl)
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復習
Z
X
n
(XZ 2
n,XZ2
) n
• 小樣本μ1-μ2之抽樣分配
– σ1 , σ2未知但不相等
• t檢定：--不須計算Sp；以S1，S2代替σ1 , σ2
• Cochran折衷法
t t1SX21 t2SX22
tn11
S12 n1
tn21
S22 n2
S2 X1
Var
D
S
2 D
2
n
D
D
SD n
tn 1
D SD
D
n
D 1 2
C . I . D
t
2 , n 1
SD n
• Example：
– 某一藥劑研究員欲研究某種藥丸是否如預期降低血壓，研究人員 先記錄15名女性的血壓，在服用6個月之後再檢測血壓，得下列 資料
• Example：
– 為進行一項研究，選出25乳牛，比較兩種飼料的效果，一為脫水 牧草，另一為枯萎牧草。隨機選出12頭餵食脫水牧草，另外13頭 餵食枯萎牧草。其牛乳產量如下表。μ1、μ2為常態分配，且有相 同的變異數，試求：﹙α=0.05﹚
• 請檢定兩種牧草的效果是否相同。 • μ1-μ2之95%信賴區間。(-4.02 , 9.82)
• 小樣本μ1-μ2之抽樣分配
– σ1 , σ2未知但相等
• t檢定：
t X 1 X 2 1 2
S
2 p
S
2 p
n1 n2
S
2 p
n1
1S
2 1
n2
1S
2 2
n1 1 n2 1
X1X2
• 信賴區間：
X 1X 2t 2,n 1 n2 2 X 1X 2
牛奶產量表
A牧草 n1=13 平均數45.15 均方63.97
B牧草 n2=12 平均數42.25 均方76.39
• Example：
– 欲檢測肥沃土壤與貧脊土壤的某微量元素含量是否相 同，試檢測兩土壤之該元素含量有無差異。
沃土
脊土
5.9
7.6
3.8
1.4
6.5
1.1
18.3
3.2
16.2
5.5
16.1
SX22
S12 S22
n1 n2
• If t>t’(σ/2) then reject H0
• Example：(Sp)
– 為了比較A、B兩種咖啡中的咖啡因含量，從A咖啡中 抽取10樣本，測得咖啡因含量為3.1毫克，標準差為0.5 毫克。自B中抽取8個樣本，其平均值為2.7毫克，標準 差為0.7毫克，假設兩組樣本變異數相同，求兩A、B母 體平均數差的95%信賴區間。(-0.2 , 1)
• 1.虛無假設及對立假設 • 2.檢定此藥丸是否有降低血壓之功用(reject H0) • 3.1-2之95％信賴區間(2.72 , 14.88)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
前 70 80 72 76 76 76 72 78 82 64 74 92 74 86 84
– 陳述一項處理的基本單位，或稱受測者(experimental subjects)
• 反應(response)：
– 被實驗者在一處理後的特徵。
獨立與成對
• 獨立樣本(independent sample)：
– treatment 1 & treatment 2 不相關。
• 成對樣本(paired sample) or (matched sample)：
– 受測者成對抽取，每對中的各元素性質相近。
二個獨立樣本平均數差的統計推論
• X1與X2是來自兩個母體的獨立樣本，其統計量： X1,X2,s12,s22
• X1 X2的抽樣分配
EX1X2 12 X1X2
VaX r1X2
2
2
1 2
n1 n2
4.1
7.6
成對樣本平均值檢定 （paired t-test）
• 實驗設計需要兩處理的基本條件相似。
– 成對（match）或區集 （block）
• 當兩樣本來自於相同環境。
D X1 X2
D
1
n
Di
n i1
S
2 D
1 n 1
n i 1
Di D
2
E D D
• Example：(單尾)
– 從A城市湖水中抽取85個樣本得到其湖水的鹽分含量18.3，標準差 1.2。從B城市湖水中抽取110個樣本得到其湖水的鹽分含量17.8， 標準差1.8。請檢定A城市湖泊鹽分是否高於B城市湖泊鹽量。 (α=0.05)(reject H0)
• Example：
– 與比較A、B兩個社團中女性第一次結婚的年齡，由此 兩社團中隨機抽出各100位已婚女性，紀錄第一次結婚 的年齡，A社團為20.7歲，標準差6.3；B社團18.5，標 準差5.8。試求μ1-μ2之95%信賴區間。(0.52 , 3.88)
後 68 72 62 70 58 66 68 52 64 72 74 60 74 72 74
• Example：
– 今欲比較洗腎病人透析前後重之差異是否不同，隨機 抽取六位病人得下表資料：
• 1.虛無假設及對立假設 • 2.檢定透析前後體重是否不同(reject H0) • 3.1-2之95％信賴區間(1.56 , 4.86)
兩樣本均值的比較
兩種處理方法的比較
Sample1 Sample2
Population
•Example： •常遇到的問題
•1.新舊比較效果比較。 •2.兩不同品種產量比較。
•3.A與B事Βιβλιοθήκη 比較。名詞解釋• 處理(treatment)：
– 欲做比較的事實。有吃藥/無吃藥；對象的種類。
• 實驗單位(experiment unit)：
X1X2
兩樣本均值差的抽樣分配
• 大樣本μ1-μ2之抽樣分配 • Z檢定：
Z X1 X2 1 2 S12 S22 n1 n2
• 信賴區間：
X 1X2Z X1X2 2
• Example：(sσ)
– 醫院比較A、B兩病房住院病人的平均住院天數，隨機抽取A病房 64個病例，平均數6.54天，標準差1.2。隨機抽取B病房，81個病 例，其平均數為6.24天，標準差為0.96。問兩病房平均住院天數 差的95%信賴區間。(-0.06 , 0.6607)