平均数和变异数
变异系数概念和计算公式
变异系数概念和计算公式
变异系数是一个标志个体差异程度的统计指标，也叫变异度、变异率
或变异比例。
它表示样本变异数据的程度，它可以反映抽样结果分散程度，便于我们对样本数据的分析和统计处理。
变异系数是以单位标准差为基础，用百分比形式表示样本值离散程度
的统计量，可以用以下公式计算：
变异系数=标准差÷平均数×100％
例如，我们有一组样本数据，样本值为9、8、4、2，那么变异系数
的计算过程为：先求出样本的平均数，即(9＋8＋4＋2)÷4＝5.75；求出
每个样本值与均值之差的平方和，即（9-5.75)2＋(8-5.75)2＋(4-5.75）
2＋(2-5.75)2＝29.25；求出样本方差，即s2=29.25÷4＝7.31；求出标
准差，即s=√7.31＝2.71；最后求取变异系数
变异系数是个体差异程度的统计指标，可以用它来衡量实际值占理论
值的比例，它反映独立样本值分散程度的大小，反映一个样本组中各种试
验结果之间的差异程度。
变异系数越大，说明样本结果的分散程度就越大，可以看出样本值之间的差距；变异系数越小，说明样本值之间的分散程度
越小，样本值差距越小。
一般来说，取样个体特征差别越小。
平均数、变异数、t检验
s (y y)2 n 1
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例 在同一稀释度的9个培养皿中，计算出微生物数量分别为148、
92、115、132、89、108、160、127、86（单位：个）。试 计算其标准差。
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表达方法
表格中： Means ±SD
Means (SD)
R=ymax-ymin
特点：有单位，一个值（表述较偏差简单）
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例 在同一稀释度的9个培养皿中，计算出微生物数量分别为148、
92、115、132、89、108、160、127、86（单位：个）。试 计算其极差。
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第三节 变异数
三、方差
离差平方和
每一个观察值均有一个偏离平均数的度量指标—离均差，但各个离均差的
2 计算方法
G n y1 y2 y3 yn ( y1 y2 y3 yn )1/n
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例 在同一稀释度的9个培养皿中，计算出微生物数量分别为148、
92、115、132、89、108、160、127、86（单位：个）。试 计算其几何平均数。
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第二章
比较甲、乙两个小组（各5人）某门课成绩 的优劣。
图中： 误差线：正、负、正负
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第三节 变异数
五、标准误 Standard error (SE)
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第三节 变异数
Adapted from: Jacobs et al. 2005. Relative contribution of initial root and shoot morphology in predicting field performance of hardwood seedlings. New Forests, 30: 235-251.
均值和变异系数标准差的关系
均值和变异系数标准差的关系
均值和变异系数是两个不同的概念。
均值是一组数据的平均值，而变异系数是标准差与平均数的比值，用于消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
在统计学中，标准差是衡量数据分散程度的一种方法，而均值则是反映数据集中程度的一种方法。
当数据分布不均匀时，标准差较大，而均值较小；当数据分布较均匀时，标准差较小，而均值较大。
因此，标准差和均值之间存在着一定的关系。
变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
它是一种无量纲的指标，可以用来比较不同数据集之间的波动大小。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
平均数、标准差与变异系数的意义
平均数、标准差与变异系数的意义
• 自由度 (degree of freedom) ：统计学借此 来反映一批变量的约束条件。
“权”，加权法也由此而得名。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算离散型频数资料的平均数时，
k
( fx )i
x i1 N
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f）， k为组数。
平均数、标准差与变异系数的意义
• 在计算连续型频数资料的平均数时，
k
( fm )i
x i1 N
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
• 例如一个有 5 个观察值的样本，因为受 到统计数的约束，在5个离均差中，只有4 个数值可以在一定范围内自由变动取值， 而第五个离均差必须满足这一限制条件。
• 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于观
察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k ) ，
即 DF ＝ n － k 。
平均数、标准差与变异系数的意义
平均数、标准差与变异系数的意义
（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常 数，标准差的值不变；
(三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标 准差是原来标准差的a倍．
平均数、标准差与变异系数的意义
样本的方差为 总体的方差为
平均数、标准差与变异系数的意义
• 变异系数是标准差与平均数的比， 记为CV。
cvsx100%
• 两个小麦品种株高变异的比较
《平均数和变异数》课件
平均数的应用场景
统计分析：用于描述一组数据的中心趋势 质量控制：用于评估产品质量的稳定性 绩效评估：用于评估员工的工作表现 市场调研：用于分析消费者偏好和需求
03
变异数
变异数的定义
变异数是描述一组数据离散程度的统计量 变异数越大，表示数据越分散 变异数越小，表示数据越集中 变异数常用于比较两组数据的离散程度
平均数和变异数在商业分析中的应用案例
平均数：用于衡量公司业绩、员工绩效等指标 变异数：用于评估公司风险、员工稳定性等指标 平均数和变异数结合：用于分析公司整体运营情况，如销售业绩、成本控制等 平均数和变异数在商业决策中的应用：如市场定位、产品定价、营销策略等
平均数和变异数在科学研究中的应用案例
如何理解平均数和变异数的关系
平均数：描述一组数据的中心趋势，反映数据的平均水平
变异数：描述一组数据的离散程度，反映数据的分散程度
关系：平均数和变异数是描述一组数据的两个重要指标，它们可以相互补充，共同反映数据 的整体特征
应用：在数据分析、统计推断、决策制定等方面，平均数和变异数都是重要的参考指标
平均数和变异数在数据分析中的作用
平均数： 在数据量 较大时， 能更好地 反映数据 的整体水 平
变异数： 在数据量 较小时， 能更好地 反映数据 的波动程 度
如何根据实际情况选择使用平均数或变异数
单击此处添加项标题
平均数：适用于描述一组数据的中心趋势，如平均身高、 平均收入等
单击此处添加项标题
变异数：适用于描述一组数据的离散程度，如考试成绩的 变异数、股票价格的变异数等
04
平均数和变异数的 关系
平均数和变异数的关系
平均数是描述数据集中趋势的统计量，变 异数是描述数据集中离散程度的统计量。
平均数、变异数
组
140行水稻产量的次数布表
限 组中点值(y) 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 225 次数(f) 2 7 7 13 17 20 25 21 13 9 3 2 1 140 67.5-82.5 82.5-97.5 97.5-112.5 112.5-127.5 127.5-142.5 142.5-157.5 157.5-172.5 172.5-187.5 187.5-202.5 202.5-217.5 217.5-232.5 232.5-247.5 247.5-262.5 合计
2 2
n
计算公式：
S 2 SS /(n 1)
df=n-1=5-1=4 注意：样本方差不用 n 来除，而用 n-1来除，n-1称为样本方差的自由
度（degree of freedom，df or DF or ） 因为大多数情况下 y 根据平均数的第二个重要特性： ( y )2 ( y y )2
个性质知道：
为了解决资料中所有观测值的离均差正负抵消的问题，采用先平方 数多。
后再相加的办法。
离均差平方和：
( y y ) 0 这不公平，因为II班人
SS ( y y )
2
I班
上例中：第一组数据的平方和为：SS1 = (24-25)2 + (25-25)2 +(26-25)2 = 2 第二组数据的平方和为：SS2 = (1-25)2 + (25-25)2 +(49-25)2 = 1152
白非 17% 白糯 8% 红糯 54% 红非 21%
18个 25%
17个 32%
质量性状变数资料
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i iki i i k k k 11212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i的“权”，加权法也由此而得名。
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第二节 变异数
一、极差 二、方差
三、标准差
四、变异系数
一、极 差
极差( range )，又称全距，记作R，是资料中最大观察 值与最小观察值的差数。例如调查两个小麦品种的每穗小 穗数，每品种计数10个麦穗，经整理后的数字列于表3.8。
表3.8 两个小麦品种的每穗小穗数
品种名称 每穗小穗数 总和 平均
G n y1 y 2 y3 y n ( y1 y 2 y3 y n )1/n
(3· 1)
二、算术平均数的计算方法
若样本较小，即资料包含的观察值个数不多，可直接 计算平均数。设一个含有n个观察值的样本，其各个观察 值为y1、y2、y3、…、yn，则算术平均数由下式算得：
yi y1 y 2 y 3 y n i y 1 n n
若采用直接法，y =157.47。因此，两者的结果十分相近。
三、算术平均数的重要特性
(1) 样本各观察值与其平均数的差数(简称离均差， deviation from mean)的总和等于0。即：
i 1
( yi y ) ( yi y ) 0
n
(2) 样本各观察值与其平均数的差数平方的总和，较各 个观察值与任意其他数值的差数平方的总和为小，亦即离均 差平方的总和最小。这个问题可作这样的说明，设Q为各个
表性较好。
二、方 差 离均差平方和(简称平方和)SS ----将各个离均差平方后相加 样本SS= ( yi y )
2
(3· 5) (3· 6)
总体SS= ( y i )
2
均方或方差(variance) ----用观察值数目来除平方和
s2 样本均方(mean square)用s2表示，定义为：
一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况。
平均数的种类 :
(1) 算术平均数 一个数量资料中各个观察值的总和 除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数( arithmetic mean )，记作 y 。因其应用广泛，常简称平均数或均数 (mean)。均数的大小决定于样本的各观察值。 (2) 中数 将资料内所有观察值从大到小排序，居中间 位置的观察值称为中数( median )，计作Md。如观察值个
均差为前4个离均差之和的变号数，即－(－ 2)=2。一般地，
样本自由度等于观察值的个数(n)减去约束条件的个数(k)， 即 n k 。
注：比较(3· 9)和(3· 10)，样本标准差不以样本容量n， 而以自由度n－1作为除数，这是因为通常所掌握的是样本 资料，不知 的数值，不得不用样本平均数 y 代替 。y 与
甲
乙
13 14 15 17 18 18 19 21 22 23
16 16 17 18 18 18 18 19 20 20
180
180
18
18
表3.8资料中，甲品种每穗小穗数最少为13个，最多
为23个，R=23－13=10个小穗；乙品种每穗小穗数最少
为16个，最多为20个，R=20－16=4个小穗。 可以看出，两品种的平均每穗小穗数虽同为18个， 但甲品种的极差较大，其变异范围较大，平均数的代表性 较差；乙品种的极差较小，其变异幅度较小，其平均数代
( y y) n 1
2
(3· 9)
总体标准差用表示：
( y ) N
2
(3· 10)
样本标准差是总体标准差的估计值。
(二) 自由度的意义 自由度记作DF，其具体数值则常用 表示。
统计意义：是指样本内独立而能自由变动的离均差个数。
例如一个有5个观察值的样本，因为受统计数的约束，在 5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围之内自由变动取 值，而第五个离均差必须满足。如一样本为(3，4，5，6， 7），平均数为5，前４个离差为－2 ,－1，0和1，则第5个离
2 ( y y ) i 1 n
n 1
2 总体方差用 2 表示，定义为：
2 ( y i ) 1
N
N
样本均方是总体方差的无偏估计值
为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,
其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的 公式为：
s
Q ( y i a) 2 观察值与任意数值a的差数平方的总和，即：
i 1
n
对此Q求最小值，可得使Q最小的a 值为平均数。
四、总体平均数
总体平均数用 来代表，它同样具有算术平均数所具有
的特性。
yi
i 1
N
N
(3· 4)
上式yi 代表各个观察值，N代表有限总体所包含的个体 数， y i 表示总体内各个观察值的总和。
区产量分别为20.0、19.0、21.0、17.5、18.5kg，求该品种 的小区平均产量。
y 20.0 19.0 21.0 17.5 18.5 19.2(kg ) 由(3· 2)有 y n 5
[例3.2] 利用表3.6资料计算平均每行水稻产量。
fy 2 75 7 90 1 255 22110 y 157.93( g ) n 140 140
n
(3· 2)
若样本较大，且已进行了分组(如表3.6)，可采用加权 法计算算术平均数，即用组中点值代表该组出现的观测值 以计算平均数，其公式为
f i yi fy y n fi
(3· 3)
其中yi 为第i 组中点值，fi 为第 i 组变数出现次数。
[例3.1] 在水稻品种比较试验中，湘矮早四号的5个小
第三章 平均数和变异数
第一节 平均数
第二节 变异数 第三节 理论总体(群体)的平均数和标准差
第一节 平均数
一、平均数的意义和种类
二、算术平均数的计算方法 三、算术平均数的重要特性 四、总体平均数
一、平均数的意义和种类
平均数的意义: 平均数( average )是数据的代表值，表示资料中
观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另
数为偶数，则以中间二个观察值的算术平均数为中数。
平均数的种类 : (3) 众数 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中 点值，称为众数( mode )，计作MO。如棉花纤维检验时所 用的主体长度即为众数。
(4) 几何平均数 如有n个观察值，其相乘积开n次方，
即为几何平均数( geometric mean )，用G代表。