备战高考数学第一轮复习配套课时作业 6.4 数列求和 新人教B版
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。
新高考人教B版数学理大一轮复习训练6.4数列求和(含答案解析)
6.4 数列乞降一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1. 在等差数列 { a n } 中， a 2 1, a 4 5, 则 { a n } 的前 5 项和S 5=( )A.7B.15C.20D.25a 1 a 5a 2 a 4分析a21,a 4 5S 52525 15 .答案 B．若数列 { a n 的通项公式是 a n ＝ － 1) n (3 n － 2) ，则 a 1＋a 2＋ ＋ a 10＝ ()．2 } (A ．15B ． 12C ．－ 12D ．－ 15分析设 b n ＝ n － ，则数列 { b n 是以 1 为首项， 3为公差的等差数列，所以 a 13 2 }＋ a 2＋ ＋ a 9＋ a 10＝ ( － b 1) ＋ b 2＋ ＋ ( －b 9) ＋b 10 ＝( b 2－ b 1) ＋ ( b 4－b 3) ＋ ＋ ( b 10－ b 9 ) ＝5×3＝ 15.答案 A1 1 1 13．数列 12，34，58，716， 的前 n 项和 S n 为() ．2 121．n＋ － n － 1B． n ＋ － nA1 22 22 121．n＋ － nD． n ＋ － n －1C122 2由题意知已知数列的通项为1 分析21 21 121－2n ＋ n －n122则 S n ＝ 2＋1 ＝n ＋1－2n .1－2答案 C．已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝1，若前 n 项和为，则项数 n 为410n ＋ n ＋1() ．A ．11B ． 99C ．120D ． 121分析∵ a n＝1＝n＋－n，∴ S n＝a1＋ a2＋＋ a n＝(－＋( 3n＋ n＋11 2 1)－2)＋＋(n＋－n＝n＋－令n＋－＝，得 n＝120.1)1 1. 1 110答案C15.已知数列 { a n} 的通项公式为 a n＝2n＋1，令 b n＝n( a1＋a2＋＋ a n) ，则数列 { b n} 的前 10 项和 T10＝()A．70B．75C．80D．85分析由已知 a n＝2n＋ 1，得 a1＝ 3， a1＋a2＋＋ a n＝＋2n＋＝n(n ＋2) ，2n10＋＝75，应选 B则 b ＝n＋2，T ＝2.答案B6．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝an2＋ bn( a、b∈R)，且 S25＝100，则 a12＋ a14等于()A．16B．8C．4D．不确立分析a n n2a、 b∈，可得数列a n是等差数列，由数列 {}的前 n 项和 S＝an ＋bn R){}(S25＝a1＋ a25＝100，解得 a1＋ a25＝8，所以 a1＋a25＝a12＋ a14＝8.2答案 B7．若数列 {a n为等比数列，且a1＝，q＝，则 T n＝1＋1＋＋1的结果}12a1 a2a2a3a n a n＋1可化为 () ．11 A．1－4n B．1－2n 2121 C. 3 1－4n D.3 1－2n分析a n＝n－ 1，设 b n＝1 1 2n－1 1 1312n2＝2，则 T n＝b1＋b2＋＋ b n＝＋＋＋2a n a n＋1 2 2111－n21－ 124＝1＝3 1－4n .1－4答案 C 二、填空题8．数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝1，其前 n 项之和为 10，则在平面直角n ＋ n ＋ 1坐标系中，直线 ( n ＋1) x ＋y ＋n ＝0 在 y 轴上的截距为 ________．分析 由已知，得 a n ＝ 1＝ n ＋1－ n ，则n ＋ n ＋1S n ＝ a 1＋a 2 ＋ ＋ a n ＝( 2－ 1) ＋( 3－ 2) ＋ ＋ ( n ＋1－ n) ＝ n ＋ 1－ 1，∴ n ＋ 1－ 1＝ 10，解得 n ＝120，即直线方程化为 121x ＋y ＋120＝ 0，故直线在 y 轴上的截距为－ 120.答案 －120n22 2 9．等比数列 { a } 的前 n 项和 S ＝2 －1，则 a 1＋a 2＋ ＋ a ＝________.n nn分析当 n ＝ 1时， a 1＝ S 1＝ ， 1当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝2n－ 1－ (2 n － 1－ 1) ＝2n － 1，又∵ a 1n － 1 2 n － 1＝1 合适上式．∴ a n ＝2，∴ a n ＝4 .∴数列 22为首项，以 4 为公比的等比数列． { a n } 是以 a 1＝ 1n1 n2 2 2－4∴ a 1＋a 2a n＝ 1－ 4＝3(4 －1) ．＋ ＋1n答案3(4－1)110．已知等比数列 { a n } 中，a 1＝ 3，a 4＝81，若数列 { b n } 知足 b n ＝log 3a n ，则数列 b n b n ＋ 1的前 n 项和 S n ＝________.分析设等比数列 a na 4 3，解得 q ＝ 所以 a n ＝a 1q n － 1 ＝{ 的公比为 q ，则 ＝q ＝3.}a 127n n3×3－1＝3 ，故 b n ＝ log 3a n ＝n ，11 1 1所以 b n b n ＋1 ＝n n ＋＝n －n ＋1.1 1 1 1 11 n则 S n ＝1－2＋2－3＋ ＋ n － n ＋ 1＝ 1－ n ＋1＝n ＋1.答案nn ＋1a ba 11 33211．定义运算：d＝ ad － bc ，若数列 { a n } 知足＝1 且＝c2a na n ＋1112( n ∈N * ) ，则 a 3 ＝________，数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝________.分析 由题意得 a 1－1＝1,3 a n ＋ 1－ 3a n ＝ 12 即 a 1＝2，a n ＋ 1－a n ＝ 4.∴ { a n } 是以 2 为首项， 4 为公差的等差数列．∴ a n ＝2＋4( n －1) ＝ 4n －2，a 3＝4×3－ 2＝10.答案 104n － 21 12 1 2 31 2 3 912．已知数列 { a n } ：2， 3＋ 3， 4＋ 4＋ 4， ， 10＋ 10＋10＋ ＋ 10， ，那么数1列 { b n } ＝ a n a n ＋1 的前 n 项和 S n 为________．分析 由已知条件可得数列 { a n } 的通项为1＋ 2＋ 3＋ ＋ n na n ＝n ＋1＝2.14 1 1∴ b n ＝a n a n ＋ 1＝n n ＋＝4 n －n ＋1 . 1 1 11 1S n ＝ 4 1－ 2＋ 2－ 3＋ ＋ n －n ＋114n＝4 1－n ＋ 1 ＝n ＋1.4n 答案n ＋1三、解答题13．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 3＝5，S 15＝225.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝2a n ＋2n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 分析： (1) 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，a 1＋ d ＝ ，2 5由题意，得15×14 ， ＋＝152225a 1 ＝1， 解得∴a n ＝2n －1.d ＝2，1n(2) ∵ b n ＝2a n ＋ 2n ＝2·4＋ 2n ，∴ T n ＝ b 1＋b 2＋ ＋ b n12nn＝ 2(4 ＋4 ＋ ＋ 4 ) ＋2(1＋2＋ ＋ )4n ＋1－4 2 2 n 22 ＝ 6 ＋ n ＋n ＝3·4＋n ＋ n － 3.14．设 { a n } 是公比为正数的等比数列， a 1＝2，a 3＝ a 2＋4.(1) 求 { a n } 的通项公式；(2) 设 { b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 { a n ＋b n } 的前 n 项和 S n . 分析 (1) 设 q 为等比数列 { a n } 的公比，则由 a 1 ＝2，a 3＝a 2＋4 得 2q 2＝2q ＋ 4，即q 2－ q － ＝ ，解得 q ＝ 2或 q ＝－ 1( 舍去 ，所以 q ＝ 2.2 0 )所以 a n n 1＝n n ∈ * 的通项为 a n ＝ ·2－2 ({ } 2 N ) S ＝ －2n n n － n ＋ 1 2(2) n1－212×2＝2 ＋2.15．设 { a n 是等差数列， { b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1 ＝b 1＝ ，a 3＋ b 5} }1＝ 21，a 5＋ b 3＝ 13.(1) 求 { a n } ，{ b n } 的通项公式；nn 项和 S na(2) 求数列 b n 的前.解 析(1) 设 { a n 的公差为d ，{ b n 的公比为q ，则 依题 意有 q ＞且}}1＋2 d ＋q 4 ＝ ，d ＝ ，21 解得21＋4d ＋q 2 ＝13， q ＝ 2.所以 a n ＝1＋( n －1) d ＝2n －1，b n ＝q n － 1＝ 2n － 1 .a n 2n －1(2) b n ＝ 2n － 1 ，35 2n －3 2n －1 S n ＝ 1＋ 21＋ 22 ＋ ＋ 2n － 2 ＋ 2n － 1 ，①52n －3 2n －12S n ＝2＋3＋2＋ ＋ 2n － 3 ＋ 2n － 2 . ②2 2 22n －12 2 22221 11 n － 1＝ ＋ ×1＋ ＋ ＋ ＋ n －－2n － 1222 22211－2n － 1 n － 1n ＋ 3＝2＋2×1 － 2n － 1＝6－ 2n － 1 .1－2．等差数列{ a n的各项均为正数， a 1＝ ，前n 项和为 S n ，b n 为等比数列， b 116}3 { }＝ 1，且 b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1) 求 a n 与 b n ；1 1 1(2) 求＋＋ ＋.S 1 S 2S n分析 (1) 设{ a n } 的公差为 d ，{ b n } 的公比为 q ，则 d 为正数， a n ＝3＋ ( n －1) d ，b n＝ qn －1.S 2b 2＝ ＋ d q ＝ ，依题意有S 3b 3＝64 ＋ d q 2＝，3 9606 d ＝ ，d ＝－ 5，2(舍去)解得或40 q ＝8q ＝ 3 .故 a n ＝3＋2( n －1) ＝2n ＋ 1， b n ＝8n － 1.(2) S n ＝ 3＋ 5＋ ＋ (2 n ＋1) ＝n( n ＋2) ，所以 1 ＋ 11111＋ ＋S 1 ＋ ＋＝＋＋nS 2S n×3×4×51 2 31 1－ 1 1 1 1 1 11 ＝2 3＋ 2－ 4＋ 3－ 5＋ ＋ n －n ＋21 1 1 1＝21＋2－ n ＋ 1－ n ＋ 232 n ＋ 3.＝ 4－n ＋n ＋ 21n ＋。
高考数学一轮复习： 专题6.4 数列求和(练)
专题6.4 数列求和【基础巩固】一、填空题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n ＝________.【答案】n 2＋1－12n【解析】该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n. 2．(·南通调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 017项和为________． 【答案】2 0172 0183．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________.【答案】－200【解析】S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．(·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16＝________. 【答案】7【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.5．(·泰州模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 【答案】6【解析】由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.6．(·南通、扬州、泰州三市调研)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑100k ＝1 (a k a k ＋1)的值为________． 【答案】1001017．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 【答案】60【解析】由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.8．(·镇江期末)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________. 【答案】4n－1【解析】由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n－1.二、解答题9．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．10．(·苏北四市调研)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)． (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝12，求S n .解 (1)令n ＝1，a 1S 2－a 2S 1＋a 1－a 2＝λa 1a 2，解得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，解得a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1.由a 22＝a 1a 3得⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2＝2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝n ＋32a n ，①当n ≥2时，S n －1＋1＝n ＋22a n －1，②由①－②得a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n－1，所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2)． 代入①得S n ＝n ＋32a n －1＝n 2＋5n 6.【能力提升】11．(·长治联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 【答案】92【解析】a n ＝1＋(n －1)＝n ，S n ＝n 1＋n2，∴S n ＋8a n＝n 1＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时，取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92. 12．(·盐城中学模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和为________． 【答案】7813．(·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x －12，0≤x <2，f x －2，x ≥2，若对于正数k n (n ∈N*)，直线y＝k n x与函数y＝f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，则数列{k2n}的前n项和为________．【答案】n4n＋4【解析】函数f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，因为直线y＝k n x与f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，所以直线y＝k n x与第(n＋1)个半圆相切，则2n＋1k n1＋k2n＝1，化简得k2n＝14n n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，则k21＋k22＋…＋k2n＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1＝n4n＋4.14．(·苏、锡、常、镇四市调研)正项数列a1，a2，…，a m(m≥4，m∈N*)，满足a1，a2，a3，…，a k－1，a k(k<m，k∈N*)是公差为d的等差数列，a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列．(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，a m的所有项的和S m；(2)若a1＝d＝2，m<2 016，求m的最大值；(3)是否存在正整数k，满足a1＋a2＋…＋a k－1＋a k＝3(a k＋1＋a k＋2＋…＋a m－1＋a m)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．又a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列，则a k＝a1·2m＋1－k，故a1＋(k－1)d＝a1·2m＋1－k，即(k－1)d＝a1(2m＋1－k－1)．又a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＝3(a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a m －1＋a m )，a m ＝2a 1， 则ka 1＋12k (k －1)d ＝3×2a 1×1－2m －k1－2，即ka 1＋12ka 1(2m ＋1－k －1)＝3×2a 1(2m －k－1)，则12k ·2m ＋1－k ＋12k ＝6(2m －k －1)， 即k ·2m ＋1－k＋k ＝6×2m ＋1－k－12，显然k ≠6，则2m ＋1－k＝k ＋126－k ＝－1＋186－k，。
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第六章数列第四节数列求和课件
−
1
n+1
.( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即
可根据错位相减法求和．( × )
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，
则数列
3n −1
an 的通项公式是an＝
.( √
2
)
2．(教材改编)已知数列 an 的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，
2n+1
1
＝ n + 1 − n.
n+ n+1
；
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 若 数 列 an 为 等 比 数 列 ， 且 公 比 不 等 于 1 ， 则 其 前 n 项 和 Sn ＝
a1 −an+1
.( √ )
1−q
1
1
1
(2)当n≥2时， 2 ＝
n −1 2 n−1
180 dm2 .以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为
15 n+3
720－ n−4
5
σnk=1 Sk ＝___________
________；如果对折n次，那么
2
dm2.
2．[2022·新高考Ⅰ卷]记Sn 为数列 an 的前n项和，已知a1 ＝1，
1
是公差为 的等差数列．
3
(1)求 an 的通项公式；
第四节
数列求和
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】
掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数
2022高考数学一轮复习第6章数列第4讲数列的求和课时作业含解析新人教B版
数列的求和课时作业1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，假设{a n }的前n 项和为24，那么n ＝( )A ．25B ．576C ．624D ．625答案 C解析 a n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24得n ＝624.应选C.2．数列{(－1)n(2n －1)}的前2022项和S 2022等于( ) A ．－2022 B ．2022 C ．－2022 D ．2022答案 B解析 S 2022＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2022－1)＋(2×2022－1)＝＝2022.应选B.3．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n (n －9)，第k 项满足7<a k <10，那么k 等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 C解析 当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10，k ＝1时也适合．由7＜a k ＜10，得7＜2k －10＜10，所以172＜k ＜10，所以k ＝9.应选C.4．(2022·铜川模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 由题知公比q ≠1，那么S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，那么a 1＝19，应选C.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cosn π2，其前n 项和为S n ，那么S 2022＝( )A ．0B ．－1010C ．504D ．1008答案 B解析 由a n ＝n cosn π2，得a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4，a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，…，由此可知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝…＝2.因为2022＝4×504＋3，所以S 2022＝2×504＋a 2022＋a 2022＋a 2022＝1008＋0－2022＋0＝－1010.应选B.6．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，那么a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n－1)2B.12(9n－1) C ．9n －1 D.14(3n－1) 答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．那么n ≥2时，a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．那么数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列，应选B.7．假设数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，那么{b n }的前10项和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 B解析 b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.8．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析 a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1.∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋ (2))－n ＝2n ＋1－n －2，∴S 9＝1013<1020，S 10＝2036>1020，∴S n >1020，n 的最小值是10.9．(2022·长郡中学模拟)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，那么该数列的前10项和S 10＝( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5答案 C解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2d ·a 5＝2d ·a 6，于是a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0.应选C.10．(2022·揭阳模拟)数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，那么S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.211答案 C解析 ∵2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，∴2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴2n a n ＝1(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1时也满足，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1log 22－n log 22－(n ＋1)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，应选C. 11．(2022·福建宁德联考)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n＋mn ，那么1a 1＋1a 2＋…＋1a 20等于( )A.4021B.2021C.1910D.2019答案 A解析 因为数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，所以令m ＝1，得a n ＋1－a n ＝1＋n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 20＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120－121＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝4021.应选A.12．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，那么S 2022的值为( ) A ．1009 B ．1010 C ．2022 D ．2022答案 B解析 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2022＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2022＋a 2022)＝1010.应选B.13．数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋nn，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________． 答案2nn ＋2解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2， 所求的前n 项和为4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2. 14．(2022·海口模拟)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .S 3＝74，S 6＝634，那么a 8＝________.答案 32解析 设等比数列{a n }的公比为q ，那么由S 6≠2S 3，得q ≠1，那么S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得q ＝2，a 1＝14，那么a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.15．(2022·保定模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，那么S 2n ＋3＝________.答案 43⎝⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2解析 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2.16．(2022·西安模拟)数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，那么T 4＝________，T 30＝________.答案 24 650解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝9，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －n 2－[10(n －1)－(n －1)2]＝－2n ＋11，当n ＝1时也满足，所以a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)，所以当n ≤5时，a n >0，b n ＝a n ，当n >5时，a n <0，b n ＝－a n ，所以T 4＝S 4＝10×4－42＝24，T 30＝S 5－a 6－a 7－…－a 30＝2S 5－S 30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.17．(2022·吉林二模)各项均为整数的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，a 1＝－1，a 2，a 3，S 4＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{(－1)n·a n }的前2n 项和T 2n .解 (1)各项均为整数的等差数列{a n }，设公差为d ，那么d 为整数， 由a 1＝－1，a 2，a 3，S 4＋1成等比数列， 得a 23＝a 2(1＋S 4)，即(－1＋2d )2＝(－1＋d )(－3＋6d )，解得d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫d ＝12舍去， 所以a n ＝2n －3. (2)由(1)，得T 2n ＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4＋…－a 2n －1＋a 2n＝(1＋1)＋(－3＋5)＋…＋(5－4n ＋4n －3) ＝2＋2＋…＋2＝2n .18．(2022·山东莱阳模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，有2S n＝a 2n ＋a n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1.解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，得a 1＝1或0(舍去)． 当n ≥2时，因为2S n ＝a 2n ＋a n ，① 所以2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，②由①②两式相减得a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)得，b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝1n n ＋1＋(n ＋1)n＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )＝n ＋1－nn (n ＋1)(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1＝1－1n ＋1<1.19．(2022·广东二模)数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设b n ＝a n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝n ＋1， ① 那么当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n ， ② 由①②，得a n ＝n ＋1n， 当n ＝1时，a 1＝2，满足上式． 所以a n ＝n ＋1n . (2)由于a n ＝n ＋1n， 所以b n ＝a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋n n ＋1＝1＋1n ＋1－1n ＋1＝2＋1n －1n ＋1，那么S n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n ＋1－1n ＋1. 20．(2022·天津局部区联考)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，a 3＋a 4＝12.数列{b n }为等比数列，且b 1＝a 2，b 2＝S 3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝(－1)na n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由，得a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是以2为公差的等差数列．∵a 3＋a 4＝12， ∴2a 1＋10＝12，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 1＝a 2＝3，b 2＝S 3，∴b 2＝3q ＝S 3＝9， ∴q ＝3，∴b n ＝3n . (2)由题意，得c n ＝(－1)n a n ·b n ＝(－1)n (2n －1)·3n ＝(2n －1)·(－3)n ，∴T n ＝1×(－3)＋3×(－3)2＋5×(－3)3＋…＋(2n －1)×(－3)n， ∴－3T n ＝1×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋(2n －3)×(－3)n ＋(2n －1)×(－3)n ＋1.上述两式相减，得4T n ＝－3＋2×[(－3)2＋(－3)3＋…＋(－3)n ]－(2n －1)×(－3)n ＋1＝－3＋2×(－3)2[1－(－3)n －1]1＋3－(2n －1)×(－3)n ＋1＝32－4n －12×(－3)n ＋1，∴T n ＝38－4n －18×(－3)n ＋1.。
高三数学一轮复习课时作业6：6.4 数列求和
6.4 数列求和一、选择题1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－152．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.1583．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n4．(2015·曲靖一模)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为()A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2 C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1＋1n ＋25．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( ) A ．1 509 B ．3 018 C ．1 512D ．2 0166．(2015·日照一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18n ＞3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n21≤n ≤3n 2－6n n ＞3二、填空题7．(2015·沈阳质量监测)已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n项和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．(2015·辽宁五校协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________.10．(2015·西安二模)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．三、解答题11．(2014·湖南高考)已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和．12．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝21(10)2－n a ，证明：数列{b n }为等比数列；(3)求数列{nb n }的前n 项和T n .答案1．选A 记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.2．选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得91－q 31－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．选C 由题意得a n ＝1＋2n －1， 所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1，故选C.4．选C ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 5．选C 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1k ∈N *，1，n ＝2k k ∈N *，故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝⎛⎭⎫1＋12＝1 512. 6．选C 由S n ＝n 2－6n 可得，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7. 当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式， 所以a n ＝2n －7，n ∈N *.∴n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时，a n ＞0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18n ＞3.7．『解析』a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4n ＋1n ＋2＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2， 所求的前n 项和为4⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2 ＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2. 『答案』2n n ＋28．『解析』∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.『答案』2n ＋1－29．『解析』依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.『答案』48010．『解析』设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0； 当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.『答案』1611．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝21－22n 1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋『－(2n －1)＋2n 』＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 12．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ， 由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2.所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。
高考数学一轮复习全套课时作业6-4-1数列求和
专题层级快练6.4.1数列求和一、单项选择题1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为()A ．2n －1B ．n ·2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －22．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于()A ．13B ．10C ．9D ．63．数列{(－1)n (2n －1)}的前2020项和S 2020等于()A ．－2020B ．2020C ．－2019D ．20194．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2等于()A ．(3n －1)2 B.12(9n －1)C ．9n －1D.14(3n －1)5．若数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为()A.13B.512C.12D.7126．已知在等差数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝()A ．1－4nB ．4n －1C.1－4n 3D.4n －13二、填空题与解答题7．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1（2n ）2－1＝________．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________．9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋4.若首项a 1＝－2，则数列{a n }的前9项和S 9＝________．10．(2021·四省八校联考)已知公比为整数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 3＝14.若b n ＝log 2a n ，100项的和为________．11．(2020·江苏)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n＋b n}的前n项和S n＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．12．(2017·课标全国Ⅲ)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)n项和．13．(2021·太原二模)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋1－2，数列{b n}满足b n＝a n＋a n＋1(n∈N*)．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n＝log2a n(n∈N*)，求数列{b n·c n}的前n项和T n.14．(2021·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求数列{a n}的通项公式；，求数列{c n}的前n项和S n.(2)令c n＝4b n·b n＋1＋a n15．(2021·山东新高考质量测评)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{a n}的通项公式a n＝1，则[S1]＋[S2]＋…＋[S40]＝()n＋1＋n，前n项和为S nA．105B．120C．125D．13016．(2020·山东新高考Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.17．已知{a n}为等差数列，各项为正的等比数列{b n}的前n项和为S n，2a1＝b1＝2，a2＋a8＝10，________．在①λS n＝b n－1；②a4＝S3－2S2＋S1；③b n＝2λan.这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.6.4.1数列求和参考答案1．答案D解析记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，∴S n ＝2·（2n －1）2－1－n ＝2n ＋1－2－n.2．答案D解析∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n ＋122＋…n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6.3．答案B 解析S 2020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2019－1)＋(2×2020－1)＝2＋2＋…＋2,1010个2相加＝2020.故选B.4．答案B解析因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则当n ≥2时，a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．则数列{a n 2}是首项为4，公比为9的等比数列，a 12＋…＋a n 2＝4（1－9n ）1－9＝12(9n－1)．故选B.5．答案B解析∵b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，∴S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.6．答案B解析因为q ＝a n －a n －1＝－4，b 1＝a 2＝－3，所以b n ＝b 1q n －1＝－3×(－4)n －1.所以|b n |＝|－3×(－4)n －1|＝3×4n－1，即{|b n |}是首项为3，公比为4的等比数列．所以|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1.故选B.7．答案n2n ＋1解析通项a n ＝1（2n ）2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.8．答案－n 2（1≤n ≤3），2－6n ＋18（n>3）解析由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴当n ≤3时，a n <0；当n>3时，a n >0.∴T n －n 2（1≤n ≤3），2－6n ＋18（n>3）.9．答案986解析因为a n ＋1＝2a n ＋4，所以a n ＋1＋4＝2(a n ＋4)，故{a n ＋4}是以a 1＋4＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋4＝2n ，即a n ＝2n －4.S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(21－4)＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝(21＋22＋ (2))－4n ＝2（1－2n ）1－2－4n ＝2n ＋1－2－4n ，所以S 9＝210－2－4×9＝986.10．答案100101解析设数列{a n }的公比为q ，且q 为整数．由已知，a 2＝a 1q ＝4，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝14，解得q ＝2或q＝12(舍去)，所以a 1＝2，a n ＝2n ，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，故数列的前100项的和为1－1101＝100101.11．答案4解析方法一：当n ＝1时，S 1＝a 1＋b 1＝1①，当n ≥2时，a n ＋b n ＝S n －S n －1＝2n －2＋2n －1，则a 2＋b 2＝4②，a 3＋b 3＝8③，a 4＋b 4＝14④，②－①得d ＋b 1(q －1)＝3⑤，③－②得d ＋b 2(q －1)＝4⑥，④－③得d ＋b 3(q －1)＝6⑦，⑥－⑤得b 1(q －1)2＝1，⑦－⑥得b 2(q －1)2＝2，则q ＝2，b 1＝1，d ＝2，所以d ＋q ＝4.方法二：由题意可得S 1＝a 1＋b 1＝1，当n ≥2时，a n ＋b n ＝S n －S n －1＝2n －2＋2n －1，易知当n ＝1时也成立，则a 1＋(n －1)d ＋b 1q n －1＝dn ＋a 1－d ＋b 1q n －1＝2n －2＋2n －1对任意正整数n 恒成立，则d ＝2，q ＝2，d ＋q ＝4.方法三：由等差数列和等比数列的前n 项和的特征可得等差数列{a n }的前n 项和H n ＝n 2－n ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝2n －1，则d ＝2，q ＝2，d ＋q ＝4.12．答案(1)a n ＝22n －1(2)2n 2n ＋1解析(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式．从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.13．答案(1)b n ＝3×2n(2)3(n －1)×2n ＋1＋6解析(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝3×2n .(2)由(1)得a n ＝2n ，b n ＝3×2n ，∴c n ＝log 2a n ＝n ，∴b n ·c n ＝3n ×2n ，∴T n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )，①①×2，得2T n ＝3×(1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1)，②①－②，得－T n ＝3×(2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1)＝3×[(1－n)×2n ＋1－2]，∴T n ＝3(n －1)×2n ＋1＋6.14．答案(1)a n ＝4n(2)S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)解析(1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12，得log 2(a 1a 2a 3)＝12，∴a 1a 2a 3＝212.设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q·4q 2＝26·q 3＝212，计算得q ＝4.∴a n ＝4·4n －1＝4n .(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n·2（n ＋1）＋4n ＝1n （n ＋1）＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n .n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4（1－4n ）1－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．15．答案B解析a n ＝n ＋1－n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2－1＋3－2＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1，[S 1]＝[S 2]＝0，[S 3]＝[S 4]＝[S 5]＝[S 6]＝[S 7]＝1，[S 8]＝[S 9]＝…＝[S 14]＝2，[S 15]＝[S 16]＝…＝[S 23]＝3，[S 24]＝[S 25]＝…＝[S34]＝4，[S35]＝[S36]＝…＝[S40]＝5，∴[S1]＋[S2]＋…＋[S40]＝2×0＋5×1＋7×2＋9×3＋11×4＋6×5＝120.故选B.16．答案(1)a n＝2n(2)480解析(1)设数列{a n}的公比为q(q＞1)1q＋a1q3＝20，1q2＝8，解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝12(舍)，所以a n＝2n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b1对应的区间为：(0，1]，则b1＝0；b2，b3对应的区间分别为：(0，2]，(0，3]，则b2＝b3＝1，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为：(0，4]，(0，5]，(0，6]，(0，7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；b8，b9，…，b15对应的区间分别为：(0，8]，(0，9]，…，(0，15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；b16，b17，…，b31对应的区间分别为：(0，16]，(0，17]，…，(0，31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；b32，b33，…，b63对应的区间分别为：(0，32]，(0，33]，…，(0，63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；b64，b65，…，b100对应的区间分别为：(0，64]，(0，65]，…，(0，100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.17．答案(1)a n＝n，b n＝2n(2)T n＝(n－1)×2n＋1＋2解析若选①，(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴a1＝1，2a1＋8d＝10，∴d＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.b1＝2，λS n＝b n－1，当n＝1时，有λS1＝λb1＝b1－1，则λ×2＝2－1，得λ＝1 2 .当n≥2时，b n＝S n－S n－1＝2(b n－1)－2(b n－1－1)，即b n＝2b n－1，∴{b n}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴b n＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)知a n·b n＝n·2n，∴T n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2T n＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②得，－T n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1，∴T n＝(n－1)×2n＋1＋2.若选②，(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴a1＝1，2a1＋8d＝10，∴d＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.∴a4＝4.设等比数列{b n}的公比为q(q>0)，∵a4＝S3－2S2＋S1，∴a4＝(S3－S2)－(S2－S1)＝b3－b2＝b1q2－b1q.又a4＝4，b1＝2，∴q2－q－2＝0，解得q＝2，∴b n＝2×2n－1＝2n.(2)解法同选①的第(2)问解法．若选③，(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴a1＝1，2a1＋8d＝10，∴d＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.∵b n＝2λa n，a1＝1，b1＝2，∴令n＝1，得b1＝2λa1即2＝2λ，∴λ＝1，∴b n＝2a n.∴b n＝2n.(2)解法同选①的第(2)问解法．。
高考数学一轮总复习 64数列求和课后强化作业 北师大版
高考数学一轮总复习 64数列求和课后强化作业 北师大版基础达标检测一、选择题1．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为( )A ．700B ．710C ．720D ．730[答案] C[解析] 因为{a n }，{b n }都是等差数列，由等差数列的性质可知，{a n ＋b n }的前20项的和为S 20＝20(a 1＋a 20)2＋20(b 1＋b 20)2＝10(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)＝10×(5＋7＋60)＝720.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 [答案] A[解析] 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.3．(2014·三门峡模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121[答案] C [解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.4．(2013·全国大纲)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)[答案] C[解析] 本题考查等比数列的定义，前n 项和的求法． 3a n ＋1＋a n ＝0 ∴a n ＋1a n ＝－13＝q a 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4∴S 10＝4[1－(－13)10]1＋13＝3(1－3－10)．5．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则．∵{a n }为等比数列，且a 5·a 2n －5＝22n ，∴a 2n ＝22n ，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1. ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1 ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.6．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－12n －n2n ＋1B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋1－12n －1 [答案] B[解析] S ＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋…＋n ×12n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①则12S ＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②得12S ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1.∴S ＝2－12n －1－n2n .二、填空题7．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________. [答案] 54[解析] 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5， 即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.8．(文)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________.[答案] 2 2n ＋1－2[解析] 本题考查了等比数列性质，前n 项和公式等．由题意a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴q ＝2，又由a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3知a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1、a 2、a 5成等比数列，则S 8＝________.[答案] 64[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 22＝a 1a 5， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，即d 2＝2d ，∵d ≠0，∴d ＝2， ∴S 8＝8×1＋8×72×2＝64.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝________. [答案] 2 600[解析] 由已知，得a 1＝1， a 2＝2，a 3－a 1＝0， …a 99－a 97＝0， a 100－a 98＝2，累加得a 100＋a 99＝98＋3，同理得a 98＋a 97＝96＋3，…，a 2＋a 1＝0＋3， 则a 100＋a 99＋a 98＋a 97＋…＋a 2＋a 1 ＝50×(98＋0)2＋50×3＝2 600. 三、解答题10．(文)(2013·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得 (a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n 2(n ＋1).(理)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.能力强化训练一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212 B ．6 C ．10 D ．11[答案] B[解析] 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项，偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6.2．(文)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值32 [答案] B[解析] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋log 245＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×45×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2<132，∴64<n ＋2， ∴n >62，∴n min ＝63.(理)已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1,2 015)内所有的劣数的和为( )A ．2 026B ．2 046C ．1 024D ．1 022[答案] A[解析] ∵a 1·a 2·a 2·…·a n ＝lg3lg2·lg4lg3·…·lg (n ＋2)lg (n ＋1)＝lg (n ＋2)lg2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k －2(k∈Z )．令1<2k －2<2015，得k ＝2,3,4， (10)∴所有劣数的和为4(1－29)1－2－18＝211－22＝2 026.二、填空题3．设f (x )＝12x ＋2，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．[答案] 5 2[解析] ∵f (－n )＋f (n ＋1)＝12－n ＋2＋12n ＋1＋2＝2n 1＋2n ·2＋12n ＋1＋2＝2n ·2＋12n ＋1＋2＝22， ∴f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)＝5 2.4．(文)数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________.[答案]1011[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)， 整理可得1a n ＋1－1a n ＝1，则1a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝1n ，b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝1－111＝1011.(理)有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项的和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn 为A 的“凯森和”；如果有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为1 000，则有100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为________．[答案] 991[解析] ∵{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为 S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1 000，∴S 1＋S 2＋…S 99＝1 000×99，数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为： 1＋(S 1＋1)＋(S 2＋1)＋…＋(S 99＋1)100＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝991.三、解答题5．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n 项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力．(1)因为{a n }为首项a 1＝19，公差d ＝－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21， S n ＝19n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋S n ＝－n 2＋20n ＋3n －12.6．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n . [解析] (1)由S n ＝kc n －k ，得 a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)，由a 2＝4，a 6＝8a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n .(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n 2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1∴T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.(理)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .[解析] (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即S ＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4.从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)，又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1 .所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.。
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"备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 6.4 数列求和 新人教B版 "1.数列{n a }的前n 项和2231n S n n =-+,则45a a ++…10a +等于( )A.171B.21C.10D.161 【答案】 D【解析】 45a a ++ (2)101032103102a S S +=-=⨯-⨯-⨯233+3161⨯=.2.数列{n a }的通项公式11n a n n =,++若其前n 项的和为10,则项数n 为( )A.11B.99C.120D.121【答案】 C 【解析】 ∵111n a n n n n ==+-,++∴1110n S n =+-=.∴n=120.3.数列{n a }的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =,+则5S 等于… ( )A.1B.56C.16D.130【答案】 B【解析】 ∵111(1)1n a n n n n ==-,++ ∴5111(1)()223S =-+-+…11()56+-51166=-=.4.数列1,1+2,1+2+4,...2122,+++ (1)2n -+,…的前n 项和1n S > 020,那么n 的最小值是( ) A.7 B.8 C.9D.10【答案】 D【解析】 ∵2122+++ (1)1222112n n n --+==-,- ∴2(22n S =++…1222)12n n n n +-+-=-=-122.n n +-- 若1n S > 020,则1221n n +--> 020,∴10n ≥.5.已知数列{n a }的前n 项和为n S 且2nn a n =⋅,则n S = .【答案】 1(1)22n n +-⋅+【解析】 ∵2322232n S =+⋅+⋅+…2nn +⋅, ① ∴234222232n S =+⋅+⋅+ (1)(1)22n n n n ++-⋅+⋅. ②①-②,得23222n S -=+++…122n n n ++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅,∴1(1)22n n S n +=-⋅+.课后作业夯基 基础巩固1.求和:3+33+333+3 333+…+333n ⋯E555F个个等于( ) A.11010273n n +-- B.10193n n -- C.1019n n -- D.109n 【答案】 A 【解析】 ∵333n ⋯E555F 个3(101)9n =⨯-, ∴原式39= 2(101)(101)...(101)?n⎡⎤-+-++-⎣⎦ =93[(10+102+ (10))-n ]=2710101-+n -3n .2.数列1111135724816,,,,…,1(21)2n n-+,…的前n 项和n S 的值等于( )A.2112n n+-B.21212n n n-+-C.21112n n +-- D.2112n n n-+-【答案】 A【解析】 该数列的通项公式为1(21)2n a n n=-+,则[135n S =+++...+(2n -111)](222+++ (2)11)122n n n+=+-.故选A.3.等差数列{n a }的通项公式21n a n =-,若11n b a a n n =,+{n b }的前n 项和为n S ,则n S 等于( ) A.221n n +B.21n n + C.21n n - D.以上都不对【答案】 B【解析】 ∵21n a n =-,∴1111()(21)(21)22121n b n n n n ==-,+--+∴111111(1233557n S =-+-+-+…1111)(1)212122121n n n n n +-=-=-+++.4.等差数列{n a }的通项21n a n =+,则由…12n a a an b n+++=所确定的数列{n b }的前n 项和是( ) A.n(n+2) B.1(4)2n n +C.12(5)n n +D.1(7)2n n + 【答案】 C【解析】 由题意12a a ++ (321)(2)2n n n a n n +++==+,∴(2)2n n n b n n+==+.∴(32)(5)22n n n n n S +++==. 5.已知数列{n a }的前n 项和26n S n n =-,则数列{|n a |}的前n 项和n T 等于( )A.26n n - B.2618n n -+C. 226(13)618(3)n n n n n n ⎧-≤≤⎨-+>⎩D. 226(13)6(3)n n n n n n ⎧-≤≤⎨->⎩【答案】 C【解析】 由26n S n n =-得{n a }是等差数列,且首项为-5,公差为2.∴5(1)227n a n n =-+-⨯=-. ∴3n ≤时0n a ,<;n>3时0n a >.∴n T = 226(13)618(3)n n n n n n ⎧-≤≤,⎨-+>.⎩6.设数列{n a }是首项为1、公比为3的等比数列,把{n a }中的每一项都减去2后,得到一个新数列{n b },{n b }的前n 项和为n S ,对任意的n ∈N *,下列结论正确的是( )A.13n n b b +=,且12(31)nn S =- B.132n n b b +=-,且12(31)nn S =- C.134n n b b +=+,且12(31)2nn S n =-- D.134n n b b +=-,且12(31)2n n S n =--【答案】 C【解析】 ∵数列{n a }是首项为1、公比为3的等比数列,∴数列{n a }的通项公式13n n a -=,则依题意得,数列{n b }的通项公式为132n n b -=-, ∴113233(32)36n n nn n b b -+=-,=-=-.∴134n n b b +=+. {n b }的前n 项和为:123(12)(32)(32)(32)n S =-+-+-+-+…1123(32)(1333n -+-=+++…(13)213n n -=--1(31)22n n =--. 7.设关于x 的不等式22(x x nx n -<∈N )*的解集中整数的个数为n a ,数列{n a }的前n 项和为n S ,则100S 的值为 .【答案】 10 100【解析】 由22(x x nx n -<∈N )*得021(x n n <<+∈N )*.当n=1时,0<x<3,此解集中整数的个数有2个,即12a =; 当n=2时,0<x<5,此解集中整数的个数有4个,即24a =; 当n=3时,0<x<7,此解集中整数的个数有6个,即36a =; 可见数列{n a }的通项公式为2n a n =,∴10011002100(1001)2102S =⨯+⨯⨯-⨯= 100.8.(2012安徽阜阳检测)已知f(n)= n n n n ,,⎧⎨-,,⎩为正奇数为正偶数 若n a =f(n)+f(n+1),则12a a ++…2012a += .【答案】 0【解析】 当n 为奇数时()(n a f n f ,=+n+1)=n-n-1=-1; 当n 为偶数时1n a n n ,=-++=1. ∴12a a ++…20120a +=.9.已知数列{n a }的通项公式为n a =log 21(2n n n +∈+N *),设其前n 项和为n S ,则使5n S <-成立的自然数n 的最小值是 . 【答案】 63【解析】 方法一:依题意有n a =log 212n n +=+log 2(1)n +-log 2(n+2),所以n S =log 22-log 23+log 23-log 24+…+log 2(1)n +-log 2(2)n + =log 22-log 2(2)1n +=-log 2(2)n +, 令1-log 2(2)5n +<-,解得n>62, 故使5n S <-成立的自然数n 有最小值63. 方法二:n S =log 223+log 234+…+log 212n n ++=log 232(34⨯⨯…1)2n n +⨯=+log 222n ,+所以由5n S <-得log 2252n <-,+解得n>62,故使5n S <-成立的自然数n 有最小值63.10.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积为同一个常数,那么这个数列称为等积数列,这个常数称为该数列的公积.已知数列{n a }是等积数列,且12a =-,公积为5,那么这个数列的前41项的和为 . 【答案】 -92【解析】 由题意知{n a }的奇数项都为-2,偶数项都为52-,∴4192S =-.11.对于数列{n a },定义数列{1n n a a +-}为数列{n a }的”差数列”,若12a =,{n a }的”差数列”的通项为2n,则数列{n a }的前n 项和n S = . 【答案】 122n +-【解析】 ∵12nn n a a +-=,∴112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+…211()a a a +-+1222n n --=++…2222+++222222212n n n -=+=-+=,-∴12212n n S +-==-12 2.n +.- 12.设数列{n a }满足212333a a a +++ (133)n n n a -+=,n ∈N *.(1)求数列{n a }的通项;(2)设n n b a n=,求数列{n b }的前n 项和n S .【解】 (1)∵212333a a a +++ (1)33n n n a -+=, ①∴当2n ≥时212333a a a ,+++ (2)1133n n n a ---+=. ②①-②,得1113(2)33n n n a a n n-=,=≥,在①中,令n=1,得113a =,∴13n a n=.(2)∵n n b a n =,∴3nn b n =⋅.∴2332333n S =+⨯+⨯+…3nn +⋅. ③∴234332333n S =+⨯+⨯+ (1)3n n ++⋅. ④ ④-③,得12323(333n n S n +=⋅-+++…3)n+,即13(13)2313n n n S n +-=⋅-,- ∴1(21)3344n n n S +-=+. 13.已知等差数列{n a }满足:37a =,5a +726a =,{n a }的前n 项和为n S .(1)求n a 及n S ;(2)令1(21n b n a n=∈-N )*,求数列{n b }的前n 项和nT .【解】 (1)设等差数列{n a }的首项为1a ,公差为d, 由于357726a a a =,+=,所以112721026a d a d +=,+=, 解得132a d =,=.由于1()1(1)2n n n a a n a a n d S +=+-,=, 所以21(2)n n a n S n n =+,=+.(2)因为21n a n =+,所以214(n a n n -=+1),因此1111()4(1)41n b n n n n ==-++. 故12n T b b =++…n b +1111(14223=-+-+…11)1n n +-+ 11(1)41n =-+ 4(1)n n =,+ 所以数列{n b }的前n 项和4(1)n n T n =+. 14.已知数列{n a }的前n 项和为n S =3n ,数列{n b }满足1b =-11(21)(n n b b n +,=+-n ∈N *).(1)求数列{n a }的通项公式n a ; (2)求数列{n b }的通项公式n b ;(3)若n a bn n c n⋅=,求数列{n c }的前n 项和n T .【解】 (1)∵3n n S =,∴113(2)n n S n --=≥.∴1113323(2)n n n n n n a S S n ---=-=-=⨯≥.当n=1时11112323S a -,⨯=≠==,∴n a = 131232n n n -,=,⎧⎨⨯,≥.⎩(2)∵1(21)n n b b n +=+-,∴213243135b b b b b b -=,-=,-=,…1n n b b -,-=2n-3.以上各式相加得1135n b b -=+++…+2(1)(123)(23)(1)2n n n n -+--==-.∵11b =-,∴22n b n n =-.(3)由题意得n c = 1312(2)32n n n n --,=,⎧⎨-⨯,≥.⎩ 当2n ≥时123203213n T ,=-+⨯⨯+⨯⨯+22⨯⨯33+…+12(2)3n n --⨯, ①∴233920321322n T =-+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯43+…+2(2)3n n -⨯, ②① ②两式相减,得23262323n T -=+⨯+⨯+ (1)23n -+⨯-2(2)3n n -⨯∴23(2)3(333nn T n =-⨯-+++ (1)(25)33333)(2)322n nn n n n --+-+=-⨯-=. ∴n T = 31(25)3322n n n n -,=,⎧⎪⎨-+,≥.⎪⎩∴(25)33(2n n n T n -+=∈N )*. 拓展延伸15.(2011山东高考,文20)等比数列{n a }中123a a a ,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123a a a ,,中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{n a }的通项公式; (2)若数列{n b }满足:(1)nn n b a =+-ln n a ,求数列{n b }的前2n 项和2n S .【解】 (1)当13a =时,不合题意;当12a =时,当且仅当23618a a =,=时,符合题意; 当110a =时,不合题意.因此1232618a a a =,=,=,所以公比q=3.故123n n a -=⋅.(2)因为(1)nn n b a =+-ln n a123(1)n n -=⋅+-ln 1(23)n -⋅ 123(1)[n n -=⋅+-ln 2+(n-1)ln 3]123(1)(n n -=⋅+-ln 2-ln 3)(1)n n +-ln 3. 所以212n S b b =++…2n b +=2(1+3+ (21)3)[111n -++-+-+…2(1)](n +-ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…2(1)2]n n +-ln 3213213nn -=⨯+-ln 323n n =+ln 3-1.。